利息理論及其應(yīng)用(第四版)課件教學(xué)課件電子教案

利息理論及其應(yīng)用

（第四版）

目錄2第1章：利息度量第2章：等額年金第3章：變額年金第4章：收益率和收益分配第5章：債務(wù)償還方法第6章：債券價值分析第7章：利率風險管理利息度量累積函數(shù)實際利率單利和復(fù)利貼現(xiàn)函數(shù)實際貼現(xiàn)率名義利率名義貼現(xiàn)率利息力（連續(xù)復(fù)利）3幾個實際問題半年期的定期存款利率是2%。請問1萬元存半年，到期的利息是多少？三年期的定期存款利率是4.25%。請問1萬元存三年，到期的利息是多少？銀行推出的理財產(chǎn)品為65天，預(yù)期年化收益率為5%，購買10萬元到期可以獲得多少利息？45如何度量速度？公里/小時，米/秒，……瞬時速度如何度量利息？利率（實際，名義）貼現(xiàn)率（實際，名義）利息力（連續(xù)復(fù)利）61.1利息的基本函數(shù)利息（interest）的定義：借用他人資金需支付的成本，或出讓資金獲得的報酬。利息存在的合理性資金的稀缺性時間偏好資本也是生產(chǎn)力7關(guān)于利息的幾個基本概念本金（principal）：初始投資的資本金額。累積值（accumulatedvalue）：一段時期后收到的總金額。利息（interest）——累積值與本金之間的差額。8積累函數(shù)(Accumulationfunction)

累積函數(shù)：時間零點的1元在時間t的累積值,記為a(t)。性質(zhì)：a(0)=1；a(t)通常是時間的增函數(shù)；當利息是連續(xù)產(chǎn)生時，a(t)是時間的連續(xù)函數(shù)。

注：一般假設(shè)利息是連續(xù)產(chǎn)生的。9例：常見的幾個積累函數(shù)（1）常數(shù)：a(t)=1（2）線性：a(t)=1+0.1t（3）指數(shù)：a(t)=(1+0.1)t

101110ta(t)累積函數(shù)？對應(yīng)哪些實例？例假設(shè)累積函數(shù)為請計算t=1時的500元

，在t=2的累積值是多少。解：12ta(t)011225310131.2實際利率（effectiverateofinterest）實際利率i

是時間零點的1元在期末產(chǎn)生的利息：實際利率i是期末獲得的利息金額與期初本金之比：14實際利率經(jīng)常用百分比表示，如8%；利息是在期末支付的；本金在整個時期視為常數(shù)；通常使用的時間單位是年。如無特殊說明，利率是指年利率。注：15例：

把1000元存入銀行，第1年末存款余額為1020元，第2年末存款余額為1050元，求第一年和第二年的實際利率分別是多少？問題：整個存款期間的實際利率是多少？整個存款期間的年平均實際利率是多少？（后面討論）161.3單利(simpleinterest)單利的積累函數(shù)：17單利的累積函數(shù)

18單利對應(yīng)的實際利率：問題:為什么每個時期的利息金額相等，而實際利率卻越來越小呢？可見，實際利率是

t的遞減函數(shù)。單利與實際利率的關(guān)系：只有本金產(chǎn)生利息，而利息不會產(chǎn)生新的利息。時間零點投資1元，在每年末得到完全相同的利息i

，i稱為單利率。19單利的特點：20例若年單利為8％，求投資2000元在4年后的積累值和利息。累積值為：利息為：21時間t的確定,t=投資天數(shù)/每年的天數(shù)（1）“實際/365”（actual/actual）：投資天數(shù)按兩個日期之間的實際天數(shù)計算，每年按365天計算。（2）“實際/360”：投資天數(shù)按兩個日期之間的實際天數(shù)計算，每年按360天計算。稱為行家規(guī)則

(banker’srule)。（3）“30/360”規(guī)則：每月按30天計算,每年按360天計算。兩個給定日期之間的天數(shù)按下述公式計算：其中起始日為Y2年M2月D2日，到期日為Y1年M1月D1日。22例：投資者在2014年6月14日存入基金10000元，2015年2月7日取出，基金的年單利利率為8%，請分別根據(jù)下列規(guī)則計算投資者可以獲得的利息金額：（1）“實際/365”規(guī)則（2）“實際/360”規(guī)則（3）“30/360”規(guī)則（1）精確天數(shù)為238，在“實際/365”規(guī)則下，t=238/365，利息金額為：（2）在“實際/360”規(guī)則下，t

=238/360，利息金額為：（3）在“30/360”規(guī)則下，兩個日期之間的天數(shù)為：

故t

=233/360，利息金額為：24單利的缺陷：不滿足一致性

證明：含義：分兩段投資將產(chǎn)生更多利息。問題：分段越來越多，產(chǎn)生的利息是否會趨于無窮大？練習(xí)單利的年利率為i，當前的1元到年末的累積值為1+i如果把1年劃分為n個等間隔的時間段按單利進行投資，年末的累積值是多少？當n趨于無窮大時會怎樣？25261.4復(fù)利(compoundinterest)單利：本金保持不變。復(fù)利：前期的利息收入計入下一期的本金，即“利滾利”。例：假設(shè)年初投資1000元，年利率為5％，則年末可獲利50元，因此在年末有1050元可以用來投資。第二年按照1050元來計算，將在年末獲得52.5元利息。問題：在利率相等的情況下，復(fù)利的累積值總是大于單利嗎？27復(fù)利的積累函數(shù)28實際利率=復(fù)利利率復(fù)利的實際利率29單利與復(fù)利的比較（假設(shè)年利率相等）單利的實際利率逐期遞減，復(fù)利的實際利率為常數(shù)。當0<t<1時，單利比復(fù)利產(chǎn)生更大的積累值。當t>1時，復(fù)利比單利產(chǎn)生更大的積累值。當t=0或1時，單利和復(fù)利產(chǎn)生相同的累積值。復(fù)利單利3031ExerciseItisknownthat1000investedfor4yearswillearn250ininterest,i.e.,thatthevalueofthefundafter4yearswillbe1250.Determinetheaccumulatedvalueof4500investedatthesamerateofcompoundinterestfor10years.32Solution:331.5貼現(xiàn)（discount）累積：在時間零點投資1元，在時間

t的累積值是多少？貼現(xiàn)：在時間零點投資多少，才能在時間

t累積到1元?時間t的1元在時間零點的價值稱為貼現(xiàn)函數(shù)，記為a-1(t)。0t1a(t)a-1(t)134貼現(xiàn)函數(shù)(discountfunction)單利的貼現(xiàn)函數(shù)復(fù)利的貼現(xiàn)函數(shù)注：除非特別申明，今后一概使用復(fù)利。35(1+i)累積因子：accumulationfactor

t年累積因子：t-yearaccumulationfactor貼現(xiàn)因子：discountfactorvt

t年貼現(xiàn)因子：t-yeardiscountfactor幾個術(shù)語：36

實際貼現(xiàn)率：d

(effectiverateofdiscountwithcompoundinterest)實際貼現(xiàn)率等于一個時期的利息收入與期末累積值之比：期初本金期末累積值利息=期末累積值-期初本金（期初比期末少百分之幾？）（期末比期出多百分之幾？）例年實際貼現(xiàn)率為d，請計算年末的1元相當于年初的多少？解：令其等于X，則由貼現(xiàn)率的定義，有371-d10138實際利率i與實際貼現(xiàn)率d的關(guān)系（1）11+i01當期利息：i根據(jù)貼現(xiàn)率的定義：39實際利率i與實際貼現(xiàn)率d的關(guān)系（2）1

-d101當年利息：d年末的1元在年初的現(xiàn)值為：1-d根據(jù)利率的定義：40證明：注：把年末支付的利息i

貼現(xiàn)到年初，等于在年初支付的d。換言之，年末的i相當于年初的d。實際利率i與實際貼現(xiàn)率d的關(guān)系（3）41v=1–d解釋：年末的1在年初的現(xiàn)值可以表示為v，或1–d。貼現(xiàn)函數(shù)可表示為a–1(t)=

累積函數(shù)可表示為a(t)=

011v（1－d）實際利率i與實際貼現(xiàn)率d的關(guān)系（4）證明：42i–d=id解釋：1元本金在年末有i元利息，(1–d)元本金在年末有d元利息。產(chǎn)生(i–d)元利息差額。原因：本金有d元差額，導(dǎo)致的利息差額是id。本金（Principal）利息（interest）累積值（Accumulatedvalue）1i1+i1-dd1

本金之差:d→

利息之差

di

利息之差:i–d實際利率i與實際貼現(xiàn)率d的關(guān)系（5）證明：43

例:

i=5%=1/20,

d=1/21證明：實際利率i與實際貼現(xiàn)率d的關(guān)系（6）問題：已知年實際利率為5%。回答下述問題：（1）100萬元貸款在年末的利息是多少？（2）如果在貸款起始日收取利息，應(yīng)該收取多少利息？（3）年實際貼現(xiàn)率是多少？（4）寫出累積函數(shù)和貼現(xiàn)函數(shù)。（5）分別用實際利率和實際貼現(xiàn)率計算，5年末到期的100萬元在時間零點的價值是多少？44問題：

（1）貼現(xiàn)率隨著利率變化的規(guī)律？（2）利率隨著貼現(xiàn)率變化的規(guī)律？4546利率貼現(xiàn)率利率i和貼現(xiàn)率d的關(guān)系問題：如果利率趨于無窮？47貼現(xiàn)率利率貼現(xiàn)率d和利率i的關(guān)系問題：如果貼現(xiàn)率趨于1？48例面值為100元的一年期零息債券的價格為95元。一年期定期儲蓄存款的利率為5.25％。投資者應(yīng)該存款還是購買零息債券？49解：比較貼現(xiàn)率：零息債券的貼現(xiàn)率d＝5%儲蓄的貼現(xiàn)率d＝i/(1+i)=4.988％比較利率：零息債券的利率儲蓄的利率為5.25％50計算累積值和現(xiàn)值，既可以用利率，也可以用貼現(xiàn)率。用利率計算：累積函數(shù)：a(t)=(1+i)t

貼現(xiàn)函數(shù)：a–1(t)=(1+i)–t用貼現(xiàn)率計算：累積函數(shù)：a(t)=(1－d)-t貼現(xiàn)函數(shù)：a–1(t)=(1－d)t小結(jié)：51一些重要的等價關(guān)系式：i=d/(1-d)d=i/(1+i)d=iv

v=1-d

i-d=id

0111+i1-d1v152ExerciseAninvestordeposits20,000inabank.Duringthefirst4yearsthebankcreditsanannualeffectiverateofinterestofi.Duringthenext4yearsthebankcreditsanannualeffectiverateofinterestofi-0.02.Attheendof8yearsthebalanceintheaccountis22081.10.Whatwouldtheaccountbalancehavebeenattheendof10yearsiftheannualeffectiverateofinterestwerei+0.01foreachofthe10years?020,0004810ii-0.0222081.10?i+0.0153Theequationofvalueistheaccountbalanceafter10yearswouldbeSolution:54ExerciseItisknownthattheaccumulationfunctiona(t)isoftheformb(1.1)t

+ct2,wherebandcareconstantstobedetermined.(a)If$100investedattimet=0accumulatesto$170attimet=3,findtheaccumulatedvalueattimet=12of$100investedattimet=1.(b)Determineageneralformulaforin,andshowthat55Solution:(a)Anaccumulationfunctionmusthavethepropertythat

a(0)=1;thisimpliesthat1=b+0,sob=1.thenc=0.041henceThegivendataimplythata(t)=b(1.1)t

+ct256hence(b)57ExerciseItisknownthataninvestmentof750willincreaseto2097.75attheendof25years.Findthesumofthepresentvaluesofpaymentsof5000eachwhichwilloccurattheendsof10,15,and25years.7502097.755010152025500050005000？58Solution:Theknownfact:Thepresentvalueofthreepaymentsof5000after10,15,and25yearswillbe第二講59本章主要內(nèi)容累積函數(shù)，實際利率貼現(xiàn)函數(shù)，實際貼現(xiàn)率名義利率名義貼現(xiàn)率利息力（連續(xù)復(fù)利）6061回顧62實際利率：一年復(fù)利一次。名義利率：一年復(fù)利多次，或多年復(fù)利一次。例：3個月期的存款年利率為1.8%例：3年期的存款年利率為4%名義利率？63考慮下述兩筆貸款：貸款100萬，年利率為12％，年末支付利息12萬。貸款100萬，年利率為12％，每月末支付一次利息，每次支付1萬。第一個12％是年實際利率，第二個是年名義利率。64名義利率的各種表述季度的實際利率為3%：年利率為12%，每年結(jié)轉(zhuǎn)4次利息；年利率為12%，每年復(fù)利4次；年利率為12%，每季度結(jié)轉(zhuǎn)一次利息；年利率為12%，每季度復(fù)利一次。相關(guān)術(shù)語利息結(jié)轉(zhuǎn)期：interestconversionperiod；每月結(jié)轉(zhuǎn)一次：convertiblemonthly；每月支付一次：payablemonthly；每月復(fù)利一次：compoundmonthly；65年名義利率

i(m)

表示每年復(fù)利m次，即每1/m年支付一次利息，每1/m年的實際利率為i(m)/m。例：i(4)=8%

表示每季度復(fù)利1次，每季度的實際利率為2%。例：i(12)=6%

表示每月復(fù)利1次，每月的實際利率為0.5%。例：i(1/5)=10%

表示每5年復(fù)利1次，5年期的實際利率為50%。例：i(1/2)=9%

表示每2年復(fù)利1次，2年期的實際利率為18%。名義利率的定義66問題：三個月定期存款的年利率為1.8％

，存1000元滿3個月可得多少利息？答案：i(4)＝1.8%，三個月的實際利率為1.8%÷4，存1000元滿3個月可得利息1000×1.8%/4=4.5

元。問題：5年期定期存款的年利率為6％

，存1000元滿5年可得多少利息？答案：i(1/5)＝6%，5年期的實際利率為6%×5，存1000元滿5年可得利息1000×6%×5=300元。67名義利率與實際利率的關(guān)系：

對名義利率的一種解釋：

名義利率是在1/m時期內(nèi)與實際利率（復(fù)利利率）i

等價的單利利率。例：時間零點投資100萬元，年利率為12%，請在下述各種條件下計算1個月末和1年末的累積值：（1）上述利率是單利利率（2）上述利率是實際利率（復(fù)利利率）（3）上述利率是名義利率，每年復(fù)利12次解：6869Example：Whichrateismorefavorabletoaninvestor:5%compoundsemi-annually4.95%compounddaily(note:ayearis365days)70

年利率一定的條件下，每年的復(fù)利次數(shù)越多，年實際利率越高。年名義利率為10%時，年實際利率隨復(fù)利次數(shù)的變化情況年復(fù)利次數(shù)年實際利率110.000%210.25%410.38%1210.47%52（每周）10.51%365(每天)10.52%71問題：年利率i(m)一定的情況下，如果復(fù)利次數(shù)m為無窮大，年實際利率會是多少？年復(fù)利次數(shù)年實際利率110.00%365(每天)10.52%∞10.52%72ExampleAnominalannualrateof6%iscompoundedevery8months,whatistheaccumulationfunction?Solution:Therearem=12/8=1.5compoundingperiodsperyear,so73課后練習(xí)：銀行儲蓄業(yè)務(wù)的年利率如下，請計算它們等價的年實際利率。存款年利率（％）活期定

期3個月6個月1年2年3年5年0.721.802.252.523.063.694.1474存款利率：等價的名義利率和實際利率的比較定

期3個月6個月1年2年3年5年年名義利率1.802.252.523.063.694.14等價的年實際利率1.8122.2632.523.0153.5623.834小于1年時，實際利率大于名義利率；

超過1年時，實際利率小于名義利率。75Exercise：EricdepositsXintoasavingsaccountattime0,whichpaysinterestatanominalrateofi,compoundedsemiannually.Mikedeposits2Xintoadifferentsavingsaccountattime0,whichpayssimpleinterestatanannualrateofi.EricandMikeearnthesameamountofinterestduringthelast6monthsofthe8thyear.Calculatei.7677名義貼現(xiàn)率(nominalannualrateofdiscount)

定義：d

(m)

是指每1/m時期的實際貼現(xiàn)率為d

(m)

/m。對名義貼現(xiàn)率的一種解釋：

名義貼現(xiàn)率是在1/m時期內(nèi)

與實際貼現(xiàn)率d等價的單貼現(xiàn)率。78Example：Findthepresentvalueof$1000tobepaidattheendofsixyearat6%perannumpayableinadvanceandconvertiblesemiannually.（名義貼現(xiàn)率為6％，半年復(fù)利1次，第6年末的值為$1000，求現(xiàn)值）解：79名義利率與名義貼現(xiàn)率的關(guān)系把

i

(m)/m

和d

(m)/m

看作1/m

年內(nèi)的實際利率和實際貼現(xiàn)率，則80例：確定每季度復(fù)利一次的利率，使它等價于每月復(fù)利一次的6％的貼現(xiàn)率。解：81nominalannualrateofdiscountis10%CompoundingtimesperyearEffectiveannualrateofdiscount1(每年)10.00%2(每半年)9.75%4(每季)9.63%12(每月)9.55%52(每周)9.53%365(每天)9.52%∞9.52%82小結(jié)：各種等價度量工具之間的數(shù)值大小關(guān)系？m=1:12i=0.05d=i/(1+i)im=((1+i)^(1/m)-1)*mdm=(1-(1-d)^(1/m))*mmatplot(m,cbind(im,dm),type='l',lwd=3,ylab='',main='隨著復(fù)利次數(shù)m的增加，名義利率和名義貼現(xiàn)率的變化過程 （假設(shè)實際利率為5%）')legend(4,0.05,c('名義利率','名義貼現(xiàn)率'),lty=1:2,col=1:2,lwd=2,box.col='white')abline(h=i,lty=2,col=4)abline(h=i/(1+i),lty=2,col=4)abline(h=log(1+i),lty=2,col=4)83Example:Jeffdeposits10intoafundtodayand20fifteenyearslater.Interestiscreditedatanominaldiscountrateofdcompoundedquarterlyforthefirst10years,andatanominalinterestrateof6%compoundedsemiannuallythereafter.Theaccumulatedbalanceinthefundattheendof30yearsis100.Calculated.$10$20015years30years$10010years84Solution：$10$20015years30years$10010years85回顧：年實際利率可以度量資金在一年內(nèi)的增長強度（年平均）。名義利率可以度量資金在一個小區(qū)間（如一個月）的增長強度（月平均）。問題：如何度量資金在每一個時點上的增長強度？在名義利率中，如果時間區(qū)間無窮小，名義利率就度量了資金在一個時點上的增長強度。稱作利息力。1.8利息力(forceofinterest)86定義：利息力度量資金在每一時點上（無窮小的時間區(qū)間）增長的強度。在時間區(qū)間[t,t+h]的實際利率為對應(yīng)的年名義利率為（1年包含1/h個小區(qū)間）87

為時刻t的利息增長強度（即利息力）。定義：設(shè)積累函數(shù)連續(xù)可導(dǎo)，則時刻t的利息力為問題：為什么不用a

(t)直接度量利息的增長強度？88單利在t時刻的利息力單利的累積函數(shù)

t時

的利息力為單利的利息力是時間的遞減函數(shù)（參見下圖）。8990復(fù)利在時刻t的利息力因為所以時刻t的利息力為復(fù)利的利息力是常數(shù)！與時間無關(guān)。稱為復(fù)利的利息力。故累積函數(shù)可以表示為91用利息力表示的累積函數(shù)和貼現(xiàn)函數(shù)：

兩邊從0到t積分，得故有

92對利息力的另一個解釋：在復(fù)利條件下，當m趨于無窮時的名義利率就是利息力：93問題：當m趨于無窮時的名義貼現(xiàn)率d(m)與利息力有何關(guān)系？利息力的相關(guān)概念：連續(xù)收益率？連續(xù)復(fù)利？對數(shù)收益率？股票的日收益率？例：股價：100,101,102對數(shù)收益率：ln(101/100),ln(102/101)94951.9貼現(xiàn)力(forceofdiscount)用貼現(xiàn)函數(shù)a-1(t)代替累積函數(shù)，在t時刻的貼現(xiàn)力為

增加一個負號使得貼現(xiàn)力為正。利息力=貼現(xiàn)力：961.10利率概念辨析實際利率和名義利率：在經(jīng)濟學(xué)中，實際利率是扣除了通脹率以后的利率；名義利率是包含通脹率的利率。用i表示名義利率，r表示實際利率，

表示通脹率，則有

(1+i)=(1+r)(1+

)i=r+

+r

可近似表示為

i

r+

或r

i－

即實際利率近似等于名義利率減去通脹率。例：當前存入100元，1年后獲得110元。如果通脹率為10%，則實際利率為0。97利率和貼現(xiàn)率：在需要計算現(xiàn)值的場合，利率有時被誤稱為貼現(xiàn)率。計算現(xiàn)值可以用利率、貼現(xiàn)率、利息力：98小結(jié)99Acustomerisofferedaninvestmentwhereinterestiscalculatedaccordingtothefollowingforceofinterest:Thecustomerinvests1000attimet=0.Whatnominalrateofinterest,compoundedquarterly,isearnedoverthefirstfour–yearperiod?Exercise100Solution:101Exercise：Brucedeposits100intoabankaccount.Hisaccountiscreditedinterestatanominalrateofinteresticonvertiblesemiannually.Atthesametime,Peterdeposits100intoaseparateaccount.Peter’saccountiscreditedinterestataforceofinterestofd.After7years,thevalueofeachaccountis200.Calculate(i-d).102103Attime0,KisdepositedintoFundX,whichaccumulatesataforceofinterestdt=0.006t2.Attimem,2KisdepositedintoFundY,whichaccumulatesatanannualeffectiveinterestrateof10%.Attimen,wheren>m,theaccumulatedvalueofeachfundis4K.Determinem.Exercise104Solution:ForthefundX,So,n=8.85.ForthefundY,

m=8.85－7.27=1.58105Tawnymakesadepositintoabankaccountwhichcreditsinterestatanominalinterestrateof10%perannum,convertiblesemiannually.Atthesametime,Fabiodeposits1000intoadifferentbankaccount,whichiscreditedwithsimpleinterest.Attheendof5years,theforcesofinterestonthetwoaccountsareequal,andFabio’saccounthasaccumulatedtoZ.DetermineZ.Exercise106Solution：ForTawny’sbankaccount,andtheforceofinterestisForFabio’saccount,a(t)=1+itanddt=i/(1+it).Attimet=5,2ln(1.05)=i/(1+i5).So,107BrianandJennifereachtakeoutaloanofX.Jenniferwillrepayherloanbymakingonepaymentof800attheendofyear10.Brianwillrepayhisloanbymakingonepaymentof1120attheendofyear10.Thenominalsemi-annualratebeingchargedtoJenniferisexactlyone–halfthenominalsemi–annualratebeingchargedtoBrian.CalculateX.(X=568.14)Exercise108解：109x(1+i)20=800x(1+2i)20=1120i=0.017259

x=568.14110例：基金A以利息力函數(shù)累積；

基金B(yǎng)以利息力函數(shù)累積。

分別用和表示它們的累積函數(shù)。

令，計算使達到最大的時刻T。

111解：h(t)=t–2t2，h’(t)=1–4t，因此當t＝1/4時，h(t)達到最大。等額年金

（LevelAnnuity）孟生旺中國人民大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院/mengshw112引言利息度量：累積函數(shù)：實際利率、名義利率、利息力貼現(xiàn)函數(shù)：實際貼現(xiàn)率、名義貼現(xiàn)率、利息力年金（現(xiàn)金流）的價值？等額年金變額年金113114本章主要內(nèi)容：計算等額年金的價值年金的含義和類型期末付年金（Annuity-immediate）

期初付年金（Annuity-due）

期初付與期末付年金的關(guān)系延期年金（deferredannuity）永續(xù)年金（Perpetuity）每年支付m次的年金（mthlypayableannuity）連續(xù)年金（continuouspayableannuity）115年金（annuity）含義：一系列的付款（或收款），付款時間和付款金額具有一定規(guī)律性。116年金的類型支付時間和支付金額是否確定？確定年金(annuity-certain)風險年金(contingentannuity)。支付期限？定期年金（period-certainannuity)永續(xù)年金（perpetuity）。支付時點？期初付年金（annuity-due）期末付年金（annuity-immediate）

開始支付的時間？即期年金，簡稱年金延期年金（deferredannuity）

每次付款的金額是否相等？等額年金(levelannuity)變額年金(varyingannuity)1171181、期末付年金（Annuity-immediate）含義：每個時期末付款1元。年金時間119

：a-angle-n期末付年金的現(xiàn)值因子

（annuity-immediatepresentvaluefactor）120 ：s-angle-n期末付年金的累積值（終值）因子

annuity-immediateaccumulatedvaluefactor121等價關(guān)系式（1）：

含義：初始投資1，在每期末產(chǎn)生利息i，這些利息的現(xiàn)值為。在第n個時期末收回本金1，其現(xiàn)值為。1iii……10122證明（可略）：(下圖解釋）等價關(guān)系式（2）：1230n1……iiiii+11124例：銀行貸出100萬元的貸款，期限10年，年實際利率為6％，請計算在下面三種還款方式下，銀行在第10年末的累積值是多少（假設(shè)：銀行收到的款項仍然按6%的利率進行投資）。本金和利息在第10年末一次還清；每年的利息在當年末支付，本金在第10年末歸還。在10年期內(nèi)，每年末償還相等的金額。125解：（1）10年末的累積值為（2）（3）設(shè)每年末的償還額為R，則

1262、期初付年金（annuity-due）

含義：在n個時期，每個時期初付款1元。

1111……1

0123……n-1n

127——期初付年金的現(xiàn)值因子——期初付年金的積累值因子128和的關(guān)系證明（可略）：1290n1……ddd1diiii+11303、期初付年金和期末付年金的關(guān)系說明:的n次付款分解為第1次付款與后面的(n–1)次付款。11……11n次111……11131ExampleCharleshasinheritedanannuity-dueonwhichthereremain12paymentsof10,000peryearataneffectivediscountrateof5%;thefirstpaymentisdueimmediately.Hewishestoconvertthistoa25-yearannuity-immediateatthesameeffectiveratesofdiscount,withfirstpaymentdueoneyearfromnow.Whatwillbethesizeofthepaymentsunderthenewannuity?10000……10000X……X（12payments,d=5%)(25payments,d=5%)132令X是新年金在每年末的支付額，則Solution:d=5%133ExerciseKathryndeposits100intoanaccountatthebeginningofeach4-yearperiodfor40years.Theaccountcreditsinterestatanannualeffectiveinterestrateofi.Theaccumulatedamountintheaccountattheendof40yearsisX,whichis5timestheaccumulatedamountintheaccountattheendof20years.CalculateX.134SolutionTheeffectiveinterestrateoverafour-yearperiodis:1354、延期年金（deferredannuity）含義：推遲m個時期后才開始付款的年金。延期年金現(xiàn)值為136例：年金共有7次付款，每次支付1元，分別在第3年末到第9年末。求此年金的現(xiàn)值和在第12年末的積累值。1375、永續(xù)年金（Perpetuity）永續(xù)年金：無限期支付下去的年金。

為期末付永續(xù)年金（perpetuity-immediate）的現(xiàn)值。永續(xù)年金：將本金按利率i無限期投資，每期支付利息。138

表示期初付的永續(xù)年金（perpetuity-due）的現(xiàn)值。139期末付年金與永續(xù)年金的關(guān)系：n年的期末付年金可看作下述兩個永續(xù)年金之差：第一個每年末付款1，現(xiàn)值為；第二個延遲n年，從n+1年開始每年支付1，現(xiàn)值為

因此n年的期末付年金的現(xiàn)值等于140ExampleAperpetuitypaying1atthebeginningofeachyearhasapresentvalueof20.IfthisperpetuityisexchangedforanotherperpetuitypayingRatthebeginningofevery2years,findRsothatthevaluesofthetwoperpetuitiesareequal.1111……RR……141兩年期的實際貼現(xiàn)率D為：故新的永續(xù)年金的現(xiàn)值為142練習(xí)：

一筆10萬元的遺產(chǎn)：第一個10年將每年的利息付給受益人A，第二個10年將每年的利息付給受益人B，二十年后將每年的利息付給受益人C。遺產(chǎn)的年收益率為7％，請確定三個受益者的相對受益比例。143解：10萬元每年產(chǎn)生的利息是7000元。A所占的份額是B所占的份額是C所占的份額是A、B、C受益比例近似為49％，25％和26％。144ExampleGiveanalgebraicproofandaverbalexplanationfortheformula。145Solution（課后閱讀）

1460mm+n解釋：一個永續(xù)年金可以分解為三個年金之和：1476、可變利率年金Example：Findtheaccumulatedvalueofa10-yearannuity-immediateof$100peryeariftheeffectiverateofinterestis5%forthefirst6yearsand4%forthelast4years.06101001005%4%100accumulatedvalue148解：前六年的投資在第6年末的價值為再按4％的利率積累到第10年末的價值為后四年的投資在第10年末的累積值為在第10年末的價值為06101001005%4%100149Exercise:Afundof2500istobeaccumulatedbynannualpaymentsof50,followedbyn+1annualpaymentsof75,plusasmallerfinalpaymentXofnotmorethan75made1yearafterthelastregularpayment.Iftheeffectiveannualrateofinterestis5%,findnandtheamountofthefinalirregularpayment.

nn+1X每次50每次75Accumulatedvalue：2500150Solution：nn+1X每次50每次75（看作期末付款）（負值的含義？）累積：2500151Exercise:Alevelperpetuity-immediateistobesharedbyA,B,C,andD.Areceivesthefirstnpayments,Bthenext2npayments,Cpayments#3n+1,…,5n,andDthepaymentsthereafter.ItisknownthatthepresentvaluesofB'sandD'ssharesareequal.FindtheratioofthepresentvalueofthesharesofA,B,C,D.

152Solution：153B=DA:B:C:D=(1–vn)

:(vn–v3n):(v3n–v5n):(v5n)

=0.2138:0.3003:0.1856:0.3003154Excel應(yīng)用（說明見下頁）155PV(rate,nper,pmt,[fv],[type])rate

必需。各期利率。

nper

必需。年金的付款總期數(shù)。

pmt

必需。各期所應(yīng)支付的金額，其數(shù)值在整個年金期間保持不變。如果省略pmt，則必須包括fv參數(shù)。

fv

可選。終值。缺省值為0。

type

可選。0表示期末，1表示期初。缺省值為0。156FV(rate,nper,pmt,[pv],[type])rate

必需。各期利率。

nper

必需。年金的付款總期數(shù)。

pmt

必需。各期支付的金額。如果省略pmt，則必須包括pv參數(shù)。

pv

可選。現(xiàn)值。缺省值為0。

type

可選。0表示期末，1表示期初。缺省值為0。157前述年金的特點每年復(fù)利1次（給出年實際利率），每年支付1次問題：如何計算下述年金？每年復(fù)利1次，每年支付m次（常見）方法１：計算每次付款對應(yīng)的實際利率，再應(yīng)用基本公式。方法２：建立新公式回顧158例：一筆50000元的貸款，計劃在今后的5年內(nèi)按月償還，如果年實際利率為6%，請計算每月末的付款金額。（應(yīng)用基本公式）159解：年實際利率為6%，所以月實際利率j為

假設(shè)每月償還金額為X，則1607、每年支付m次的年金：建立新公式n表示年數(shù)。m表示每年的付款次數(shù)。i

表示年實際利率。161

期末付年金（annuity-immediatepayablemthly）：每年支付m次,每次的付款為1/m元，每年的付款是1元。162證明：（級數(shù)求和）（分子分母同乘(1+i)1/m)（a-upper-m-angle-n）163是以每年的付款等于1計算的。需要已知年實際利率和名義利率。應(yīng)用上述現(xiàn)值公式的注意事項：例：10年內(nèi)每月末支付400的現(xiàn)值？例：5年內(nèi)每季度末支付200的現(xiàn)值？164

的關(guān)系（哪個較大？）：證明：165上述年金的累積值：

的關(guān)系（哪個較大？）：

例：10年內(nèi)每季度末支付400的累積值？例：5年內(nèi)每月末支付200的累積值？166例：投資者向一基金存入10000元，基金的年實際利率為5%。如果投資者在今后的5年內(nèi)每個季度末從基金領(lǐng)取一筆等額收入，則投資者第5年末在基金的價值為零。請計算該投資者每次可以領(lǐng)取多少。167解：假設(shè)在每個季度末可以領(lǐng)取x元，則每年的領(lǐng)取額是4x元，因此所有領(lǐng)取額的現(xiàn)值為，故：Excel應(yīng)用？ABC1實際利率i5%5%2名義利率i(m)=NOMINAL(C1,4)4.91%3現(xiàn)值因子an=PV(C1,5,-1,0,0)￥4.334領(lǐng)取額=2500/(C1/C2*C3)￥566.92168練習(xí)：投資者在每月末向一基金存入1000元，如果基金的年實際利率為5%，請計算該投資者在第5年末的積累值。解：每年的存入額為12000元，因此有

Excel應(yīng)用？ABＣ1實際利率i5%5%2名義利率i(m)=NOMINAL(C1,12)4.889%3終值因子sn=FV(C1,5,-1,0,0)￥5.534第5年末的價值=12000*C1/C2*C3￥67,813.74169期初付年金（annuity-duepayablemthly）170每年支付m次的期初付年金的現(xiàn)值：哪個大？171ExampleFindthepresentvalueofanannuityonwhichpaymentsare100perquarterfor5years,justbeforethefirstpaymentismade,ifinterestforceisd

.100100100100100……5years，20payments100Presentvalue？172173每年支付m次的期初付年金的累積值：哪個大？174Example：paymentof$400permontharemadeoveraten-yearperiod.Findexpressionfor(1)thepresentvalueofthesepaymentstwoyearspriortothefirstpayment.(2)theaccumulatedvaluethreeyearsafterthefinalpayment.Usesymbolsbasedonaneffectiverateofinterest.175解：年付款為400×12＝4800。（1）（2）40040010年，每月付款1次，每次400元，共120次付款……問題：如果看做期末付年金計算？176永續(xù)年金：每年支付m次的永續(xù)年金的現(xiàn)值如下（兩個年金相差1/m個時期）177例：投資者現(xiàn)在存入基金24000元，希望在今后的每月末領(lǐng)取100元，并無限期地領(lǐng)下去，年實際利率應(yīng)該為多少？解：m=12，每年領(lǐng)取的金額為1200元。假設(shè)年實際利率為i，則：

178ExerciseAtanannualeffectiveinterestrateofi,i>0,thepresentvalueofaperpetuitypaying10attheendofeach3–yearperiod,withthefirstpaymentattheendofyear6,is32.Atthesameannualeffectiverateofi,thepresentvalueofaperpetuity–immediatepaying1attheendofeach4-monthperiodisX.CalculateX.179Solution:

令j為

3年期的實際利率，則

1+j=(1+i)3.永續(xù)年金在第3年末的價值為10/j永續(xù)年金在時間0點的價值為令其等于32，即得年實際利率：j=0.25180每4個月末支付1元（每年支付3元）的永續(xù)年金的現(xiàn)值為每4個月復(fù)利一次的年名義利率i

(3)為181問題：隨著m的增大，每年支付m次的年金的價值如何變化？m趨于無窮呢？182n=10i=0.1d=i/(1+i)m=1:12im=((1+i)^(1/m)-1)*mdm=(1-(1-d)^(1/m))*mam0=(i/im)*(1-(1+i)^(-n))/i#每年支付m次的期末付年金am1=am0*(1+i)^(1/m)#每年支付m次的期初付年金matplot(m,cbind(am0,am1),type='o',pch=16,lty=1:2,col=1:2,lwd=2,ylab='',main='每年支付m次的年金現(xiàn)值因子隨著m增加而變化的過程 （假設(shè)年金期限為10年，年利率為10%）')legend(4,6.7,c('每年支付m次的期末付年金現(xiàn)值因子','每年支付m次的期初付年金現(xiàn)值因子'),lty=1:2,col=1:2,box.col='white',lwd=2)1838、連續(xù)支付的年金

（continuouslypayableannuity）含義：假設(shè)連續(xù)不斷地付款，但每年的付款總量仍然為1元。記號：ContinuouslypayableannuityPVfactorContinuouslypayableannuityFVfactor111012n184連續(xù)支付年金是年支付次數(shù)m趨于無窮大時的年金，故

連續(xù)支付年金與基本年金的關(guān)系：

185Continuouslypayableperpetuity：連續(xù)支付，每年的支付總量為1，支付期限為無窮。PVfactor：186Continuouslypayableannuityaccumulatedvaluefactor：187連續(xù)支付年金的現(xiàn)值（另一種方法）：從時點t開始的小區(qū)間dt內(nèi)的付款為1dt，其現(xiàn)值為vtdt188連續(xù)支付年金的累積值（另一種方法）：189例：當利息力為多少時，解：將等式兩邊變形，可得190191重點期初付？終值？192價值方程（equationsofvalue）

Theequationofvaluethatgovernscashflowsis:

PVofinflows=PVofoutflowsWemaysolveanequationofvaluetofind:AnunknownamountofmoneyAnumberofyearsAninterestrate193練習(xí)：如果現(xiàn)在投資10萬元，3年后投資20萬元，在10年末的累積值為50萬元，請計算半年復(fù)利一次的年名義利率。解：令，價值方程為用excel求解此方程得（請練習(xí)）194練習(xí)：投資者在每季初向基金存入1萬元，當每年復(fù)利4次的年名義利率為多少時，在第5年末可以累積到30萬元？解：假設(shè)每個季度的實際利率為j，則應(yīng)用Excel求解即得j=0.037189i(4)=4j=0.1488195Exercise1：196Solution1：197Ataneffectiveannualinterestrateofi（i>0),itisknownthat(a)Thepresentvalueof5attheendofeachyearfor2nyears,plusanadditional3attheendofeachofthefirstnyears,is64.6720.(b)Thepresentvalueofann-yeardeferredannuity-immediatepaying10peryearfornyearsis34.2642.CalculatenExercise2：198Solution2:From(a)wehaveanequationofvalueFrom(b)wehavetheequationofvalueSolvingtheseequations,weobtain(1)(2)199asasn=8200Asumof10,000isusedtobuyadeferredperpetuity-duepaying500every6monthsforever.Findanexpressionforthedeferredperiodexpressedasafunctionofd10000500500500n?6months……Exercise3：201Solution3:

延期n

年的價值方程為：每6個月的實際貼現(xiàn)率D：n202Thepresentvaluesofthefollowingthreeannuitiesareequal:(i)perpetuity-immediatepaying1eachyear,calculatedatanannualeffectiveinterestrateof7.25%(ii)50-yearannuity-immediatepaying1eachyear,calculatedatanannualeffectiveinterestrateofj%(iii)n-yearannuity-immediatepaying1eachyear,calculatedatanannualeffectiveinterestrateof(j?1)%Calculaten.Exercise4：203Solution4:ThevalueofthefirstperpetuityisThevalueofthesecondannuityisFromtheequation,204Exercise5:Theaccumulatedvaluejustafterthelastpaymentundera12-yearannuityof1000peryear,payinginterestattherateof5%perannumeffective,istobeusedtopurchaseaperpetuityataninterestrateof6%,firstpaymentto