2022-2023學年北京市海淀外國語實驗學校八年級（下）期中數學試卷

第1頁（共1頁）2022-2023學年北京市海淀外國語實驗學校八年級（下）期中數學試卷一、單選題（每題3分，共24分）1．（3分）下列根式是最簡二次根式的（）A． B． C． D．2．（3分）若△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，下列不能判定△ABC為直角三角形的是（）A．a＝32，b＝42，c＝52 B．a：b：c＝5：12：13 C．（c+b）（c﹣b）＝a2 D．∠A+∠B＝∠C3．（3分）下列計算正確的是（）A． B． C． D．4．（3分）如圖，直角三角形的三邊上分別有一個正方形，其中兩個正方形的面積分別是25和169，則字母B所代表的正方形的面積是（）A．144 B．194 C．12 D．135．（3分）如圖，已知四邊形ABCD，對角線AC和BD相交于O，下面選項不能得出四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AB∥CD，且AB＝CD B．AB＝CD，AD＝BC C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥CD，且AD＝BC6．（3分）如圖，數軸上點A表示的實數是（）A．﹣1 B． C．+1 D．﹣17．（3分）如圖所示的圓柱形杯子的內直徑為6cm，內部高度為9cm，小穎把一根直吸管放入杯中，要使吸管不斜滑到杯里，則吸管的長度（整厘米數）最短是（）A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm8．（3分）如圖，△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，點E是BC的中點，若AD平分∠BAC，CD⊥AD，線段DE的長為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm二、填空題（每題3分，共24分）9．（3分）若式子在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是．10．（3分）已知點P的坐標是（﹣3，4），則點P到原點O的距離是．11．（3分）在平行四邊形中，若一個角為其鄰角的2倍，則這個平行四邊形中兩鄰角的度數分別是．12．（3分）如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點O的直線分別交AD、BC于點E、F，若平行四邊形ABCD的面積為6，則圖中陰影部分的面積是．13．（3分）最簡二次根式與是同類二次根式，則a的值是．14．（3分）在平面直角坐標系中，已知點A（4，0），B（0，0），C（1，2），則以A，B，C為頂點的平行四邊形ABCD的第四個頂點D的坐標為．15．（3分）如圖，在?ABCD中，AB＝5，AD＝7，AE、DF分別平分∠BAD、∠ADC，則EF長為．16．（3分）如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm、BC＝8cm，現將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則CD的長為．三、解答題（共52分）17．（8分）計算：（1）；（2）．18．（6分）已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b．（1）如果a＝7，b＝24，求c；（2）如果a＝12，c＝13，求b．19．（4分）圖①、圖②均是4×4的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，小正方形的邊長為1，點A，點B均在格點上，在給定的網格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上．（1）在圖①中，以點A，B，C為頂點畫一個等腰三角形．（2）在圖②中，以點A，B，D，E為頂點畫一個面積為6的平行四邊形．20．（6分）已知：△ABC．求作：直線AD，使得AD∥BC．作法：如圖．①分別以點A、點C為圓心，大于AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、點N；②作直線MN交AC于點E；③以點E為圓心，BE長為半徑畫弧，交射線BE于點D；④作直線AD．所以直線AD就是所求作的直線．（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：連接CD．∵AE＝．BE＝．∴四邊形ABCD是平行四邊形．（）（填推理的依據）．∴AD∥BC（）（填推理的依據）．21．（5分）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝，CD＝5，AD＝4，求S四邊形ABCD．22．（5分）已知，如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E，F為對角線AC上兩點，且AF＝CE，DF∥BE．求證：四邊形ABCD為平行四邊形．23．（5分）下面是證明三角形中位線定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．已知：如圖，△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點．求證：DE∥BC，且DE＝BC．方法一證明：如圖，延長DE至點F，使EF＝DE，連接CF．方法二證明：如圖，過點A作AM∥BC，過點D作直線MN∥AC交直線AM于M，交BC于N．24．（6分）在等邊△ABC中，D，E，F分別是邊AB，BC，CA上的動點，滿足DE＝EF，且∠DEF＝60°．作點E關于AC的對稱點G，連接CG，DG．（1）當點D，E，F在如圖1所示的位置時，請在圖1中補全圖形，并證明四邊形DBCG是平行四邊形；（2）當AD＜BD，AB＝DE時，求∠BDE的度數．25．（7分）閱讀材料，在平面直角坐標系中，已知x軸上兩點A（x1，0）、B（x2，0）的距離記作AB＝|x1﹣x2|，如果A（x1，y1）、B（x2，y2）是平面上任意兩點，我們可以通過構造直角三角形來求AB間的距離．如圖，過A、B分別向x軸、y軸作垂線AM1、AN1和BM2、BN2，垂足分別是M1、N1、M2、N2，直線AN1交BM2于點Q，在Rt△ABQ中，AQ＝|x1﹣x2|，BQ＝|y1﹣y2|，∴AB2＝AQ2+BQ2＝|x1﹣x2|2+|y1﹣y2|2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2．（1）由此得到平面直角坐標系內任意兩點A（x1，y1）、B（x2，y2）間的距離公式為：AB＝．（2）直接應用平面內兩點間距離公式計算點A（1，﹣2），B（﹣2，2）之間的距離為．利用上面公式解決下列問題：（3）在平面直角坐標系中的兩點A（﹣1，3），B（4，1），P為x軸上任一點，求PA+PB的最小值；（4）應用平面內兩點間的距離公式，求代數式的最小值（直接寫出答案）．四、第二部分26．（3分）我國三國時期的杰出數學家趙爽在注解《周髀算經》時，巧妙地運用弦圖證明了勾股定理．“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的大正方形．若圖中的直角三角形的兩條直角邊分別是2和4，則中間小正方形的面積占大正方形面積的．27．（3分）使用手機支付寶付款時，常常需要用到密碼．嘉淇學完二次根式后，突發(fā)奇想，決定用“二次根式法”來產生密碼．如，對于二次根式，計算結果為13，中間加一個大寫字母X，就得到一個六位密碼“169X13”．按照這種產生密碼的方法，則利用二次根式產生的六位密碼是．28．（6分）閱讀與計算：請閱讀以下材料，并完成相應的任務．斐波那契（約1170﹣1250）是意大利數學家，他研究了一列數，這列數非常奇妙，被稱為斐波那契數列（按照一定順序排列著的一列數稱為數列）．后來人們在研究它的過程中，發(fā)現了許多意想不到的結果．在實際生活中，很多花朵（如梅花、飛燕草、萬壽菊等）的瓣數恰是斐波那契數列中的數，斐波那契數列還有很多有趣的性質，在實際生活中也有廣泛的應用．斐波那契數列中的第n個數可以用[（）n﹣（）n]表示（其中，n≥1），這是用無理數表示有理數的一個范例．任務：請根據以上材料，通過計算求出斐波那契數列中的第1個數和第2個數．29．（8分）【閱讀理解】我國古人運用各種方法證明勾股定理，如圖①，用四個直角三角形拼成正方形，通過證明可得中間也是一個正方形．其中四個直角三角形直角邊長分別為a、b，斜邊長為c．圖中大正方形的面積可表示為（a+b）2，也可表示為c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．【嘗試探究】美國第二十任總統伽菲爾德的“總統證法”如圖②所示，用兩個全等的直角三角形拼成一個直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根據拼圖證明勾股定理．【定理應用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所對的邊長分別為a、b、c．求證：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．

2022-2023學年北京市海淀外國語實驗學校八年級（下）期中數學試卷參考答案與試題解析一、單選題（每題3分，共24分）1．（3分）下列根式是最簡二次根式的（）A． B． C． D．【分析】當二次根式滿足：①被開方數不含開的盡方的數或式；②根號內面沒有分母．即為最簡二次根式，由此即可求解．【解答】解：A選項：，是最簡二次根式，故該選項符合題意；B選項：，不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；C選項：＝＝，不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；D選項：，不是最簡二次根式，故該選項不符合題意．故選：A．【點評】本題考查了最簡二次根式，掌握最簡二次根式的定義是關鍵．2．（3分）若△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，下列不能判定△ABC為直角三角形的是（）A．a＝32，b＝42，c＝52 B．a：b：c＝5：12：13 C．（c+b）（c﹣b）＝a2 D．∠A+∠B＝∠C【分析】根據勾股定理的逆定理可以判斷選項B、C、D是否符合題意，根據三角形內角和，可以判斷選項B是否符合題意，本題得以解決．【解答】解：a＝32，b＝42，c＝52，則a2+b2≠c2，故選項A符合題意；當a：b：c＝5：12：13時，設a＝5x，b＝12x，c＝13x，則a2+b2＝（5x）2+（12x）2＝c2，故選項B不符合題意；由（c+b）（c﹣b）＝a2整理得：a2+b2＝c2，故選項C不符合題意；由∠A+∠B＝∠C，可知∠C＝90°，故選項D不符合題意；故選：A．【點評】本題考查勾股定理的逆定理，會用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀是解答本題的關鍵．3．（3分）下列計算正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據算術平方根、立方根的定義和性質以及二次根式的加減法則逐項判斷即得答案．【解答】解：，故本選項計算錯誤，不符合題意；B、，故本選項計算錯誤，不符合題意；C、，故本選項計算正確，符合題意；D、，故本選項計算錯誤，不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了算術平方根、立方根以及二次根式的加減等知識，屬于基礎題目，熟練掌握上述基本知識是解題的關鍵．4．（3分）如圖，直角三角形的三邊上分別有一個正方形，其中兩個正方形的面積分別是25和169，則字母B所代表的正方形的面積是（）A．144 B．194 C．12 D．13【分析】根據勾股定理和正方形的面積公式，得字母B所代表的正方形的面積等于其它兩個正方形的面積差．【解答】解：由勾股定理得：字母B所代表的正方形的面積＝169﹣25＝144．故選：A．【點評】本題考查了勾股定理、正方形的性質；熟記：以直角三角形的兩條直角邊為邊長的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積．5．（3分）如圖，已知四邊形ABCD，對角線AC和BD相交于O，下面選項不能得出四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AB∥CD，且AB＝CD B．AB＝CD，AD＝BC C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥CD，且AD＝BC【分析】根據平行四邊形的判定逐個進行判斷即可．【解答】解：A、能推出四邊形ABCD是平行四邊形，故本選項錯誤；B、能推出四邊形ABCD是平行四邊形，故本選項錯誤；C、能推出四邊形ABCD是平行四邊形，故本選項錯誤；D、不能推出四邊形ABCD是平行四邊形，故本選項正確；故選：D．【點評】本題考查了平行四邊形的判定的應用，能熟記平行四邊形的判定定理是解此題的關鍵，難度適中．6．（3分）如圖，數軸上點A表示的實數是（）A．﹣1 B． C．+1 D．﹣1【分析】先根據勾股定理求出斜邊，再根據向右就用加法求解．【解答】解：∵＝，所以點A表示的數為：﹣1+，故選：A．【點評】本題考查了實數與數軸，掌握勾股定理是解題的關鍵．7．（3分）如圖所示的圓柱形杯子的內直徑為6cm，內部高度為9cm，小穎把一根直吸管放入杯中，要使吸管不斜滑到杯里，則吸管的長度（整厘米數）最短是（）A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm【分析】運用勾股定理解題即可．【解答】解：吸管長度為，所以吸管的最短整數是11cm，故選：C．【點評】本題考查勾股定理，掌握勾股定理的內容是解題的關鍵．8．（3分）如圖，△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，點E是BC的中點，若AD平分∠BAC，CD⊥AD，線段DE的長為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】延長CD交AB于F，利用“角邊角”證明△ADF和△ADC全等，根據全等三角形對應邊相等可得AF＝AC，CD＝FD，再求出BF并判斷出DE是△BCF的中位線，然后根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得．【解答】解：如圖，延長CD交AB于F，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠FAD，∵CD⊥AD，∴∠ADC＝∠ADF＝90°，在△ADF和△ADC中，，∴△ADF≌△ADC（ASA），∴AF＝AC，CD＝FD，∴BF＝AB﹣AE＝8﹣6＝2cm，又∵點E為BC的中點，∴DE是△BCF的中位線，∴．故選：A．【點評】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，全等三角形的判定與性質，熟記性質并作出輔助線構造成全等三角形是解題的關鍵．二、填空題（每題3分，共24分）9．（3分）若式子在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是x≥﹣6．【分析】根據二次根式有意義的條件得到不等式，求解不等式即可．【解答】解：由式子在實數范圍內有意義可得x+6≥0，解得：x≥﹣6，故答案為：x≥﹣6．【點評】本題考查二次根式的性質，熟練掌握二次根式有意義被開方數非負是解題關鍵．10．（3分）已知點P的坐標是（﹣3，4），則點P到原點O的距離是5．【分析】直接根據勾股定理進行解答即可．【解答】解：∵點P的坐標為（﹣3，4），∴點P到原點的距離＝＝5．故答案為：5．【點評】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵．11．（3分）在平行四邊形中，若一個角為其鄰角的2倍，則這個平行四邊形中兩鄰角的度數分別是120°，60°．【分析】根據平行四邊形的性質，在平行四邊形中，若一個角為其鄰角的2倍，設一個角x，由四邊形的內角和定理得到方程2x+4x＝360°，解得x＝60°，則它的鄰角是2x＝120°【解答】解：設一個角x，則另一個角為2x．∵平行四邊形∴2（x+2x）＝360°，即x＝60°，則2x＝120°∴這個平行四邊形中兩鄰角的度數分別是120°，60°．故答案為120°，60°．【點評】本題考查平行四邊形的性質以及四邊形的內角和定理．運用平行四邊形對邊平行的性質，得到鄰角互補的結論，這是運用定義求四邊形內角度數的常用方法．12．（3分）如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點O的直線分別交AD、BC于點E、F，若平行四邊形ABCD的面積為6，則圖中陰影部分的面積是3．【分析】由平行四邊形的性質可知陰影部分面積為平行四邊形面積的一半，進而可求出結果．【解答】解：∵平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，∴S△AFO＝S△CEO，∴陰影部分面積等于△BCD的面積，即為?ABCD面積的一半，∴陰影部分面積為＝3，故答案為：3．【點評】本題考查平行四邊形的性質，熟練掌握平行四邊形對邊平行且相等的性質是解題關鍵．13．（3分）最簡二次根式與是同類二次根式，則a的值是2．【分析】根據同類二次根式的定義得出3a﹣4＝2，求出即可．【解答】解：∵最簡二次根式與是同類二次根式，∴3a﹣4＝2，解得：a＝2，故答案為：2．【點評】本題考查了同類二次根式和最簡二次根式，能根據同類二次根式的定義得出3a﹣4＝2是解此題的關鍵，注意：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數相同，那么這幾個二次根式叫同類二次根式．14．（3分）在平面直角坐標系中，已知點A（4，0），B（0，0），C（1，2），則以A，B，C為頂點的平行四邊形ABCD的第四個頂點D的坐標為（5，2）．【分析】根據題意畫出圖形，根據平行四邊形的性質將點C向右平移4個單位得到D（5，2），即可求解．【解答】解：∵點A（4，0），B（0，0），C（1，2），ABCD是平行四邊形，∴CD＝BA＝4，AB∥CD，將點C向右平移4個單位得到D（5，2），如圖所示，故答案為：（5，2）．【點評】本題考查了坐標與圖形性質、平行四邊形的性質，數形結合是解答本題的關鍵．15．（3分）如圖，在?ABCD中，AB＝5，AD＝7，AE、DF分別平分∠BAD、∠ADC，則EF長為3．【分析】由平行四邊形的性質可得AD∥BC，結合角平分線的定義可求得BE＝AB、CD＝CF，再由線段的和差可求得EF．【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BE＝BA＝5，同理CF＝CD＝5，∴EF＝BE+CF﹣BC＝5+5﹣7＝3，故答案為：3．【點評】本題主要考查平行四邊形的性質，利用條件求得AB＝BE＝CF是解題的關鍵．16．（3分）如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm、BC＝8cm，現將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則CD的長為cm．【分析】首先根據折疊的性質可得AD＝BD，設CD＝xcm，則AD＝BD＝（8﹣x）cm，根據勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：由折疊的性質得：AD＝BD，設CD＝xcm，則AD＝BD＝（8﹣x）cm，由勾股定理得：62+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝．故答案為：cm．【點評】此題主要考查了翻折變換的性質、勾股定理；熟練掌握翻折變換的性質，由勾股定理得出方程是解決問題的關鍵．三、解答題（共52分）17．（8分）計算：（1）；（2）．【分析】（1）首先根據二次根式的性質化簡，再進行加減運算，即可求解；（2）首先根據完全平方及平方差公式進行運算，再進行加減運算，即可求解．【解答】解：（1）＝＝；（2）＝＝．【點評】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握和運用各運算法則是解決本題的關鍵．18．（6分）已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b．（1）如果a＝7，b＝24，求c；（2）如果a＝12，c＝13，求b．【分析】（1）利用勾股定理計算c＝；（2）利用勾股定理計算b＝．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理得：c＝＝＝25；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：b＝＝＝5．【點評】本題考查了勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．即：如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．注意勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．19．（4分）圖①、圖②均是4×4的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，小正方形的邊長為1，點A，點B均在格點上，在給定的網格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上．（1）在圖①中，以點A，B，C為頂點畫一個等腰三角形．（2）在圖②中，以點A，B，D，E為頂點畫一個面積為6的平行四邊形．【分析】（1）根據等腰三角形的定義畫出圖形即可（答案不唯一）．（2）作底為2，高為3的平行四邊形即可．【解答】解：（1）如圖①中，△ABC即為所求（答案不唯一）．（2）如圖②中，四邊形ABDE即為所求．【點評】本題考查作圖﹣應用與設計作圖，等腰三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會利用數形結合的思想解決問題．20．（6分）已知：△ABC．求作：直線AD，使得AD∥BC．作法：如圖．①分別以點A、點C為圓心，大于AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、點N；②作直線MN交AC于點E；③以點E為圓心，BE長為半徑畫弧，交射線BE于點D；④作直線AD．所以直線AD就是所求作的直線．（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：連接CD．∵AE＝EC．BE＝ED．∴四邊形ABCD是平行四邊形．（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）（填推理的依據）．∴AD∥BC（平行四邊形的對邊平行）（填推理的依據）．【分析】（1）根據要求作出圖形即可；（2）證明四邊形ABCD是平行四邊形，可得結論．【解答】（1）解：如圖，直線AD即為所求；（2）證明：連接CD．∵AE＝EC．BE＝ED．∴四邊形ABCD是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），∴AD∥BC（平行四邊形的對邊平行），故答案為：EC，ED，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，平行四邊形的對邊平行．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，平行四邊形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題型．21．（5分）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝，CD＝5，AD＝4，求S四邊形ABCD．【分析】根據勾股定理求出AC的長，再利用勾股定理的逆定理證明△ACD是直角三角形，然后利用四邊形ABCD的面積＝△ABC的面積+△ACD的面積，進行計算即可解答．【解答】解：如圖：∵∠B＝90°，AB＝2，BC＝，∴AC＝＝＝3，∵CD＝5，AD＝4，∴AC2+AD2＝32+42＝25，CD2＝52＝25，∴AC2+AD2＝CD2，∴△CAD是直角三角形，∴∠CAD＝90°，∴四邊形ABCD的面積＝△ABC的面積+△ACD的面積＝AB?BC+AC?AD＝×2×+×3×4＝+6，∴S四邊形ABCD為+6．【點評】本題考查了勾股定理與勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵．22．（5分）已知，如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E，F為對角線AC上兩點，且AF＝CE，DF∥BE．求證：四邊形ABCD為平行四邊形．【分析】首先證明△CEB≌△AFD可得AD＝BC，再由條件AD∥BC可利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形ABCD為平行四邊形．【解答】證明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC，在△AFD和△CEB中，∴△AFD≌△CEB（ASA），∴AD＝CB，∵AD∥BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形．【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定，關鍵是掌握一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．23．（5分）下面是證明三角形中位線定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．已知：如圖，△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點．求證：DE∥BC，且DE＝BC．方法一證明：如圖，延長DE至點F，使EF＝DE，連接CF．方法二證明：如圖，過點A作AM∥BC，過點D作直線MN∥AC交直線AM于M，交BC于N．【分析】選擇方法一：根據題意，先證明△ADE≌△CFE，然后證明四邊形DBCF是平行四邊形，即可得出結論．【解答】解：選擇方法一，證明如下：根據題意，如圖：延長DE到F點，使DE＝EF，∵E是AC的中點，∴AE＝EC．在△ADE與△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS）．∴AD＝CF，∠ADE＝∠CFE．∴AB∥CF，∵D是AB的中點，∴BD＝AD，∴BD∥CF，∴四邊形DBCF是平行四邊形，∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥BC，DE＝BC．【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質，掌握以上知識是解題的關鍵．24．（6分）在等邊△ABC中，D，E，F分別是邊AB，BC，CA上的動點，滿足DE＝EF，且∠DEF＝60°．作點E關于AC的對稱點G，連接CG，DG．（1）當點D，E，F在如圖1所示的位置時，請在圖1中補全圖形，并證明四邊形DBCG是平行四邊形；（2）當AD＜BD，AB＝DE時，求∠BDE的度數．【分析】（1）根據題意即可補全圖形；然后證明△BDE≌△CEF可得CE＝BD，進而可以解決問題；（2）根據題意證明△DEF是等邊三角形，可得DE＝DF，由點E，點G關于AC對稱，可得EF＝GF，∠FEC＝∠FGC，所以DF＝GF，進而可以解決問題．【解答】解：（1）如圖1，即為補全的圖形，證明：在等邊△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵點E，點G關于AC對稱，∴∠ACG＝∠ACB＝60°，CE＝CG，∴∠A＝∠ACG，∴AB∥CG，即BD∥CG，∵∠DEF＝60°，∠BED+∠CEF+∠DEF＝180°，∴∠BED+∠CEF＝120°，在△BDE中，∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝120°，∴∠BDE＝∠CEF，在△BDE與△CEF中，，∴△BDE≌△CEF（AAS），∴CE＝BD，∴CG＝CE＝BD，∵BD∥CG，∴四邊形DBCG是平行四邊形；（2）∵四邊形DBCG是平行四邊形，∴BC＝DG，∠DGC＝∠B＝60°，∵BC＝AB，AB＝DE，∴DG＝DE，∵DE＝EF，∠DEF＝60°，∴△DEF是等邊三角形，∴DE＝DF，∵點E，點G關于AC對稱，∴EF＝GF，∠FEC＝∠FGC，∴DF＝GF，∴DG＝DF＝GF，在△DFG中，DG2＝DF2+GF2，∴∠DFG＝90°，∵DF＝GF，∴∠FDG＝∠FGD＝45°，∴∠CGF＝∠CGD﹣∠FGD＝15°，∴∠BDE＝∠CEF＝∠CGF＝15°．【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，解決本題的關鍵是得到△BDE≌△CEF．25．（7分）閱讀材料，在平面直角坐標系中，已知x軸上兩點A（x1，0）、B（x2，0）的距離記作AB＝|x1﹣x2|，如果A（x1，y1）、B（x2，y2）是平面上任意兩點，我們可以通過構造直角三角形來求AB間的距離．如圖，過A、B分別向x軸、y軸作垂線AM1、AN1和BM2、BN2，垂足分別是M1、N1、M2、N2，直線AN1交BM2于點Q，在Rt△ABQ中，AQ＝|x1﹣x2|，BQ＝|y1﹣y2|，∴AB2＝AQ2+BQ2＝|x1﹣x2|2+|y1﹣y2|2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2．（1）由此得到平面直角坐標系內任意兩點A（x1，y1）、B（x2，y2）間的距離公式為：AB＝．（2）直接應用平面內兩點間距離公式計算點A（1，﹣2），B（﹣2，2）之間的距離為5．利用上面公式解決下列問題：（3）在平面直角坐標系中的兩點A（﹣1，3），B（4，1），P為x軸上任一點，求PA+PB的最小值；（4）應用平面內兩點間的距離公式，求代數式的最小值（直接寫出答案）．【分析】（1）（2）直接利用兩點之間距離公式直接求出即可；（3）利用軸對稱求最短路線方法得出P點位置，進而求出PA+PB的最小值；（4）根據原式表示的幾何意義是點（x，y）到點（﹣2，﹣4）和（3，1）的距離之和，當點（x，y）在以（﹣2，﹣4）和（3，1）為端點的線段上時其距離之和最小，進而求出即可．【解答】解：（1）閱讀材料，AB＝．故答案為：．（2）∵平面直角坐標系內任意兩點A（x1，y1），B（x2，y2）間的距離公式為：．∴A（1，﹣2），B（﹣2，2）之間的距離為：AB＝＝5；故答案為：5；（3）作點B關于x軸對稱的點B′，連接AB′，直線AB′于x軸的交點即為所求的點P，PA+PB的最小值就是線段AB′的長度，然后根據兩點間的距離公式即可得到結論．∵B（4，1），∴B′（4，﹣1），∵A（1，3），∴PA+PB＝PA+PB′＝AB′＝＝，即為PA+PB的最小值為．（4）原式＝，故原式表示點（x，y）到（0，2）和（3，1）的距離之和．由兩點之間線段最短，點（x，y）在以（0，2）和（3，1）為端點的線段上時，原式值最?。霉剑剑剑军c評】此題主要考查了利用軸對稱求最值問題以及兩點之間距離公式，正確轉化代數式為兩點之間距離問題是解題關鍵．四、第二部分26．（3分）我國三國時期的杰出數學家趙爽在注解《周髀算經》時，巧妙地運用弦圖證明了勾股定理．“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的大正方形．若圖中的直角三角形的兩條直角邊分別是2和4，則中間小正方形的面積占大正方形面積的．【分析】首先利用勾股定理求得大正方形的面積，然后利用分割法求得中間小正方形的面積，則易得答案．【解答】解：如圖，a＝2，b＝4．由勾股定理知，c2＝a2+b2＝22+42＝20．所以大正方形的面積為20．所以中間小正方形的面積為：20﹣4×＝4．所以＝．所以中間小正方形的面積占大正方形面積的．故答案為：．【