第二十六章 二次函數(shù)（64道壓軸題專練）

第二十六章二次函數(shù)（7大題型）（64道壓軸題專練）壓軸題型一二次函數(shù)的圖象與各系數(shù)符號的關系1．（23·24上·黃石·開學考試）二次函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論：①；②；③若，則；④，其中正確的結(jié)論有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（23·24上·專題練習）拋物線（是常數(shù)且）經(jīng)過點A（3，0）．下列四個結(jié)論：①該拋物線一定經(jīng)過；②；③點，在拋物線上，且，則；④若是方程的兩個根，其中，則．其中正確的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（21·22下·株洲·二模）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點，與y軸的交點B在和之間（不包括這兩點），對稱軸為直線．下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確結(jié)論有（

）

A．①②⑤ B．①④⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤4．（21·22下·濱州·二模）如圖是拋物線的一部分，拋物線的頂點坐標是，與x軸的一個交點是，點P在拋物線上，且在直線上方，則下列結(jié)論正確的是(

)

A．B．方程有兩個不相等的實數(shù)根C．D．點P到直線的最大距離5．（22·23下·日照·期末）如圖，拋物線與軸交于點，其對稱軸為直線，結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：①；②；③，是拋物線上兩點，則；④若關于x的一元二次方程沒有實數(shù)根，則；⑤對于任意實數(shù)m，總有．其中正確的結(jié)論有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個6．（23·24上·武漢·階段練習）已知拋物線的圖象經(jīng)過，頂點是，且，下列四個結(jié)論：①；②；③的解集是或；④點，在拋物線上，當時，．其中正確的是（填寫序號）．7．（23·24上·武漢·階段練習）拋物線（a、b、c是常數(shù)，且）經(jīng)過點，其中，且對稱軸是直線，下列結(jié)論：①；②；③當t為全體實數(shù)時，總成立；④若，該拋物線上存在、兩點，滿足，則m的取值范圍是，其中正確的有．8．（22·23下·武漢·三模）二次函數(shù)(，，是常數(shù)，的自變量與函數(shù)值的部分對應值如表：…-1012…且當時，與其對應的函數(shù)值，有下列結(jié)論：①；②當時，隨的增大而減??；③關于的方程的兩個根是和；④．其中正確的結(jié)論是．(填寫序號)9．（22·23下·武漢·一模）二次函數(shù)（a，b，c為常數(shù)）中的x與y的部分對應值如下表：x-1.4012.4y-1.42.452.4①；②當時，y的值隨x值的增大而減小；③是方程的一個根；④當時，．以上結(jié)論正確的是（填序號）．10．（22·23下·武漢·一模）已知函數(shù)（為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點．下列結(jié)論：①；②當時，；③若，則函數(shù)圖象與軸有兩個公共點；④若，則當時，隨的增大而增大，其中正確的結(jié)論是（填寫序號）．壓軸題型二二次函數(shù)的平移問題1．（22·23下·濟南·二模）如圖，拋物線與直線交于A、B兩點，與直線交于點P，將拋物線沿著射線平移個單位，在整個平移過程中，點P經(jīng)過的路程為（

）

A．6 B． C． D．2．（2022下·嘉興·一模）已知拋物線與直線有且只有一個交點，若c為整數(shù)，則c的值有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2021下·濟南·中考真題）新定義：在平面直角坐標系中，對于點和點，若滿足時，；時，，則稱點是點的限變點．例如：點的限變點是，點的限變點是．若點在二次函數(shù)的圖象上，則當時，其限變點的縱坐標的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（22·23下·廣州·一模）如圖，拋物線與交于點，且分別與軸交于點，．過點作軸的平行線，交拋物線于點，．則以下結(jié)論：①無論取何值，總是負數(shù)；②拋物線可由拋物線向右平移3個單位，再向下平移3個單位得到；③當時，隨著的增大，的值先增大后減??；④四邊形為正方形．其中正確的是．（填寫正確的序號）5．（2021下·合肥·二模）已知函數(shù)與y軸交于點C，頂點為D．直線交x軸于點E，點F在直線上，且橫坐標為4，現(xiàn)在，將拋物線沿其對稱軸上下平移，使拋物線與線段總有公共點．拋物線向上最多可以平移個單位長度，向下最多可以平移個單位長度．6．（22·23上·莆田·階段練習）拋物線經(jīng)過兩點，則關于x的不等式的解集為．7．（23·24上·恩施·階段練習）拋物線交x軸于A，B兩點（點A在點B的左邊），頂點在y軸的正半軸上，點E，D在拋物線上，．

(1)求點A，B的坐標；(2)求m與n之間的關系式；(3)若的面積是96，求點E的坐標．8．（23·24上·大慶·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，是坐標原點，菱形的頂點，在軸的負半軸，拋物線過點．(1)求的值；(2)若把拋物線沿軸向左平移個單位長度，使得平移后的拋物線經(jīng)過菱形的頂點．試判斷點是否落在平移后的拋物線上，并說明理由．(3)在軸上是否存在點，使以、、三點為頂點的三角形是直角三角形，若存在直接寫出點坐標，若不存在請說明理由．9．（23·24上·合肥·階段練習）已知拋物線（為常數(shù)，）過點，頂點為點．(1)當時，求此拋物線頂點的坐標；(2)當時，若△的面積為4，求此拋物線的解析式；(3)將拋物線向左平移2個單位，向下平移個單位，得到新拋物線的頂點為A，與軸交點為B，點M在直線上，點N在直線上，當四邊形的周長最小時，恰好有，求的值．壓軸題型三二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合1．（23·24上·杭州·階段練習）已知二次函數(shù)，當時，則下列說法正確的是（

）A．當時，有最小值 B．當時，有最大值C．當時，無最小值 D．當時，有最大值2．（23·24上·合肥·期中）已知二次函數(shù)（其中是自變量），當時對應的函數(shù)值均為正數(shù)，則的取值范圍為：（

）A． B．或C．或 D．或3．（23·24上·武漢·階段練習）無論為何值，直線與拋物線總有公共點，則的取值范圍是（

）A． B．或 C． D．或4．（23·24上·西城·階段練習）已知某函數(shù)的圖象過，兩點，下面有四個推斷：①若此函數(shù)的圖象為直線，則此函數(shù)的圖象經(jīng)過；②若此函數(shù)的圖象為拋物線，且經(jīng)過，則該拋物線開口向下；③若此函數(shù)的解析式為，且經(jīng)過原點，則；④若此函數(shù)的解析式為，開口向下，且，則a的范圍是．所有合理推斷的序號是．5．（23·24上·武漢·階段練習）已知拋物線，(為常數(shù))若對滿足的任意實數(shù)，都使得成立，別實數(shù)的取值范圍是．6．（22·23下·亳州·開學考試）若拋物線過點和兩點，且頂點在第二象限．（1）若該拋物線的對稱軸，則．（2）設，則P的取值范圍是．7．（23·24上·西城·期中）已知點，在拋物線的圖象上，設拋物線的對稱軸為．(1)若，，則_______；(2)當，時，都有，求的取值范圍．8．（23·24上·朝陽·期中）已知拋物線．(1)求該拋物線的項點坐標（用含的式子表示）；(2)拋物線上有不同的兩點，若，直接寫出的值；(3)點在拋物線上，是否存在實數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的取值范圍，若不存在，請說明理由．9．（23·24上·門頭溝·期中）已知拋物線．(1)直接寫出拋物線的頂點坐標（用含a的式子表示）；(2)若點，在拋物線上，直接寫出a的取值范圍；(3)若，，都在拋物線上，是否存在實數(shù)m，使得恒成立?若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．壓軸題型四二次函數(shù)的最值問題1．（22·23下·二模）安安同學在正三角形中放入正方形和正方形（兩個正方形不重疊），使得在邊AB上，點P，N分別在邊上．下列說法正確的是（）A．兩個正方形邊長和的最小值為 B．兩個正方形的邊長差為3C．兩個正方形面積和的最小值為 D．兩個正方形面積和的最大值為2．（22·23下·三明·二模）已知二次函數(shù)（是常數(shù)，且）的最大值為，且該二次函數(shù)圖像經(jīng)過點，兩點，則的值可能是(

)A． B． C．0 D．13．（22·23下·岳陽·一模）已知二次函數(shù)，當時，y隨x的增大而減小，則的最大值為（

）A．4 B．6 C．8 D．4．（22·23上·開學考試）已知拋物線經(jīng)過點．（1）和的代數(shù)關系為；（2）若，過點作直線軸，與軸交于點，與拋物線交于另一點，，點為直線上方拋物線上一點，求點到直線距離的最大值為．5．（22·23·成都·三模）定義：將函數(shù)的圖象繞點旋轉(zhuǎn)，得到新的函數(shù)的圖象，我們稱函數(shù)是函數(shù)關于點P的相關函數(shù)．如果當時，函數(shù)關于點的相關函數(shù)的最大值為8，則m的值為．6．（22·23下·合肥·二模）已知：關于的二次函數(shù)，（1）當時，函數(shù)的最大值為．（2）若函數(shù)的最大值為，則的最小值為．7．（23·24上·蘇州·階段練習）已知拋物線與直線都經(jīng)過點，拋物線與y軸交點為，過點B作x軸平行線，與拋物線的另一個交點為C，直線與拋物線對稱軸交與點D，將點D向上平移一個單位得到點E，點E不在直線上方．(1)______；______；______；（均用含m的代數(shù)式表示）(2)若拋物線的頂點為G，求的最小值及此時m的值；(3)連接、、，直接寫出是______三角形．8．（23·24上·廣州·期中）已知函數(shù)，記該函數(shù)圖象為．(1)當時，①已知在該函數(shù)圖象上，求的值；②當時，求函數(shù)的最大值．(2)當時，作直線與軸交于點，與函數(shù)交于點，若時，求的值；(3)當時，設圖象與軸交于點，與軸交于點，過點作交直線于點，設點的橫坐標為點的縱坐標為，若，求的值．9．（23·24上·雞西·期中）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點和點，與y軸交于點C．

(1)求這個二次函數(shù)的表達式；(2)如圖①，二次函數(shù)圖象的對稱軸與直線AC交于點D，若E是直線AC上方拋物線上的一個動點，求面積的最大值；(3)如圖②，P是直線AC上的一個動點，是否存在點P，使是等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．壓軸題型五二次函數(shù)的存在性問題1．（22·23上·濟南·期末）如圖，拋物線與軸交于點，，與軸交于點，連接，點為線段上一個動點（不與點，重合），過點作軸交拋物線于點．(1)求拋物線的表達式和對稱軸；(2)設P的橫坐標為t，請用含t的式子表示線段的長，并求出線段的最大值；(3)已知點M是拋物線對稱軸上的一個點，點N是平面直角坐標系內(nèi)一點，當線段取得最大值時，是否存在這樣的點M，N，使得四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．2．（22·23上·南川·期末）如圖1，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與軸于，兩點，與y軸交于C點，點P是直線BC下方拋物線上一動點．(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)當動點Р運動到什么位置時，使四邊形ACPB的面積最大，求出此時四邊形ACPB的面積最大值和P的坐標；(3)如圖2，點M在拋物線對稱軸上，點N是平面內(nèi)一點，是否存在這樣的點M、N，使得以點M、N、A、C為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有M點的坐標；若不存在，請說明理由．3．（22·23下·永州·一模）已知拋物線（，為常數(shù)，且）的對稱軸為，且過點．點是拋物線上的一個動點，點的橫坐標為，直線的解析式為，直線與軸相交于點，與軸相交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)當直線與拋物線只有一個交點時，求點的坐標；(3)當時，是否存在的值，使函數(shù)的最大值為，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．4．（22·23下·臨滄·一模）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點在拋物線的對稱軸上．(1)若點E在x軸下方的拋物線上，求面積的最大值．(2)拋物線上是否存在一點F，使得以點A，C，D，F(xiàn)為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點F的坐標，若不存在，請說明理由．5．（22·23下·株洲·開學考試）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，直線經(jīng)過、兩點．

(1)求二次函數(shù)的表達式．(2)求點的坐標及直線的表達式．(3)在直線上方的拋物線上存在一動點，過點作軸，交于點，請求出線段的最大值．6．（22·23·綏化·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點，與軸交于，點在原點的左側(cè)，點的坐標為，點是拋物線上一個動點，且在直線的上方．

(1)求這個二次函數(shù)的表達式．(2)連接、，并把沿翻折，得到四邊形，那么是否存在點，使四邊形為菱形？若存在，請求出此時點的坐標；若不存在，請說明理由．(3)當點運動到什么位置時，使的面積最大，求出點的坐標和的面積最大值．7．（22·23上·洛陽·期中）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點，其中點A的坐標為，與y軸交于點C，點在拋物線上；

(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得周長最小，若存在，求出P點的坐標及周長的最小值；(3)若點M是直線下方的拋物線上的一動點，過M作y軸的平行線與線段交于點N，求線段的最大值．8．（22·23下·聊城·三模）拋物線與x軸交于點，與y軸交于點，點P為拋物線上的動點．

(1)求b，c的值；(2)若P為直線上方拋物線上的動點，作軸交直線于點H，求的最大值；(3)點N為拋物線對稱軸上的動點，是否存在點N，使直線垂直平分線段？若存在，請直接寫出點N的縱坐標；若不存在，請說明理由．9．（22·23上·綿陽·期中）如圖1，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點、，與y軸交于點．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)在二次函數(shù)的對稱軸上是存在點K，使為等腰三角形，若存在，請求出K點坐標，若不存在，請說明理由；(3)如圖2，若點P是二次函數(shù)圖象上位于下方的一個動點，作交于M，設點P的橫坐標為t，求的最大值．壓軸題型六二次函數(shù)與一元二次方程關系1．（23·24上·西城·期中）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于A，兩點，且．若將此拋物線先向左平移3個單位，再向下平移個單位，所得新拋物線與軸兩個交點間的距離為8，則的值為（

）．

A．6 B．12 C．24 D．362．（23·24上·西城·期中）拋物線與軸交于兩點，若點的坐標是，則點的坐標為（

）．A． B． C． D．3．（23·24上·中山·期中）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，下列說法正確的是（

）A．拋物線的對稱軸為直線 B．拋物線的頂點坐標為C．，兩點之間的距離為7 D．當時，的值隨值的增大而增大4．（23·24上·南通·階段練習）二次函數(shù)的圖象如圖所示，若關于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根異號，則m的取值范圍是．

5．（23·24上·蘇州·階段練習）我們約定：為函數(shù)的關聯(lián)數(shù)，當其圖像與坐標軸交點的橫、縱坐標均為整數(shù)時，該交點為“整交點”，若關聯(lián)數(shù)為的函數(shù)圖像與x軸有兩個整交點（m為正整數(shù)），則m為．6．（23·24上·蘇州·階段練習）若關于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為，，則拋物線與x軸的公共點坐標為．7．（23·24上·武漢·階段練習）如圖，拋物線與軸交于點．

(1)的值為___________；(2)當滿足___________時，的值隨值的增大而減小；(3)當滿足___________時，拋物線在軸上方；(4)當滿足時，的取值范圍是___________．8．（22·23上·淮安·階段練習）如圖．已知二次函數(shù)的圖像與軸的一個交點為，與軸交于點．

(1)______；(2)此二次函數(shù)關系式為______；(3)在軸的負半軸上是否存在點．使得是以為腰的等腰三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．9．（23·24上·寧波·階段練習）如圖，拋物線與直線相交于點，，點的橫坐標為，與軸相交于點．

(1)求出拋物線的解析式．(2)求出拋物線與軸的交點坐標．(3)根據(jù)圖象，當時，直接寫出自變量的取值范圍．壓軸題型七二次函數(shù)的綜合應用（含參）1．（23·24上·咸寧·階段練習）某超市銷售一種商品，成本價為20元/千克，經(jīng)市場調(diào)查，每天銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的關系如圖所示，規(guī)定每千克售價不能低于30元，且不高于80元．設每天的總利潤為w元．

(1)根據(jù)圖象求出y與x之間的函數(shù)關系式；(2)請求出w與x之間的函數(shù)關系式，當銷售單價定為多少元時，該超市每天的利潤最大？最大利潤是多少元？(3)若該超市銷售該商品所獲利潤不低于2800元，請直接寫出x的取值范圍．之間的關系式，在滑道上設置了幾個固定的計時點，測得一些數(shù)據(jù)（如表格）．位置編號①②③④⑤⑥滑行時間t/s01234滑行距離s/m0131448為觀察s與t之間的關系，建立坐標系，以t為橫坐標，s為縱坐標，描出表中數(shù)據(jù)對應的點（如圖）．可以看出，其中絕大部分的點都近似的位于某條拋物線上．于是，我們用二次函數(shù)來近似的表示s與t的關系．

(1)在位置①處，當時，，所以______；(2)有一個計時點的計時裝置出現(xiàn)了故障，請同學們用平滑曲線連接這些絕大部分的點，通過觀察發(fā)現(xiàn)故障點的位置編號可能是______；(3)利用函數(shù)圖象推測當此滑雪者滑行距離為30m時，用時約為______s（結(jié)果保留一位小數(shù)）；(4)求s與t的函數(shù)關系式，并求出滑雪者在故障位置的滑行距離．3．（23·24上·階段練習）如圖，函數(shù)的圖象交軸于點和點，交軸于點．

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)點在拋物線上，求當時點的坐標．4．（21·22·模擬預測）問題提出：（1）如圖1，等邊的邊長為1，是邊上的一點，過點作，垂足為．設線段的長度為，的面積為，求與的函數(shù)關系式．問題解決：（2）某路口拐角處有一個五邊形空地．為方便市民出行的需要，市政局準備在這片空地上給廣大來往群眾搭建一個既能遮陽又能避雨的遮陽棚．經(jīng)過勘測發(fā)現(xiàn)，在如圖2所示的五邊形中，，，米，，根據(jù)該路口的實際條件限制，需將遮陽棚形狀設計為三角形，且的頂點、、分別在邊、、上，為的中點，，為進一步提升市民的出行體驗，想讓遮陽棚面積盡可能大．請問，是否存在符合設計要求的面積最大的？若存在，求面積的最大值；若不存在，請說明理由．

5．（23·24上·武漢·階段練習）跳臺滑雪是北京冬奧會的比賽項目之一，下圖是某跳臺滑雪場地的截面示意圖．平臺長1米(即)，平臺AB距地面18米，以地面所在直線為x軸，過點B垂直于地面的直線為y軸，取1米為單位長度，建立平面直角坐標系，已知滑道對應的函數(shù)為．運動員(看成點)在方向獲得速度v米/秒后，從A處向右下飛向滑道，點M是下落過程中的某位置(忽略空氣阻力)．設運動員飛出時間為t秒，運動員與點A的豎直距離為h米，運動員與點A的水平距離為l米，經(jīng)實驗表明：．

(1)求滑道對應的函數(shù)表達式：(2)當米每秒，秒時，通過計算判斷運動員此時是否已落在滑道上；(3)在試跳中，某運動員以6米每秒的速度從A處飛出，其飛行路徑近似看作拋物線的一部分，著陸時水平距離為d，直接寫出飛行路徑的函數(shù)解析式和d的值．6．（22·23·衢州·中考真題）某龍舟隊進行500米直道訓練，全程分為啟航，途中和沖刺三個階段．圖1，圖2分別表示啟航階段和途中階段龍舟劃行總路程與時間的近似函數(shù)圖象．啟航階段的函數(shù)表達式為；途中階段勻速劃行，函數(shù)圖象為線段；在沖刺階段，龍舟先加速后勻速劃行，加速期龍舟劃行總路程與時間的函數(shù)表達式為．

(1)求出啟航階段關于的函數(shù)表達式（寫出自變量的取值范圍），(2)已知途中階段龍舟速度為5m/s．①當時，求出此時龍舟劃行的總路程，②在距離終點125米處設置計時點，龍舟到達時，視為達標，請說明該龍舟隊能否達標；(3)沖刺階段，加速期龍舟用時1s將速度從5m/s提高到5.25m/s，之后保持勻速劃行至終點.求該龍舟隊完成訓練所需時間（精確到0.01s）．7．（22·23下·保定·一模）如圖，排球運動員站在點O處練習發(fā)球，將球從O點正上方的B處發(fā)出，球每次出手后的運動軌跡都是形狀相同的拋物線，且拋物線的最高點C到y(tǒng)軸總是保持6米的水平距離，豎直高度總是比出手點B高出1米，已知米，排球場的邊界點A距O點的水平距離為米，球網(wǎng)高度為米，且．(1)C點的坐標為（用含m的代數(shù)式表示）(2)當時，求拋物線的表達式．(3)當時，球能否越過球網(wǎng)？球會不會出界？請說明理由．(4)若運動員調(diào)整起跳高度，使球在點A處落地，此時形成的拋物線記為，球落地后立即向右彈起，形成另一條與形狀相同的拋物線，且此時排球運行的最大高度為1米，球場外有一個可以移動的縱切面為梯形的無蓋排球回收框（），其中米，米，米，若排球經(jīng)過向右反彈后沿的軌跡落入回收框內(nèi)（下落過程中碰到P、Q點均視為落入框內(nèi)），設M點橫坐標的最大值與最小值的差為d，請直接寫出d的值．8．（22·23下·宿州·模擬預測）甲、乙兩汽車出租公司均有輛汽車對外出租，下面是兩公司經(jīng)理的一段對話：甲公司經(jīng)理：如果我公司每輛汽車月租費元，那么輛汽車可以全部租出，如果每輛汽車的月租費每增加元，那么將少租出輛汽車，另外，公司為每輛租出的汽車支付月維護費元．乙公司經(jīng)理：我公司每輛汽車月租費元，無論是否租出汽車，公司均需一次性支付月維護費共計元．說明：①汽車數(shù)量為整數(shù)；②月利潤月租車費月維護費；在兩公司租出的汽車數(shù)量相等且都為（單位：輛，）的條件下，甲的利潤用表示（單位：元），乙的利潤用（單位：元）表示，根據(jù)上述信息，解決下列問題：(1)分別表示出甲、乙的利潤，什么情況下甲、乙的利潤相同？(2)甲公司最多比乙公司利潤多多少元？(3)甲公司熱心公益事業(yè)，每租出輛汽車捐出元（）給慈善機構(gòu)，如果捐款后甲公司剩余的月利潤仍高于乙公司月利潤，且僅當兩公司租出的汽車均為輛時，甲公司剩余的月利潤與乙公司月利潤之差最大，求的取值范圍．9．（23·24上·武漢·階段練習）已知拋物線的頂點為D，與x軸交于A，B兩點（A在B左邊）．(1)若該拋物線的頂點D坐標為，求其解析式；(2)如圖（1），在（1）的條件下，P，Q為y軸上的兩個關于原點對稱的動點，射線，分別與拋物線交于M，N兩點，求的值．(3)如圖（2），已知拋物線的頂點D在直線上滑動，且與直線l交于另一點E，若的面積為，求拋物線頂點D的坐標；

第二十六章二次函數(shù)（7大題型）（64道壓軸題專練）壓軸題型一二次函數(shù)的圖象與各系數(shù)符號的關系1．（23·24上·黃石·開學考試）二次函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論：①；②；③若，則；④，其中正確的結(jié)論有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】開口向下，故，與y軸交于負半軸，故；對稱軸在直線右側(cè)，故，所以；故①正確；對稱軸在直線右側(cè)，故，可推出，故②錯誤；由，得，于是，故③正確；時，，結(jié)合，得，可推出，故④正確；【詳解】解：如圖，開口向下，故；拋物線與y軸交于負半軸，故；對稱軸在直線右側(cè)，故，所以；∴．故①正確；對稱軸在直線右側(cè)，故，∴．∴，故②錯誤；∵，，∴．∴，故③正確；∵，∴，時，，∵，∴∴．∴，故④正確；故選：C．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)圖象確定參數(shù)的取值范圍，對軸軸信息及關鍵點信息是解題的關鍵．2．（23·24上·專題練習）拋物線（是常數(shù)且）經(jīng)過點A（3，0）．下列四個結(jié)論：①該拋物線一定經(jīng)過；②；③點，在拋物線上，且，則；④若是方程的兩個根，其中，則．其中正確的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】由函數(shù)解析式可得函數(shù)的對稱軸為直線，再根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，逐一分析，判斷對錯即可解答．【詳解】解：①∵拋物線經(jīng)過點，，，當時，，，∴該拋物線一定經(jīng)過，故此項正確；②由①得：，，，，，，，故此項正確；③拋物線的對稱軸為直線，當時，，，，也符合題意與矛盾，故此項錯誤．④∵拋物線，對稱軸為直線，拋物線對稱軸為直線，∴拋物線圖象向左平移2個單位得到拋物線的圖象，∵拋物線經(jīng)過點，∴拋物線經(jīng)過點，是方程的兩個根，是拋物線與直線交點的橫坐標，，，故此項正確，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想，掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)并會靈活應用是解題的關鍵．3．（21·22下·株洲·二模）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點，與y軸的交點B在和之間（不包括這兩點），對稱軸為直線．下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確結(jié)論有（

）

A．①②⑤ B．①④⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線的對稱軸公式可判斷b與a的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c的取值范圍，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結(jié)論進行判斷．【詳解】解：由圖象可知該二次函數(shù)圖象開口向上，與y軸的交點位于x軸下方，對稱軸為直線，∴，，，∴，∴，故①正確；由圖象可知當時，二次函數(shù)值為0，又∵對稱軸為直線，∴當時，二次函數(shù)值為0，∴當時，二次函數(shù)值小于0，即，故②錯誤；③∵該拋物線圖象與y軸的交點B在和之間，，對稱軸為直線，∴頂點的縱坐標要小于，∴．∵，∴，故③正確；∵該拋物線圖象與y軸的交點B在和之間，∴．∵與x軸交于點，∴，∴，∴，∴，故④正確；∵，，，∴，故⑤正確．綜上可知正確的為①③④⑤．故選C．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關系，解題的關鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．4．（21·22下·濱州·二模）如圖是拋物線的一部分，拋物線的頂點坐標是，與x軸的一個交點是，點P在拋物線上，且在直線上方，則下列結(jié)論正確的是(

)

A．B．方程有兩個不相等的實數(shù)根C．D．點P到直線的最大距離【答案】C【分析】根據(jù)圖象可知，，再由對稱軸可知，可判斷①；根據(jù)拋物線的頂點可知方程有且只有一個實數(shù)根，可判斷②；當時函數(shù)有最大值，由此可判斷③；求出函數(shù)的解析式和直線的解析式，當?shù)拿娣e最大值時，P點到的距離最大，過P點作軸交于點G，用同一參數(shù)的代數(shù)式分別表示點P，G的坐標，表示出，運用二次函數(shù)性質(zhì)，可求得的最大值，當取最大值時，的面積最大，從而求得P點到的距離最大值，由此判斷④．【詳解】解：由圖象可知開口向下，∴，∵函數(shù)與y軸的交點在y軸的正半軸上，∴，∵對稱軸為直線，∴，∴，故A不符合題意；∵拋物線的頂點坐標是，∴時，方程的解為，∴方程有兩個相等的實數(shù)根，故B不符合題意；當時，，∴，即，故C符合題意；設直線的解析式為，∴，解得，∴，設拋物線，將點代入，∴，解得，∴，過P點作軸交于點G，設P點坐標為，則，∴，∴當時，有最大值，此時，為最大值，由圖，，設點P到的距離為h，則當最大時，h取最大值，∴解得，∴點P到直線AB的最大距離為，故D不符合題意；故選：C．

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，能從圖象中獲取信息，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，尤其是配方法求極值是解題的關鍵．5．（22·23下·日照·期末）如圖，拋物線與軸交于點，其對稱軸為直線，結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：①；②；③，是拋物線上兩點，則；④若關于x的一元二次方程沒有實數(shù)根，則；⑤對于任意實數(shù)m，總有．其中正確的結(jié)論有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標、增減性以及與軸軸的交點，綜合判斷即可．【詳解】解：拋物線開口向上，則，對稱軸，則，，，所以①正確；拋物線對稱軸為，與軸的一個交點為，則另一個交點為，于是有，聯(lián)立，解得，，所以②正確；拋物線的解析式為，，是拋物線上兩點，，，即，所以③錯誤；若關于x的一元二次方程沒有實數(shù)根，，，，，，所以④正確；拋物線與軸有兩個不同交點，因此關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以④正確；對于任意實數(shù)m，總有故⑤正確．綜上所述，正確的結(jié)論有：①②④⑤．故選：C．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關系是正確判斷的前提．6．（23·24上·武漢·階段練習）已知拋物線的圖象經(jīng)過，頂點是，且，下列四個結(jié)論：①；②；③的解集是或；④點，在拋物線上，當時，．其中正確的是（填寫序號）．【答案】①③④【分析】由已知可得拋物線開口方向及對稱軸，從而可得，符號，由及拋物線對稱軸為直線可得拋物線與軸的另一交點坐標，從而可得的符號，進而判斷①②，由與的關系可得的解，從而判斷③，由拋物線的對稱軸及開口方向可得時隨增大而減小，再根據(jù)可得，，從而判斷④．【詳解】解：拋物線經(jīng)過，頂點是，且，頂點為最低點，即拋物線開口向上，，由拋物線的對稱性可得拋物線經(jīng)過，時，，時，拋物線與軸交點在軸下方，即，，，，①正確．當時，，時，，②錯誤．，，拋物線與軸交點坐標為，，，拋物線開口向上，或時，，③正確．當時，，，時，隨增大而減小，，④正確．故答案為：①③④．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，解題關鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關系．7．（23·24上·武漢·階段練習）拋物線（a、b、c是常數(shù)，且）經(jīng)過點，其中，且對稱軸是直線，下列結(jié)論：①；②；③當t為全體實數(shù)時，總成立；④若，該拋物線上存在、兩點，滿足，則m的取值范圍是，其中正確的有．【答案】①②④【分析】由拋物線的開口方向及對稱軸，可確定b的符號，再可確定拋物線與x軸的另一個交點，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可確定c的符號，從而可判斷①；由①得，當時有，只要確定的大小，利用函數(shù)的增減性即可判斷②；由題意知，函數(shù)當時取得最大值，因此，對任意實數(shù)t，都有，整理即可判斷③；由拋物線上存在、兩點，滿足，則應在對稱軸的兩側(cè)，則有，解不等式組即可，從而可判斷④，最后可確定答案．【詳解】解：∵拋物線的對稱軸是直線，，∴，即，∴；∵拋物線經(jīng)過點，其中，∴由拋物線的對稱性質(zhì)，拋物線的另一個交點為，∴，∵當時，y隨x的增大而減小，∴當時，時，，∴，故①正確；由①得，則當時有，∵，∴，即，由函數(shù)的增減性知，故②正確；由題意知，函數(shù)當時取得最大值，∴對任意實數(shù)t，都有，即，∵，∴整理即可判斷③；當，該拋物線上存在、兩點，滿足，∴應在對稱軸的兩側(cè)，∴有，解不等式組得：，故④正確；∴正確的有①②④，故答案為：①②④．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關鍵．8．（22·23下·武漢·三模）二次函數(shù)(，，是常數(shù)，的自變量與函數(shù)值的部分對應值如表：…-1012…且當時，與其對應的函數(shù)值，有下列結(jié)論：①；②當時，隨的增大而減小；③關于的方程的兩個根是和；④．其中正確的結(jié)論是．(填寫序號)【答案】①③④【分析】根據(jù)題意得：函數(shù)圖象的對稱軸為，可得，再由當時，，可得；由，可得，再由當時，與其對應的函數(shù)值，可得，從而得到圖象在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而增大；根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱軸為，可得點關于對稱軸的對稱點為，從而得到關于x的方程ax2+bx+c＝t的兩個根是和；再由當時，，當時，，可得，即可求解．【詳解】解：①根據(jù)題意得：函數(shù)圖象的對稱軸為，即，∴異號，∴，∵當時，，即，∴，故①正確；②∵，∴，當時，，解得：，∴二次函數(shù)圖象開口向上，∴圖象在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而增大，∴當x>1時，y隨x的增大而增大，故②錯誤；③∵二次函數(shù)圖象的對稱軸為，∴點關于對稱軸的對稱點為，∴關于x的方程ax2+bx+c＝t的兩個根是和，故③正確；④當時，，當時，，∴，故④正確，∴正確的結(jié)論是①③④．故答案為：①③④．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關鍵．9．（22·23下·武漢·一模）二次函數(shù)（a，b，c為常數(shù)）中的x與y的部分對應值如下表：x-1.4012.4y-1.42.452.4①；②當時，y的值隨x值的增大而減??；③是方程的一個根；④當時，．以上結(jié)論正確的是（填序號）．【答案】①③④【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得拋物線的對稱軸為直線且開后向下，即可判定①；由對稱軸為對稱軸為直線且開后向下，則當時，y的值隨x值的增大而減小，可判定②；然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對各小題分析判斷即可得解．【詳解】解：①由圖表中數(shù)據(jù)可得出拋物線且開后向下，∴，即①正確；②二次函數(shù)開口向下，且對稱軸為，當時，y的值隨x值的增大而減小，故②錯誤；③時，，∴，將代入可得：，即是方程的一個根，故③正確；④時，，時，，時，，則且函數(shù)有最大值，當時，，故④正確．故答案為①③④．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關系、拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)與不等式等知識點，熟練掌握二次函數(shù)圖像和性質(zhì)是解題的關鍵．10．（22·23下·武漢·一模）已知函數(shù)（為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點．下列結(jié)論：①；②當時，；③若，則函數(shù)圖象與軸有兩個公共點；④若，則當時，隨的增大而增大，其中正確的結(jié)論是（填寫序號）．【答案】①②③④【分析】根據(jù)拋物線與x軸的交點得出、b的關系，進而得到，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對各小題分析判斷即可得解．【詳解】∵拋物線與x軸的交點為，∴，000∴，故①正確，由①可知，，∴，∵，∴，∴，∴，故②正確，令，則，，∵∴，∴若，則函數(shù)圖象與軸有兩個公共點，即選項③正確，設，是方程的兩個實數(shù)根，則，當時，則，∵點拋物線與x軸的一個交點，∴令，則，∵，∴，∵∴拋物線開口向下，∴若，則當時，隨的增大而增大，即選項④正確．故答案為：①②③④．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)．掌握二次函數(shù)圖像上點的坐標特征以及對稱軸方程求法是關鍵.壓軸題型二二次函數(shù)的平移問題1．（22·23下·濟南·二模）如圖，拋物線與直線交于A、B兩點，與直線交于點P，將拋物線沿著射線平移個單位，在整個平移過程中，點P經(jīng)過的路程為（

）

A．6 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得由題意得，當拋物線沿著射線平移個單位時，相當于將點A先向右平移3個單位，再向上平移3個單位，設拋物線向右平移個單位，向上平移個單位，則平移后的解析式為，再根據(jù)點P在直線，直接把代入得到點P的縱坐標與a的二次函數(shù)，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：由題意得，當拋物線沿著射線平移個單位時，相當于將點A先向右平移3個單位，再向上平移3個單位，設拋物線向右平移個單位，向上平移個單位，∵原拋物線解析式為，∴平移后的解析式為令時，則，∴當時，，∵，∴當時，，當時，，∴當時，在平移過程中點P的運動路程為，當時，在平移過程中點P的運動路程為，∴整個平移過程中，點P的運動路程為，故選B．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換，一次函數(shù)圖象上點的特征等知識，解題的關鍵是靈活運用平移的性質(zhì)解決問題，學會利用參數(shù)，構(gòu)建二次函數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．2．（2022下·嘉興·一模）已知拋物線與直線有且只有一個交點，若c為整數(shù)，則c的值有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】由函數(shù)解析式作出拋物線與直線的圖象，根據(jù)圖象關系計算求值即可；【詳解】解：∵，對稱軸為：，∴x=0時，y=c；x=-3時，y=c，如圖為拋物線與直線關系圖，由圖象可知：①當直線過拋物線左端點時c=-5，當直線過拋物線右端點時c=-2，∴當-5≤c＜-2時，直線與拋物線只有一個交點，∴c為整數(shù)時可取-5，-4，-3，②令，則，時，解得c=-1，此時方程有兩個相等的實數(shù)根，拋物線與直線只有一個交點，∴c的值為：-5，-4，-3，-1，故選：D．【點睛】本題考查了拋物線與直線的交點問題，利用圖象法確定交點個數(shù)是解題關鍵．3．（2021下·濟南·中考真題）新定義：在平面直角坐標系中，對于點和點，若滿足時，；時，，則稱點是點的限變點．例如：點的限變點是，點的限變點是．若點在二次函數(shù)的圖象上，則當時，其限變點的縱坐標的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，當時，的圖象向下平移4個單位，當時，，的圖象關于軸對稱，據(jù)此即可求得其限變點的縱坐標的取值范圍，作出函數(shù)圖像，直觀的觀察可得到的取值范圍【詳解】點在二次函數(shù)的圖象上，則當時，其限變點的圖像即為圖中虛線部分，如圖，當時，的圖象向下平移4個單位，當時，的圖象關于軸對稱，從圖可知函數(shù)的最大值是當時，取得最大值3，最小值是當時，取得最小值，．故選D．【點睛】本題考查了新定義，二次函數(shù)的最值問題，分段討論函數(shù)的最值，可以通過函數(shù)圖像輔助求解，理解新定義，畫出函數(shù)圖像是解題的關鍵．4．（22·23下·廣州·一模）如圖，拋物線與交于點，且分別與軸交于點，．過點作軸的平行線，交拋物線于點，．則以下結(jié)論：①無論取何值，總是負數(shù)；②拋物線可由拋物線向右平移3個單位，再向下平移3個單位得到；③當時，隨著的增大，的值先增大后減小；④四邊形為正方形．其中正確的是．（填寫正確的序號）【答案】①②④【分析】①根據(jù)非負數(shù)的相反數(shù)或者直接由圖像判斷即可；②先求拋物線的解析式，再根據(jù)拋物線的頂點坐標，判斷平移方向和平移距離即可判斷②；③先根據(jù)題意得出時，觀察圖像可知，然后計算，進而根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；④分別計算出的坐標，根據(jù)正方形的判定定理進行判斷即可．【詳解】①，，，無論取何值，總是負數(shù)，故①正確；②拋物線與拋物線交于點，，即，解得，拋物線，拋物線的頂點，拋物線的頂點為，將向右平移3個單位，再向下平移3個單位即為，即將拋物線向右平移3個單位，再向下平移3個單位可得到拋物線，故②正確；③，將代入拋物線，解得，，將代入拋物線，解得，，，從圖像可知拋物線的圖像在拋物線圖像的上方，當，隨著的增大，的值減小，故③不正確；④設與軸交于點，，，由③可知，，，，當時，，即，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是正方形，故④正確，綜上所述，正確的有①②④，故答案為：①②④．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，平移，正方形的判定定理，解題的關鍵是綜合運用以上知識．5．（2021下·合肥·二模）已知函數(shù)與y軸交于點C，頂點為D．直線交x軸于點E，點F在直線上，且橫坐標為4，現(xiàn)在，將拋物線沿其對稱軸上下平移，使拋物線與線段總有公共點．拋物線向上最多可以平移個單位長度，向下最多可以平移個單位長度．【答案】36【分析】求得直線CD的解析式，根據(jù)平移規(guī)律，設出平移后的解析式，利用解析式聯(lián)立方程組，轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的判別式問題，不等式的解集，求解即可【詳解】∵函數(shù)與y軸交于點C，頂點為D，∴點C的坐標為（0，4），點D的坐標為（1，），設直線CD的解析式為y=kx+b，∴，∴，∴直線CD的解析式為，當y=0時，，解得x=-8，∴點E（-8，0），當x=4時，y=，∴點F（4，6），設最多上移n個單位，此時解析式為，∴當x=-8時，，∵拋物線與直線有公共點，∴y≤0∴≤0,∴n≤36,∴拋物線最多上移36個單位，設向下最多可以平移m個單位，根據(jù)題意，得，∴，整理，得，當△=0時，有一個公共點，∴，解得m=；故答案為：36；【點睛】本題考查了拋物線與一次函數(shù)的交點，二次函數(shù)的平移，不等式的解法，根的判別式，熟練掌握二次函數(shù)的平移規(guī)律，活用根的判別式是解題的關鍵．6．（22·23上·莆田·階段練習）拋物線經(jīng)過兩點，則關于x的不等式的解集為．【答案】【分析】直接利用二次函數(shù)大致圖象結(jié)合不等式與函數(shù)關系得出答案．【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過兩點，∴圖像大致如下：∴函數(shù)與交于，∴關于x的不等式的解集為：．故答案為：．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)與不等式，二次函數(shù)的平移，數(shù)形結(jié)合是解題關鍵．7．（23·24上·恩施·階段練習）拋物線交x軸于A，B兩點（點A在點B的左邊），頂點在y軸的正半軸上，點E，D在拋物線上，．

(1)求點A，B的坐標；(2)求m與n之間的關系式；(3)若的面積是96，求點E的坐標．【答案】(1)，詳見解析(2)，詳見解析(3)，詳見解析【分析】（1）令，解得：，即可求解；（2）點A向右平移2個單位向上平移n個單位得到點C，則點E向右平移2個單位向上平移n個單位得到點，即可求解；（3）由，即可求解．【詳解】（1）令，解得，即點A、B的坐標分別為：；（2）∵點，點E的坐標為，又因為點A向右平移2個單位向上平移n個單位得到點C，∴點E向右平移2個單位向上平移n個單位得到點，將點D的坐標代入拋物線表達式得：，整理得：；（3）連接，過點E作y軸的平行線交x軸于點M，交過點C與x軸的平行線與點N，

則，解得（舍去）或4，故點E的坐標為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．8．（23·24上·大慶·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，是坐標原點，菱形的頂點，在軸的負半軸，拋物線過點．(1)求的值；(2)若把拋物線沿軸向左平移個單位長度，使得平移后的拋物線經(jīng)過菱形的頂點．試判斷點是否落在平移后的拋物線上，并說明理由．(3)在軸上是否存在點，使以、、三點為頂點的三角形是直角三角形，若存在直接寫出點坐標，若不存在請說明理由．【答案】(1)(2)當時，點在平移后的拋物線上;當時,點不在平移后的拋物線上(3)存在，，，，【分析】（1）將點的坐標代入二次函數(shù)解析式中，可得出關于的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論．（2）設與軸交于點，結(jié)合勾股定理以及菱形的性質(zhì)找出點的坐標，根據(jù)二次函數(shù)的解析式求出該拋物線與軸的交點坐標，再根據(jù)平移的性質(zhì)找出平移后過點的二次函數(shù)的解析式，代入點的坐標來驗證其是否在平移后的函數(shù)圖象上即可得出結(jié)論．（3）分情況進行討論，分別以為斜邊進行計算，結(jié)合兩直線垂直斜率乘積等于進行計算即可求出．【詳解】（1）解：∵過點，代入得：解得：．（2）當時.點在平移后的拋物線上;當時,點不在平移后的拋物線上,理由:設與軸交于點,則軸,,.∵四邊形是菱形,∴,.點的坐標為.如圖：令,得.解得：..當時,平移后的拋物線為令.得∴點在平移后的拋物線上.當時,平移后的拋物線為令，∴點不在平移后的拋物線上.綜上所述：當時.點在平移后的拋物線上;當時,點不在平移后的拋物線上．（3）解：是菱形，設①以為直角，為斜邊整理得：解得：，②以為直角，為斜邊同理：解得：③以為直角，為斜邊同理：解得：綜上所述：存在點，坐標為：，，，．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換及菱形的性質(zhì).確定出平移的的值，并采用分類討論的方法求解是解題的關鍵．9．（23·24上·合肥·階段練習）已知拋物線（為常數(shù)，）過點，頂點為點．(1)當時，求此拋物線頂點的坐標；(2)當時，若△的面積為4，求此拋物線的解析式；(3)將拋物線向左平移2個單位，向下平移個單位，得到新拋物線的頂點為A，與軸交點為B，點M在直線上，點N在直線上，當四邊形的周長最小時，恰好有，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）將，代入拋物線，可得函數(shù)解析式，即可解答；（2）先求出點P坐標，求得拋物線對稱軸與直線的交點C的坐標，根據(jù)，即可解答；（3）寫出新拋物線的解析式為，可得，，如圖，作B點關于的對稱點，作A點關于的對稱點，連接交、于點，此時四邊形的周長最小，再求解直線的解析式，直線的解析式，結(jié)合建立方程求解即可．【詳解】（1）解：將，代入拋物線，得，解得，拋物線的解析式為，；（2）如圖，的對稱軸為直線，頂點P坐標為，而，過作軸交于C，

設直線的解析式為，將代入，∴，直線的解析式為，，將代入，得，，，，解得，拋物線的解析式為；（3）如圖，

∵拋物線為，而，則，∴平移后的拋物線，，如圖，作B點關于的對稱點，作A點關于的對稱點，連接交、于點，此時四邊形的周長最小，設直線的解析式為，將，代入可得，解得，直線的解析式為，

設直線的解析式為，將，代入可得，解得，直線的解析式為，，，解得．【點睛】本題為二次函數(shù)綜合題目，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，熟練畫出大概圖形并作出四邊形周長最小時的圖形是解題的關鍵．壓軸題型三二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合1．（23·24上·杭州·階段練習）已知二次函數(shù)，當時，則下列說法正確的是（

）A．當時，有最小值 B．當時，有最大值C．當時，無最小值 D．當時，有最大值【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)，分當時，時兩種情況進行判斷，即可得出結(jié)論．【詳解】解：當時，當，在軸同側(cè)時，，都越大時，越接近于，但不能取，即沒有最小值，當，異號時，當，時，最大，當時，當，在軸同側(cè)時，，離軸越遠，越大，但取不到最大，當，在軸兩側(cè)時，當，時，取到最小，最小值為，故選：B．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解本題的關鍵對二次函數(shù)的性質(zhì)的掌握與應用．2．（23·24上·合肥·期中）已知二次函數(shù)（其中是自變量），當時對應的函數(shù)值均為正數(shù)，則的取值范圍為：（

）A． B．或C．或 D．或【答案】D【分析】首先根據(jù)題意求出對稱軸，然后分兩種情況：和，分別根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】∵二次函數(shù)，∴對稱軸，當時，∵當時對應的函數(shù)值均為正數(shù)，∴此時拋物線與x軸沒有交點，∴，∴解得；當時，∵當時對應的函數(shù)值均為正數(shù)，∴當時，，∴解得，∴，∴綜上所述，當時對應的函數(shù)值均為正數(shù)，則的取值范圍為或．故選：D．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關鍵是分兩種情況討論．3．（23·24上·武漢·階段練習）無論為何值，直線與拋物線總有公共點，則的取值范圍是（

）A． B．或 C． D．或【答案】D【分析】因為兩個圖象總有公共點，所以將兩個解析式進行聯(lián)立，再根據(jù)根的判別式進行判斷即可求出的取值范圍．【詳解】解：由題意得，無論為何值，直線與拋物線總有公共點，將代入得：，整理得：，，，，當時，，解得，，當時，，解得：，的取值范圍是或．故選：D．【點睛】本題主要考查的是函數(shù)圖象的交點問題，正確的列出判別式，并根據(jù)交點數(shù)進行判定是解題的關鍵．4．（23·24上·西城·階段練習）已知某函數(shù)的圖象過，兩點，下面有四個推斷：①若此函數(shù)的圖象為直線，則此函數(shù)的圖象經(jīng)過；②若此函數(shù)的圖象為拋物線，且經(jīng)過，則該拋物線開口向下；③若此函數(shù)的解析式為，且經(jīng)過原點，則；④若此函數(shù)的解析式為，開口向下，且，則a的范圍是．所有合理推斷的序號是．【答案】①④/④①【分析】①利用待定系數(shù)法求出直線解析式，再令，求出y的值，即可判斷；②利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可判斷；③利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可判斷；④設此函數(shù)的解析式為，根據(jù)其經(jīng)過，兩點可求出，從而得出該函數(shù)為，進而得出其對稱軸為直線，即，再根據(jù)h的取值范圍和拋物線開口方向求出a的解集，即可判斷．【詳解】解：設過，兩點的直線解析式為，∴，解得：，∴直線的解析式為：，當時，，∴此函數(shù)的圖象經(jīng)過，故①符合題意；若此函數(shù)的圖象為拋物線，即可設其解析式為，將，，代入，得：，解得：，∴拋物線解析式為，∴拋物線的開口向上，故②不符合題意；當函數(shù)的解析式為，且經(jīng)過，和原點，則，解得：，∴，故③不符合題意；設其解析式為，由其圖象經(jīng)過，，∴，解得：，∴該函數(shù)為，∴．∵，∴，即．又∵拋物線開口向下，∴，∴，解得：，故④符合題意；故答案為：①④．【點睛】本題考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關鍵．5．（23·24上·武漢·階段練習）已知拋物線，(為常數(shù))若對滿足的任意實數(shù)，都使得成立，別實數(shù)的取值范圍是．【答案】/【分析】分類討論，函數(shù)圖象與軸有一個交點和沒有交點時，的任意實數(shù)，都有成立，若函數(shù)圖象與軸有兩個交點，則需滿足兩交點的橫坐標均不大于，列出不等式即可求的取值范圍．【詳解】①二次函數(shù)的圖象開口向上，當二次函數(shù)的圖象與軸沒有交點或只有個交點時，總有成立如圖；

此時，即，解得；②當二次函數(shù)的圖象與軸有個交點時，，可得或，設此時兩交點為，，則，要使的任意實數(shù)，都有，需，，即，如圖，且，解得：，此時，綜上，對滿足的任意實數(shù)，都使得成立，則．故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．6．（22·23下·亳州·開學考試）若拋物線過點和兩點，且頂點在第二象限．（1）若該拋物線的對稱軸，則．（2）設，則P的取值范圍是．【答案】【分析】（1）根據(jù)題意，列方程組求解即可得到答案；（2）根據(jù)題意得到，代入使，再由頂點在第二象限，分類討論，確定拋物線開口方向，進而得到，利用不等式性質(zhì)求出范圍即可．【詳解】解：（1）拋物線過點和兩點，，拋物線的對稱軸，，，解得，，故答案為：；（2）拋物線過點和兩點，，，，頂點坐標為，且頂點在第二象限，，當拋物線開口向上時，，則，，與頂點在第二象限矛盾，拋物線開口向下，則，，，則，解得，，，即，故答案為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，涉及待定系數(shù)法確定函數(shù)系數(shù)、頂點坐標及利用二次函數(shù)圖像與性質(zhì)確定式子范圍，熟練掌握二次函數(shù)圖像與性質(zhì)是解決問題的關鍵．7．（23·24上·西城·期中）已知點，在拋物線的圖象上，設拋物線的對稱軸為．(1)若，，則_______；(2)當，時，都有，求的取值范圍．【答案】(1)5(2)【分析】（1）根據(jù)，即可求解；（2）根據(jù)，，，進行討論求解即可【詳解】（1）解：由題意得：拋物線的對稱軸為：直線，∴，故答案為：5．（2）①當時，，∵，∴，，∵，∴．②當時，則與條件矛盾，③當時，與條件矛盾，綜上，當，時，都有，求的取值范圍．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，掌握相關知識并正確理解題意是解題的關鍵．8．（23·24上·朝陽·期中）已知拋物線．(1)求該拋物線的項點坐標（用含的式子表示）；(2)拋物線上有不同的兩點，若，直接寫出的值；(3)點在拋物線上，是否存在實數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的取值范圍，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）由，可得頂點坐標為；（2）由題意知，關于直線對稱，即，計算求解即可；（3）由頂點坐標為，，可知，當時，隨著的增大而增大，當時，隨著的增大而減??；由，可得，當，即時，；當，且，即時，；然后作答即可．【詳解】（1）解：∵，∴頂點坐標為；（2）解：∵拋物線上有不同的兩點，，∴關于直線對稱，∴，解得，，∴；（3）解：∵頂點坐標為，恒成立，∴，當時，隨著的增大而增大，當時，隨著的增大而減??；∵，∴，當，即時，；當，且，即時，；綜上所述，存在，當時，．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的頂點坐標，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．解題的關鍵在于熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．9．（23·24上·門頭溝·期中）已知拋物線．(1)直接寫出拋物線的頂點坐標（用含a的式子表示）；(2)若點，在拋物線上，直接寫出a的取值范圍；(3)若，，都在拋物線上，是否存在實數(shù)m，使得恒成立?若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，【分析】（1）由，可得拋物線的頂點坐標為；（2）令，則，解得，或，則二次函數(shù)圖象與軸的兩個交點為，，分當時，，，由，，可知符合要求；當時，，，由，，計算求解即可；（3）由，可知二次函數(shù)圖象開口向下，當時，隨著的增大而增大；當時，隨著的增大而減?。挥?，可知當，且時，即，此時；當，且時，無解；然后作答即可．【詳解】（1）解：∵，∴拋物線的頂點坐標為；（2）解：令，則，解得，或，∴二次函數(shù)圖象與軸的兩個交點為，，當時，，，∵，，∴符合要求；當時，，，∵點，在拋物線上，∴，，解得，；綜上，a的取值范圍為或；（3）解：存在，；∵，∴二次函數(shù)圖象開口向下，當時，隨著的增大而增大；當時，隨著的增大而減小，∵，∴當，且時，即，此時；當，且時，無解；綜上，時，．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的頂點坐標，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，不等式組的解集，二次函數(shù)與軸的交點．解題的關鍵在于熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．壓軸題型四二次函數(shù)的最值問題1．（22·23下·二模）安安同學在正三角形中放入正方形和正方形（兩個正方形不重疊），使得在邊AB上，點P，N分別在邊上．下列說法正確的是（）A．兩個正方形邊長和的最小值為 B．兩個正方形的邊長差為3C．兩個正方形面積和的最小值為 D．兩個正方形面積和的最大值為【答案】D【分析】連接，設正方形、正方形的邊長分別為，求得面積和的表達式為：，再結(jié)合（2）的結(jié)論，即可求出這兩個正方形面積和的最大值和最小值了．【詳解】解：如圖，連接，則．設正方形、正方形的邊長分別為，它們的面積和為S，則，，∴，∴．延長交于點G，則，在中，由勾股定理，．∵，即，∴，∴，∴，故選項A、B不正確；∴．①當時，即時，S最?。?；故選項C不正確；②當最大時，S最大．即當a最大且b最小時，S最大．∵，由（2）知，，．∴．故選項D正確；故選：D．【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題關鍵是學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．2．（22·23下·三明·二模）已知二次函數(shù)（是常數(shù)，且）的最大值為，且該二次函數(shù)圖像經(jīng)過點，兩點，則的值可能是(

)A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】根據(jù)題意，得到二次函數(shù)的對稱軸為，圖像開口向下；再由二次函數(shù)圖像經(jīng)過點，兩點，得到，從而由二次函數(shù)增減性知到對稱軸距離比到對稱軸距離近，列不等式求解即可得到答案．【詳解】解：二次函數(shù)（是常數(shù)，且）的最大值為，當時有，即二次函數(shù)的對稱軸為，圖像開口向下，二次函數(shù)圖像經(jīng)過點，兩點，，即，，即，當，即時，，解得；當，即時，，解得；四個選項中的數(shù)字，只有滿足上述要求，故選：A．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，難度較大，讀懂題意，將條件準確轉(zhuǎn)化為相應的代數(shù)式求解是解決問題的關鍵．3．（22·23下·岳陽·一模）已知二次函數(shù)，當時，y隨x的增大而減小，則的最大值為（

）A．4 B．6 C．8 D．【答案】C【分析】由二次函數(shù)解析式求出對稱軸，分類討論拋物線開口向下及開口向上的的取值范圍，將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可．【詳解】解：拋物線的對稱軸為直線：，①當時，拋物線開口向上，∵時，y隨x的增大而減小，∴，即．解得，∴，∵，∴．②當時，拋物線開口向下，∵時，y隨x的增大而減小，∴，即，解得，∴，∵，當時，有最大值，∵，∴此情況不存在．綜上所述，最大值為8．故選C．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)．解題的關鍵是將的最大值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值．4．（22·23上·開學考試）已知拋物線經(jīng)過點．（1）和的代數(shù)關系為；（2）若，過點作直線軸，與軸交于點，與拋物線交于另一點，，點為直線上方拋物線上一點，求點到直線距離的最大值為．【答案】9【分析】（1）將點的坐標代入拋物線表達式得：，即可求解；（2）當點是拋物線的頂點時，點到直線距離的最大值，即可求解．【詳解】解：（1）將點的坐標代入拋物線表達式得：，整理得：，故答案為：；（2）由拋物線的表達式知，其對稱軸為，而，故拋物線的對稱軸，即點在對稱軸的左側(cè)，根據(jù)函數(shù)的對稱性，點，，故，即，解得：，則點，當時，拋物線的表達式為：，當點是拋物線的頂點時，點到直線距離的最大值，由拋物線的表達式得，故頂點，則到直線距離的最大值，故答案為：9．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，利用軸對稱求出的值是解題的關鍵．5．（22·23·成都·三模）定義：將函數(shù)的圖象繞點旋轉(zhuǎn)，得到新的函數(shù)的圖象，我們稱函數(shù)是函數(shù)關于點P的相關函數(shù)．如果當時，函數(shù)關于點的相關函數(shù)的最大值為8，則m的值為．【答案】或【分析】先求出該函數(shù)頂點坐標，再根據(jù)題目所給新定義和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，求出其相關函數(shù)的表達式，最后根據(jù)對稱軸的不同位置，進行分類討論即可．【詳解】解：∵，，∴該函數(shù)頂點坐標為，設該函數(shù)關于點的相關函數(shù)頂點坐標為，∴，，解得：，，∴設該函數(shù)關于點的相關函數(shù)頂點坐標為，∴設該函數(shù)關于點的相關函數(shù)為；①當時，，∵，開口向下，∴當時，y有最大值，，解得：，（舍）；②當時，時，當時，y有最大值，，解得：（舍），（舍），③當時，，∵，開口向下，∴當時，y有最大值，，解得：（舍），（舍）；綜上：或．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關鍵是根據(jù)他題意得出該函數(shù)以及其相對函數(shù)的頂點坐標連線中點為，根據(jù)對稱軸的不同位置進行分類討論．6．（22·23下·合肥·二模）已知：關于的二次函數(shù)，（1）當時，函數(shù)的最大值為．（2）若函數(shù)的最大值為，則的最小值為．【答案】【分析】（1）將代入解析式，得出二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為，當時，隨的增大而減小，則函數(shù)的最大值為時，；（2）根據(jù)，先求得當時的的值，進而分，分別求得關于的函數(shù)表達式，進而畫出函數(shù)圖象，即可求解．【詳解】（1）當時，，∵系數(shù)為，則二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為，∴當時，隨的增大而減小，∴當時，函數(shù)的最大值為時，，故答案為：．（2）對稱軸為，∵，①當時，即時，當和時的函數(shù)值相等，拋物線解析式為，在，當或時，最大值為,②當時，即，對應的函數(shù)值大于對應的函數(shù)值，∴，③當時，即，∴關于的函數(shù)圖象，如圖所示，∴的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．7．（23·24上·蘇州·階段練習）已知拋物線與直線都經(jīng)過點，拋物線與y軸交點為，過點B作x軸平行線，與拋物線的另一個交點為C，直線與拋物線對稱軸交與點D，將點D向上平移一個單位得到點E，點E不在直線上方．(1)______；______；______；（均用含m的代數(shù)式表示）(2)若拋物線的頂點為G，求的最小值及此時m的值；(3)連接、、，直接寫出是______三角形．【答案】(1)(2)當時，有最小值(3)等腰直角【分析】（1）將代入即可求出b的值，將、代入，即可求出a和k的值；（2）根據(jù)（1）可得拋物線的表達式為，一次函數(shù)表達式為，求出，則，即可求出和，再根據(jù)三角形的面積公式求出和，即可得出的表達式，將其化為頂點式，即可解答；（3）根據(jù)兩點之間的距離公式求出，，，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：將代入得：，解得：，將、代入得：，解得：，故答案為：；（2）解：∵，∴拋物線的表達式為，∴，∵，∴一次函數(shù)表達式為，把代入得：，∴，∵點D向上平移一個單位得到點E，∴，∵點E不在直線上方，軸，∴，解得：∵，，∴軸，則，∴點B到的距離為m，∴，∵，，∴軸，則，∴點A到的距離為，∴，∴，∵，∴當時，有最小值；（3）解：∵拋物線的表達式為，∴拋物線對稱軸為直線，設∵，∴，解得：，∴，∵、，∴，，，∵，∴是等腰三角形，∵，∴是直角三角形，綜上：是等腰直角三角形．故答案為：等腰直角．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)綜合，等腰三角形的定義，勾股定理逆定理，解題的關鍵是掌握用待定系數(shù)大求解函數(shù)表達式的方法和步驟．8．（23·24上·廣州·期中）已知函數(shù)，記該函數(shù)圖象為．(1)當時，①已知在該函數(shù)圖象上，求的值；②當時，求函數(shù)的最大值．(2)當時，作直線與軸交于點，與函數(shù)交于點，若時，求的值；(3)當時，設圖象與軸交于點，與軸交于點，過點作交直線于點，設點的橫坐標為點的縱坐標為，若，求的值．【答案】(1)①；②;(2)6或14(3)．【分析】（1）①將代入解析式，將代入對應解析式求解．②將分為兩部分確定y的最大值，當時，將配方可得最值，再將代入中，可得，對比可得函數(shù)G的最大值；（2）分兩種情況：Q在x軸的上方和下方；證明是等腰直角三角形，得，列方程可得結(jié)論；（3）分兩種情況：①，如圖2，過點C作軸于D，證明，得，列方程可得結(jié)論；②，如圖3，同理可得結(jié)論．【詳解】（1）解：當時，，①∵在該函數(shù)圖象上，∴；②當時，∵，∴當時，y有最大值是，當時，，∵，∴當時，函數(shù)G的最大值是，（2）分兩種情況：①如圖1，當Q在x軸上方時，由題意得：，

∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴解得：，∵，∴；②當Q在x軸下方時，同理得：解得：，∵，∴；綜上，m的值是6或14（3）分兩種情況：①如圖2，當時，過點C作軸于D，

當時，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，當時，，即，，解得：，∴，且，∵點A的橫坐標為a，C點的縱坐標為c，若，∴，∴，∵，∴，解得：（此時，A，B，C三點重合，舍），，②當時，如圖3，過點C作軸于D，

同理得：，當時，，則，解得：（舍），∴，∴，解得：（舍去），綜上，m的值是．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合運用，主要考查了函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)關系式的確定，解題的關鍵是對關鍵點進行分析，理解分段函數(shù)，并利用圖象解答．9．（23·24上·雞西·期中）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點和點，與y軸交于點C．

(1)求這個二次函數(shù)的表達式；(2)如圖①，二次函數(shù)圖象的對稱軸與直線AC交于點D，若E是直線AC上方拋物線上的一個動點，求面積的最大值；(3)如圖②，P是直線AC上的一個動點，是否存在點P，使是等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)點P的坐標為或或或．【分析】（1）利用待定系數(shù)法，設拋物線的交點式直接得出結(jié)果；（2）先求出拋物線的對稱軸，直線解析式，進而求得，坐標，過點與軸垂直的直線交與，設點坐標為，點坐標為，從而得出，根據(jù)二次函數(shù)的最值得出結(jié)果；（3）設點P為．用兩點距離公式用表示出、，根據(jù)等腰三角形的定義分三種情況列出方程求解即可.【詳解】（1）解：由題意得，；（2）解：如圖1，

由拋物線得：拋物線的對稱軸是直線：，拋物線與y軸交點坐標為又∵直線過、，∴直線解析式為當時，，，設過點與軸垂直的直線交AC與，設點坐標為，點坐標為，∴，∵，∴即∴當時，；（3）解：設，則，，當時，由得，，，，，當時，由得，，，，當時，由得，，，，，綜上所述：點P的坐標為或或或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，一元二次方程的解法，等腰三角形的定義、三角形面積的求法等知識，解決問題（2）的關鍵是利用鉛直法求三角形面積。解決問題（3）的關鍵是利用平面直角坐標系中兩點距離公式表示三角形三邊長．壓軸題型五二次函數(shù)的存在性問題1．（22·23上·濟南·期末）如圖，拋物線與軸交于點，，與軸交于點，連接，點為線段上一個動點（不與點，重合），過點作軸交拋物線于點．(1)求拋物線的表達式和對稱軸；(2)設P的橫坐標為t，請用含t的式子表示線段的長，并求出線段的最大值；(3)已知點M是拋物線對稱軸上的一個點，點N是平面直角坐標系內(nèi)一點，當線段取得最大值時，是否存在這樣的點M，N，使得四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，直線(2)，最大值為4(3)，或，【分析】（1）根據(jù)與x軸交點可得頂點式，化簡即可求解；（2）由，即可求解；（3）當四邊形是菱形時，則，即可求解．【詳解】（1）解：設拋物線的表達式為：，即，則拋物線的對稱軸為直線；（2）設直線的表達式為：，將點的坐標代入上式得：，解得：，故直線的表達式為：，設點，則點，則，，故有最大值，當時，的最大值為4；（3）存在，理由：當時，點，設點，，而點；四邊形是菱形，則，即，解得：，即點的坐標為，或，．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)是解題的關鍵．2．（22·23上·南川·期末）如圖1，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與軸于，兩點，與y軸交于C點，點P是直線BC下方拋物線上一動點．(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)當動點Р運動到什么位置時，使四邊形ACPB的面積最大，求出此時四邊形ACPB的面積最大值和P的坐標；(3)如圖2，點M在拋物線對稱軸上，點N是平面內(nèi)一點，是否存在這樣的點M、N，使得以點M、N、A、C為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有M點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)當時，四邊形ABCP的最大值是，此時點P的坐標為(3)存在，、、、【分析】（1）由二次函數(shù)的圖象與x軸交于兩點，直接利用待定系數(shù)法，即可求得這個二次函數(shù)的表達式；（2）設點P的坐標為，即可由求得答案；（3）分別從當，，AC為對角線，結(jié)合菱形的性質(zhì)去分析求解即可求得答案．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于兩點，∴，解得：，∴這個二次函數(shù)的表達式為：；（2）設點P的坐標為∵∴當時，四邊形ABCP的最大值是，此時點P的坐標為（3）∵∴拋物線的對稱軸為直線，當時，，∴設點M的坐標為，則：，，，設的中點為Q，則點Q的坐標為即，∴，當時，則∴解得，∴、；當時，則，∴解得，∴、；舍去，此時M、A、C三點共線，無法構(gòu)成菱形當AC為對角線時則有：∴解得，∴∴存在這樣的點M、N能夠使得以點M、N、A、C為頂點的四邊形是菱形，此時點M的坐標為：、、、【點睛】此題屬于二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式的知識、二次函數(shù)的最值問題以及菱形的性質(zhì)．注意掌握分類討論思想的應用是解此題的關鍵．3．（22·23下·永州·一模）已知拋物線（，為常數(shù)，且）的對稱軸為，且過點．點是拋物線上的一個動點，點的橫坐標為，直線的解析式為，直線與軸相交于點，與軸相交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)當直線與拋物線