黑龍江省哈爾濱市賓縣第一中學校2024-2025學年高二數(shù)學下學期第一次月考試題理

PAGEPAGE22黑龍江省哈爾濱市賓縣第一中學校2024-2025學年高二數(shù)學下學期第一次月考試題理第I卷（選擇題）一、單選題（每題5分，共60分）1．設(shè)在可導(dǎo)，則等于（）A． B． C． D．2．由直線x＝1，y＝0，x＝0和曲線y＝x3所圍成的曲邊梯形，將區(qū)間4等分，則曲邊梯形面積的近似值(取每個區(qū)間的右端點)是()A． B．C． D．3．已知函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．函數(shù)在區(qū)間[-1，2]上不單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．(-∞，-3] B．(-3，1)C．[1，+∞) D．(-∞，-3]∪[1，+∞)5．已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為，則的極大值為（）A． B． C． D．16．設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中肯定成立的是（）A．有極大值 B．有微小值C．有極大值 D．有微小值7．已知函數(shù)，若，且，則的最小值是（）A．2 B． C． D．8．已知函數(shù)的圖象在點處的切線斜率為，且時，有極值，則在上的最小值為（）A． B． C．3 D．89．某蓮藕種植塘每年的固定成本是2萬元，每年最大規(guī)模的種植量是10萬斤，每種植1斤藕，成本增加1元.銷售額(單位：萬元)與蓮藕種植量(單位：萬斤)滿意(為常數(shù))，若種植3萬斤，利潤是萬元，則要使銷售利潤最大，每年需種植蓮藕（）A．6萬斤 B．8萬斤 C．7萬斤 D．9萬斤10．定義方程的實數(shù)根為函數(shù)的“新駐點”，若函數(shù)，，的“新駐點”分別為a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．11．若，則的最大值是（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，對于隨意的實數(shù)，都有，當時，，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明二、填空題（每題5分，共20分）13．如圖，函數(shù)y＝f(x)的圖像在點P處的切線是l，則f（2）＋＝________．14．如圖，在長方形內(nèi)任取一點，則點落在陰影部分內(nèi)的概率為________.15．已知函數(shù)的定義域為，部分對應(yīng)值如下表，又知的導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖所示：0451221則下列關(guān)于的命題：①函數(shù)的極大值點為2；②函數(shù)在上是減函數(shù)；③假如當時，的最大值是2，那么的最大值為4；④當，函數(shù)有4個零點.其中正確命題的序號是__________．16．設(shè)與是定義在同一區(qū)間上的兩個函數(shù)，若函數(shù)在上有兩個不同的零點，則稱與在上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”．若與在上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是____________．三、解答題（共70分）17．已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)的極值；(要列表).18．已知函數(shù)，其中，.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.19．已知，.（1）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若是的極值點，求在上的最大值．20．曲線在處取得極值，且曲線在點處切線垂直于直線.求曲線與直線所圍成圖形的面積；21．已知函數(shù)．（1）推斷的單調(diào)性，并比較與的大??；（2）若函數(shù)，其中，推斷的零點的個數(shù)，并說明理由．22．已知函數(shù)，.（1）當時，探討的單調(diào)性；（2）若，證明：.參考答案1．D【分析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，可干脆計算出結(jié)果.【詳解】因為在處可導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的定義可得：.故選：D.10．D【解析】將區(qū)間[0,1]四等分，得到4個小區(qū)間：，，，，以每個小區(qū)間右端點的函數(shù)值為高，4個小矩形的面積和為曲邊梯形面積的近似值S＝×＋×＋×＋13×＝.故選D3．D【分析】由條件可得在上恒成立，然后可得，然后求出右邊的最大值即可.【詳解】因為函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)所以在上恒成立所以，因為所以故選：D4．B【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間[-1，2]上單調(diào)時的范圍，再依據(jù)補集思想可得答案.【詳解】，假如函數(shù)在區(qū)間[-1，2]上單調(diào)，那么a-1≥0或，即，解得a≥1或a≤-3，所以當函數(shù)在區(qū)間[-1，2]上不單調(diào)時，.故選：B5．A【分析】求得導(dǎo)函數(shù)，由，，解得，則即可推斷極大值點，進而求得極大值.【詳解】因為，所以，又因為函數(shù)在圖象在處的切線方程為，所以，，解得，.由，，，，，知在處取得極大值，.故選：A.6．B【分析】由函數(shù)的圖象，可得時，；時，；時，，由此可得函數(shù)的單調(diào)性，則答案可求.【詳解】解：函數(shù)的圖象如圖所示，∴時，；時，；時，.∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，∴有微小值.故選：B.7．C【分析】推斷函數(shù)為增函數(shù)，設(shè)，可得，從而可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可.【詳解】函數(shù)，每段函數(shù)均為增函數(shù)，當時，，當時，，所以函數(shù)在整個定義域內(nèi)為增函數(shù)，若，且，則與一個大于，一個小于，不妨設(shè)，則，可得，即，所以，設(shè)，，當時，為減函數(shù)；當時，為增函數(shù)；故.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是將等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，考查了運算求解實力.8．B【分析】依題意可得即可求出參數(shù)的值，再求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，列出表格即可求出函數(shù)在給定的區(qū)間上的最小值；【詳解】解:由題意可得．由，解得，經(jīng)檢驗得時，有極大值，所以，．令，得，，，的值隨的改變狀況如下表：200單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減微小值單調(diào)遞增函數(shù)值388由表可知在上的最小值為．故選：B9．B【分析】建立銷售利潤與種植量的函數(shù)關(guān)系，通過求導(dǎo)推斷單調(diào)性，進而可求出答案.【詳解】設(shè)銷售利潤為，則.因為，所以，則，求導(dǎo)得，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則時，取得最大值.所以要使銷售利潤最大，每年需種植蓮藕8萬斤.故選：B.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，留意利用已知條件建立函數(shù)關(guān)系式，進而通過導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，考查學生的計算求解實力，屬于基礎(chǔ)題.10．C【分析】依據(jù)題干中的新定義分別求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分別解方程求出a，b，c，或者依據(jù)零點存在性定理求出a，b，c的范圍即可求解.【詳解】由可得，令，解得，即．由可得，設(shè)，當時，，當時，，故．由可得，令，得，則，又，所以，得，即．綜上可知，．故選：C．11．B【分析】依據(jù)微積分基本定理化簡函數(shù)為關(guān)于的二次函數(shù)的形式，由二次函數(shù)最值可求得結(jié)果.【詳解】，當時，.故選：B.12．B【分析】由得，進而令，易知為偶函數(shù)，再結(jié)合當時，得函數(shù)在上單調(diào)遞增，由于不等式轉(zhuǎn)化為，進而依據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)解即可.【詳解】∵，∴，令，則，即為偶函數(shù)，當時，∴，即函數(shù)在上單調(diào)遞增.依據(jù)偶函數(shù)對稱區(qū)間上單調(diào)性相反的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，∵，∴，∴，即，解得，，故選：B.【點睛】本題考查抽象函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，解題的關(guān)鍵在于依據(jù)已知構(gòu)造函數(shù)，進而將問題轉(zhuǎn)化為，利用的性質(zhì)求解，考查運算求解實力，化歸轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.13．【分析】由已知結(jié)合導(dǎo)數(shù)的計算及幾何意義即可求解．【詳解】由題圖可知，直線l的方程為：9x＋8y－36＝0．當x＝2時，y＝，即f（2）＝．又切線斜率為－，即f′（2）＝－，∴f（2）＋＝．故答案為：14．【分析】利用微積分基本定理先計算出陰影部分的面積，依據(jù)幾何概型的學問可知：陰影部分的面積與長方形面積比等于對應(yīng)的概率，即可計算出概率值.【詳解】由幾何概型的學問可知：陰影部分的面積與長方形的面積之比等于所求概率，記陰影部分面積為，長方形面積為，所以，，所以所求概率為.故答案為：.【點睛】本題考查幾何概型中的面積模型以及利用微積分基本定理求解定積分的值，屬于綜合型問題，難度一般.幾何概型中的面積模型的計算公式：.15．②【解析】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：當x∈(?1,0),(2,4)時,f′(x)>0，函數(shù)f(x)增區(qū)間為(?1,0),(2,4)；當x∈(0,2),(4,5)時,f′(x)<0，函數(shù)f(x)減區(qū)間為(0,2),(4,5).由此可知函數(shù)f(x)的極大值點為0，4，命題①錯誤；∵函數(shù)在x=0,2處有意義,∴函數(shù)f(x)在[0,2]上是減函數(shù)，命題②正確；當x∈[?1,t]時,f(x)的最大值是2，那么t的最大值為5，命題③不正確；2是函數(shù)的微小值點,若f(2)>1,則函數(shù)y=f(x)?a不肯定有4個零點，命題④不正確．∴正確命題的序號是②．故答案為②．16．【分析】令得，設(shè)函數(shù)，則直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，利用數(shù)形結(jié)合思想可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】令得，設(shè)函數(shù)，則直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個交點，，令，可得，列表如下：極大值，，如下圖所示：由上圖可知，當時，直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個交點，因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查函數(shù)的新定義，本質(zhì)上考查利用函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.17．（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）極大值為，微小值為.【分析】（1）求導(dǎo)數(shù)，依據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）依據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負列表，從而推斷極大微小值，代入求值即可.【詳解】（1），，設(shè)可得或.①當時，或；②當時，，所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為：.（2）由（1）可得，當改變時，，的改變狀況如下表：當時，有極大值，并且極大值為當時，有微小值，并且微小值為.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，屬于基礎(chǔ)題.18．（1）；（2）答案見解析.【分析】（1）當時，，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求出，，再利用點斜式求出切線方程；（2）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再對參數(shù)分類探討，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【詳解】解：（1）當時，，所以，所以，，所以切線方程為：，即：（2）函數(shù)定義域為，，因為，①當時，在上恒成立，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；②當時，由得，由得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)探討含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題.19．（1）；（2）.【分析】（1）由題意可知對隨意的恒成立，轉(zhuǎn)化為，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得函數(shù)在區(qū)間上的最小值，進而可得出實數(shù)的取值范圍；（2）由題意可得出，求得的值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間，求出極值，將極值與和比較大小，可得出函數(shù)在區(qū)間上的最大值.【詳解】（1），，由題意可知，對隨意的恒成立，由于二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是；（2），由于是函數(shù)的極值點，則，解得，，.令，得或，列表如下：微小值所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以，函數(shù)在處取得微小值，且微小值為.又，，則，因此，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為.【點睛】本題考查利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)，同時也考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在區(qū)間上的最值，考查計算實力，屬于基礎(chǔ)題.20．（1）；（2）或.【分析】由且，故簡單求得，以及：（1）先求得與直線交點的橫坐標，利用微積分基本定理即可求得結(jié)果；（2）設(shè)出切點，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可簡單求得結(jié)果.【詳解】（1）聯(lián)立拋物線方程和直線方程，可得=（2）設(shè)切點為所求切線方程為：代入可得：，解得或所求切線方程為：或【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，以及用微積分基本定理求曲邊梯形的面積，由極值點求參數(shù)值，屬綜合基礎(chǔ)題.21．（1）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；；（2）有且僅有1個零點，理由見解析．【分析】（1）求出，由和可得單調(diào)區(qū)間，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得，即，從而可得答案.

（2）由題意可得，當當時可得出的單調(diào)性，依據(jù)零點存在原理可推斷得出結(jié)論；當，先得出的單調(diào)性，從而得出的微小值為，的極大值為，先推斷出的符號，再依據(jù)零點存在原理可推斷得出結(jié)論；【詳解】已知，，由，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.由，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.由函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以即，所以，即，所以（2）據(jù)題可知：，（）①當時，，則，，，即當時，有且僅有1個零點；②當時，由由，解得或，解得所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以的微小值為，的極大值為，設(shè)，其中，，故在上是增函數(shù)，，又，所以有且僅有1個，使．即當時，有且僅有1個零點．綜上所述，有且僅有1個零點【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和利用單調(diào)性比較大小以探討函數(shù)零點的個數(shù)問題，解答本題的關(guān)鍵是當，得出的單調(diào)性，從而的極大值為，設(shè)，其中，探討分析其符號