第03講直線與平面的位置關(guān)系（4個知識點4種題型強化訓(xùn)練）原卷版

第03講直線與平面的位置關(guān)系課程標準學(xué)習(xí)目標1.通過基本事實4和等角定理，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)．2．借助直線與平面平行的判定與性質(zhì)定理，提升邏輯推理的核心素養(yǎng).3.通過學(xué)習(xí)直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，提升直觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng).4.通過學(xué)習(xí)直線與平面所成的角，提升直觀想象、數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).1.能認識和理解空間直線平行的傳遞性，了解等角定理．(重點)2．掌握直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，并能利用這兩個定理解決空間中的平行關(guān)系問題．(重點)3．利用直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理證明空間平行問題．(難點)4.了解直線與平面垂直的定義．(重點)5.理解直線與平面垂直的判定定理，并會用其判斷直線與平面垂直．(難點)5.理解直線與平面所成角的概念，并能解決簡單的線面角問題．(易錯點)7.能利用直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進行證明．(重點)知識點01：直線與平面平行（1）判定定理：如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．（2）性質(zhì)注意：用該定理判斷直線a和平面α平行時，必須同時具備三個條件：(1)直線a在平面α外，即a?α.(2)直線b在平面α內(nèi)，即b?α.(3)兩直線a，b平行，即a∥b.【即學(xué)即練1】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是BC，CC1，BB1的中點，求證：EF∥平面AD1G.知識點02：直線與平面垂直1．直線與平面垂直的定義如果一條直線a與一個平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線a垂直于平面α，記作a⊥α，直線a叫做平面α的垂線，平面α叫做直線a的垂面，垂線和平面的交點稱為垂足．結(jié)論：過一點有且只有一條直線與已知平面垂直，過一點有且只有一個平面與已知直線垂直．2.直線與平面垂直的判定定理如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面．3．直線與平面垂直的性質(zhì)定理如果兩條直線同時垂直于一個平面，那么這兩條直線平行．4．與線面垂直有關(guān)的重要結(jié)論(1)如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于平面內(nèi)的任何一條直線．(2)如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面．(3)如果一條直線與兩個平面都垂直，那么這兩個平面平行．(4)過一點有且只有一條直線和已知平面垂直；過一點有且只有一個平面和已知直線垂直．【即學(xué)即練2】如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M為CC1的中點，AC與BD交于點O，求證：A1O⊥平面MBD.知識點03：直線與平面所成的角有關(guān)概念對應(yīng)圖形斜線一條直線與一個平面相交，但不與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，如圖中直線PA斜足斜線和平面的交點，如圖中點A射影過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影，如圖中斜線PA在平面α上的射影為直線AO直線與平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，如圖中∠PAO；規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°取值范圍設(shè)直線與平面所成的角為θ，則0°≤θ≤90°【即學(xué)即練3】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中．(1)求A1B與平面AA1D1D所成的角；(2)求A1B與平面BB1D1D所成的角．知識點04：三垂線定理平面上的一條直線和這個平面的一條斜線垂直的充要條件是它和這條斜線在平面上的投影垂直:【即學(xué)即練4】（2023秋?長寧區(qū)校級期中）如圖，矩形的長，寬，若平面，矩形的邊上至少有一個點，使得，則的范圍是．題型01證明線面平行【解題策略】應(yīng)用判定定理證明線面平行的步驟“找”是證題的關(guān)鍵，其常用方法有：（1）空間直線平行關(guān)系的傳遞性法；（2）三角形中位線法；（3）平行四邊形法；（4）成比例線段法．【例1】（2223高二上·上海浦東新·期末）如圖，在正方體中，為的中點.(1)求異面直線與所成的角；(2)判斷與平面的位置關(guān)系，并說明理由.【變式11】．（2324高二上·上海寶山·階段練習(xí)）如圖，已知點是平行四邊形所在平面外的一點，，分別是，的中點，求證：平面.【變式12】．（2122高二上·上海浦東新·階段練習(xí)）（1）請用符號語言敘述直線與平面平行的判定定理；（2）把（1）中的定理用反證法證明；（3）如圖，在正方體中，點N在上，點M在，且，求證：平面（用（1）中所寫定理證明）

【變式13】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，P是平面ABCD外一點，M，N分別是AB，PC的中點．求證：MN∥平面PAD.題型02證明線面垂直【解題策略】證明線面垂直的方法(1)由線線垂直證明線面垂直：①定義法(不常用)；②判定定理(最常用)，要著力尋找平面內(nèi)的兩條相交直線(有時需要作輔助線)，使它們與所給直線垂直．(2)平行轉(zhuǎn)化法(利用推論)：①a∥b，a⊥α?b⊥α；②α∥β，a⊥α?a⊥β.【例2】．（2324高二上·上?！ふn后作業(yè)）如圖，四邊形是矩形，，，平面，，．點為線段的中點．(1)求證：平面；(2)求證：平面；【變式21】．（2223高二下·上海普陀·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，O是BD的中點．

(1)求證：平面BCD；(2)求異面直線AB與CD所成角的大小．【變式22】．（2324高三上·上海寶山·開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，分別為棱的中點，，平面平面.求證：

(1)平面；(2)平面．【變式23】．（2324高二下·上?！て谥校┤鐖D，長方體中，，與底面所成的角為．(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成角的大?。}型03直線與平面所成的角【解題策略】求直線與平面所成的角的步驟(1)作(找)——作(找)出直線和平面所成的角．(2)證——證明所作或找到的角就是所求的角并指出線面的平面角．(3)求——常用解三角形的方法(通常是解由垂線、斜線、射影所組成的直角三角形)．(4)答．【例3】．（2324高二下·上?！て谀┤鐖D，在長方體中，已知，，點為棱的中點．求直線與平面所成角的正切值．【變式31】（2324高二下·上海虹口·期末）如圖所示，圓柱的母線長為2，矩形是經(jīng)過的截面，點為母線的中點，點為弧的中點.(1)求異面直線與所成角的大小；(2)若圓柱的側(cè)面積為，求直線與平面所成角的正弦值的大小.【變式32】．（2024·上海松江·二模）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面，為的中點.(1)設(shè)平面與直線相交于點，求證：；(2)若，，，求直線與平面所成角的大小.【變式33】．（2324高二下·上?！て谥校┤鐖D，在正三棱柱中，，此三棱柱的體積為，為側(cè)棱上點，且，、分別為、的中點.(1)求異面直線與所成角的大?。?2)求與平面所成角的大小.題型04證明線線平行的常用方法【解題策略】證明線線平行的常用方法(1)利用線線平行定義：證共面且無公共點．(2)利用基本事實4：證兩線同時平行于第三條直線．(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行．(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直.(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行．【例4】．（2425高二·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）圖1是由正方形組成的一個等腰梯形，其中，將、分別沿折起使得E與F重合，如圖2．設(shè)平面平面，證明：；【變式41】（2324高二下·上海青浦·期末）如左下圖1，是水平放置的矩形，，將矩形沿對角線折起，使得平面平面，如右下圖2．設(shè)O是的中點，D是的中點．(1)求直線與平面所成角的大??；(2)連接，設(shè)平面與平面的交線為直線l，求證：．【變式42】．（2023高二上·上?！ｎ}練習(xí)）如圖，平面平面，，，垂足分別為，，直線平面，.求證：.【變式43】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.一．選擇題1．（2023秋?嘉定區(qū)校級期中）已知直線，和平面，，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2023秋?普陀區(qū)校級期中）在正方體的底面內(nèi)有一點，且平面，則的最小值是A． B． C．1 D．3．（2022秋?長寧區(qū)校級期中）下列四個正方體圖形中，、、、、分別為正方體的頂點或其所在棱的中點，能得出平面的圖形是A． B． C． D．二．填空題4．（2023秋?松江區(qū)校級月考）已知a，b為兩條不同的直線，α為一個平面，且a∥α，b?α，則直線a與b的位置關(guān)系是．【分析】根據(jù)線面，線線關(guān)系判斷即可．【解答】解：∵a∥α，b?α，∴a和b沒有公共點，∴a，b平行或異面．故答案為：平行或異面．【點評】本題考查了線線，線面關(guān)系，是基礎(chǔ)題．5．（2023秋?普陀區(qū)校級月考）設(shè)常數(shù)．如圖，在矩形中，，，平面．若線段上存在點，使得，則的取值范圍是．6．（2023秋?浦東新區(qū)期末）已知正方體，點為線段上的點，則滿足平面的點的個數(shù)為．7．（2023秋?松江區(qū)校級月考）已知點，，，均在半徑為2的球面上，滿足，，，若平面，則．三．解答題8．（2023秋?普陀區(qū)校級期中）如圖，在直三棱柱中，已知，，，為的中點．（1）求異面直線與所成角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）；（2）求證：平面．9．（2023秋?黃浦區(qū)校級月考）（1）請用符號語言敘述直線與平面平行的判定定理；（2）把（1）中的定理用反證法證明；（3）如圖，在正方體中，點在上，點在，且，求證：平面（用（1）中所寫定理證明）10．（2024春?嘉定區(qū)校級期末）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）求證：AB∥平面A1DCB1；（2）求直線A1B與B1C所成的角的大??；（3）求證：BC1⊥平面A1DCB1．11．（2023秋?浦東新區(qū)校級月考）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點，作交于點．（1）求證：平面；（2）求證：平面．12．（2023秋?徐匯區(qū)校級期中）如圖，在四棱錐中，底面，四邊形為正方形，，、分別是、的中點．（1）證明：平面．（2）鱉臑是我國古代數(shù)學(xué)對四個面均為直角三角形的四面體的統(tǒng)稱．右圖中是否能找到鱉臑，若能，寫出一個并證明；若不能，說明理由．13．（2023秋?楊浦區(qū)校級期末）在直三棱柱中，，，，是的