計(jì)算機(jī)輔助中學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)案例

計(jì)算機(jī)輔助中學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)案例

通過對計(jì)算機(jī)輔助中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容選擇原則的分析，對高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)類型及

特點(diǎn)的歸納，對優(yōu)化數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的建議，作者對計(jì)算機(jī)輔助高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)有更深的理

解。在高中教學(xué)實(shí)踐中結(jié)合教學(xué)常規(guī)嘗試性實(shí)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)。以下是在平面解析幾何教學(xué)

過程中展開的探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)——關(guān)于圓錐曲線的一個(gè)切線性質(zhì)探索的教學(xué)課例。

在平面解析幾何教學(xué)中教學(xué)內(nèi)容相對較為抽象需要直觀的觀察，視覺的感知，特別是平

面幾何的圖形展示，圖形的動態(tài)變化過程對解決問題起著不可忽視的作用。通過實(shí)驗(yàn)理解幾

何并探索幾何圖形的性質(zhì)的過程。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，特別是開放性教學(xué)或探索性教學(xué)中，符合

條件的圖形或所求的結(jié)論往往是不直觀的。要將不直觀的圖形的變化過程和隱藏其中的不變

性直觀地體現(xiàn)給學(xué)生，傳統(tǒng)教學(xué)無法做到。利用計(jì)算機(jī)的《幾何畫板》軟件能較好地解決上

述問題，它能對動態(tài)的對象實(shí)行“跟蹤”，并能顯示對象的“軌跡”，這為開放性軌跡教學(xué)提供

了極好的工具。利用這個(gè)功能，能夠使學(xué)生預(yù)先猜測軌跡的形狀，看到軌跡形成的過程及軌

跡變化的過程，為學(xué)生觀察現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)結(jié)論，探討問題創(chuàng)設(shè)了較好的“環(huán)境”，從而激發(fā)學(xué)生

的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)新水平。

因?yàn)椤皫缀萎嫲?'不能直接畫出圓錐曲線的軌跡，不能直接構(gòu)造軌跡與直線的交點(diǎn)，所以

教師在課前要先作好圓錐曲線、圓錐曲線焦點(diǎn)弦，圓錐曲線的切線，及直線與圓錐曲線交點(diǎn)

的自定義工具。

因?yàn)閷}習(xí)題實(shí)行變通推廣、重新理解的過程要限制在學(xué)生水平的“最近發(fā)展區(qū)“，要

在學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)之上，否則會使學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒，影響問題解決，降低學(xué)習(xí)

的效率。故要求學(xué)生課前完成以下兩個(gè)問題：

問題1、過拋物線，=2px（p〉0）焦點(diǎn)仍/2,0）的一條直線與它交于兩點(diǎn)A、B,經(jīng)過點(diǎn)A和

B分別做拋物線的切線AC和BD,求兩切線的交點(diǎn)軌跡。

問題2、設(shè)拋物線中=2°尤伊>0）的焦點(diǎn)為尸，經(jīng)過準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)P做拋物線的兩條切

線，切點(diǎn)為A,及求證：AB直線過拋物線焦點(diǎn)尸（7>/2,0）。

教師用事先準(zhǔn)備好的課件用幾何畫板動態(tài)演示，學(xué)生經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)兩切線的軌跡是一條

直線上，而且直線與X軸交點(diǎn)與焦點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱。使學(xué)生對問題1和2有感性理解，同時(shí)

歸納學(xué)生證明問題1與2的方法，大都借助過拋物線上的點(diǎn)的切線方程聯(lián)立，借助A3直線

過焦點(diǎn)的特點(diǎn)解方程得到。能將上述問題實(shí)行推廣和引申嗎？（激勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的意識和

提出問題的勇氣，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)提出一些猜想并用技術(shù)檢驗(yàn)猜想）

學(xué)生經(jīng)過討論后

Si：在橢圓、雙曲線中應(yīng)該有相似結(jié)論：

22

猜想1過橢圓點(diǎn)+方=1俗>5>0）右焦點(diǎn)RC,0）的一條直線與它交于兩點(diǎn)A、B,經(jīng)過

點(diǎn)A和8做橢圓的兩條切線，兩切線交點(diǎn)軌跡為橢圓右準(zhǔn)線*=

C

22

猜想2過雙曲線二-2=1（〃>0">0,右焦點(diǎn)尸的一條直線與它交于兩點(diǎn)A、B,經(jīng)過點(diǎn)

a~b~

2

A和8做橢圓切線，兩切線交點(diǎn)軌跡為雙曲線右準(zhǔn)線x=—。

C

222

猜想3設(shè)橢圓二+4=l（a?>0）的右焦點(diǎn)為F,經(jīng)過右準(zhǔn)線x=上上任意一點(diǎn)P做橢

a~bc

圓的兩條切線，切點(diǎn)為A,Bo求證：AB直線過橢圓右焦點(diǎn)~C,0）。

222

猜想4設(shè)雙曲線2=1佃>0,/?0）的右焦點(diǎn)為F,經(jīng)過右準(zhǔn)線x=土上任意一點(diǎn)P

abc

做雙曲線右支的兩條切線，切點(diǎn)為A,B。求證：A3直線過雙曲線右焦點(diǎn)F（C,0）。

沒有大膽的猜想就沒有偉大的發(fā)現(xiàn)，但猜想總是準(zhǔn)確的嗎？下面請同學(xué)們利用幾何畫板

對4個(gè)猜想實(shí)行實(shí)驗(yàn)、討論。（每生一臺電腦，分四個(gè)大組，每組一個(gè)猜想，每大組又分四個(gè)

小組）

隨著實(shí)驗(yàn)的實(shí)行，各組學(xué)生持續(xù)地反饋回同一信息，這樣的猜想是準(zhǔn)確的。教師即時(shí)點(diǎn)

拔，在用幾何法證明問題1、2時(shí)主要是采用哪種方法，學(xué)生馬上發(fā)現(xiàn)證明的思路和方法與拋

物線相同。

反思是對自己的思維過程、思維結(jié)果實(shí)行再理解的檢驗(yàn)過程，它是學(xué)習(xí)中不可缺少的重

要環(huán)節(jié)。學(xué)生通過反思對問題及解決問題的思維過程實(shí)行全面地考察、分析和思考，從而深

化對問題的理解，優(yōu)化思維過程，揭示問題本質(zhì)，探索一般規(guī)律，溝通知識間的相互聯(lián)系，

促動知識的同化和遷移，并進(jìn)而產(chǎn)生新的發(fā)現(xiàn)。

面對學(xué)生高漲的熱情和再探究的欲望，教師即時(shí)引導(dǎo)學(xué)生反思整個(gè)“猜想-實(shí)驗(yàn)一修正，，的學(xué)

習(xí)過程，提出：歸納三種圓錐曲線的切線具有相同的幾何性質(zhì)，但共同點(diǎn)是直線是過焦

點(diǎn)的直線，切線焦點(diǎn)軌跡是焦點(diǎn)對應(yīng)的準(zhǔn)線。問題1、2除了剛才改變圓錐曲線的類型，還可

作怎樣的思考，得到更一般的命題。

S2：上述問題其實(shí)是一類焦點(diǎn)弦問題。我想應(yīng)該把直線A3一般化，即直線AB不經(jīng)過圓

錐曲線的焦點(diǎn)。如果得到的6個(gè)新命題成立，那么以上命題就成了新命題的一個(gè)特例。（我追

問：能說說你的新命題嗎？）不好說，還是先實(shí)驗(yàn)吧，我想會有結(jié)果的。

S3：我認(rèn)為還是有個(gè)方案才好，這樣目標(biāo)才更明確，才不致于走彎路。比如說，前面4

個(gè)猜想的驗(yàn)證方法基本相同，所以我們只要給出前面六個(gè)命題中一個(gè)命題的推廣，再加以驗(yàn)

證，并總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，再探求另五個(gè)命題就容易多了。

T：兩同學(xué)真棒，分析得好極了，我們不妨計(jì)劃試試，你們認(rèn)為推廣哪個(gè)命題更容易些？

通過討論，認(rèn)為推廣問題2較好。

大家分成三組各研究一類曲線，動手實(shí)驗(yàn)來解決這個(gè)問題吧！

學(xué)生馬上根據(jù)提示猜想討論一般性結(jié)論，并動手借助幾何畫板的動畫功能將直線AB平

移后，分別做橢圓切線，找兩切線的交點(diǎn)，追蹤交點(diǎn)軌跡實(shí)行實(shí)驗(yàn)。（教師下班輔導(dǎo)即時(shí)引

導(dǎo)防止實(shí)驗(yàn)中斷）

研究拋物線的第一組學(xué)生。如何將直線一般化呢？學(xué)生對比剛才教師實(shí)驗(yàn)演示，發(fā)現(xiàn)直

線AB是以X軸上的定點(diǎn)和曲線上的動點(diǎn)構(gòu)造的，類比之下可將焦點(diǎn)改變?yōu)槠渌鸛軸上的定

點(diǎn)，讓拋物線上動點(diǎn)A創(chuàng)建動畫，實(shí)驗(yàn)結(jié)果馬上表現(xiàn)切線軌跡還是一條垂直于對稱軸的直線。

軌跡直線與X軸交點(diǎn)和直線與X軸的交點(diǎn)的移動保持同步，通過度量兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱,

很快得到討論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果。很快得到兩個(gè)猜想：

猜想5過拋物線對稱軸上定點(diǎn)（C,0）的一條直線與它交于兩點(diǎn)A、B,經(jīng)過點(diǎn)A和B分

別做拋物線的切線AC和BD,求兩切線的交點(diǎn)軌跡為直線X=-C。

猜想6設(shè)拋物線y2=2px（p〉0）,經(jīng)過直線X=-C上任意一點(diǎn)P做拋物線的兩條切線，

切點(diǎn)為A,B。求證：直線過拋物線對稱軸上定點(diǎn)（C,0）。

研究橢圓性質(zhì)的第二組學(xué)生的研究發(fā)方法和第一組相似。要使直線AB一般化，不能隨

意變動，仍需保持一定的規(guī)律性。所以我們也使AB平移為過對稱軸定點(diǎn)的動直線。同樣的

方法得到切線交點(diǎn)軌跡是一條直線，但此直線和定點(diǎn)在同側(cè)，不具備一組同學(xué)所說的定點(diǎn)與

軌跡直線的對稱性。那這條直線與定點(diǎn)無關(guān)嗎？那就沒有特殊性了？實(shí)驗(yàn)陷入困難境地。此

時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生分析已經(jīng)證明的相關(guān)命題，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律尋求突破？很快有學(xué)生孔猜想：既

22

然過焦點(diǎn)C,0）時(shí)軌跡方程是直線X=—,那過伽2,0）直線對應(yīng)的切線交點(diǎn)軌跡是不是x=L?

cm

小組成員馬上根據(jù)他的猜想去度量得到肯定的結(jié)果。第二組討論得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果為：

Y22_

猜想7橢圓斗+4V=1（。＞方＞0）,過定點(diǎn).，0）的一條直線與橢圓交于兩點(diǎn)A、B,經(jīng)過

a~b~

2

點(diǎn)A和8做橢圓的兩條切線，兩切線交點(diǎn)軌跡為直線彳=幺。

m

222

猜想8橢圓當(dāng)+斗=1俗》＞0）,經(jīng)過直線》=幺上任意一點(diǎn)P做橢圓的兩條切線，切

a~bm

點(diǎn)為A,B。求證：AB直線過定點(diǎn)他,0）。

第三組研究過程和第二組基本相同，得到相同結(jié)論。

22

猜想9雙曲線二-==1過定點(diǎn)的一條直線與雙曲線交于兩點(diǎn)A、8,經(jīng)過點(diǎn)A和

ab

2

8做橢圓的兩條切線，兩切線交點(diǎn)軌跡為直線》=幺。

m

V2y22

猜想10雙曲線二=1,經(jīng)過直線兀=又上任意一點(diǎn)P做雙曲線的兩條切線，切點(diǎn)

a~m

為A,Bo求證：AB直線過定點(diǎn)〃”,0）。

幾分鐘以后各小組開始報(bào)告實(shí)驗(yàn)成功，并實(shí)行討論總結(jié)，修正猜想形成命題，實(shí)行交流。

各小組發(fā)言人分別歸納了小組實(shí)驗(yàn)過程和結(jié)果。馬上大家發(fā)現(xiàn)三組結(jié)果中的相似性，都驚嘆

于圓錐曲線的統(tǒng)一性、奇異性、和諧性，被數(shù)學(xué)的內(nèi)在美所震撼。

正當(dāng)大家沉靜在探索成功的喜悅中時(shí)，S5突然發(fā)問：我們推廣A3直線一般性時(shí)仍保持

直線過X軸的特點(diǎn)，如果是過丫軸定點(diǎn)呢？任意一定點(diǎn)結(jié)果會這樣呢？探索的熱情又一次被

鼓動，各小組同學(xué)馬上開始動手實(shí)驗(yàn)，爭先恐后的上機(jī)操作。

又得到猜想：

22

猜想11橢圓二+與過定點(diǎn)（0,m）的一條直線與橢圓交于兩點(diǎn)A、B,經(jīng)過

ab~

2

點(diǎn)A和8做橢圓的兩條切線，兩切線交點(diǎn)軌跡為直線丫=幺。

m

222

猜想12橢圓=+4=im?>o）,經(jīng)過直線>=幺上任意一點(diǎn)p做橢圓的兩條切線，切

am

點(diǎn)為A,Bo求證：A3直線過定點(diǎn)（0,刈。

r22

猜想13雙曲線二-2v=1,過定點(diǎn)（0,刈的一條直線與雙曲線交于兩點(diǎn)A、B,經(jīng)過點(diǎn)

ab

2

A和B做雙曲線的兩條切線，兩切線交點(diǎn)軌跡為直線曠=幺。

m

222

猜想14雙曲線「-斗=1經(jīng)過直線曠=土上任意一點(diǎn)P做的雙曲線兩條切線，切點(diǎn)為

ab~m

A,Bo求證：A3直線過定點(diǎn)（0,機(jī)）。

此時(shí)的學(xué)生，他們的探索精神、創(chuàng)新精神也得到了淋漓盡致的發(fā)揮，從失敗走向成功，

他們體驗(yàn)到了探索中的艱辛與創(chuàng)新成功的喜悅，這有利于形成準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)觀、創(chuàng)新意識及科

學(xué)精神。

“證明是數(shù)學(xué)的靈魂”，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證不等于證明，在教學(xué)活動中不能把結(jié)論僅停留在驗(yàn)

證階段，應(yīng)盡可能地給出它的邏輯證明。因?yàn)閷W(xué)生自主地提出猜想，并在“幾何畫板”的支持

下改進(jìn)了猜想，自然就會有追求證明的渴望，因而此時(shí)的數(shù)學(xué)探索最具吸引力。T：”提出猜

想-動手實(shí)驗(yàn)-改進(jìn)猜想-論證猜想”是探索數(shù)學(xué)規(guī)律、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)的基本過程，而證明或否定

猜想是科學(xué)發(fā)現(xiàn)中不可或缺的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。那么，誰能給出這些命題的證明？

S6：我認(rèn)為這些命題結(jié)構(gòu)相似，證明方法應(yīng)該和問題1、2相似，所以只要證明后面的命

題就能夠了。

T：非常好，S6同學(xué)道出了這個(gè)串問題的解題規(guī)律，給了我們很好的啟示，那么今天的

作業(yè)就是證明本節(jié)