廣東省深圳市福田區(qū)華富中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年廣東省深圳市福田區(qū)華富中學(xué)九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是(

)A. B. C. D.2.已知，下列式子一定成立的是(

)A. B. C. D.3.等腰三角形的一個角是，它的底角度數(shù)為(

)A. B. C.或 D.或4.若一個多邊形的外角和與它的內(nèi)角和相等，則這個多邊形是邊形．A.三 B.四 C.五 D.六5.下列命題中，假命題的是(

)A.矩形的對角線相等 B.平行四邊形的對角線互相平分

C.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形 D.對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形6.某農(nóng)場開挖一條長480米的渠道，開工后每天比原計劃多挖20米，結(jié)果提前4天完成任務(wù)，若設(shè)原計劃每天挖x米，那么下列方程中正確的是(

)A. B.

C. D.7.如果一個正整數(shù)能表示為兩個正整數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“智慧數(shù)”，如：因?yàn)?，所?6就是一個“智慧數(shù)”，下面4個數(shù)中不是“智慧數(shù)”的是(

)A.2021 B.2022 C.2023 D.20248.已知，中，，，CD為邊AB上的中線，若E是線段CA上

任意一點(diǎn)，，交直線BC于F點(diǎn)為EF的中點(diǎn)，連接CG并延長交直線AB于點(diǎn)若，，則CE的長為(

)

A.7 B.8 C.9 D.10二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。9.因式分解：______.10.如圖，已知一次函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式的解是______.

11.如圖，在四邊形ABCD中，P是對角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，，，則的度數(shù)是______.

12.如圖，在?ABCD中，小平行四邊形沿對角線AC平移兩次就到了圖中的位置陰影部分，若小平行四邊形的面積是2，則?ABCD面積是______.

13.如圖在中，，，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，且，的平分線與AB的垂直平分線交于點(diǎn)O，將沿在BC上，F(xiàn)在AC上折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合，則的度數(shù)是______.

三、解答題：本題共7小題，共61分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。14.本小題8分

計算

解不等式組：

解分式方程：15.本小題6分

化簡：，并從1，2，3中選擇一個合適的數(shù)代入求值.16.本小題8分

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的位置如圖所示每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，和關(guān)于點(diǎn)D成中心對稱.

畫出對稱中心D，并寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

畫出繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)后的并標(biāo)明對應(yīng)字母；

畫出與關(guān)于點(diǎn)O成中心對稱的并標(biāo)明對應(yīng)字母.17.本小題8分

在中，，E、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，延長BA到點(diǎn)D，使，連接DE、DF、AE、EF，AF與DE交于點(diǎn)

試說明AF與DE互相平分；

若，，求DO的長．18.本小題8分

某校在商場購進(jìn)A、B兩種品牌的籃球，購買A品牌籃球花費(fèi)了2500元，購買B品牌籃球花費(fèi)了2000元，且購買A品牌籃球的數(shù)量是購買B品牌籃球數(shù)量的2倍，已知購買一個B品牌籃球比購買一個A品牌籃球多花30元．

問購買一個A品牌、一個B品牌的籃球各需多少元？

該校決定再次購進(jìn)A、B兩種品牌籃球共50個，恰逢商場對兩種品牌籃球的售價進(jìn)行調(diào)整，A品牌籃球售價比第一次購買時提高了，B品牌籃球按第一次購買時售價的9折出售，如果該校此次購買A、B兩種品牌籃球的總費(fèi)用不超過3060元，那么該校此次最多可購買多少個B品牌籃球？19.本小題11分

定義：若分式A與分式B的和等于它們的積，即，則稱分式A與分式B互為“等和積分式”.如與，因?yàn)樗耘c互為“等和積分式”，其中一個分式是另外一個分式的“等和積分式”.又如求的等和積分式，可設(shè)其為B，由定義有，去分母得，解得解答以下問題：

判斷分式與分式是不是等和積分式，說明理由；

求分式的“等和積分式”；

①觀察的結(jié)果，尋找規(guī)律，直接寫出分式的“等和積分式”______；

②用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題：

若與互為“等和積分式”，求實(shí)數(shù)m，n的值.20.本小題12分

【課本再現(xiàn)】

如圖1，正方形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形的一個頂點(diǎn)，而且這兩個正方形的邊長都為1，四邊形OEBF為兩個正方形重疊部分，正方形可繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動.則下列結(jié)論正確的是______填序號即可

①≌；

②；

③四邊形OEBF的面積總等于；

④連接EF，總有

【類比遷移】

如圖2，矩形ABCD的中心O是矩形的一個頂點(diǎn)，與邊AB相交于點(diǎn)E，與邊CB相交于點(diǎn)F，連接EF，矩形可繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，猜想AE，CF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明；

【拓展應(yīng)用】

如圖3，在中，，，，直角的頂點(diǎn)D在邊AB的中點(diǎn)處，它的兩條邊DE和DF分別與直線AC，BC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，可繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時，求線段EF的長度.

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；

B.既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

C.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

D.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意．

故選：

根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，對各選項(xiàng)分析判斷即可得解．把一個圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．

本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．2.【答案】C

【解析】解：A、不等式兩邊同時減去1，不等號方向不變，即，故這個選項(xiàng)不符合題意；

B、當(dāng)時，，故這個選項(xiàng)不符合題意；

C、不等式兩邊同時乘以，不等號方向不變，式子成立，故這個選項(xiàng)符合題意；

D、不等式兩邊同時除以負(fù)數(shù)，不等號方向改變，即；不等式兩邊同時加上3，不等號方向不變，即，故這個選項(xiàng)不符合題意．

故選：

利用不等式的性質(zhì)判斷即可．

本題考查了不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是牢記不等式的性質(zhì)，特別是在不等式的兩邊同時乘以或除以一個負(fù)數(shù)時，不等號方向改變．3.【答案】D

【解析】解：分兩種情況：

當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘菚r，

它的底角度數(shù)；

當(dāng)?shù)妊切蔚囊粋€底角是時，另一個底角也是，

它的頂角度數(shù)；

綜上所述：它的底角度數(shù)為或，

故選：

分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘菚r；當(dāng)?shù)妊切蔚囊粋€底角是時；然后分別進(jìn)行計算即可解答．

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．4.【答案】B

【解析】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為

根據(jù)題意得：，

解得：

故選：

任意多邊形的外角和為，然后利用多邊形的內(nèi)角和公式計算即可．

本題主要考查的是多邊形的內(nèi)角和和外角和，掌握任意多邊形的外角和為和多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．5.【答案】D

【解析】解：A、矩形的對角線相等，是真命題；

B、平行四邊形的對角線互相平分，是真命題；

C、對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，是真命題；

D、對角線平分、相等且互相垂直的四邊形是正方形，是假命題；

故選：

根據(jù)平行四邊形，矩形，菱形和正方形的對角線進(jìn)行判斷即可．

本題考查了從對角線來判斷特殊四邊形的方法：對角線互相平分的四邊形為平行四邊形；對角線互相垂直平分的四邊形為菱形；對角線互相平分且相等的四邊形為矩形；對角線互相垂直平分且相等的四邊形為正方形．也考查了真命題與假命題的概念．6.【答案】C

【解析】【分析】

此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，再列出方程．

設(shè)原計劃每天挖x米，則實(shí)際每天挖米，由題意可得等量關(guān)系：原計劃所用時間-實(shí)際所用時間，根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可．

【解答】

解：設(shè)原計劃每天挖x米，由題意得：

7.【答案】B

【解析】解：設(shè)k是正整數(shù)，

，

除1外，所有的奇數(shù)都是智慧數(shù)，所以，A，C選項(xiàng)都是智慧數(shù)，不符合題意；

，

除4外，所有的能被4整除的偶數(shù)都是智慧數(shù)，所以D選項(xiàng)是智慧數(shù)，不符合題意，

B選項(xiàng)2022不是奇數(shù)也不是4的倍數(shù)，不是智慧數(shù)，符合題意．

故選：

設(shè)k是正整數(shù)，證明除1外，所有的奇數(shù)都是智慧數(shù)；除4外，所有的能被4整除的偶數(shù)都是智慧數(shù)，即可得答案．

本題考查了平方差公式分解因式的應(yīng)用，牢記是解題的關(guān)鍵．8.【答案】B

【解析】【分析】

連接DG，易證G是的斜邊CH的中點(diǎn)，可得，進(jìn)一步可知，證明≌，可得，根據(jù)勾股定理，可得即可．

本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)等相關(guān)知識，本題綜合性較強(qiáng)．

【解答】

解：連接DG，如圖所示：

，

，

，G是EF的中點(diǎn)，

，

在中，，，且CD為邊AB上的中線，

，，

，，

，

，

，

，

是CH的中點(diǎn)，

，

，

，

，，

，，，

，

，

，

≌，

，

在中，根據(jù)勾股定理得，

故選：9.【答案】

【解析】解：

，

故答案為：

先提取公因式，然后再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可．

本題主要考查了綜合提公因式法與公式法進(jìn)行因式分解，熟練掌握綜合提公因式法與公式法進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．10.【答案】

【解析】解：當(dāng)時，，

即不等式的解集為

故答案為

觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)時，函數(shù)的圖象都在的圖象上方，所以關(guān)于x的不等式的解集為

本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)的值大于或小于的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線在x軸上或下方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．11.【答案】

【解析】解：是BD的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)，

是的中位線，

，

同理，，

，

，

，

故答案為：

根據(jù)三角形中位線定理得到，，在，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計算即可．

本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．12.【答案】18

【解析】解：過A作，過F作，

在?ABCD中，小平行四邊形沿對角線AC平移兩次就到了圖中的位置陰影部分，

，，

小平行四邊形的面積是2，

，

，

故答案為：

過A作，過F作，根據(jù)平移可得，，然后再根據(jù)平行四邊形的面積公式可得?ABCD面積．

此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行四邊形的面積公式．13.【答案】

【解析】解：如圖，連接OB、OC，

，AO為的平分線，

，

又，

，

是AB的垂直平分線，

，

，

，

為的平分線，，

，

點(diǎn)O在BC的垂直平分線上，

又是AB的垂直平分線，

點(diǎn)O是的外心，

，

將沿在BC上，F(xiàn)在AC上折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合，

，

，

在中，

故答案為：

連接OB、OC，根據(jù)角平分線的定義求出，根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得，根據(jù)等邊對等角可得，再求出，然后判斷出點(diǎn)O是的外心，根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可得，再根據(jù)等邊對等角求出，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，然后根據(jù)等邊對等角求出，再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可

本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，以及翻折變換的性質(zhì)，作輔助線，構(gòu)造出等腰三角形是解題的關(guān)鍵．14.【答案】解：，

解不等式①得：，

解不等式②得：，

原不等式組的解集為：；

，

方程兩邊同乘，得：，

解得：，

檢驗(yàn)：當(dāng)時，

是原分式方程的解．

【解析】先求出每個不等式的解集，再根據(jù)口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解了確定不等式組的解集即可；

先將分式方程化為整式方程求解，再檢驗(yàn)方程的解即可．

本題考查的是解一元一次不等式組，解分式方程，掌握相關(guān)解法是解題關(guān)鍵．15.【答案】解：原式

，

，2，4，，

或3，

當(dāng)時，原式

【解析】先根據(jù)分式的加減計算括號內(nèi)的，同時將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的性質(zhì)化簡，最后將字母的值代入求解．

本題考查了分式化簡求值，熟練掌握分式的性質(zhì)是關(guān)鍵．16.【答案】解：點(diǎn)坐標(biāo)

如圖，畫出；

如圖，畫出

【解析】連接、，交點(diǎn)即為點(diǎn)D；

分別作出點(diǎn)、、繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)，然后把對應(yīng)點(diǎn)順次連接即可得到；

分別作出點(diǎn)、、關(guān)于點(diǎn)O成中心對稱的對應(yīng)點(diǎn)，然后把對應(yīng)點(diǎn)順次連接即可得到

本題主要考查了中心對稱、旋轉(zhuǎn)作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握中心對稱和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．17.【答案】解：、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，

是的中位線，

且

又，即，

，，

四邊形AEFD是平行四邊形，

與DE互相平分；

在中，，，，

由勾股定理得

又由知，，且，

在中，，，，

由勾股定理得

【解析】結(jié)合已知條件推知四邊形AEFD是平行四邊形，在該平行四邊形的兩條對角線互相平分；

根據(jù)勾股定理求得AC的長度，然后由平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理來求DO的長度．

本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)．三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．18.【答案】解：設(shè)購買一個A品牌的籃球需x元，則購買一個B品牌的籃球需元，

由題意得：，

解得：，

經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，

則

答：購買一個A品牌的籃球需50元，購買一個B品牌的籃球需80元．

設(shè)該校此次可購買a個B品牌籃球，則購進(jìn)A品牌籃球個，

由題意得：，

解得：，

答：該校此次最多可購買20個B品牌籃球．

【解析】此題考查分式方程的應(yīng)用與一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式．

設(shè)購買一個A品牌的籃球需x元，則購買一個B品牌的籃球需元，由題意：購買A品牌籃球花費(fèi)了2500元，購買B品牌籃球花費(fèi)了2000元，且購買A品牌籃球的數(shù)量是購買B品牌籃球數(shù)量的2倍，列出分式方程，解方程即可；

設(shè)該校此次可購買a個B品牌籃球，則購進(jìn)A品牌籃球個，根據(jù)購買A、B兩種品牌籃球的總費(fèi)用不超過3060元，列出不等式，解不等式即可．19.【答案】

【解析】解：是；

，

分式與分式是“等和積分式”；

設(shè)分式的“等和積分式”為A，

則，

，

，

即分式的“等和積分式”為；

①分式的“等和積分式”為，理由如下：設(shè)分式的“等和積分式”為M，

則，

，