經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（第六版）（上冊(cè)）課件 第15講4.1不定積分的概念

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)輔導(dǎo)第15講顧靜相4.1不定積分的概念教學(xué)要求

理解原函數(shù)與不定積分的概念.原函數(shù)

對(duì)每一個(gè)可微函數(shù)

F(x)都對(duì)應(yīng)一個(gè)導(dǎo)函數(shù)f(x)，使得F

(x)=f(x)．那么，如果已知一個(gè)函數(shù)

f(x)，能否找到一個(gè)函數(shù)

F(x)，使它的導(dǎo)數(shù)為

f(x)呢？如果函數(shù)

F(x)能夠找到，我們稱它是

f(x)的一個(gè)原函數(shù)．原函數(shù)定義

定義4.1設(shè)

f(x)是定義在區(qū)間(a,b)

內(nèi)的已知函數(shù)．如果存在函數(shù)

F(x)，使對(duì)于任意的x

(a,b)，都有

F

(x)=f(x)或

dF(x)=f(x)dx

則稱

F(x)是

f(x)在(a,b)

上的一個(gè)原函數(shù)．原函數(shù)

2x

的一個(gè)原函數(shù)是

x2，這是因?yàn)?x2)

=2x．而且x2+2，x2－

等也都是2x

的原函數(shù)，甚至對(duì)任意常數(shù)

C，x2+C還是2x

的原函數(shù)，因?yàn)樗鼈兊膶?dǎo)數(shù)都是2x．因此，我們可以說(shuō)2x

的所有原函數(shù)由

x2+C給出．原函數(shù)

如果F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則(C

為任意常數(shù))．所以

F(x)+C也是

f(x)的原函數(shù)．原函數(shù)

另一方面，如果

F(x)和

G(x)都是

f(x)的原函數(shù)，即F

(x)

=G

(x)

=f(x)，則由中值定理的推論可知，F(xiàn)(x)和

G(x)

僅差一常數(shù)，即存在常數(shù)

C0

，使得F(x)

=G(x)

=

C0．

不定積分的定義定義4.2函數(shù)

f(x)的全部原函數(shù)，稱為

f(x)的不定積分，記作其中：“

”稱為積分號(hào)，x

稱為積分變量，f(x)稱為被積函數(shù)，

f(x)dx

稱為積分表達(dá)式．不定積分

如果F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則(C

為任意常數(shù))．C

稱為積分常數(shù)．

因此，求函數(shù)f(x)的不定積分，只需求出f(x)的一個(gè)原函數(shù)再加上積分常數(shù)C．不定積分例1求函數(shù)

f(x)=sinx

的不定積分．不定積分例1求函數(shù)

f(x)=sinx

的不定積分．解因?yàn)?－cosx)

=sinx，所以

(C為任意常數(shù))．

不定積分例2求函數(shù)

f(x)=xα

的不定積分，其中α

≠－1為常數(shù)．不定積分例2求函數(shù)

f(x)=xα

的不定積分，其中α

≠－1為常數(shù)．解因?yàn)?/p>

，所以

（

C為任意常數(shù)）．不定積分例3求函數(shù)

f(x)=的不定積分．不定積分例3求函數(shù)

f(x)=的不定積分．解當(dāng)

x>0時(shí)，有

，所以當(dāng)

x<0時(shí)，有

，所以合并以上兩式，有(x

0)．原函數(shù)的一個(gè)結(jié)論

若函數(shù)

f(x)在某區(qū)間上連續(xù)，那么在此區(qū)間上

f(x)一定有原函數(shù)．

由于初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)必連續(xù)，所以初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都有原函數(shù)．不定積分的幾何意義如果F(x)是f(x)一個(gè)原函數(shù)，那么f(x)的不定積分為

．對(duì)于每一給定的常數(shù)

C，F(xiàn)(x)+C表示坐標(biāo)平面上的一條確定的曲線，這條曲線稱為

f(x)的一條積分曲線．不定積分的幾何意義如果F(x)是f(x)一個(gè)原函數(shù)，那么f(x)的不定積分為

．對(duì)于每一給定的常數(shù)

C，F(xiàn)(x)+C表示坐標(biāo)平面上的一條確定的曲線，這條曲線稱為

f(x)的一條積分曲線．

由于

C可以取任意值，因此不定積分

表示

f(x)