北京市九級2025屆數(shù)學八上期末考試試題含解析

北京市九級2025屆數(shù)學八上期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（每題4分，共48分）1．已知點與關于軸對稱，則的值為（）A．1 B． C．2019 D．2．已知，則（）A． B． C． D．3．等腰三角形兩邊長分別為4和8，則這個等腰三角形的周長為（）A．16 B．18 C．20 D．16或204．點關于軸的對稱點的坐標是A． B． C． D．5．如圖，三個邊長均為4的正方形重疊在一起，，是其中兩個正方形的對角線交點，則陰影部分面積是（）A．2 B．4 C．6 D．86．如圖1，甲、乙兩個容器內(nèi)都裝了一定數(shù)量的水，現(xiàn)將甲容器中的水勻速注入乙容器中．圖2中的線段AB，CD分別表示容器中的水的深度h(厘米)與注入時間t(分鐘)之間的函數(shù)圖象．下列結論錯誤的是()A．注水前乙容器內(nèi)水的高度是5厘米B．甲容器內(nèi)的水4分鐘全部注入乙容器C．注水2分鐘時，甲、乙兩個容器中的水的深度相等D．注水1分鐘時，甲容器的水比乙容器的水深5厘米7．計算的結果是（）A． B．5 C． D．-58．如圖，△ABC與△A'B'C'關于直線L對稱，∠A＝50°，∠C'＝30°，則∠B的度數(shù)為（）A．30° B．50° C．90° D．100°9．下列三組線段能組成三角形的是（）A．1，2，3 B．1，2，4 C．3，4，5 D．3，3，610．下列計算，正確的是（）A． B． C． D．11．已知的值為，若分式中的，均擴大倍，則的值為（）A． B． C． D．12．如圖，C、E和B、D、F分別在∠GAH的兩邊上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，則∠GEF的度數(shù)是（）A．80° B．90° C．100° D．108°二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，直線經(jīng)過原點，點在軸上，于．若A（4，0），B（m，3），C（n，-5），則______．14．鐵路部門規(guī)定旅客免費攜帶行李箱的長寬高之和不超過160cm，某廠家生產(chǎn)符合該規(guī)定的行李箱，已知行李箱的高為30cm，長與寬之比為3:2，則該行李箱長度的最大值是cm.15．已知：在中，，垂足為點，若，，則______.16．分解因式：__．17．如圖，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，頂點B為（﹣4，0），頂點C為（1，0），將△ABC關于y軸軸對稱變換得到△A1B1C1，再將△A1B1C1關于直線x＝2（即過（2，0）垂直于x軸的直線）軸對稱變換得到△A2B2C2，再將△A2B2C2關于直線x＝4軸對稱變換得到△A3B3C3，再將△A3B3C3關于直線x＝6軸對稱變換得到△A4B4C4…，按此規(guī)律繼續(xù)變換下去，則點A10的坐標為_____．18．如圖，在的同側，，點為的中點，若，則的最大值是_____．三、解答題（共78分）19．（8分）（1）如圖是用4個全等的長方形拼成的一個“回形”正方形，圖中陰影部分面積用2種方法表示可得一個等式，這個等式為______．（2）若，，求的值．20．（8分）如圖，在中，已知，的垂直平分線交于點，交于點，連接（1）若，則的度數(shù)是度（2）若，的周長是①求的長度；②若點為直線上一點，請你直接寫出周長的最小值21．（8分）如圖，已知直線與軸，軸分別交于，兩點，以為直角頂點在第二象限作等腰．（1）求點的坐標，并求出直線的關系式；（2）如圖，直線交軸于，在直線上取一點，連接，若，求證：．（3）如圖，在（1）的條件下，直線交軸于點，是線段上一點，在軸上是否存在一點，使面積等于面積的一半？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．22．（10分）如圖，四邊形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求證：∠A+∠C=180°.23．（10分）定義：在平面直角坐標系中，對于任意兩點，，若點滿足，，那么稱點是點，的融合點.例如：，，當點滿是，時，則點是點，的融合點，（1）已知點，，，請說明其中一個點是另外兩個點的融合點.（2）如圖，點，點是直線上任意一點，點是點，的融合點.①試確定與的關系式.②若直線交軸于點，當為直角三角形時，求點的坐標.24．（10分）計算：（1）（x+2）（2x﹣1）（2）（）225．（12分）我們規(guī)定，三角形任意兩邊的“廣益值”等于第三邊上的中線和這邊一半的平方差．如圖1，在中，是邊上的中線，與的“廣益值”就等于的值，可記為（1）在中，若，，求的值．（2）如圖2，在中，，，求，的值．（3）如圖3，在中，是邊上的中線，，，，求和的長．26．廣州市花都區(qū)某校八年級有180名同學參加地震應急演練，對比發(fā)現(xiàn)：經(jīng)專家指導后，平均每秒撤離的人數(shù)是專家指導前的3倍，這180名同學全部撤離的時間比專家指導前快2分鐘.求專家指導前平均每秒撤離的人數(shù)．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【分析】根據(jù)關于x軸對稱的點的坐標規(guī)律可求出m、n的值，代入即可得答案.【詳解】∵點與關于x軸對稱，∴m-1=2m-4，n+2=-2，解得：m=3，n=-4，∴=(3-4)2019=-1.故選B.【點睛】本題考查了關于x軸、y軸對稱的點的坐標，關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)；關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)；掌握好對稱點的坐標規(guī)律是解題關鍵.2、C【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方，即可解答．【詳解】解：，故選：C．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方，解決本題的關鍵是熟記同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方．3、C【分析】由于題中沒有指明哪邊是底哪邊是腰，則應該分兩種情況進行分析．【詳解】①當4為腰時，4+4=8，故此種情況不存在；②當8為腰時，8-4<8<8+4，符合題意．故此三角形的周長=8+8+4=1．故選C【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關系，分情況分析師解題的關鍵.4、A【分析】再根據(jù)關于x軸對稱點的坐標特點：縱坐標互為相反數(shù)，橫坐標不變可得答案．【詳解】解：∵∴M點關于x軸的對稱點的坐標為，故選A.【點睛】此題考查關于x軸對稱點的坐標特點，關鍵是掌握點的坐標的變化規(guī)律5、D【分析】根據(jù)題意作圖，連接O1B，O1C，可得△O1BF≌△O1CG，那么可得陰影部分的面積與正方形面積的關系，同理得出另兩個正方形的陰影部分面積與正方形面積的關系，從而得出答案．【詳解】連接O1B，O1C，如圖：∵∠BO1F＋∠FO1C＝90°，∠FO1C＋∠CO1G＝90°，∴∠BO1F＝∠CO1G，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠O1BF＝∠O1CG＝45°，在△O1BF和△O1CG中，∴△O1BF≌△O1CG（ASA），∴O1、O2兩個正方形陰影部分的面積是S正方形，同理另外兩個正方形陰影部分的面積也是S正方形，∴S陰影＝S正方形＝1．故選D．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的證明，把陰影部分進行合理轉移是解決本題的難點，難度適中．6、D【解析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象，可以判斷各個選項中的說法是否正確，從而可以解答本題．【詳解】解：由圖可得，注水前乙容器內(nèi)水的高度是5厘米，故選項A正確，甲容器內(nèi)的水4分鐘全部注入乙容器，故選項B正確，注水2分鐘時，甲容器內(nèi)水的深度是20×24＝10厘米，乙容器內(nèi)水的深度是：5+（15﹣5）×24＝10厘米，故此時甲、乙兩個容器中的水的深度相等，故選項注水1分鐘時，甲容器內(nèi)水的深度是20﹣20×14＝15厘米，乙容器內(nèi)水的深度是：5+（15﹣5）×14＝7.5厘米，此時甲容器的水比乙容器的水深15﹣7.5＝7.5厘米，故選項故選：D．【點睛】本題考查一次函數(shù)的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答．7、B【解析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡，即可得到答案.【詳解】解：，故選：B.【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握二次根式的性質(zhì)進行計算.8、D【分析】利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出對應角，進而得出答案．【詳解】解：因為△ABC與△A'B'C'關于直線L對稱，所以∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，所以∠B＝180°?50°?30°＝100°，故選：D．【點睛】此題主要考查了軸對稱圖形的性質(zhì)，得出對應角是解題關鍵．9、C【分析】根據(jù)三角形的三邊關系逐一判斷即可．【詳解】A．1+2=3,不符合三角形的三邊關系,不能構成三角形,故本選項不符合題意;B．1+2＜4,不符合三角形的三邊關系,不能構成三角形,故本選項不符合題意;C．3+4＞5,符合三角形的三邊關系,能構成三角形,故本選項符合題意;D．3+3=6,不符合三角形的三邊關系,不能構成三角形,故本選項不符合題意．故選C．【點睛】此題考查的是判斷三條線段是否能構成三角形,掌握三角形的三邊關系是解決此題的關鍵．10、B【解析】解：A．，故A錯誤；B．，正確；C．，故C錯誤；D．，故D錯誤．故選B．11、C【分析】依題意分別用2x和2y去代換原分式中的x和y，利用分式的基本性質(zhì)化簡即可．【詳解】分別用2x和2y去代換原分式中的x和y，得＝==，故選：C．【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)．解題的關鍵是抓住分子、分母變化的倍數(shù)，解此類題首先把字母變化后的值代入式子中，然后約分，再與原式比較，最終得出結論．12、B【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和為180°逐步算出答案．【詳解】解：∵AB=BC，∴∠ACB=∠A=18°，∴∠CBD=∠A+∠ACB=36°，∵BC=CD，∴∠CDB=∠CBD=36°，∴∠DCE=∠A+∠CDA=18°+36°=54°，∵CD=DE，∴∠CED=∠DCE=54°，∴∠EDF=∠A+∠AED=18°+54°=72°，∵DE=EF，∴∠EFD=∠EDF=72°，∴∠GEF=∠A+∠AFE=18°+72°=90°．【點睛】熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．二、填空題（每題4分，共24分）13、【分析】作三角形的高線，根據(jù)坐標求出BE、OA、OF的長，利用面積法可以得出BC?AD=1．【詳解】解：過B作BE⊥x軸于E，過C作CF⊥y軸于F，∵B（m，3），∴BE=3，∵A（4，0），∴AO=4，∵C（n，-5），∴OF=5，∵S△AOB=AO?BE=×4×3=6，S△AOC=AO?OF=×4×5=10，∴S△AOB+S△AOC=6+10=16，∵S△ABC=S△AOB+S△AOC，∴BC?AD=16，∴BC?AD=1，故答案為：1．【點睛】本題考查了坐標與圖形性質(zhì)，根據(jù)點的坐標表示出對應線段的長，面積法在幾何問題中經(jīng)常運用，要熟練掌握；本題根據(jù)面積法求出線段的積．14、1.【分析】設長為3x，寬為2x，再由行李箱的長、寬、高之和不超過160cm，可得出不等式，解出即可．【詳解】解：設長為3xcm，寬為2xcm，由題意，得：5x+30≤160，解得：x≤26，故行李箱的長的最大值為1．故答案為1cm．15、75°或35°【分析】分兩種情況：當為銳角時，過點A作AD=AB，交BC于點D，通過等量代換得出，從而利用三角形外角的性質(zhì)求出，最后利用三角形內(nèi)角和即可求解；當為鈍角時，直接利用等腰三角形的性質(zhì)和外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】當為銳角時，過點A作AD=AB，交BC于點D，如圖1當為鈍角時，如圖2故答案為：75°或35°．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，分情況討論是解題的關鍵．16、．【解析】直接利用平方差公式進行分解即可．【詳解】原式，故答案為：．【點睛】本題主要考查了公式法分解因式，熟練掌握平方差公式是解題的關鍵．17、（15.5，2.5）【分析】根據(jù)對稱性質(zhì)可得點的坐標變化規(guī)律，由此即可求解．【詳解】解：△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，頂點B為(﹣4，0)，頂點C為(1，0)，∴BC＝5∴A(﹣1.5，2.5)將△ABC關于y軸軸對稱變換得到△A1B1C1，∴A1(1.5，2.5)再將△A1B1C1關于直線x＝2軸對稱變換得到△A2B2C2，∴A2(2.5，2.5)再將△A2B2C2關于直線x＝4軸對稱變換得到△A3B3C3，∴A3(5.5，2.5)再將△A3B3C3關于直線x＝6軸對稱變換得到△A4B4C4，∴A4(6.5，2.5)…按此規(guī)律繼續(xù)變換下去，A5(8.5，2.5)，A6(9.5，2.5)，A7(11.5，2.5)則點A10的坐標為(15.5，2.5)，故答案為：(15.5，2.5)．【點睛】本題考查了規(guī)律型點的坐標，解決本題的關鍵是掌握對稱性．注意在尋找規(guī)律的過程中需要多寫出幾個點A的坐標．18、14【分析】如圖，作點A關于CM的對稱點A′，點B關于DM的對稱點B′，證明△A′MB′為等邊三角形，即可解決問題．【詳解】解：如圖，作點關于的對稱點，點關于的對稱點．，，，，，為等邊三角形，的最大值為，故答案為．【點睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，兩點之間線段最短，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，學會利用兩點之間線段最短解決最值問題三、解答題（共78分）19、（1）；（2）．【分析】（1）我們通過觀察可知陰影部分面積為4ab，他是由大正方形的面積減去中間小正方形的面積得到的，從而得出等式;

（2）可利用上題得出的結論求值．【詳解】（1）觀察圖形可知陰影部分的面積是邊長為(a+b)的正方形面積減去邊長為(a-b)的正方形面積，也是4個長是a寬是b的長方形的面積,所以．（2）根據(jù)（1）的結論可得：【點睛】本題是根據(jù)圖形列等式，并利用等式來求值，利用等式時要弄清那個式子是等式中的a，那個式子是b．20、（1）40°；（2）①8；②【分析】（1）根據(jù)垂直平分線上的點到線段兩個端點距離相等得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解；（2）①根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得，的周長是，，即可求的長度；②當點與點重合時，周長的最小，即為的周長.【詳解】解：（1），，，，是的垂直平分線，，，，，．故答案為．（2）①，的周長是，即，，，．答：的長度為．②點B關于MN對稱點為A，AC與MN交于點M，∴當點與點重合時，周長的值最小，且為AC+BC=10+8=18cm，∴的周長的最小值為．【點睛】本題考查了軸對稱—最短路線問題，解決本題的關鍵是掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．21、（1）y＝x+4；（2）見解析；（3）存在，點N（﹣，0）或（，0）．【分析】（1）根據(jù)題意證明△CHB≌△BOA（AAS），即可求解；（2）求出B、E、D的坐標分別為（-1，0）、（0，）、（1，-1），即可求解；（3）求出BC表達式，將點P代入，求出a值，再根據(jù)AC表達式求出M點坐標，由S△BMC=MB×yC=×10×2=10，S△BPN＝S△BCM=5＝NB×a=可求解．【詳解】解：（1）令x＝0，則y＝4，令y＝0，則x＝﹣2，則點A、B的坐標分別為：（0，4）、（﹣2，0），過點C作CH⊥x軸于點H，∵∠HCB+∠CBH＝90°，∠CBH+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BCH，∠CHB＝∠BOA＝90°，BC＝BA，在△CHB和△BOA中，，∴△CHB≌△BOA（AAS），∴BH＝OA＝4，CH＝OB=2，∴點C（﹣6，2），將點A、C的坐標代入一次函數(shù)表達式：y=mx+b得：，解得：，故直線AC的表達式為：y＝x+4；（2）同理可得直線CD的表達式為：y＝﹣x﹣1①，則點E（0，﹣1），直線AD的表達式為：y＝﹣3x+4②，聯(lián)立①②并解得：x＝2，即點D（2，﹣2），點B、E、D的坐標分別為（﹣2，0）、（0，﹣1）、（2，﹣2），故點E是BD的中點，即BE＝DE；（3）將點BC的坐標代入一次函數(shù)表達式并解得：直線BC的表達式為：y＝﹣x-1，將點P（﹣，a）代入直線BC的表達式得：，直線AC的表達式為：y＝x+4，令y=0，則x=-12，則點M（﹣12，0），S△BMC＝MB×yC＝×10×2=10，S△BPN＝S△BCM=5＝NB×a=，解得：NB＝，故點N（﹣，0）或（，0）．【點睛】本題考查的是一次函數(shù)綜合運用，涉及到三角形全等、求函數(shù)表達式、面積的計算等，綜合性較強，理清題中條件關系，正確求出點的坐標是解題的關鍵.22、見解析【分析】連接AC．首先根據(jù)勾股定理求得AC的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理求得∠D=90°，進而求出∠A+∠C=180°【詳解】證明：連接AC.∵AB=20，BC=15，∠B=90°，∴由勾股定理,得AC2=202+152=625又CD=7，AD=24，∴CD2+AD2=625，∴AC2=CD2+AD2∴∠D=90°，∴∠A+∠C=360°?180°=180°【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理、勾股定理、多邊形內(nèi)角與外角，借助輔助線方法是解決本題的關鍵23、（1）點是點，的融合點；（2）①，②符合題意的點為，.【分析】（1）由題中融合點的定義即可求得答案.（2）①由題中融合點的定義可得，.②結合題意分三種情況討論：（?。r，畫出圖形，由融合點的定義求得點坐標；（ⅱ）時，畫出圖形，由融合點的定義求得點坐標；（ⅲ）時，由題意知此種情況不存在.【詳解】（1）解：，∴點是點，的融合點（2）解：①由融合點定義知，得．又∵，得∴，化簡得．②要使為直角三角形，可分三種情況討論：（i）當時，如圖1所示，設，則點為．由點是點，的融合點，可得或，解得，∴點．（ii）當時，如圖2所示，則點為．由點是點，的融合點，可得點．（iii）當時，該情況不存在．綜上所述，符合題意的點為，【點睛】本題是一次函數(shù)綜合運用題，涉及到勾股定理得運用，此類新定義題目，通常按照題設順序，逐次求解．24、（1）2x2+3x﹣2；（2）．【分析】（1）直接利用多項式乘法運算法則計算得出答案；（2）直接利用乘法公式計算得出答案．【詳解】解：（1）原式=2x2﹣x+4x﹣2=2x2+3x﹣2；（2）原式=3+2﹣2=5﹣2．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，正確掌握相關運算法則是解題的關鍵．25、(1)AC=9;(2)ABAC=-72,BABC=216;(3)BC=2OC=2,AB=10.【分析】(1)在Rt中,根據(jù)勾股定理和新定義可得AO2-OC2=81=AC2;(2)①先利用含30°的直角三角形的性質(zhì)求出AO=2,OB=,再用新定義即可得出結論;②先構造直角三角形求出BE