專題拓展指數(shù)型與對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)（技巧解密6考點(diǎn)過關(guān)檢測(cè)）

專題拓展：指數(shù)型與對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)一、復(fù)合函數(shù)的概念如果函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瑒t當(dāng)時(shí)，函數(shù)為與在上的復(fù)合函數(shù)，其中叫做內(nèi)層函數(shù)，叫做外層函數(shù)．二、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性1、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律：“同增異減”若內(nèi)外兩層函數(shù)的單調(diào)性相同，則它們的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若內(nèi)外兩層函數(shù)的單調(diào)性相反，則它們的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)．2、具體判斷步驟（1）求出原函數(shù)的定義域；（2）將復(fù)合函數(shù)分解為內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)；（3）分析內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性；（4）利用復(fù)合函數(shù)法“同增異減”可得出結(jié)論．三、復(fù)合函數(shù)的值域求解1、指數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域的求法（1）形如（，且）的函數(shù)求值域：令，將求原函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求的值域，但要注意“新元”的范圍．（2）形如（，且）的函數(shù)求值域：令，先求出的值域，再利用的單調(diào)性求出的值域．2、對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域的求法（1）形如（，且）的函數(shù)求值域：令，先求出的值域，再利用在上的單調(diào)性，再求出的值域．（2）形如（，且）的函數(shù)的值域：令，先求出的值域，再利用的單調(diào)性求出的值域．考點(diǎn)一：判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性例1．（2324高一上·河北石家莊·月考）已知函數(shù)，則函數(shù)的遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.故選：D【變式11】（2223高一上·廣東·期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【答案】【解析】設(shè)，則，對(duì)稱軸為，當(dāng)，即，即，即時(shí)，為減函數(shù)，函數(shù)為增函數(shù)，則為減函數(shù)，即函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)，即，即，即時(shí)，為減函數(shù)，函數(shù)為減函數(shù)，則為增函數(shù)，即函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為.故答案為：【變式12】（2324高一下·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）已知函數(shù)，則函數(shù)的減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上單調(diào)遞減，故函數(shù)的減區(qū)間即為函數(shù)的增區(qū)間，所以，解得，即函數(shù)的減區(qū)間是.故選：D.【變式13】（2324高一上·廣東廣州·期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由不等式，即，解得或，又由函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因?yàn)樵诙x域上為單調(diào)遞增函數(shù)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：D.考點(diǎn)二：根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)例2.（2324高一上·黑龍江哈爾濱·期中）函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【解析】設(shè)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，故.故答案為：.【變式21】（2324高一上·遼寧沈陽(yáng)·月考）已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意知函數(shù)由復(fù)合而成，在上為增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的同增異減性，可知需為R上的增函數(shù)，故，∴，∴或，故選：D.【變式22】（2324高一上·江蘇連云港·月考）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，且，所以，解得，故選：C【變式23】（2324高一上·湖北·期末）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知得，解之得，即的定義域?yàn)?，又在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得：，解得．故選：D考點(diǎn)三：求復(fù)合函數(shù)的最值或值域例3.（2324高一上·浙江杭州·月考）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，令，則，又在上單調(diào)遞增，則，則函數(shù)的值域?yàn)楣蔬x：B【變式31】（2324高一上·重慶·期末）函數(shù)的值域是.【答案】【解析】依題意，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而函數(shù)在R上單調(diào)遞減，因此，所以函數(shù)的值域是.故答案為：【變式32】（2324高一上·福建三明·期中）函數(shù)在時(shí)的值域是．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，函數(shù)，顯然當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，所以所求值域是.故答案為：【變式33】（2223高一上·山東·月考）已知對(duì)數(shù)函數(shù)，并且它的圖象過點(diǎn).(1)求的解析式；(2)若，，求的值域.【答案】(1)；(2)【解析】（1）設(shè)（，且）的圖像過點(diǎn)，，即，，即，；（2）令，，函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)，該函數(shù)圖象開口朝上，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，有最小值，，當(dāng)時(shí)，有最大值，，的值域?yàn)榭键c(diǎn)四：根據(jù)復(fù)合函數(shù)的最值/值域求參例4.（2324高一上·四川成都·期末）已知函數(shù)的值域?yàn)?，的值域?yàn)椋瑒t（

）A．0 B．1 C．3 D．5【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，所以函?shù)的值域?yàn)?，所以，解得，因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所以的最小值為9，所以，解得，所以．故選：A．【變式41】（2324高一上·江蘇南京·期末）已知函數(shù)在上的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，因?yàn)榈闹涤驗(yàn)椋?，又，，所以，即，解得：且，所以?shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.【變式42】（2324高一上·山西長(zhǎng)治·期末）已知函數(shù)的最大值為2，則．【答案】6【解析】因?yàn)楹瘮?shù)由與復(fù)合而成，而在定義域上單調(diào)遞增，所以當(dāng)取最大值時(shí)，函數(shù)取得最大值，由二次函數(shù)的性質(zhì)易知當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以，解得．故答案為：【變式43】（2223高一下·青海西寧·開學(xué)考試）若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒ta的取值范圍是.【答案】【解析】若，則，不滿足題意；若，則，當(dāng)，即時(shí)，的值域?yàn)?，滿足題意.故答案為：.考點(diǎn)五：復(fù)合函數(shù)的奇偶性及應(yīng)用例5.（2324高一上·新疆伊犁·期中）已知是奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】由函數(shù)，可得，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，解得.故選：A.【變式51】（2324高一上·遼寧·月考）設(shè)且，若函數(shù)是上的奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于函數(shù)是上的奇函數(shù)，故，即，故，即，因?yàn)?，故，故選：A【變式52】（2324高一上·廣東汕頭·期末）函數(shù)（a為常數(shù)）的奇偶性為（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù) D．都不是【答案】A【解析】根據(jù)題意，設(shè)，其定義域?yàn)?，所以函?shù)f（x）為奇函數(shù)，故選：A．【變式53】（2324高三上·福建莆田·月考）若函數(shù)為偶函數(shù)，則（

）A．1 B．0 C． D．1【答案】B【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，，則有，解得，經(jīng)驗(yàn)證時(shí)，符合條件，故選：B.考點(diǎn)六：與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的不等式例6.（2324高一上·廣東肇慶·期末）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求的解析式；(2)解不等式.【答案】(1)；(2)【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以.（2）由（1）及對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知：，整理得，所以，所以不等式的解集為.【變式61】（2324高一上·江西九江·期末）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù).(1)求并判斷的單調(diào)性；(2)解關(guān)于的不等式.【答案】(1)，在上單調(diào)遞減；(2)．【解析】（1）由題意，，此時(shí)，，是奇函數(shù)，設(shè)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)滿足，則，因?yàn)?，所以，所以，又，所以，即，所以在上單調(diào)遞減；（2）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，因此原不等式化為，又在上單調(diào)遞減，所以不等式化為，即，所以，又，故解得，所以原不等式的解集為．【變式62】（2324高一上·遼寧大連·期末）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)是奇函數(shù).(1)求a的值；(2)試判斷的單調(diào)性，并用定義證明；(3)解關(guān)于x的不等式.【答案】(1)；(2)單調(diào)遞增，證明見解析；(3)【解析】（1）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且定義域?yàn)镽，則，解得；所以，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，所以；（2）在R上單調(diào)遞增，證明：，且，都有，因?yàn)?，所以，所以，，所以，即，所以在R上單調(diào)遞增；（3），因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，所以，解得，所以，即不等式的解集為.【變式63】（2324高一上·廣東深圳·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意都有，，且當(dāng)時(shí)，.(1)求；(2)已知，且，若，求的取值范圍.【答案】(1)，；(2)【解析】（1）令得，，令，得，，令，得，；（2）任意，設(shè)，則，時(shí)，，，，是上的減函數(shù)，中，令得，故為奇函數(shù)，，且，又，，，即，則，當(dāng)時(shí)，，則，即，故；當(dāng)時(shí)，，則，即，則；綜上，的取值范圍為一、單選題1．（2223高一上·河北石家莊·月考）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【解析】二次函數(shù)開口向下，當(dāng)時(shí)，最大值為，函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，所以的值域?yàn)?故選：B.2．（2324高一上·浙江杭州·期中）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，設(shè)，則，故函數(shù)的值域?yàn)?故選：C3．（2324高一上·湖南婁底·期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，令，解得，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：D.4．（2324高一上·廣東佛山·月考）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，則t在上遞減，在上遞增，又在R上遞增，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選：B5．（2324高一上·山東濟(jì)寧·月考）已知在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，則，因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)與的單調(diào)性相反；又因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以需在上單調(diào)遞增.函數(shù)的對(duì)稱軸為，所以只需要，故選:A.6．（2324高三下·廣東·一模）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則的最小值為（

）A．3 B．5 C． D．【答案】C【解析】令，得，故函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)槭瞧婧瘮?shù)，則其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得，即，此時(shí)，可得，可得是奇函數(shù)，即符合題意；故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為，故選：C．二、多選題7．（2324高一下·遼寧葫蘆島·開學(xué)考試）已知函數(shù)則下列說法正確的有（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)锽．函數(shù)有最小值C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)镽D．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【答案】AC【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，令，解得或，則的定義域?yàn)?，故A正確；對(duì)于B、C，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)镽，無最小值，故B錯(cuò)誤，C正確；對(duì)于D，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，則，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故D錯(cuò)誤.故選：AC8．（2324高一上·湖北荊州·期中）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞增B．的值域?yàn)镃．不等式的解集為D．若在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】ACD【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上的值域?yàn)?，而函?shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，A正確，B錯(cuò)誤；不等式，解得，C正確；依題意，函數(shù)，顯然在上單調(diào)遞減，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，即，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，D正確.故選：ACD三、填空題9．（2122高一上·山西忻州·期末）函數(shù)的值域?yàn)镽，則a的取值范圍為【答案】【解析】令，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)镽，所以為函數(shù)值域的子集，則，所以a的取值范圍為.故答案為：10．（2324高一上·廣東茂名·期中）函數(shù)的值域是.【答案】【解析】令，則，因?yàn)?，則，且的對(duì)稱軸為，可知，所以的值域是.故答案為：.11．（2122高一上·山東棗莊·期中）設(shè)，且，函數(shù)在上的最大值為，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】或【解析】令且，則，且，，函數(shù)是上的增函數(shù)；當(dāng)，時(shí)，，，即，解得：或（舍）；當(dāng)，時(shí)，，，即，解得：或（舍）；綜上所述：實(shí)數(shù)的值為或.故答案為：或.四、解答題12．（2324高一上·甘肅威武·月考）已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間(2)若有最大值3，求的值(3)若的值域是，求的值【答案】(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；(2)1；(3)0.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，令，由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而在R上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．（2）令，，由于有最大值3，所以應(yīng)有最小值，因此必有．解得，即有最大值3時(shí)，a為1．（3）由指數(shù)函數(shù)的性