第一章直線與圓知識歸納與題型突破（4大考點8大題型）（原卷版）

第一章直線與圓（題型清單）0101考點歸納考點一、直線的方程考點二、兩條直線的位置關系考點三、圓的方程考點四、直線與圓、圓與圓的位置關系0202知識速記直線的方程1．直線的傾斜角一般地，給定平面直角坐標系中的一條直線，如果這條直線與x軸相交，將x軸繞著它們的交點按eq\o(□,\s\up1(1))逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時所轉(zhuǎn)的eq\o(□,\s\up1(2))最小正角記為θ，則稱θ為這條直線的eq\o(□,\s\up1(3))傾斜角；傾斜角的取值范圍是eq\o(□,\s\up1(4))[0，π)．2．直線的斜率(1)一般地，如果直線l的傾斜角為θ，則當θ≠90?時，稱k＝eq\o(□,\s\up1(5))tanθ為直線l的斜率；當θ＝90°時，稱直線l的斜率不存在．(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直線l上兩個不同的點，則當x1≠x2時，直線l的斜率為k＝eq\o(□,\s\up1(6))eq\f(y2－y1,x2－x1)；當x1＝x2時，直線l的斜率不存在．(3)設A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2)是直線l上的兩點，則向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)以及與它平行的向量都是直線的eq\o(□,\s\up1(7))方向向量．若直線l的斜率為k，它的一個方向向量的坐標為(u，v)，則k＝eq\o(□,\s\up1(8))eq\f(v,u)．3．直線方程的五種形式名稱幾何要素方程形式適用范圍點斜式點(x0，y0)，斜率keq\o(□,\s\up1(9))y－y0＝k(x－x0)與x軸不垂直斜截式斜率k，縱截距beq\o(□,\s\up1(10))y＝kx＋b兩點式點(x1，y1)，點(x2，y2)，x1≠x2，y1≠y2eq\o(□,\s\up1(11))eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)與坐標軸不垂直截距式縱、橫截距，a≠0，b≠0eq\o(□,\s\up1(12))eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不過原點且不垂直于坐標軸一般式Ax＋By＋C＝0(A≠0或B≠0)所有直線常用結論1．經(jīng)過任意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．2．直線的傾斜角α和斜率k之間的對應關系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<0兩條直線的位置關系1．兩條直線的位置關系斜截式一般式方程y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)，A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)相交eq\o(□,\s\up1(1))k1≠k2A1B2－A2B1≠0垂直k1k2＝eq\o(□,\s\up1(2))－1eq\o(□,\s\up1(3))A1A2＋B1B2＝0平行eq\o(□,\s\up1(4))k1＝k2且b1≠b2eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,A1C2－A2C1≠0))重合eq\o(□,\s\up1(5))k1＝k2且b1＝b2A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝0(1)當直線l1，l2不重合且斜率都不存在時，l1∥l2.(2)當其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時，l1⊥l2.2．兩直線的位置關系與方程組解的關系方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一組無數(shù)組無解直線l1與l2的公共點的個數(shù)一個無數(shù)個零個直線l1與l2的位置關系相交重合eq\o(□,\s\up1(6))平行3.三種距離公式(1)兩點間的距離公式平面上任意兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式為|P1P2|＝eq\o(□,\s\up1(7))eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．(2)點到直線的距離公式點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\o(□,\s\up1(8))eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))．(3)兩平行直線間的距離公式兩條平行直線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\o(□,\s\up1(9))eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))．圓的方程1．圓的定義與方程2．點與圓的位置關系圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圓心C的坐標為(a，b)，半徑為r，設M的坐標為(x0，y0)．三種情況(x0－a)2＋(y0－b)2eq\o(□,\s\up1(6))＝r2?點在圓上(x0－a)2＋(y0－b)2eq\o(□,\s\up1(7))>r2?點在圓外(x0－a)2＋(y0－b)2eq\o(□,\s\up1(8))<r2?點在圓內(nèi)直線與圓、圓與圓的位置關系1．直線與圓的位置關系設圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0，圓心C(a，b)到直線l的距離為d，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－a）2＋（y－b）2＝r2，,Ax＋By＋C＝0，))消去y(或x)，得到關于x(或y)的一元二次方程，其判別式為Δ.位置關系相離相切相交圖形量化方程觀點Δeq\o(□,\s\up1(1))<0Δeq\o(□,\s\up1(2))＝0Δeq\o(□,\s\up1(3))>0幾何觀點deq\o(□,\s\up1(4))>rdeq\o(□,\s\up1(5))＝rdeq\o(□,\s\up1(6))<r2．圓與圓的位置關系已知兩圓C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝req\o\al(2,1)，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝req\o\al(2,2)，則圓心距d＝|C1C2|＝eq\o(□,\s\up1(7))eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)．則兩圓C1，C2有以下位置關系：位置關系圓心距與半徑的關系圖示公切線條數(shù)外離eq\o(□,\s\up1(8))d>r1＋r24內(nèi)含eq\o(□,\s\up1(9))d<|r1－r2|0相交eq\o(□,\s\up1(10))|r1－r2|<d<r1＋r22內(nèi)切eq\o(□,\s\up1(11))d＝|r1－r2|1外切eq\o(□,\s\up1(12))d＝r1＋r230303題型歸納題型一直線的方程例題：11．過點，傾斜角為的直線方程是（

）A． B．C． D．12．過點和，的直線的一般式方程為（

）A． B．C． D．鞏固訓練11．已知直線的傾斜角為，且在軸上的截距為，則直線的一般式方程是（

）A． B．C． D．12．過點，且傾斜角為的直線方程為（

）A． B． C． D．13．已知直線過點，且直線的傾斜角為直線的傾斜角的2倍，則直線的方程為（

）A． B．C． D．題型二直線方程的綜合應用例題：21．已知直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，則（

）A． B．或C． D．或22．直線l：與y軸的交點為A，把直線l繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到直線，則直線的方程為（

）A． B．C． D．鞏固訓練21．直線，當變動時，所有直線都通過定點（

）A． B． C． D．22．若直線與直線的交點位于第二象限，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B． C． D．23．已知直線l過點，且與直線及x軸圍成等腰三角形，則l的方程為（

）A． B．C． D．或題型三兩條直線的平行與垂直例題：31．過點且與直線平行的直線方程是（

）A． B．C． D．32．若直線與直線垂直，則實數(shù)a的取值是（

）A．或 B．C． D．鞏固訓練31．已知直線：，：，若，則m的值為（

）A．1 B．－3 C．1或－3 D．－1或332．若直線與互相垂直，則的值為（

）A．1 B． C．2 D．33．若直線l經(jīng)過點和，且與斜率為的直線垂直，則實數(shù)a的值是（

）A． B． C． D．題型四兩條直線的綜合應用例題：41．已知直線，直線，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．42．已知直線與直線平行，則（

）A． B． C． D．鞏固訓練41．已知，，直線：，：，且，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．1642．已知關于直線的對稱點為，則直線的方程是（

）A． B． C． D．43．已知直線，?，，則（

）A．或 B． C．或 D．題型五圓的方程例題：51．在平面直角坐標系中，圓心為，半徑為2的圓的方程是（

）A． B．C． D．52．圓的圓心坐標和半徑分別為（

）A．， B．， C．，3 D．，3鞏固訓練51．圓的圓心和半徑分別為（

）A． B． C． D．52．經(jīng)過點，且以為圓心的圓的一般方程為（

）A． B．C． D．53．過和兩點的面積最小的圓的標準方程為（

）A． B．C． D．題型六軌跡方程和最值問題例題：61．已知圓，是圓上的動點，點，若動點滿足，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．62．已知兩直線與的交點在圓的內(nèi)部，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．鞏固訓練61．若點是圓:上一點,則的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．862．已知線段的端點的坐標，端點在圓上運動，求線段的中點的軌跡所圍成圖形的面積（

）A． B． C． D．63．已知為圓上的一動點，為坐標原點，則的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4題型七圓的切線、弦長例題：71．直線被圓所截得的弦長為（

）A． B． C．3 D．672．若直線與圓只有一個公共點，則（

）A． B．1 C．0 D．2鞏固訓練71．若直線與圓交于點A，B，則（

）A． B． C． D．72．已知直線與圓相交于A，B兩點，則|的最小值為（

）A． B． C． D．73．已知圓，直線經(jīng)過點，且與圓相切，則的方程為（

）A． B． C． D．題型八直線與圓、圓與圓的位置關系綜合例