第14講橢圓及其方程

第14講橢圓及其方程模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1.經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過程，掌握它們的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡單性質(zhì)．.2．會應(yīng)用橢圓的方程及其幾何性質(zhì)解決一些簡單問題.知識點(diǎn)1橢圓的定義1.橢圓的概念(1)文字形式：在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡(或集合)叫橢圓．這兩定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距．(2)代數(shù)式形式：集合①若，則集合P為橢圓；②若，則集合P為線段；③若，則集合P為空集．知識點(diǎn)2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)在軸，；（2）焦點(diǎn)在軸，.2．滿足條件：知識點(diǎn)3橢圓的幾何性質(zhì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)條件圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍對稱性曲線關(guān)于軸、原點(diǎn)對稱曲線關(guān)于軸、原點(diǎn)對稱頂點(diǎn)長軸頂點(diǎn),短軸頂點(diǎn)長軸頂點(diǎn),軸頂點(diǎn)焦點(diǎn)焦距離心率，其中通徑過焦點(diǎn)垂直于長軸的弦叫通徑，其長為考點(diǎn)一：橢圓的定義及其應(yīng)用例1.（2324高二下·湖北·期末）設(shè)為橢圓上一動點(diǎn)，分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，已知點(diǎn)，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】利用橢圓定義轉(zhuǎn)化為，即求的最大值，根據(jù)三角形性質(zhì)，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最大可得答案.【詳解】，所以，所以軸，因?yàn)?，所以在橢圓內(nèi)部，且，所以，即求的最大值，由于，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最大，此時(shí)，，所以.故選：B.【變式11】（2024·河北保定·三模）已知是橢圓：上一點(diǎn)，，分別為的左、右焦點(diǎn)，則（

）A．8 B．6 C．4 D．3【答案】A【分析】直接根據(jù)橢圓的定義可求得答案.【詳解】由橢圓的定義可知，.故選：A.【變式12】（2324高一下·浙江寧波·期末）點(diǎn)P是橢圓上一動點(diǎn)，則點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和為（

）A．2 B． C． D．4【答案】C【分析】由橢圓的定義求解即可.【詳解】由可得：，由橢圓的定義可知：點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和為.故選：C.【變式13】（2324高二下·安徽蕪湖·期末）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的面積為（

）A．3 B．4 C．6 D．10【答案】C【分析】由橢圓定義和得到，結(jié)合，由余弦定理得，進(jìn)而得到正弦值，利用三角形面積公式求出答案.【詳解】由橢圓定義可得，故，又，則由余弦定理得，故，故.故選：C考點(diǎn)二：由橢圓的定義求標(biāo)準(zhǔn)方程例2.（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且滿足,延長線交橢圓于另一點(diǎn)，，則橢圓的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的定義可得，，再利用勾股定理，列出方程，求出的值，從而得到橢圓方程.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，延長線交橢圓于另一點(diǎn)，且，所以，，則，由于，所以，即，解得，所以，則，則，，所以橢圓方程為，故選：C【變式21】（多選）（2024高二上·全國·專題練習(xí)）已知圓，，動圓與，都相切，則動圓C的圓心軌跡E的方程為（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】先得到圓內(nèi)含于圓，故圓與外切或內(nèi)切，與圓一定內(nèi)切，分兩種情況，結(jié)合橢圓定義，求出軌跡方程.【詳解】圓的圓心，半徑為1，圓的圓心，半徑為9，由于，故圓內(nèi)含于圓，故動圓與，都相切，則圓與外切或內(nèi)切，與圓一定內(nèi)切，設(shè)動圓的半徑為，當(dāng)圓與圓外切時(shí)，可得，當(dāng)圓與圓內(nèi)切時(shí)，可得，故，可得的軌跡為以，為焦點(diǎn)的橢圓，且長軸長為10，焦距為6，短軸長為8，可得方程為；當(dāng)圓與圓內(nèi)切時(shí)，可得，當(dāng)圓與圓內(nèi)切時(shí)可得，故，可得的軌跡為以，為焦點(diǎn)的橢圓，且長軸長為8，焦距為6，短軸長為，可得方程為.綜上，軌跡方程為或.故選：AB.【變式22】（2024·廣東江門·二模）已知圓內(nèi)切于圓，圓內(nèi)切于圓，則動圓的圓心的軌跡方程為.【答案】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)和橢圓定義得到，再利用關(guān)系即可.【詳解】設(shè)圓的半徑為，則，則，所以點(diǎn)的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)，長軸長為6的橢圓．則，所以，所以動圓的圓心的軌跡方程為．故答案為：.【變式23】（2024高三下·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，線段的中垂線交于點(diǎn)，求動點(diǎn)的軌跡方程．

【答案】【分析】由中垂線性質(zhì)可得，動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為定值，結(jié)合橢圓的定義即可求解.【詳解】由題意，線段的中垂線交于點(diǎn)，所以,即，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)點(diǎn)的軌跡方程，所以，則，所以動點(diǎn)的軌跡方程為．

考點(diǎn)三：由a,b,c求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例3.（2324高二下·上?！るA段練習(xí)）長軸長為4，焦距為2的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.【答案】或【分析】根據(jù)題意，求得的值，結(jié)合橢圓的焦點(diǎn)的位置，分類討論，即可求解.【詳解】由題意知，橢圓的長軸長為4，焦距為2，可得，可得，則，當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.故答案為：或.【變式31】（2324高二下·上?！て谥校┮阎獧E圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，焦距是6，橢圓上的一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于10，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【分析】根據(jù)題意求，即可得橢圓方程.【詳解】由題意可知：，即，則，且焦點(diǎn)在軸上，所以該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.【變式32】（2324高二下·上?！るA段練習(xí)）焦點(diǎn)在x軸上，長軸為8、離心率為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【分析】由、、和焦點(diǎn)在x軸上，可得答案；【詳解】由題意，可知，，得，，從而，又焦點(diǎn)在x軸上，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.【變式33】（2324高二下·上海青浦·期末）已知中，，，，則以A、B為焦點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)C的橢圓的離心率為．【答案】/【分析】由A、B為焦點(diǎn)，可得，點(diǎn)C在橢圓上，可得，即可求得橢圓的離心率.【詳解】由已知，所以，又點(diǎn)C在橢圓上，所以，所以，所以橢圓的離心率為.故答案為：.考點(diǎn)四：根據(jù)方程表示橢圓求參數(shù)例4.（2324高二上·江西宜春·期末）“”是“方程表示的曲線為橢圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】首先求方程表示橢圓的的取值范圍，再根據(jù)集合的包含關(guān)系，即可判斷選項(xiàng).【詳解】若方程表示橢圓，則，解得：，且，所以“”是“方程表示的曲線為橢圓”的必要不充分條件.故選：B【變式41】（2324高二下·湖南長沙·期中）已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將橢圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)焦點(diǎn)位置，列出不等式組，解之即得.【詳解】將橢圓方程變形為，因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以，解得．故選：B.【變式42】（2122高二上·安徽蕪湖·期中）若方程表示焦點(diǎn)在x軸的橢圓，則t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將題目轉(zhuǎn)化為，再解不等式.【詳解】命題等價(jià)于，解得.故選：C.【變式43】（2324高二下·山西長治·期末）若方程表示橢圓，則m的取值范圍是．【答案】【分析】表示橢圓的條件是分母都大于0，且分母不相等.【詳解】由題意可知且.故答案為：考點(diǎn)五：根據(jù)橢圓過的點(diǎn)求橢圓方程例5（2324高二上·黑龍江雞西·期末）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離的和是10；(2)焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)和；(3)經(jīng)過和點(diǎn)．【答案】(1)1(2)(3)．【分析】（1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)求，由橢圓定義得即可求，從而得方程；（2）結(jié)合圖形，已知點(diǎn)是長短軸的頂點(diǎn)，則可得；（3）設(shè)橢圓方程的簡化形式，待定系數(shù)解方程組可得.【詳解】（1）由題意，橢圓焦點(diǎn)在軸上，且，則，∴橢圓方程為1；（2）根據(jù)題意，所求橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)和，則，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（3）根據(jù)題意，要求橢圓經(jīng)過（，）和點(diǎn)（，1）兩點(diǎn)，設(shè)其方程為，則有，解可得，則所求橢圓的方程為．【變式51】（2024高二上·全國·專題練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)與橢圓有相同焦點(diǎn)，且過點(diǎn)；(2)經(jīng)過點(diǎn)P，Q.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點(diǎn)代入求解；（2）法一：分焦點(diǎn)在x或y軸設(shè)橢圓方程求解；法二：設(shè)橢圓的方程為進(jìn)行求解.【詳解】（1）由題意可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.又橢圓過點(diǎn)，將代入方程得，解得或(舍去).故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）法一：①當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.依題意，有，解得由知不符合題意，故舍去；②當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.依題意，有，解得，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.法二：設(shè)橢圓的方程為.則解得，所以所求橢圓的方程為，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【變式52】（2024高二上·全國·專題練習(xí)）分別寫出滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦距為4，且經(jīng)過點(diǎn)；(2)求經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)的橢圓方程.【答案】(1)或(2)【分析】（1）討論焦點(diǎn)位置，求出，可得結(jié)果；（2）方法一：討論焦點(diǎn)位置，結(jié)合題中所給條件經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，求出，可得結(jié)果；方法二：設(shè)所求橢圓的方程為（，，），結(jié)合題中所給條件經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，代入求解即可.【詳解】（1）當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，依題意得，，則，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，依題意得，，則，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）方法一：①當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）.依題意有，解得，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.②當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）.依題意有，解得因?yàn)?，所以無解.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.方法二：設(shè)所求橢圓的方程為（，，）.依題意有解得所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【變式53】（2324高二上·陜西西安·階段練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)在軸上，且經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)和；(2)經(jīng)過點(diǎn).【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)出焦點(diǎn)在軸上橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）由于橢圓的焦點(diǎn)所在位置不確定可設(shè)為：，然后利用待定系數(shù)法求解即可.【詳解】（1）焦點(diǎn)在軸上的橢圓方程設(shè)為：.由于橢圓經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)和，所以，解得，所以所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)橢圓的方程為：，由于橢圓經(jīng)過點(diǎn)，，解得，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.考點(diǎn)六：橢圓“焦點(diǎn)三角形”周長問題例6.（2223高二上·云南昆明·期中）橢圓的左右焦點(diǎn)為，，P為橢圓上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，關(guān)于P的對稱點(diǎn)為M，關(guān)于的對稱點(diǎn)為N，則的周長為（

）A．10 B．14 C．18 D．20【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓定義，結(jié)合三角形中位線性質(zhì)求解即得.【詳解】橢圓的長半軸軸，半焦距，依題意，分別是的中點(diǎn)，即，所以的周長為.故選：D【變式61】（2324高二下·四川雅安·開學(xué)考試）經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，則的周長為（

）A．24 B．12 C．36 D．48【答案】A【分析】利用橢圓的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以的周長為24．故選：A.【變式62】（2324高二下·貴州六盤水·期中）設(shè)，分別為橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，過且不與坐標(biāo)軸重合的直線橢圓C于A，B兩點(diǎn)，則的周長為（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【分析】由橢圓定義求焦點(diǎn)三角形周長.【詳解】根據(jù)題意，橢圓中，根據(jù)橢圓定義，的周長為.故選：C【變式63】（2324高二下·廣東河源·階段練習(xí)）已知點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B是C上與其長軸端點(diǎn)不重合的兩點(diǎn)，設(shè)甲：直線AB經(jīng)過C的左焦點(diǎn)；乙：的周長為，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】設(shè)C的左焦點(diǎn)為E，直線AB經(jīng)過C的左焦點(diǎn)E，由橢圓的定義推出充分性；由三角形不等式性質(zhì)可知，，當(dāng)且僅當(dāng)A，B，E三點(diǎn)共線時(shí)等號成立，進(jìn)而推出充分條件.【詳解】設(shè)C的左焦點(diǎn)為E，若直線AB經(jīng)過C的左焦點(diǎn)E，則△ABF的周長為，故充分性成立．由三角形不等式性質(zhì)可知，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)等號成立．故的周長為．故若的周長為，則直線AB經(jīng)過C的左焦點(diǎn)，必要性成立．故選：C．考點(diǎn)七：求共焦點(diǎn)的橢圓方程例7.（2024高二上·全國·專題練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓的方程是.【答案】【分析】利用同焦點(diǎn)的橢圓方程性質(zhì)處理即可.【詳解】設(shè)所求橢圓方程為橢圓過點(diǎn)，或（舍），所以所求橢圓方程為.故答案為：【變式71】（2324高二上·浙江杭州·期中）過點(diǎn)，且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)所求橢圓方程為，依題意可得，解得、，即可求出橢圓方程.【詳解】橢圓的焦點(diǎn)為或，設(shè)所求橢圓方程為，則，解得，所以橢圓方程為.故選：D【變式72】（2324高二上·北京·階段練習(xí)）與橢圓有相同焦點(diǎn)，且滿足短半軸長為的橢圓方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由焦點(diǎn)和短半軸長，待定系數(shù)法求橢圓方程.【詳解】橢圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)在軸上，設(shè)所求橢圓方程為，依題意有，所以，所求橢圓方程為.故選：B【變式73】（2324高二上·北京·階段練習(xí)）過點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓方程是．【答案】【分析】根據(jù)題意，求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，分析可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可得要求的橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)其左右焦點(diǎn)為、，由橢圓的定義可得，由橢圓的幾何性質(zhì)可得的值，代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則所求的橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)其左右焦點(diǎn)為、，又由橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則有，則，又由，則，則要求橢圓的方程為：．故答案為：．考點(diǎn)八：由離心率求橢圓方程例8.（2324高二下·四川成都·階段練習(xí)）已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，離心率為為橢圓上關(guān)于軸對稱的兩點(diǎn)，，若，則橢圓方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意得，，根據(jù)得，由點(diǎn)在橢圓上得，再結(jié)合消元解方程即可求得，得解.【詳解】根據(jù)為橢圓上關(guān)于軸對稱的兩點(diǎn)，，設(shè)，則，因?yàn)?，，所以，所以，根?jù)點(diǎn)在橢圓上得，所以，又橢圓的離心率為，所以，，所以，解得，則，所以橢圓方程為.故選：B【變式81】（2223高二上·廣東江門·期中）已知橢圓焦點(diǎn)在軸，它與橢圓有相同離心率且經(jīng)過點(diǎn)，則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【分析】設(shè)所求橢圓方程為，根據(jù)橢圓的離心率得到，又在橢圓上得到，求出可得答案.【詳解】橢圓的離心率為，設(shè)所求橢圓方程為，則，從而，，又，∴，∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.【變式82】（2324高二上·北京海淀·期中）已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓離心率為，則實(shí)數(shù)m等于．【答案】8【分析】根據(jù)題意，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析可得＝，解之即可.【詳解】由題意焦點(diǎn)在x軸上的橢圓離心率為，可得＝，解得m＝8．故答案為：8．【變式83】（2122高二·全國·課后作業(yè)）求與橢圓離心率相同，且經(jīng)過點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】或.【分析】由題設(shè)可得，根據(jù)橢圓參數(shù)關(guān)系有，設(shè)橢圓方程為或，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上分別求參數(shù)，即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由題設(shè)，橢圓離心率為，則，又在橢圓上，若所求橢圓方程為，則，即，故方程為；若所求橢圓方程為，則，即，故方程為.考點(diǎn)九：由方程研究橢圓的幾何性質(zhì)例9.（多選）（2024·河南開封·三模）橢圓的焦點(diǎn)為，，上頂點(diǎn)為A，直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，若，則（

）A．C的焦距為2 B．C的短軸長為C．C的離心率為 D．的周長為8【答案】ABD【分析】根據(jù)以及橢圓的對稱性可得，進(jìn)而可求解，即可根據(jù)選項(xiàng)逐一求解.【詳解】由于，所以,故，因此，故，所以橢圓，對于A，焦距為，故A正確，對于B，短軸長為，B正確，對于C，離心率為，C錯(cuò)誤，對于D，的周長為，D正確，故選：ABD【變式91】（2122高二上·四川宜賓·期中）已知橢圓，則下列關(guān)于橢圓的說法正確的是（

）A．離心率為 B．焦點(diǎn)為C．長軸長為3 D．橢圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍為【答案】B【分析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定橢圓中的值，對比各選項(xiàng)，可得答案【詳解】由橢圓方程，可知對于A，,故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)?，且由方程可知，焦點(diǎn)在軸，故焦點(diǎn)坐標(biāo)，故B正確；對于C，長軸長為,故C錯(cuò)誤；對于D，焦點(diǎn)在軸橢圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍為即，故D錯(cuò)誤故選：B【變式92】（2122高二上·陜西寶雞·期末）有關(guān)橢圓敘述錯(cuò)誤的是（）A．長軸長等于4 B．短軸長等于4C．離心率為 D．的取值范圍是【答案】A【分析】根據(jù)題意求出，進(jìn)而根據(jù)橢圓的性質(zhì)求得答案.【詳解】橢圓方程化為：，則，則長軸長為8，短軸長為4，離心率，x的取值范圍是.即A錯(cuò)誤，B,C,D正確.故選：A.【變式93】（2324高三下·新疆·階段練習(xí)）連接橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)所圍成的三角形面積為，記橢圓C的右焦點(diǎn)為，則（

）A． B．橢圓的離心率為C．橢圓的焦距為 D．橢圓上存在點(diǎn)P，使【答案】BD【分析】首先得到橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)，由三角形的面積求出，即可得到橢圓方程，即可求出，從而判斷A、B、C，再根據(jù)橢圓的性質(zhì)得到即可判斷D.【詳解】橢圓的左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為，因?yàn)檫B接橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)所圍成的三角形面積為，若為左、右頂點(diǎn)與上（下）頂點(diǎn)時(shí)，則，解得，符合題意；若為上、下頂點(diǎn)與左（右）頂點(diǎn)時(shí)，則，解得，符合題意；綜上可得，故A錯(cuò)誤；則橢圓方程為，所以，則橢圓的離心率，故B正確；橢圓的焦距為，故C錯(cuò)誤，因?yàn)闄E圓C的右焦點(diǎn)為，所以，即，所以在橢圓上存在點(diǎn)P，使，故D正確.故選：BD考點(diǎn)十：橢圓的離心率問題例10.（2024·湖南岳陽·二模）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，其中，過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若，則該橢圓離心率的取值范圍是．【答案】【分析】先設(shè)出點(diǎn)，借助向量數(shù)量積求得的軌跡，再利用橢圓的幾何性質(zhì)列出不等式求出即得.【詳解】設(shè)點(diǎn)，而，則，由，得，即，因此點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上，而點(diǎn)在橢圓上，則圓與橢圓有公共點(diǎn)，由橢圓的幾何性質(zhì)知，即，亦即，整理得，即，所以橢圓離心率，故答案為：【變式101】（2324高二下·河南周口·階段練習(xí)）已知橢圓的上頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)分別為A，F(xiàn)，B，且點(diǎn)A為的垂心，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形相似即可結(jié)合橢圓性質(zhì)得由齊次式即可求解.【詳解】的垂心為點(diǎn)是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，又,與相似（為坐標(biāo)原點(diǎn)），，，解得或（舍），故選：A．【變式102】（2022·全國·高考真題（理））橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，則，根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得，再根據(jù)，將用表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.【詳解】解：，設(shè)，則，則，故，又，則，所以，即，所以橢圓的離心率.故選：A.【變式103】（多選）（2324高二上·江蘇南通·期末）已知橢圓的離心率為，則實(shí)數(shù)（

）A．1 B．3 C． D．16【答案】BC【分析】根據(jù)橢圓焦點(diǎn)的位置，結(jié)合橢圓離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)樵摲匠瘫硎緳E圓，所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)橢圓的焦點(diǎn)在橫軸上，因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，顯然符合，當(dāng)時(shí)，此時(shí)橢圓的焦點(diǎn)在縱軸上，因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，顯然符合，故選：BC1．（2023高二·全國·專題練習(xí)）如果方程表示的曲線為橢圓，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．且【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，列出不等式，即可求解.【詳解】若方程為橢圓方程，則滿足，解得且.故選：D.2.（2324高二下·重慶·階段練習(xí)）已知,則方程可表示焦點(diǎn)在軸上的不同橢圓的個(gè)數(shù)為（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【分析】利用橢圓的定義與性質(zhì)判定即可.【詳解】由題意可知，則有如下，，共7種情況.故選：C3.（2024·福建泉州·二模）若橢圓的離心率為，則該橢圓的焦距為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】分焦點(diǎn)在軸或軸兩種情況，求橢圓的離心率，求解參數(shù)，再求橢圓的焦距.【詳解】若橢圓的焦點(diǎn)在軸，則離心率，得，此時(shí)焦距，若橢圓的焦點(diǎn)在軸，則離心率，得，此時(shí)焦距，所以該橢圓的焦距為或.故選：D4．（多選）（2324高二下·江西·期中）已知橢圓的對稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，若橢圓的長軸長為10，短半軸長為4，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】求出，得到橢圓方程.【詳解】由題意，，故，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為或．故選：AC．5．（多選）（2223高二上·全國·期中）已知橢圓，則下列說法中正確的是（

）A．橢圓的焦點(diǎn)在軸上 B．橢圓的長軸長是C．橢圓的焦距為4 D．橢圓的離心率為【答案】BD【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出，再逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】，，可得，，所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上，故A錯(cuò)誤；橢圓的長軸長是，故B正確；橢圓的焦距是，故C錯(cuò)誤；橢圓的離心率為，故D正確.故選：BD.6．（2324高二上·廣東惠州·階段練習(xí)）若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則實(shí)數(shù)的