河北省張家口宣化一中2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期階段測(cè)試試題三

PAGEPAGE25河北省張家口宣化一中2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期階段測(cè)試試題（三）一、選擇題（本大題共8小題，共40.0分）已知復(fù)數(shù)2+ii=a+bi(a,b∈R)A.-3 B.-1 C.1 D.3已知向量a與b的夾角為π6，且|aA.3 B.1 C.23 D.已知集合M={x|x2<2x+3}，A.{x|2≤x<3} B.{x|x≥2}

C.{x|x>-1} D.{x|-1<x<2}“cosα=35”是“sin(2α+A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件已知正四棱錐P-ABCD的高為7，且AB=2，則正四棱錐P-ABCD的側(cè)面積為(????)A.22 B.4 C.62 已知a>0，b>0，且1a+1bA.2 B.6 C.3 D.9德國(guó)心理學(xué)家艾賓浩斯(H.Ebbinghaus)探討發(fā)覺(jué)，遺忘在學(xué)習(xí)之后馬上起先，而且遺忘的進(jìn)程并不是勻稱的．最初遺忘速度很快，以后漸漸減慢．他認(rèn)為“保持和遺忘是時(shí)間的函數(shù)”他用無(wú)意義音節(jié)(由若干音節(jié)字母組成、能夠讀出、但無(wú)內(nèi)容意義即不是詞的音節(jié))作為記憶材料．用節(jié)約法計(jì)算保持和遺忘的數(shù)量，并依據(jù)他的試驗(yàn)結(jié)果繪成描述遺忘進(jìn)程的曲線，即聞名的艾賓浩斯記憶遺忘曲線(如圖所示).若一名學(xué)生背了100個(gè)英語(yǔ)單詞，一天后，該學(xué)生在這100個(gè)英語(yǔ)單詞中隨機(jī)聽(tīng)寫2個(gè)英語(yǔ)單詞，以頻率代替概率，不考慮其他因素，則該學(xué)生恰有1個(gè)單詞不會(huì)的概率大約為(????)A.0.43 B.0.38 C.0.26 D.0.15已知函數(shù)f(x)=ex-axA.(e,+∞) B.(e2,+∞) C.(二、不定項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，共20.0分）已知函數(shù)f(x)是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2A.|f(x)|≥2

B.當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=-x2-2x-3

C.x=1是f(x)圖象的一條對(duì)稱軸

D.f(x)某工廠組織員工進(jìn)行專業(yè)技能競(jìng)賽，如圖是7位評(píng)委對(duì)甲、乙兩位員工評(píng)分(滿分10分)的雷達(dá)圖．依據(jù)圖中信息，下列說(shuō)法正確的是(????)A.甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)

B.甲得分的眾數(shù)大于乙得分的眾數(shù)

C.甲得分的平均數(shù)與乙得分的平均數(shù)相等

D.甲得分的極差小于乙得分的極差設(shè)F是拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)F，且與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，OA.|AB|≥4

B.|OA|+|OB|>8

C.若點(diǎn)P(2,2)，則|PA|+|AF|的最小值是3

D.△OAB的面積的最小值是2在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，E，F(xiàn)分別為BB1A.A1F⊥平面AD1E

B.平面AD1E截正方體ABCD-A1B1C1D1的截面面積為三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）已知函數(shù)f(x)=-x+1,x≤0log3x,x>0，則在(x-2)6的綻開(kāi)式中，含x4項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_____若函數(shù)f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的圖象在[0,π2已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l：y=3(x-2a)與雙曲線C的右支交于點(diǎn)A，且與y軸交于點(diǎn)B.若四、解答題（本大題共6小題，共70.0分）在①2sinCcosA=2，②atanA=22，③ccosA=26這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并求△ABC的面積．

問(wèn)題：在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a=4，C=π3，甲、乙是兩名射擊運(yùn)動(dòng)員，依據(jù)歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，甲一次射擊命中10，9，8環(huán)的概率分別為25，25，15，乙一次射擊命中10，9環(huán)的概率分別為16，56，一輪射擊中，甲、乙各射擊一次．甲、乙射擊相互獨(dú)立，每次射擊也互不影響．

(1)在一輪射擊中，求甲命中的環(huán)數(shù)不高于乙命中的環(huán)數(shù)的概率；

(2)記一輪射擊中，甲乙命中的環(huán)數(shù)之和為X，求X的分布列；

(3)進(jìn)行三輪射擊，求甲、乙命中的環(huán)數(shù)之和不低于在如圖所示的幾何體中，△ABC，△ACE，△BCD均為等邊三角形，且平面ACE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC．

(1)證明：DE//AB．

(2)求二面角A-CE-B的余弦值．

在數(shù)列{an}中，a1=12,an+1-an+3an+1已知點(diǎn)P(0,1)為橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一點(diǎn)，且直線x+2y-2=0過(guò)橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)．

(1)求橢圓C的方程．

(2)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，記直線AP，BP的斜率分別為k1已知函數(shù)f(x)=lnx+1ex．

(1)求f(x)的最大值；

(2)當(dāng)x≥1時(shí)，ax(lnx+1)<e2x恒成立，求答案1.【答案】B

【解析】解：∵2+ii=a+bi，∴2+i=(a+bi)i=-b+ai，

∴-b=2a=1，即a=1，b=-2，

則a+b=-1．

故選：B．

把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)相等的條件列式求得a與【解析】解：由已知可得：|a|=2，|b|=1，

則a?b=|a【解析】解：∵集合M={x|x2<2x+3}={x|-1<x<3}，

N={x|x-2≥0}={x|x≥2}，

∴M∪N={x|x>-1}．

故選：C．

求出集合M，N，由此能求出M∪N．

本題考查并集的求法，考查并集定義等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是基礎(chǔ)題．

【解析】解：若cosα=35，則cos2α=2cos2α-1=2×(35)2-1=-725，即sin(2α+π2)=cos2α=-725，

若sin(2α+π2)=cos2α=-725，則2cos2α-1=-【解析】解：設(shè)P在底面ABCD上的射影為O，則O為底面正方形ABCD的中心，

取CD的中點(diǎn)E，連接OE，則OE=12AB=1，

∴PE=PO2+OE2=22，

∵PC=PD，∴PE⊥CD，

∴【解析】解：a>0，b>0，且1a+1b=1，

則4a+b=(4a+b)(1a+1b)，

=4+1+ba+4ab【解析】解：由聞名的艾賓浩斯記憶遺忘曲線得到一天后遺忘74%，

一名學(xué)生背了100個(gè)英語(yǔ)單詞，一天后，該學(xué)生在這100個(gè)英語(yǔ)單詞中隨機(jī)聽(tīng)寫2個(gè)英語(yǔ)單詞，

以頻率代替概率，不考慮其他因素，則該學(xué)生恰有1個(gè)單詞不會(huì)的概率大約為：

P=74100×26100+【解析】解：∵f(x)=ex-ax2+2ax，

∴f'(x)=ex-2ax+2a，

令f'(x)=ex-2ax+2a=0，得ex=2a(x-1)，

∵f(x)有2個(gè)極值點(diǎn)，故方程ex=2a(x-1)有2個(gè)不同的實(shí)根，

即y=ex與y=2a(x-1)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，

畫出函數(shù)y=ex與y=2a(x-1)的圖象，如圖示：

當(dāng)2a=e2即a=e22時(shí)，直線y=2a(x-1)與y=ex【解析】解：當(dāng)x<0時(shí)，-x>0，∴f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3，

∵f(x)為奇函數(shù)，

∴f(x)=-f(-x)=-(x2+2x+3)=-x2-2x-3，即B正確；

函數(shù)f(x)的簡(jiǎn)圖如下，

由圖可知，

|f(x)|≥2，即A正確；

x=1不是f(x)圖象的對(duì)稱軸，即C錯(cuò)誤；

f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞增，即D正確．

故選：ABD．

當(dāng)x<0時(shí)，-x>0，代入f(x)的解析式中，并利用【解析】解：由圖可知，甲的得分為8.8，9.1，9.3，9.5，9.5，9.7，9.9；乙的得分為8.5，8.9，9.4，9.6，9.6，9.8，10，

甲得分的中位數(shù)為9.5，眾數(shù)為9.5，平均數(shù)為17×(8.8+9.1+9.3+9.5+9.5+9.7+9.9)=9.4，極差為9.9-8.8=1.1；

乙得分的中位數(shù)為9.6，眾數(shù)為9.6，平均數(shù)為17×(8.5+8.9+9.4+9.6+9.6+9.8+10)=9.4，極差為10-8.5=1.5，

所以選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C、D正確．

故選：CD【解析】解：F(1,0)，不妨設(shè)A在第一象限，

(1)若直線l無(wú)斜率，則A(1,2)，B(1,-2)，

則|AB|=4，|OA|+|OB|=2|OA|=25，S△OAB=12×4×1=2，明顯B錯(cuò)誤；

(2)若直線l存在斜率，設(shè)直線l斜率為k，則直線l的方程為：y=k(x-1)，明顯k≠0，

聯(lián)立方程組y=k(x-1)y2=4x，消元得：k2x2-(2k2+4)x+k2=0，

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則x1+x2=2k2+4k2=2+4k2，

∴|AB|=x1+x2+2=4+4k2>4【解析】解：對(duì)于A，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，如圖所示：

則AD1=(4,0，4)，AE=(0,4，2)，A1F=(4,2，-4)，

∴AD1?A1F=0，AE?A1F=0，

∴A1F⊥AD1，A1F⊥AE，又AD1∩AE=A，

∴A1F⊥平面AD1E，故A正確；

對(duì)于B，取過(guò)E作EG//BC1，則G為B1C1的中點(diǎn)，

∵AD1//BC1//EG，∴平面AD1E截正方體ABCD-A1B1C1D1的截面為等腰梯形EGD1A，

由勾股定理可求得AD1=42，EG=12BC1=22，AE=D1G=25，

∴截面梯形的高為(25)2-(42-222)2=32，

∴截面梯形的面積為S=12【解析】解：依據(jù)題意，函數(shù)f(x)=-x+1,x≤0log3x,x>0，則f(-8)=-(-8)+1=9，

則f(f(-8))=f(9)=log39=2【解析】解：(x-2)6綻開(kāi)式的通項(xiàng)為Tr+1=(-2)rC6rx6-r，

令6-r=4，可得r=2，

∴含x4的項(xiàng)的系數(shù)是(-2)2C【解析】解：由已知令ωx+π3=kπ+π2，k∈Z，

解得x=1ω(kπ+π6)，k∈Z，

又x∈[0,π2]，則0≤1ω(kπ+π6)≤π2，解得【解析】解：∵直線l：y=3(x-2a)過(guò)右焦點(diǎn)F(c,0)，∴c=2a，

把x=0代入直線l方程可得y=-23a，即B(0,-23a)，

故S△OBF=12×2a×23a=83，

∴a=2，∴c=4，b=c2-a2=23，∴F(4,0)，

故雙曲線方程為x24-y212=1，明顯直線l與雙曲線的一條漸近線平行，

聯(lián)立方程組y=3(x-4)x24-y212=1，解得x=52，故A點(diǎn)橫坐標(biāo)為52，

∴|AF||BF|=4-524=38，

故答案為：38．

求出雙曲線方程和直線方程，解出A點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用相像比求出答案．

本題考查雙曲線的簡(jiǎn)潔性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

17.【答案】解：選①：

∵2sinCcosA=2，且C=π3，

∴2sinπ3cosA=2，解得cosA=63，∴sinA=1-cos2A=33【解析】選①：把C=π3代入2sinCcosA=2，求得cosA的值，進(jìn)而得sinA的值，再由正弦定理可得c，由sinB=sin(A+C)，依據(jù)正弦的兩角和公式綻開(kāi)后，代入數(shù)據(jù)可得sinB，最終由S=12acsinB即可得解；

選②：易知tanA=22，依據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系式可得sinA和cosA的值，下面的過(guò)程與①相同；

選③：由正弦定理可得c=23sinA，代入ccosA=26中，化簡(jiǎn)后求出tanA的值，下面的過(guò)程與②相同．

本題考查解三角形和三角恒等變換的綜合運(yùn)用，涉及正弦定理、正弦的面積公式、兩角和公式，考查學(xué)生敏捷運(yùn)用學(xué)問(wèn)的實(shí)力，邏輯推理實(shí)力和運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題．

18.【答案】解：(1)當(dāng)甲射擊高于乙擊中的環(huán)數(shù)時(shí)，只有一種狀況：甲擊中10環(huán)，且乙擊中9環(huán)，這時(shí)概率為p-=25×56=13；

所以甲命中的環(huán)數(shù)不高于乙命中的環(huán)數(shù)的概率

X

17

18

19

20

P

1

11

2

1(3)甲、乙命中的環(huán)數(shù)之和低于52環(huán)，甲乙每輪之和都是17，其概率為P1=(16)【解析】(1)先求甲命中的環(huán)數(shù)高于乙命中的環(huán)數(shù)的概率，只有一種狀況，再由對(duì)立事務(wù)的概率可得甲命中的環(huán)數(shù)不高于乙命中的環(huán)數(shù)的概率；

(2)由題意可得一輪射擊中，甲乙命中的環(huán)數(shù)之和為X的可能值，分別取出相對(duì)應(yīng)的概率，再求分布列；

(3)由(2)可得進(jìn)行三輪射擊，求甲、乙命中的環(huán)數(shù)之和低于52環(huán)的只有一種狀況甲乙每輪之和都是17，由(2)可得其概率，再由對(duì)立事務(wù)的概率可得所求的概率．

本題考查相互獨(dú)立事務(wù)的概率及對(duì)立事務(wù)的概率，屬于中檔題．

19.【答案】(1)證明：分別取AC、BC的中點(diǎn)M、N，連接MN、ME、ND，則ME⊥AC，ND⊥BC，MN//AB，

∵平面ACE⊥平面ABC，平面ACE∩平面ABC=AC，

∴ME⊥平面ABC，

同理可得，ND⊥平面ABC，

∴ME//ND，

又△ABC，△ACE，△BCD均為等邊三角形，

∴△ACE≌△BCD，∴ME=ND，

∴四邊形MNDE是平行四邊形，

∴MN//DE，

∵M(jìn)N//AB，∴DE//AB．

(2)解：過(guò)M作MO⊥CE于點(diǎn)O，連接BM、OB，

∵△ABC為等邊三角形，且M為AC的中點(diǎn)，

∴BM⊥AC，

∵平面ACE⊥平面ABC，平面ACE∩平面ABC=AC，

∴BM⊥平面ACE，

故∠BOM即為二面角A-CE-B的平面角．

設(shè)等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，則BM=3，

∵S△ECM=12EM?CM=12EC?OM【解析】(1)分別取AC、BC的中點(diǎn)M、N，連接MN、ME、ND，由面面垂直的性質(zhì)定理可推出，ME⊥平面ABC，ND⊥平面ABC，進(jìn)而得ME//ND；易知△ACE≌△BCD，有ME=ND，故四邊形MNDE是平行四邊形，MN//DE，而MN//AB，得證；

(2)過(guò)M作MO⊥CE于點(diǎn)O，連接BM、OB，則BM⊥AC，由平面ACE⊥平面ABC，知BM⊥平面ACE，故∠BOM即為所求，設(shè)等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，求出BM和OM的長(zhǎng)后，在Rt△BMO中，由tan∠BOM=BMOM即可得解．

本題考查空間中線與面的位置關(guān)系，嫻熟駕馭線面、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，以及理解二面角的定義是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立體感、邏輯推理實(shí)力和運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題．

20.【答案】解：(1)證明：a1=12,an+1-an+3an+1an=0，

可得1an+1-1an【解析】(1)將已知等式兩邊同除以anan+1，運(yùn)用等差數(shù)列的定義即可得證；

(2)由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得an，求得bn=13(13n-1-13n+2)，再由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，計(jì)算可得所求和．

本題考查等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，以及數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題．

21.【答案】解：(1)由橢圓的方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)可得，焦點(diǎn)在x軸上，

點(diǎn)P(0,1)在橢圓上，所以b=1，又因?yàn)橹本€x+2y-