北京市2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題含解析

Page16北京市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題一、單選題（本大題共8小題，共40．在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.設(shè)全集，集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法和對(duì)數(shù)不等式的解法求解.【詳解】由解得，所以，由解得，所以，所以，故選:B.2.已知，，下列圖形能表示以A為定義域，B為值域的函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】A.其值域?yàn)椋什环项}意；B.符合題意；CD是函數(shù)圖象，值域?yàn)椋什环项}意.【詳解】解：A是函數(shù)圖象，其值域?yàn)?，與已知函數(shù)的值域?yàn)椴环?，故不符合題意；B是函數(shù)的圖象，定義域?yàn)?，值域?yàn)?，故符合題意；C是函數(shù)圖象，值域?yàn)椋c已知函數(shù)的值域?yàn)椴环?，故不符合題意；D是函數(shù)圖象，值域?yàn)?，故不符合題意.故選：B3.單位圓上一點(diǎn)從動(dòng)身，逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)點(diǎn)，則的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意得，從而得到，結(jié)合誘導(dǎo)公式求出答案.【詳解】點(diǎn)從動(dòng)身，沿單位圓逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)點(diǎn)，所以，

所以，

其中，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為：．故選：D．4.不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，得到解集.【詳解】不等式，∴，即．∴或，解得：或，∴解集是．故選：B．5.《九章算術(shù)》是我國(guó)算術(shù)名著，其中有這樣的一個(gè)問(wèn)題：“今有宛田，下周三十步，徑十六步．問(wèn)為田幾何？”意思是說(shuō)：“現(xiàn)有扇形田，弧長(zhǎng)30步，直徑16步，問(wèn)面積是多少？”在此問(wèn)題中，扇形的圓心角的弧度數(shù)是（）A. B. C. D.120【答案】A【解析】【分析】依據(jù)扇形面積公式得到面積為120步，設(shè)出扇形圓心角，依據(jù)求出扇形圓心角.【詳解】因?yàn)橹睆?6步，故半徑為步，（平方步），設(shè)扇形的圓心角為，則，即．故選：A6.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及中間值法即可比較大小.【詳解】因?yàn)?，，，所以．故選：A7.已知函數(shù)，則函數(shù)的減區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求得的定義域，然后依據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減確定的減區(qū)間.【詳解】由解得或，所以的定義域?yàn)?函數(shù)的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，函數(shù)在上遞減，依據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知函數(shù)的減區(qū)間是.故選：C8.已知實(shí)數(shù)，且，則的最小值是（）A.21 B.25 C.29 D.33【答案】A【解析】【分析】依據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】∵，等式恒成立，∴，由于，所以∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)．∴，∴，故的最小值為21．故選：A二、多選題（本大題共4小題，共20．在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.下列命題中，是存在量詞命題且是真命題的是（）A.， B.存在，使得C.至少有一個(gè)無(wú)理數(shù)，使得是有理數(shù) D.有的有理數(shù)沒(méi)有倒數(shù)【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)存在量詞可推斷存在量詞命題，進(jìn)而依據(jù)數(shù)與式的性質(zhì)即可推斷真假.【詳解】對(duì)于A.命題是存在量詞命題，所以，使，所以A是真命題，故A正確；對(duì)于B．對(duì)應(yīng)方程，，方程無(wú)解，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C．命題是存在量詞命題，，使得是有理數(shù)，所以C是真命題；對(duì)于D．有理數(shù)0沒(méi)有倒數(shù)

，故D正確；故選:ACD．10.下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則為第一象限角B.將表的分針撥快5分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度是C.終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)的角的集合是D.在一個(gè)半徑為的圓上畫一個(gè)圓心角為的扇形，則該扇形面積為【答案】BC【解析】【分析】A選項(xiàng)，依據(jù)同號(hào)，確定角所在象限；B選項(xiàng)，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)了30°，故B正確；C選項(xiàng)，依據(jù)終邊在第一、三象限的角平分線上，確定角的集合；D選項(xiàng)，由扇形面積公式進(jìn)行求解【詳解】A選項(xiàng)，若，則為第一象限角或第三象限角，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，將表的分針撥快5分鐘，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)30°，故分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度是，故B正確；C選項(xiàng)，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)的角的終邊在直線上，故角的集合是，C正確；D選項(xiàng)，扇形面積為，故D錯(cuò)誤．故選：BC．11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.是偶函數(shù) B.在上單調(diào)遞增C.的值域?yàn)镽 D.當(dāng)時(shí)，有最大值【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)，依據(jù)分母不為0得到定義域，再由奇偶性的定義推斷A正確；B選項(xiàng)，先求出在上均單調(diào)遞減，結(jié)合奇偶性得到B正確；C選項(xiàng)，由在和上的單調(diào)性結(jié)合奇偶性得到的值域，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，依據(jù)在上的單調(diào)性得到最大值.【詳解】對(duì)于A，由得函數(shù)定義域?yàn)?，所以．由，可得函?shù)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)且時(shí)，函數(shù)，該函數(shù)圖象可由函數(shù)圖象向右平移2個(gè)單位得到，所以函數(shù)在和上均單調(diào)遞減，由偶函數(shù)性質(zhì)，可知在上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C，由B可得，當(dāng)且時(shí)，函數(shù)在和上均單調(diào)遞減，所以該函數(shù)在的值域?yàn)?；又因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，且，所以在其定義域上的值域?yàn)?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有最大值為，故D正確．故選：ABD．12.如圖所示，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，O為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)為x，射線掃過(guò)的陰影部分的面積為，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.在上為減函數(shù) B.C. D.圖象的對(duì)稱軸是【答案】BC【解析】【分析】當(dāng)點(diǎn)在的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，即可推斷B，依據(jù)陰影部分的面積改變可知的單調(diào)性，進(jìn)而可推斷A，依據(jù)面積的之和為4，可推斷對(duì)稱性，進(jìn)而可推斷CD.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，取的中點(diǎn)為，當(dāng)時(shí),點(diǎn)在之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，陰影部分的面積增加，所以在上單調(diào)遞增，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)在的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，所以，，故B正確，對(duì)于C選項(xiàng)，取BC的中點(diǎn)G，連接OG，作點(diǎn)P關(guān)于直線OG的對(duì)稱點(diǎn)F，則，所以，OF繞O點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)掃過(guò)正方形ABCD的面積為S，由對(duì)稱性可知，因?yàn)?，即，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知，，則，所以，，所以，函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：BC三、填空題（本大題共4小題，共20）13.求值：__________．【答案】【解析】【分析】利用終邊相同的角同名三角函數(shù)值相等和誘導(dǎo)公式即可求解【詳解】，，所以故答案：.14.已知冪函數(shù)是R上的增函數(shù)，則m的值為_(kāi)_____．【答案】3【解析】【分析】依據(jù)冪函數(shù)的定義與性質(zhì)，即可求出的值．【詳解】由題意是冪函數(shù)，，解得或，又是R上的增函數(shù),則.故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查了冪函數(shù)的定義與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是得出關(guān)于的方程和不等式，是基礎(chǔ)題．15.若“”的必要不充分條件是“”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】將必要不充分條件轉(zhuǎn)化為集合之間在關(guān)系，即可列不等式求解.【詳解】由于“”的必要不充分條件是“”，所以則且兩個(gè)等號(hào)不同時(shí)取得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)和均符合要求，故a的取值范圍是．故答案為：16.已知函數(shù)，若方程的實(shí)根在區(qū)間上，則k的全部可能值是______．【答案】－3，－2或1【解析】【分析】先由求出，確定，再變形得到，畫出兩函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到兩個(gè)根，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理得到兩根分別在與內(nèi)，從而確定k的全部可能值.【詳解】①由方程，解得：，因?yàn)?，故；②由于方程即方程，分別作出左右兩邊函數(shù)的圖象，從圖象上可得出：方程在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)實(shí)根．故方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根．此時(shí)，下面證明：方程在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)實(shí)根，函數(shù)，在區(qū)間和內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)闀r(shí)，，故函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，又，，即，由零點(diǎn)存在性定理知，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)，即方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根，此時(shí).故答案為：－3，－2或1．四、解答題（本大題共6小題，共70．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17（1）計(jì)算；（2）計(jì)算．【答案】（1）0；（2）3.【解析】【分析】（1）利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算；（2）利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則及性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.【詳解】（1）；（2）.18.已知集合，或．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）先求出集合，再求；（2）先求出，用集合法分類探討，列不等式，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，.因?yàn)榛?，所以或；?）因?yàn)榛颍?因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，所以A.當(dāng)時(shí)，符合題意，此時(shí)有，解得：a<0.當(dāng)時(shí)，要使A，只需，解得：綜上：a<1.即實(shí)數(shù)的取值范圍.19.已知是第四象限角．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先由余弦值求出正切值，再結(jié)合誘導(dǎo)公式，化弦為切，代入求值即可；（2）變形得到，求出的值.【小問(wèn)1詳解】∵是第四象限角，，所以，∴，∴．【小問(wèn)2詳解】∵，∴，∴或．20.已知函數(shù)．（1）證明函數(shù)為奇函數(shù)；（2）解關(guān)于t的不等式：．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)奇偶性的定義即可證明，（2）依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及奇偶性即可轉(zhuǎn)化成自變量的大小關(guān)系，解不等式即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)；【小問(wèn)2詳解】由，由于為定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)且，所以單調(diào)遞減，因此函數(shù)是定義域?yàn)榈脑龊瘮?shù)，而不等式可化為，再由可得，所以，解得，故不等式的解集為．21.某生物病毒探討機(jī)構(gòu)用打點(diǎn)滴的方式治療“新冠”，國(guó)際上常用普姆克試驗(yàn)系數(shù)（單位：pmk）表示治愈效果，系數(shù)越大表示效果越好．元旦時(shí)在試驗(yàn)用小白鼠體內(nèi)注射一些試驗(yàn)藥品，這批治愈藥品發(fā)揮的作用越來(lái)越大，二月底測(cè)得治愈效果的普姆克系數(shù)為24pmk，三月底測(cè)得治愈效果的普姆克系數(shù)為36pmk，治愈效果的普姆克系數(shù)y（單位：pmk）與月份x（單位：月）的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型與可供選擇．（1）試推斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適并求出該模型的解析式；（2）求治愈效果的普姆克系數(shù)是元旦治愈效果的普姆克系數(shù)10倍以上的最小月份．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）選擇模型符合要求；該函數(shù)模型的解析式為，，；（2）六月份.【解析】【分析】（1）依據(jù)兩函數(shù)特征選擇模型，并用待定系數(shù)法求解出解析式；（2）先求出元旦治愈效果的普姆克系數(shù)，從而列出不等式，結(jié)合，解出，得到答案.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)與在上都是增函數(shù)，隨著的增加，函數(shù)的值增加的越來(lái)越快，而函數(shù)的值增加的越來(lái)越慢，由于這批治愈藥品發(fā)揮的作用越來(lái)越大，因此選擇模型符合要求．依據(jù)題意可知時(shí)，；時(shí)，，∴，解得．故該函數(shù)模型的解析式為，，；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，元旦治愈效果的普姆克系數(shù)是，由，得，∴，∵，∴，即治愈效果的普姆克系數(shù)是元旦治愈效果的普姆克系數(shù)10倍以上的最小月份是六月份．22已知函數(shù)對(duì)隨意實(shí)數(shù)m、n都滿意等式，當(dāng)時(shí)，，且．（1）推斷的奇偶性；（2）推斷的單調(diào)性，求在區(qū)間上的最大值；（3）是否存在實(shí)數(shù)a，對(duì)于隨意的，，使得不等式恒成立．若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）奇函數(shù)；（2）為上的減函數(shù)；在上的最大值為6；（3）存在，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【解析】【分析】（1）賦值法得到，，得到函數(shù)的奇偶性；（2）先由時(shí)，利用賦值法得到函數(shù)單調(diào)遞減，再用賦值法和奇偶性得到，從而得到在區(qū)