5篇高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料

第五篇平面向量⑧

?MATHEMATICST

t用un五f"篇

平面向

22aL/5

第1講平面向量的概念及其線性運(yùn)算

【2014年高考會(huì)這樣考】

1.在平面幾何圖形中考查向量運(yùn)算的平行四邊形法則及三角形法則.

2.考查平面向量的幾何意義及共線向量定理的應(yīng)用.

013抓住4個(gè)考點(diǎn)必考必記夯基固本

對(duì)應(yīng)學(xué)生

~70~

考點(diǎn)梳理

1.向量的有關(guān)概念

(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模.

⑵零向量：長度為必的向量，其方向是任意的.

(3)單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量,又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向

量共線.

(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量.

2.向量的加法與減法

向量

運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律

一

(1)交換律：

aa+〃=5+a.

求兩個(gè)向量和的三角形法則

加法(2)結(jié)合律:

運(yùn)算

(a+D)+c=

a

平行四邊形法則a+S+c)

向量a加上向量5

的相反向量,叫做

減法Oa-b=a~\-(—b)

。與力的差，即。

三角形法則

-\-(—b)=a-b

3.向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義

⑴定義：實(shí)數(shù)力與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫向量的數(shù)乘，記作曲,

它的長度與方向規(guī)定如下：

①加=1由⑷；

②當(dāng)2>0時(shí)-，〃與a的方向相同;當(dāng)2Vo時(shí)、〃與a的方向型反；當(dāng)％=0

時(shí)，"=0.

(2)運(yùn)算律：設(shè)九〃是兩個(gè)實(shí)數(shù)，則

①=(〃)《；②?+〃)4=加+〃a；③2(a+Z>)=A?+xZ>.

4.共線向量定理

向量a(aH0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)九使5=〃.

【助學(xué)?微博】

一條規(guī)律

一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向

量終點(diǎn)的向量.

一個(gè)結(jié)論

在△ABC中，若。為8C的中點(diǎn)，則屐>=3(箱+元).

一個(gè)區(qū)別

向量的平行與直線的平行不同，向量的平行包括兩向量所在直線平行和重合兩

種情形.

考點(diǎn)自測(cè)

1.若向量。與b不相等，則a與方一定().

A.有不相等的模B.不共線

C.不可能都是零向量D.不可能都是單位向量

解析因?yàn)樗械牧阆蛄慷际窍嗟鹊南蛄浚手挥蠧正確.

答案c

2.若/n〃〃，n//k,則向量m與向量氣).

A.共線B.不共線

C.共線且同向D.不一定共線

解析當(dāng)”=0時(shí)，4與zn不共線，故選D.

答案D

3.(2012.全國)△ABC中，AB邊的高為CD,若麗=a,CA=b,ab=0,kzl

=1,161=2,則疝=().

11,?22,

AA.ga一乎B.鏟一千

-3>44,

C5a-5bD5a-5b

解析由題可知ABF=2?+]2=5,因?yàn)锳C2=ADAB,所以=

A力D

-'-AD==*(a-Z>)=，

答案D

4.。是△ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量的等于().

A.—BCB.—BC—^BA

C.BC-^BAD.BC+^BA

解析如圖，CD=CB+BD

=CB+^BA=-BC+^BA.

答案A

5.設(shè)a與方是兩個(gè)不共線向量，且向量a+勸與為一分塘，則2=.

[l=2k,

解析由題意知：a+Xb=k(2a-/>),則有：<,

??e=于z=-］?

答案得

Q2;突破3公考向研析案例考向突破

對(duì)應(yīng)學(xué)生

~T\~

考向一平面向量的有關(guān)概念

［例1］＞給出下列命題：

①若山="，則4=。；②若A,B,C,。是不共線的四點(diǎn)，則筋=比是四邊

形ABC。為平行四邊形的充要條件；③若。=從b=c,貝Ua=c；④a=b的充

要條件是燈1=瓦且a〃江

其中正確命題的序號(hào)是.

［審題視點(diǎn)］以概念為判斷依據(jù)，或通過舉反例.

解析①不正確.兩個(gè)向量的長度相等，但它們的方向不一定相同.

②正確.-：AB^DC,L4BI=\DC\SLABIIDC,

又?「A,B,C,。是不共線的四點(diǎn)，二?四邊形ABC。為平行四邊形；反之，若

四邊形ABC。為平行四邊形，則筋//反且成1=I反I,因此，AB=DC.

③正確..a=b,方的長度相等且方向相同；

又方=c,...瓦c的長度相等且方向相同，

,-a,c的長度相等且方向相同，故。=已

④不正確.當(dāng)且方向相反時(shí)，即使1?1=團(tuán)，也不能得到a=。，故1?1=族1

且a不是a=8的充要條件，而是必要不充分條件.

綜上所述，正確命題的序號(hào)是②③.

答案②③

方.送銀索》準(zhǔn)確理解向量的基本概念是解決該類問題的關(guān)鍵，特別是對(duì)相等向

量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例進(jìn)行否定也是行之有效的方法.

【訓(xùn)練1】給出下列四個(gè)命題：

①a與8共線，方與c共線，則。與c也共線；②任意兩個(gè)相等的非零向量的

始點(diǎn)與終點(diǎn)是一個(gè)平行四邊形的四頂點(diǎn)；③向量a與方不共線，則。與。都是

非零向量；④有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行.

其中所有正確命題的序號(hào)是.

解析由于零向量與任一向量都共線，命題①中的b可能為零向量，從而不正

確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個(gè)相等的非零向量可以在同一

直線上，而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形，更不可能是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，所

以命題②不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點(diǎn)是否相同無關(guān)，

所以命題④不正確；③正確.綜上所述，正確命題的序號(hào)是③.

答案③

考向二平面向量的線性運(yùn)算

【例2】■

如圖，在梯形A8CO中，\AB\=2\DC\,M,N分別是DC,AB的中點(diǎn).若施=

e\,AD=e2,用ei，e?表示皮，BC,MN.

［審題視點(diǎn)］結(jié)合圖形，靈活運(yùn)用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行加減運(yùn)算.

解DC=^AB—^

BC=BA-\-AC^-AB+AC^Ab+DC-AB

=Ab—^AB=e2—^e\；

-A-A-A—?1―?―?1—?

MN=MD+DA+AN=-^AB-AD+^AB

=；誦一筋=，1-02.

方巷.里囊》用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問題的基本技巧：①觀察各向量的位

置；②尋找相應(yīng)的三角形或平行四邊形；③運(yùn)用法則找關(guān)系；④化簡(jiǎn)結(jié)果.

【訓(xùn)練2】

A'B

2—?

在△ABC中，ADr=^AB,DE〃BC交AC于點(diǎn)E,8c邊上的中線AM交OE于

點(diǎn)N.設(shè)翁=a,AC=b,用a,方表示向量曲，BC,DE,DN,AM,AN.

DE//BC,22

解2^AE=TAC=^b,

AD=-jAB''

BC=AC—AB=b—a.

r2—?2

由△AOES&BC,^DE=-BC=-(b-a).

又4M是△ABC的邊BC上的中線，DE/JBC,

一1一1

DN=^DE=利~a).

AM=AJB+BM=a+^BC=a+^b—a)=-^a+b).

△AD/V^AABM,

今俞=|■贏7=；3+)).

由,AD=^AB

考向三共線向量定理的應(yīng)用

【例3】》設(shè)兩個(gè)非零向量。與b不共線.

(1)若施=a+)，BC=2a+Sb,CD=3(a-b).

求證：A,B,。三點(diǎn)共線；

(2)試確定實(shí)數(shù)女，使依+》和a+必共線.

［審題視點(diǎn)］(1)先證明磊，粉共線，再說明它們有一個(gè)公共點(diǎn)；(2)利用共線向

量定理列出方程組求k.

⑴證明'：AB=a+b,BC=2a+Sb,CD=?)［,a-b).

：.BD=BC+CD=2a+Sb+3(a-b)=5(a+b)=5AB.

：.AB,昉共線，又它們有公共點(diǎn)8,B,。三點(diǎn)共線.

⑵解假設(shè)ka+b與a+他共線，

則存在實(shí)數(shù)九使ka+》=2(a+姑)，

即（女一z）a—（Ak—\）b.

又a,〃是兩不共線的非零向量，

'.k—X=A.k—1=0./.k1—1=0..,.k=±l.

方法鋪費(fèi)》共線向量定理的條件和結(jié)論是充要條件關(guān)系，既可以證明向量共線,

也可以由向量共線求參數(shù).利用兩向量共線證明三點(diǎn)共線要強(qiáng)調(diào)有一個(gè)公共

點(diǎn).

【訓(xùn)練3】若a,方是兩個(gè)不共線的非零向量，a與分起點(diǎn)相同，則當(dāng)f為何

值時(shí)，a,tb,g（a+））三向量的終點(diǎn)在同一條直線上？

解設(shè)a=a,OB—tb,OC=-|（a+Z＞）,

?*.AC=OC—OA=—|a+^Z＞,AB—OB—OA=tb—a.

要使A,B,C三點(diǎn)共線，只需公=2施.

21

即一耳。+？=加一〃.又a與b為不共線的非零向量

...當(dāng)時(shí)，三向量終點(diǎn)在同一直線上.

。3?揭秘*高^_________蔓威解運(yùn)真題展主

對(duì)應(yīng)學(xué)生

-72-

方法優(yōu)化6——準(zhǔn)確把握平面向量的概念和運(yùn)算

【命題研究】通過近三年的高考試題分析，平面向量的概念和運(yùn)算時(shí)常以選

擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)解答題的題設(shè)條件也以向量的形式給出，命題

的出發(fā)點(diǎn)主要是以平面圖形為載體，借助平面幾何、解析幾何等知識(shí)，考查平

面向量的線性運(yùn)算法則及其幾何意義以及兩個(gè)向量共線的充要條件，或以向量

為載體求參數(shù)的值.

【真題探究】＞（2012.浙江）設(shè)a,〃是兩個(gè)非零向量.（）.

A.若la+M=kil-仍I,則

B.若a_LZ>,則la+bl=lal—IAI

C.若la+bl=lal—協(xié)I,則存在實(shí)數(shù)九使得分=初

D.若存在實(shí)數(shù)九使得。=初，則匕+加=團(tuán)一團(tuán)

［教你審題］思路1根據(jù)選項(xiàng)逐個(gè)進(jìn)行排除.

思路2將模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的形式進(jìn)行分析.

［一般解法］(排除法)選項(xiàng)A,若b=-a,則等式la+bl=lal—。I成立,顯然a_L

b不成立；

選項(xiàng)B,若a_Lb且卬=161,則團(tuán)一團(tuán)=0,顯然，la+Z?l=V2lal^0,故la+B

=lal—61不成立；

選項(xiàng)D,若b=a,則lai一心1=0,顯然，la+加=2lalW0,故la+ZH=kzl一則不成

立.

綜上，A,B,D都不正確，故選C.

［優(yōu)美解法］(數(shù)量積法)把等式1?+加=團(tuán)一團(tuán)兩邊平方，得(a+勿2=(卬一則心，

即2a仍=-2lal?協(xié)I,而a力=lallblcos(a,b),

所以cos(a,b)=-1.又因?yàn)椤碼,b)G［0,TT］,

所以〈a,b)=兀，即a,〃為方向相反的共線向量.故C正確.

［答案］C

［反思］在高考結(jié)束后，了解到部分學(xué)生做錯(cuò)的主要原因是：題中的條件'%+

b\=\a\-\b\,,在處理過程中誤認(rèn)為“l(fā)a+AI=la-〃”，從而得到，_LZ>”這個(gè)

錯(cuò)誤的結(jié)論.

【試一試】在△OAB中，OA=a,OB=b,。。是AB邊上的高，若布=施,

則實(shí)數(shù)2=().

a(a-b)a(b—a)

A

'kz-61B.1a一加

a(a—b)a(b-a)

「。kz—席Dla-fel2

解析由Q)=施，.-.\AD\=MAB\.

rfa(a-b)—b)

又.??■DLSAE?奇力

\b-a\

由=族-H,.?"=盧=七守?故選C

-al\a-b\

答案c

。4工限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練階梯訓(xùn)練能力提升

對(duì)應(yīng)學(xué)生

-265-

A級(jí)基礎(chǔ)演練（時(shí)間：30分鐘滿分：55分）

一、選擇題（每小題5分，共20分）

1.（2013?合肥檢測(cè)）已知。是aABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，。為3C邊的中點(diǎn)，且2近

+OB+OC=0,那么（）.

\.AO=ObB.Ab=2OD

C.AO^3dbD.2AO=db

解析由2晶+B+歷=0可知，。是底邊BC上的中線AO的中點(diǎn)，故左）=

0D.

答案A

2.30OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,且四邊形ABCD為平行四邊形，則（）.

A.a—b~\~c—d=0B.a—b-c+d=0

C.a-\~b—c—d=0D.a+〃+c+d=0

解析依題意，得蕊=反，故筋+詼=0,即為-S1+麗-db=o,即有

OA-OB+OC-db=0,則a-z?+c-d=o.選A.

答案A

3.已知平面上不共線的四點(diǎn)。,A,8,C.若用1+2沅=3成，則心的值為（）.

—?

\AB\

A.4B.TC.4D.T

2340

解析由晶+2慶=3訪，得以1-仍=2成-2浣，^BA=2CB,所以加=

IABI

].故選A.

答案A

4.（2011.山東）設(shè)4,%，A，A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若公酒3=

A47A2（2GR）,4滔4=〃4/2（//金咫，且1+1=2,則稱As，A4調(diào)和分割4，A2.

A〃

已知平面上的點(diǎn)C,。調(diào)和分割點(diǎn)4,B,則下列說法正確的是（）.

A.C可能是線段AB的中點(diǎn)

B.?？赡苁蔷€段A8的中點(diǎn)

C.C、。可能同時(shí)在線段A8上

D.C、。不可能同時(shí)在線段A8的延長線上

解析若A成立，則％而1=0,不可能；同理B也不可能；若C成立，

則且1+->2,與已知矛盾；若C,D同時(shí)在線段48的

延長線上時(shí)，Z>1,且〃>1,1+-<2,與已知矛盾，故C,D不可能同時(shí)在

線段A8的延長線上，故D正確.

答案D

二、填空題（每小題5分，共10分）

5.（2013.泰安模擬）設(shè)a,》是兩個(gè)不共線向量，AB^2a+pb,BC=a+b,CD=a

~2b,若A,B,。三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)p的值為.

解析?.BD-BC+cb=2a-b,又A,B,。三點(diǎn)共線，

???存在實(shí)數(shù)九使筋=2訪.

2=22,

即彳,-'-/?=_1.

[p=-A,

答案T

6.如圖，在矩形ABCO中，筋1=1,\AD\=2,設(shè)靠=

BC=b,BD=c,則la+〃+cl=

解析根據(jù)向量的三角形法則有l(wèi)a+5+cl=1初+

+BD\=\AB+BD+AD\=\AD+AD\=2L4DI=4.

答案4

三、解答題(共25分)

7.(12分)如圖，在平行四邊形0A中，設(shè)晶=a,OB^BD

b,BM^BC,麗試用a,〃表示血，和及血.

'0A

解由題意知，在平行四邊形。AD8中，麗/=|比=1謨

JO

1一一111

=4(0A—OB)=%(a—方)=&a—^b,

則(5^/=油+盛=》+Ja—

oooo

<W=|db=|(dA+(?B)=|(a+/>)=|a+|z>,

MN=0N—dM=^a+b)—^a—^b—^a—^).

8.(13分)(1)設(shè)兩個(gè)非零向量ei，e2不共線,如果油=2e1+3e2,BC=6ei+23e2,

Cb=4ei-8e2,求證：A,B,。三點(diǎn)共線.

(2)設(shè)e”02是兩個(gè)不共線的向量，已知筋=2ei+ke2，CB=ei+3e2,CD=2e\

~e2,若A,B,。三點(diǎn)共線，求女的值.

(1)證明因?yàn)椴?6ei+23e2，CD=4el-8e2,

所以前>=病+詼=10ei+15e2.

又因?yàn)榻?2e1+3e2，得麗=5筋，即詼〃筋，

又因?yàn)槟X，而有公共點(diǎn)B,所以A,B,。三點(diǎn)共線.

(2)解。萬=昂一Gb=ei+3e2-2ei+e2=4e2-ei，

AB=le\+ke2,

若A,B,。共線，則施〃。于，

一.一[-1—2/.,

設(shè)08=148,所以〈=>女=-8.

[4=M

B級(jí)能力突破（時(shí)間：30分鐘滿分：45分）

一、選擇題（每小題5分，共10分）

1.（2013.濟(jì)南一模）已知A,B,C是平面上不共線的三點(diǎn)，。是△ABC的重心，

動(dòng)點(diǎn)P滿足辦=1］；/+3為+2不?），貝欣P一定為三角形ABC的（）.

A.AB邊中線的中點(diǎn)

B.AB邊中線的三等分點(diǎn)（非重心）

C.重心

D.A8邊的中點(diǎn)

解析設(shè)A3的中點(diǎn)為加，則3萬1+gm=礪，.??沃=；（（加+2次）=g曲+

|OC,即而+2反，也就是加=21，，P,M,C三點(diǎn)共線，且P是

CM上靠近C點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn).

答案B

2.若點(diǎn)”是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足5麻/=盛+3而，則△48M與4

48c的面積比為（）.

1234

A.gB.gC.；D.g

解析設(shè)AB的中點(diǎn)為。，由5啟=福+3病，得3病A

-3危=2病-24而，即3說=2通.如圖所示，故。，/\\

M,。三點(diǎn)共線，且麗=］詼，也就是△4創(chuàng)/與4

ABC對(duì)于邊A8的兩高之比為3：5,則△48M與4

ABC的面積比為|,選C.

答案C

二、填空題（每小題5分，共10分）

3.若點(diǎn)。是△A8C所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足I麗一衣1=1成+近一2^I,則

△ABC的形狀為.

解析OB+OC-2OA=OB-OA+OC-OA=AB+AC,

OB-OC=CB=AB-AC,+AC\=\AB-AC\.

故A,B,C為矩形的三個(gè)頂點(diǎn)，aABC為直角三角形.

答案直角三角形

4.如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)。是8C的中點(diǎn).過點(diǎn)。的直

線分別交直線AB,AC于不同的兩點(diǎn)M,N,若筋=〃?刀力,

AC=nAN,則m+〃的值為.

解析。是5c的中點(diǎn)，

?,?尼=；（筋+?。?

X'-'AB=mAM,AC=nAN,AO=^4A7+3病.

VYlfl

'''M,O,N三點(diǎn)共線，.1.y+2=則機(jī)+〃=2.

答案2

三、解答題（共25分）

5.（12分）如圖所示，在△ABC中，在AC上取一點(diǎn)N,C

使得AN=gAC,在AB上取一點(diǎn)M,使得^8

1Q

在8N的延長線上取點(diǎn)P,使得NP=^BN,在CM的

延長線上取點(diǎn)。，使得必0=2而時(shí)，AP=QA,試確定力的值.

解"：AP=NP-NA=^BN~CN）^（BN+NC）=^BC,QA=MA-MQ^BM

+AMC,

即.,.2=g.

6.（13分）已知點(diǎn)G是△A3。的重心，M是AB邊的中點(diǎn).

⑴求以1+強(qiáng)+出）；

（2）若PQ過△A3。的重心G,且Sl=a,OB=b,OP=ma,OQ=nb,求證：

⑴解,：GA+GB=2GM,又2端=一而,

：.(^+GB+Gb=-Gb+Gb=O.

(2)證明顯然而=/+方).因?yàn)镚是△A3。的重心，所以花加=g(a

+b).由P,G,。三點(diǎn)共線，得兩〃的，所以，有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)人使歷

=2曲.

而用=%一次=((4+))-〃?”=仔_相)+|/>,

———11(n

GQ=OQ—OG—nb—^(a+b)=-ja+\n—^\b,

所以《―

又因?yàn)閍,萬不共線，所以

消去九整理得3〃2〃=加+〃，故,+1=3.

mn

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《創(chuàng)新設(shè)計(jì).高考總復(fù)習(xí)》光盤中內(nèi)容.

第2講平面向量的基本定理及向量金向運(yùn)算

【2014年高考會(huì)這樣考】

1.考查應(yīng)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求向量的模.

2.考查應(yīng)用平面向量基本定理進(jìn)行向量的線性運(yùn)算.

3.考查應(yīng)用向量的垂直與共線條件，求解參數(shù).

013抓住4個(gè)考點(diǎn)必考必記夯基固本

對(duì)應(yīng)學(xué)生

-T2-

考點(diǎn)梳理

1.平面向量基本定理

前提：e”e,是同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量.

條件：對(duì)于這一-平面內(nèi)的任，-向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)小，22滿足a=k\e\

+』202.

結(jié)論：不共線的向量幻，62叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

2.平面向量的坐標(biāo)表示

(1)向量的夾角

①定義：已知兩個(gè)非零向量a和方，如右圖，作OB=b,則NA08=

QOWW180。)叫做a與方的夾角.

②當(dāng)。=0。時(shí)，a與/>共線同向.

當(dāng)0=180。時(shí)，a與。共線反向.

當(dāng)。=90。時(shí)，a與b互相垂直.

(2)平面向量的正交分解

向量正交分解是把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量.

⑶平面向量的坐標(biāo)表示

在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i,j作為

基底，對(duì)于平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y,使得a=xi+W.這

樣，?？捎蓌,y唯一確定，我們把有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a

=(x,丫).其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做。在y軸上的坐標(biāo).

(4)規(guī)定

①相等的向量坐標(biāo)相等,坐標(biāo)相等的向量是相等的向量:

②向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān)，只與其

相對(duì)位置有關(guān)系.

3.平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示

(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模

設(shè)a=(x”力),b=(xi，yi),則

a+/>=(xi+x2，yi+y2)，a一1=(占—必，yi—丫2)，"=(=i，如),lal=^/xF+ji-

(2)向量坐標(biāo)的求法

①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

②設(shè)A(xi，y),8(x2，/)，則檢=(X2—xi，丫2-丫1)，L4SI=^/(X2—Xi)2+(j2—Ji)2.

4.平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(x”yi),b=(xz，>2)，其中5HO,a〃Z>=xiy2~~小丫|=0.

【助學(xué)?微博】

兩點(diǎn)提醒

(1)要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完

全不同，向量坐標(biāo)中既有方向也有大小的信息.

(2)若a=(x”力)，萬=(孫兒)，則a〃方的充要條件不能表示成”因?yàn)槿?/p>

%2yz

>2有可能等于0，應(yīng)表示為X32-尤M=0.

三個(gè)結(jié)論

(1)若a與分不共線，+///>=0,則％=〃=0.

⑵已知萬1=2油+〃浣(九〃為常數(shù))，則A,B,C三點(diǎn)共線的充要條件是人

+〃=1.

(3)平面向量的基底中一定不含零向量.

考點(diǎn)自測(cè)

1.(2012.廣東)若向量函=(2,3),以=(4,7),則%=().

A.(—2,—4)B.(2,4)

C.(6,10)D.(-6,-10)

解析由于或=(2,3),CA=(4,7),那么說'=或+/=(2,3)+(-4,-7)=(-

2,-4).

答案A

2.(2013?湘潭調(diào)研)已知向量a=(4,尤)"=(—4,4),若?！?則x的值為().

A.0B.4C.-4D.±4

解析若aMb,則有4X4+4x=0,解得x=-4.

答案C

3.已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,2),B(-l,一2),。(3,1),且虎=2疝,

則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為().

A?，B.(2,T)

C.(3,2)D.(1,3)

解析設(shè)。(x,y),AD=(x,y-2),BC=(4,3),

0A=_=T2v,1

又就=屈，.,?〈’7故選A.

[3=23-2),[y=2.

答案A

4.(2012?重慶)設(shè)x,yGR,向量a=(x,l),4=(1,y),c=(2,—4),H.a_Lc,

b//c,則kz+bl=().

A.小B，VWC.2小D.10

⑵-4=0,[x=2,

解析由題意可知，\解得〈故a+)=(3,-1),\a

I-4-2j=0,[y=-2,

+b\=y[ib,選B.

答案B

5.(2012北京)已知向量a="5,1),b=(0,—1),c=(k,5).若a—2b與

c共線，貝1JA=.

解析a-2b=3),因?yàn)椤?2/＞與。共線，所以左=羋，4=1?

答案1

。2?突破3個(gè)考向研析案例考向突破

對(duì)應(yīng)學(xué)生

-73

考向一平面向量基本定理及其應(yīng)用

【例1】A

如圖，在平行四邊形48CQ中，M,N分別為DC,8C的中點(diǎn)，已知而=c,

AN=d,試用c,d表示筋，AD.

［審題視點(diǎn)］直接用c,d表示筋，Ab有難度，可換一個(gè)角度，由筋，病表示

AN,AM,進(jìn)而求筋，AD.

解法一設(shè)筋=a,AD=b,

b=AM+MD=c+1一呼)②

將②代入①得a=d+(—§c+卜5)

:.a=gd—|c=|(2rf-c),代入②

得b=c+(—T)c)=,(2c—d).

???施='(2J—c),AD=^2c—d).

法二設(shè)施=eAD=b.

因V,N分別為CO,BC的中點(diǎn)，所以麗DM=^a,

(,.1

c—b+^a,.c)，

因而《

今《

2

yd=a+^bb—^2c—d),

2_?2

BPABt=~2（2d—c）,4Z）=w（2c—d）.

方法銀囊”應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三

角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算，共線向量定理的應(yīng)用起著至關(guān)重要的

作用.當(dāng)基底確定后，任一向量的表示都是唯一的.

【訓(xùn)練1】

如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量以，OB,0C,其中與場(chǎng)的夾角為120°,溫與沅

的夾角為30°,JLldAI=IOBI=l,1歷1=25，若沆=2晶+〃協(xié)（九〃GR）,

則/.+/.!的值為.

解析

B

AA'

如圖，以物，為為一組基底，將沆在晶，彷方向上分解，得RtaOCA',

其中0。=2的，ZOCA'為直角，ZCOA=30°,則OA1=4OA,OB'=20B,

即2=4,〃=2,所以2+4=6.

答案6

考向二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

【例2】》已知4(一2,4),8(3,-1),C(-3,-4),且改=3為，CN=2CB.

求M,N的坐標(biāo)和疝.

［審題視點(diǎn)］求名，通的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件列方程組求M,N的坐標(biāo).

解VA(—2,4),3(3,-1)>C(—3,—4),

/.C4=(l,8)?巾=(6,3).

.,.CM=3C4=3(1,8)=(3,24),CN=2CB=2(6,3)=(12,6).

設(shè)y),則加=(x+3,y+4).

x+3=3,x=0

/.M(0,20).

y+4—24,J=20.

同理可得N(9,2),...加=(9-0,2—20)=(9,—18).

方法錦索》解決向量的坐標(biāo)運(yùn)算問題，關(guān)鍵是掌握線性運(yùn)算法則及坐標(biāo)運(yùn)算的

特點(diǎn).一般地，已知有向線段兩端點(diǎn)的

坐標(biāo)，應(yīng)先求出向量的坐標(biāo).解題時(shí)注意利用向量相等(橫、縱坐標(biāo)分別相等)

建立方程(組)的思想.

］3

【訓(xùn)練2】(1)已知平面向量a=(l,1),5=(1,—1),貝IJ向量于一/=().

A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)

⑵在平行四邊形A8C。中，AC為一條對(duì)角線，若筋=(2,4),危=(1,3),則兩

=().

A.(—2,—4)B.(—3,—5)

C.(3,5)D.(2,4)

解析⑴5=(1,g,|H|,一|),

故5-|/>=(-1,2).

(2)由題意得防=疝-AB=BC-AB=(AC-AB)-AB=AC-2AB=(1,3)-

2(2,4)=(-3,-5).

答案(1)D(2)B

考向三平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算

【例3】》平面內(nèi)給定三個(gè)向量。=(3,2),6=(—1,2),c=(4,l),請(qǐng)解答下列問

題：

(1)求滿足。=〃力+〃c的實(shí)數(shù)〃?，n；

(2)若(a+Zx)〃(2Z>—a),求實(shí)數(shù)k.

［審題視點(diǎn)］(1)向量相等對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等，列方程解之；(2)由兩向量平行的條件

列方程解之.

解(1)由題意得(3,2)="(―1,2)+〃(4,1),

5

小=§,

—m+4n=3,

所以得

2m+〃=2,8

〃=§.

(2)a+Ar=(3+4匕2+Z),2b—a=(—5,2),

?；(a+&c)〃(2b—a)9

，2X(3+4k)—(—5)(2+%)=0,：.k=~^.

方法母重A(1)一般地，在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為

及QER),然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于2的方程，求出2的值后代入初即可得

到所求的向量.

⑵如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，則利用“若a=(xi，%),b=

(X2?/2)，則a"》的充要條件是X'2=煙1"解題比較方便.

【訓(xùn)練3】(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形A8CD的邊48〃OC,AD〃

8C已知點(diǎn)4一2,0),8(6,8),C(8,6),則。點(diǎn)的坐標(biāo)為.

(2)已知向量a=(m,—1),5=(—1,—2),c=(—1,2),若(a+b)〃c,貝ijm=

解析⑴由條件中的四邊形ABCD的對(duì)邊分別平行，可以判斷該四邊形ABCD

是平行四邊形.

設(shè)Z)(x,y),則有初=反，

即(6,8)-(-2,0)=(8,6)-(x,理

解得(x,y)=(0,-2),即。點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-2).

(2)由題意知a+力=(〃?-1,-3),c=(-1,2),由(a+Z>)//c,得(-3)義(-1)-

(m-1)X2=0,所以〃?=,.

答案(1)(0,—2)(2)|

03二揭秘3年高考權(quán)威解變真題展示

對(duì)應(yīng)學(xué)生

~74~

方法優(yōu)化7——“多想少算”解決平面向量運(yùn)算問題

【命題研究】通過近三年高考試題分析，可以看出高考對(duì)本部分內(nèi)容的考查

主要是向量的運(yùn)算，意在考查考生計(jì)算能力和利用化歸思想解決問題的能

力.以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，一般難度不大，屬容易題.

【真題探究】》(2012.安徽)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)0(0,0),P(6,8),將向最OP

繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),后得向量而，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是().

A.(一7亞，一也)B.(一7亞，V2)

C.(-4^6,-2)D.(-476,2)

［教你審題］思路1利用向量的夾角公式和模長公式結(jié)合待定系數(shù)法求解.

思路2利用旋轉(zhuǎn)角求解.

思路3排除法、驗(yàn)證法相結(jié)合求解.

［一般解法］法一設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(x,y),由題意知：I而1=1加川36+64=

10.

又：\0Q\=y［7+^=\Q,

二/+『=］(J。①

?.?向量而與由的夾角為（兀，且點(diǎn)。在第三象限,

.3刈?麗(X,y>(6,8)6x+8y_仍

,，C0S產(chǎn)歷M的J]°xio=FF_2-

.,.6x+8y=-50Vl②

X=yJ^2yx=—7吸,

由①②得，或，

)=一7啦J=一隹

又?點(diǎn)。在第三象限，.??點(diǎn)。的坐標(biāo)為（一7也，-V2）.

法二

3

設(shè)Nxop=e,則由題意知：NxOQ=；7i+e（如圖所示），設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為a，

y）-

??,點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（6,8）,

...海=(6,8),且1成1=10,

」.cos54..84

sin^=10=5-

則

.334

sinl/9+^Jt=sin9cosz兀+cos8sin[兀=§X

又:破1=而=10,

.?.點(diǎn)。的坐標(biāo)為（一7也，一讓）.

［答案］A

［優(yōu)美解法］畫出草圖，可知點(diǎn)。落在第三象限，則可排除B、D,代入A,cos

,6X（—7也）+8X（一也）-50V2-72rriu,3兀小、一

ZQOP=62+S2=_fog~2-，所以NQ0P=7?代入C,

6X（—4a）+8X（—2）—24a—16一—

cosNQOP_^2_1_g2一?QQ彳2，故選A.

［答案］A

［反思］本題學(xué)生容易列二元二次方程求解，陷入繁雜的運(yùn)算，優(yōu)美解法中體現(xiàn)

了“多想少算”的命題原則，因此在解題前一定要注意審題.

【試一試】（2011?上海）設(shè)4”A2,A3,4,A5是空間中給定的5個(gè)不同點(diǎn)，

則使疝i+向2+忘3+加4+肱45=0成立的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為（）.

A.0B.1C.5D.10

解析法一（特值法）：不妨取4、42、43、4分別是正方形的頂點(diǎn)，As為正

方形對(duì)角線的交點(diǎn).僅當(dāng)例為4時(shí)滿足疝1+忘2+庇3+庇4+必5=0.故

選B.

法二設(shè)M（x,y）,Ai（Xi，%）（i=123,4,5）,

-------A5-------A

則MA,=（4一工,X—y）,由2MA；=0得

r-1

工1+冗2+冗3+X4+-=0,

（為+以+為+丁4+乃-5y=0,

X=+X2+冗3+工4+冗5），

即1

［y=+>2+為+%+力）.

故點(diǎn)"的個(gè)數(shù)為1.選B.

答案B

041限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練階梯訓(xùn)練能力提升

對(duì)應(yīng)學(xué)生

-267~

A級(jí)基礎(chǔ)演練（時(shí)間：30分鐘滿分：55分）

一、選擇題（每小題5分，共20分）

1.設(shè)平面向量。=（3,5）,6=（-2,1）,則。-2，=).

A.(6,3)B.(7,3)C.(2,1)D.(7,2)

解析a-26=(3,5)-2(-2,1)=(7,3).

答案B

2.已知平面內(nèi)任一點(diǎn)。滿足街(x,yWR),則“x+y=l”是“點(diǎn)P

在直線A8上”的().

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析根據(jù)平面向量基本定理知：0P=xOA+yOB(x,y€R)且x+y=1等價(jià)于

P在直線AB上.

答案C

3.(2013?金華模擬)設(shè)向量a=(l,-3),)=(—2,4),c=(T,—2),若表示向量

4a,48—2c,2(a—c),d的有向線段首尾相連能構(gòu)成四邊形，則向量d為

().

A.(2,6)B.(-2,6)

C.(2,-6)D.(-2,-6)

解析設(shè)d=(x,y),由題意知4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4,

-2),又+4b-2c+2(a-c)+d=0,解得x=-2,y=-6,所以d=(-2,

-6).故選D.

答案D

4.已知向量a=(l,2),方=(l,0),c=(3,4).若2為實(shí)數(shù)，(a+勸)〃c,則2=().

B.1C.1D.2

解析依題意得。+"=(1+九2),

由?+勸)//c,得(1+2)X4-3X2=0,.-.2=1.

答案B

二、填空題(每小題5分，共10分)

5.(2013?杭州模擬)若三點(diǎn)4(2,2),5(a,0),C(0,與(M士0)共線，則5+(的值為

解析AB=(a-2,-2),AC=(-2,6-2),依題意，有(〃-2)S-2)-4=0,

111

-

即O--

2aa82

1

答案-

2

6.已知A(7,l),8(1,4),直線>=手次與線段45交于C,HAC^2CB,則實(shí)數(shù)a

解析設(shè)C(x,y),則4c=(》-7,y-1),C5=(1-x,4-y),

x-7=2(1-x),x=3,

-.'AC=2CB,解得

J-1=2(4-y),J=3.

??.C(3,3).又在直線y=上,

「-3=*3,=2.

答案2

三、解答題(共25分)

7.(12分)已知a=(l,2),7=(—3,2),當(dāng)1為何值時(shí),①+6與“一3。平行？平行

時(shí)它們是同向還是反向？

解法一ka+b=k(l,2)+(—3,2)=(k—3,2k+2),

a—3Z>=(1,2)—3(—3,2)=(10>—4),

當(dāng)履+Z>與a—35平行時(shí)，存在唯一實(shí)數(shù)/使ka+方=2(a—3A),由(女一3,24+

2)=z(10,一4)得,

-3=103

解得z=/l=_g,

2k+2=-42.

?,?當(dāng)％=-g時(shí)，ka+b與a—3b平行,

這時(shí)ka+b=—^a+b=-^(a—3b).

；v0,.\ka~\rb與a—3b反向.

法二由法一知ka+b=(k-3,2k+2)9

a—3ft—(10,—4),?：ka+b與a—3b平行

.?./-3)X(-4)—10X(2Z+2)=0,解得人二一提

此時(shí)ka+b=(_；_3,—1+2^——1(a—3Z>).

二當(dāng)左=—g時(shí)與a—3b平行，并且反向.

8.(13分)已知。(0,0),4(1,2),仇4,5)及流=為+福，求：

(l)f為何值時(shí)，P在x軸上？P在y軸上？P在第二象限？

(2)四邊形0ABp能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的f值；若不能，請(qǐng)說

明理由.

解(1)種=醇+凝=(l+3f,2+3f).

2

若尸在x軸上,則2+3f=0,