江蘇省南京市2024-2025學年高三上學期第一次調(diào)研考試數(shù)學試題（解析版）

南京市2025屆高三年級學情調(diào)研數(shù)學2024.09注意事項：1.本試卷考試時間為120分鐘，試卷滿分150分.2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分.3.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元一次不等式與一元二次不等式求得集合，進而可求得.【詳解】，或，所以或=.故選：D2.已知，，則（）A.5 B.6 C.7 D.12【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)式和指數(shù)式的互化，利用指數(shù)的運算即可求得答案.【詳解】由，得，故，故選：D3.已知，.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由條件先求得，再由向量夾角公式即可求解.【詳解】因為，所以，又，所以，所以.故選:A4.已知數(shù)列為等差數(shù)列，前項和為.若，，則（）A. B. C.9 D.18【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列片段和的性質(zhì)可求得的值.【詳解】由等差數(shù)列片段和的性質(zhì)可知，、、成等差數(shù)列，所以，，則，故選：B.5.若是第二象限角，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知根據(jù)二倍角公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得，由是第二象限角，可得，即可求解.【詳解】由得，因為，所以，因為是第二象限角，所以，所以，所以.故選：.6.甲、乙、丙、丁共4名同學參加某知識競賽，已決出了第1名到第4名（沒有并列名次），甲、乙、丙三人向老師詢問成績，老師對甲和乙說：“你倆名次相鄰”，對丙說：“很遺憾，你沒有得到第1名”，從這個回答分析，4人名次排列情況種數(shù)為（）A.4 B.6 C.8 D.12【答案】C【解析】【分析】由題意可得丙不是第1名，甲乙相鄰，先排丙，再排甲，乙，最后再排丁，即可得答案.【詳解】解：由題意可得丙不是第1名，甲，乙相鄰；所以丙是第2名時，甲，乙只能是第3，4名，丁為第1名，此時共2種情況；丙是第3名時，甲，乙只能是第1，2名，丁為第4名，此時共2種情況；丙是第4名時，甲，乙有可能是第1，2名，或第2，3名，當甲，乙是第1，2名時，丁為第3名，此時共2種情況；當甲，乙是第2，3名時，丁為第1名，此時共2種情況；所以一共有2+2+2+2=8種情況.故選：C.7.若正四棱錐的高為8，且所有頂點都在半徑為5的球面上，則該正四棱錐的側(cè)面積為（）A.24 B.32 C.96 D.128【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正四棱錐及球的特征求出錐體的底邊邊長和側(cè)棱長，然后結(jié)合勾股定理利用側(cè)面積公式計算即可.【詳解】如圖所示，設(shè)P在底面的投影為G，易知正四棱錐的外接球球心在上，由題意球O的半徑，所以，，則，故中，邊AB的高為，所以該正四棱錐的側(cè)面積為.故選：C8.已知拋物線的焦點為，準線為，點在上，點在上.若，，則的面積為（）A. B.25 C. D.55【答案】B【解析】【分析】過點作軸于點，準線與軸交于點,設(shè)，計算，根據(jù)相似于求出，再由求解即可.【詳解】如圖所示，過點作軸于點，準線與軸交于點,拋物線的焦點坐標，設(shè)，由拋物線的定義可得，即，因為，所以，因為,所以相似于,則,所以，解得或，所以，所以.故選：B.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上，全部選對得6分，部分選對得部分分，不選或有錯選的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則的虛部為C.若，則 D.若，則【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算及概念，直接判斷AB，舉例判斷CD.【詳解】A.設(shè)，由得，那么也是實數(shù)，正確；B.設(shè)，由得，那么的虛部為，正確；C.若，則，此時，錯誤；D.若，為實數(shù)，所以不一定是實數(shù)，錯誤.故選：AB10.對于隨機事件A，B，若，，，則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)條件概率的計算公式，可判斷AB的真假，根據(jù)和事件概率計算公式，可判斷C的真假，結(jié)合全概率公式和條件概率計算公式，可判斷D的真假.【詳解】對A：因為，故A錯誤；對B：由，故B正確；對C：因為，故C正確；對D：，所以：.所以.故D正確.故選：BCD11.設(shè)函數(shù)，則（）A.的定義域為B.的圖象關(guān)于對稱C.的最小值為D.方程在上所有根的和為【答案】ACD【解析】【分析】A選項，由得到函數(shù)定義域；B選項，計算出，B錯誤；C選項，計算出，，從而得到函數(shù)的周期性和對稱性，只需研究時的最小值即可，此時，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，從而得到故在時，取得最小值，此時，代入求出最小值；D選項，畫出在上的圖象，數(shù)形結(jié)合得到交點個數(shù)，即根的個數(shù)，由對稱性得到所有根的和為.【詳解】A選項，又題意得，故，定義域為，A正確；B選項，，故的圖象不關(guān)于對稱；C選項，，故的一個周期為，又，故關(guān)于對稱，由A知，定義域為，故只需研究時的最小值即可，此時，則，其中恒成立，故令得，此時單調(diào)遞增，令得，此時單調(diào)遞減，故在時，取得最小值，此時，故的最小值為，C正確；D選項，畫出在上的圖象，如下：其中，則與共有8個交點，由對稱性可知，，則方程在上所有根的和為，D正確.故選：ACD【點睛】函數(shù)的對稱性：若，則函數(shù)關(guān)于中心對稱，若，則函數(shù)關(guān)于對稱，三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上12.展開式中的常數(shù)項為_____________.【答案】240【解析】【分析】寫出通項公式，令的指數(shù)為，得到，從而常數(shù)項為.【詳解】展開式的通項公式為，令得，，故答案為：240.13.與圓柱底面成角的平面截圓柱得到如圖所示的幾何體，截面上的點到圓柱底面距離的最大值為4，最小值為2，則該幾何體的體積為___________.【答案】【解析】【分析】由圖形可知所求幾何體是由底面直徑相同，高為的圓柱和高為的圓柱的一半拼成，由圓柱體積公式可求得結(jié)果.【詳解】作出幾何體的軸截面如下圖所示：則所求幾何體是由一個底面直徑為，高為的圓柱與一個底面直徑為，高為的圓柱的一半構(gòu)成，則所求幾何體體積.故答案為：.14.已知橢圓的左、右焦點分別為，，上頂點為，直線與相交于另一點.當最小時，的離心率為___________.【答案】##【解析】【分析】設(shè)，利用余弦定理求出最小時的值，確定在中，，再利用余弦定理求出的關(guān)系，解得答案.【詳解】設(shè)橢圓方程為，其焦距為2c，由題意可知；設(shè)，則，故，當時，取最小值，此時取最小值，則此時在中，，則,即，整理得，故橢圓離心率，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是利用余弦定理確定最小時的值，進而再利用余弦定理求出的關(guān)系，解得答案.四、解答題：本大題共5小題，共77分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.小王早晨7：30從家出發(fā)上班，有A，B兩個出行方案供其選擇，他統(tǒng)計了最近100天分別選擇A，B兩個出行方案到達單位的時間，制成如下表格：8點前到（天數(shù)）8點或8點后到（天數(shù)）A方案2812B方案3030（1）判斷并說明理由：是否有95%的把握認為在8點前到單位與方案選擇有關(guān)；（2）小王準備下周一選擇A方案上班，下周二至下周五選擇B方案上班，記小王下周一至下周五這五天中，8點前到單位的天數(shù)為隨機變量X.若用頻率估計概率，求.附：，其中，0.100.050.0250.0100.0112.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1）有，理由見解析（2）【解析】【分析】（1）利用表格數(shù)據(jù)得出相應(yīng)列聯(lián)表，代入數(shù)據(jù)求得的值得出結(jié)論；（2）分情況分別求得周一8點前到單位和沒到單位兩種情況，求得對應(yīng)的概率即可得出結(jié)果.【小問1詳解】（1）根據(jù)題意，列出的列聯(lián)表如下：8點前到（天數(shù)）8點或8點后到（天數(shù)）A方案281240B方案3030605842100假設(shè)點前到單位與方案選擇無關(guān)，則，所以有的把握認為8點前到單位與路線選擇有關(guān).【小問2詳解】選擇方案上班，8點前到單位的概率為0.7，選擇方案上班，8點前到單位的概率為0.5.當時，則分兩種情況：第一種：若周一8點前到單位，則.第二種：若周一8點前沒有到單位，則.綜上，.16.如圖，在四面體中，是邊長為3的正三角形，是以AB為斜邊的等腰直角三角形，E，F(xiàn)分別為線段AB，BC的中點，，.（1）求證：平面；（2）若平面平面，求直線BD與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面平行的判定定理證明即可得出結(jié)論；（2）由面面垂直性質(zhì)定理可得平面，建立空間直角坐標系利用空間向量即可求得結(jié)果.【小問1詳解】因為E，F(xiàn)分別為線段AB，BC中點，所以.因，，即，所以，所以.又平面，平面，所以平面【小問2詳解】取AC中點，連接DO，OE因為為正三角形，所以.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面.因為O，E分別為AC，AB中點，則.又因為，所以.以為坐標原點，OE，OC，OD所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：則，，，，故，，.設(shè)平面的法向量為，直線BD與平面所成角為，則即取.則，所以BD與平面所成角的正弦值為.17.已知數(shù)列，，，，且為等比數(shù)列.（1）求的值；（2）記數(shù)列的前項和為.若，求的值.【答案】（1）2（2）2【解析】【分析】（1）計算出，，，.，進而得到，根據(jù)等比數(shù)列得到方程，求出，驗證后得到答案；（2）求出，分為偶數(shù)和為奇數(shù)時，得到，，又，故，所以為偶數(shù)，從而得到方程，求出.【小問1詳解】因為，則，，，.又，則，，.因為bn為等比數(shù)列，則，所以，整理得，解得或2.因為，故.當時，則，故bn為等比數(shù)列，所以符合題意.【小問2詳解】，當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時.綜上，，因為，又，故，所以為偶數(shù).所以，整理得，解得或（舍），所以.18.已知，是雙曲線的左、右焦點，，點在上.（1）求的方程（2）設(shè)直線過點，且與交于，兩點.①若，求的面積；②以線段為直徑的圓交軸于，兩點，若，求直線的方程.【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）由題意可得雙曲線的焦點坐標，結(jié)合雙曲線的定義可得的值，從而可得雙曲線的方程；（2）①設(shè)，由已知可得點坐標為，代入雙曲線方程解得點坐標，根據(jù)即可求解；②當直線與軸垂直時，不滿足條件，當直線與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立直線與，由得且，由，是以線段為直徑的圓交軸的交點，根據(jù)韋達定理表示兩點間距離可求解的值，即可得直線方程.【小問1詳解】由題意可知，所以，，由點在上，根據(jù)雙曲線的定義可知，即，所以，則，所以的方程為；【小問2詳解】①設(shè)，，因為，所以，所以點坐標為，因為，在雙曲線上，所以，解得，，所以點坐標為，所以；②當直線與軸垂直時，此時不滿足條件，設(shè)直線的方程為，，，，，直線與聯(lián)立，消去，得，所以，，由，得且，以AB為直徑的圓方程為，令，可得，則，為方程的兩個根，所以，，所以，解得（舍）或，即，所以直線的方程為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問第二小問的關(guān)鍵是采用設(shè)線法并聯(lián)立雙曲線方程得到韋達定理式，再寫出兩點直徑式方程，代入韋達定理式計算即可.19.已知函數(shù)，.（1）當時，求曲線在處切線的方程；（2）當時，試判斷在上零點的個數(shù)，并說明理由；（3）當時，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）1個，理由見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義代入計算，即可求解；（2）根據(jù)題意，將函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)極值點問題，再由零點存在定理代入計算，即可判斷；（3）根據(jù)題意，分與討論，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后再由的正負分情況討論，代入計算，即可求解.【小問1詳解】當時，，則，所以曲線在處切線的斜率.又因為，所以曲線在處切線的方程為.【小問2詳解】，令，則，當時，，則在上單調(diào)遞增.因為，，所以存在唯一的，使得.當時，，所以在上單調(diào)遞減；當時，，所以在上單調(diào)遞增.又，所以，又，所以當時，在上有且只有一個零點.【小問3詳解】①當時