【高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽大全】 競(jìng)賽16 導(dǎo)數(shù)與極限（50題競(jìng)賽真題強(qiáng)化訓(xùn)練）試卷

【高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題大全】

競(jìng)賽專題16導(dǎo)數(shù)與極限

（50題競(jìng)賽真題強(qiáng)化訓(xùn)練）

一、填空題

1.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）函數(shù)"Syssa/a€（0年丫|的最大值是.

2.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知等比數(shù)列｛/｝滿足!吧（《+%+…+。〃）=-2,則%的取

值范圍為.

3.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）稱一個(gè)函數(shù)是“好函數(shù)”當(dāng)且僅當(dāng)其滿足：

（1）定義在R上；

（2）存在a<〃，使其在（fo,a）、（b,+oo）上單調(diào)遞增，在（4力）上單調(diào)遞減.

則以下函數(shù)是好函數(shù)的有.

。=木-2|,②=丁-x+1,

@V'=2X3-3X2-6X-1,?v=2x?+7f+28x+3.

4.（2019.全國(guó).高三競(jìng)賽）函數(shù)/（力二27'-3'+3+1在區(qū)間@3］上的最小值為.

5.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）關(guān)于刀的不等式2f-4xsinx+14cos2x的解集為.

/「~1\

6.（2019?山東?高三競(jìng)賽）設(shè)函數(shù)f（x）=x+cosxxw,那么<工）的最大值是

7.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）滿足1+上=1+'一的整數(shù)n=__________

（n）I2014

8.（20及全國(guó)高三競(jìng)賽）設(shè)函數(shù)/（司=%嘎2%+（。7）1%（。7）的圖像關(guān)于直線l=；

對(duì)稱.則對(duì)滿足Zz=1的任意實(shí)數(shù)西e（0,l）（l^/<4）,s=log2%的最小值為

r=1J=I

9.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）設(shè)a>l.則當(dāng)尸優(yōu)與尸10g4X兩個(gè)函數(shù)圖像相切時(shí)，\n\na=

10.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知過(guò)點(diǎn)（0,2）的直線/與曲線C:y=x+?x>0）交于兩不

同的點(diǎn)M、N.則曲線C在M、N處切線交點(diǎn)的軌跡為.

11.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）若函數(shù)/（x）=or+sinx的圖像上存在互相垂直的切線，則

實(shí)數(shù),是.

12.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛《,｝中，若%+%-生-4=8,

則為+%+%+4的最小值是.

13.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知數(shù)列｛叫滿足4=2,%=6,且4A：?=2.則

%+i+1

lim瘋=—.

NT”/+J：…+

14.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）某人練習(xí)打靶，開(kāi)始時(shí)，他距靶10（加，此時(shí)，進(jìn)行第一次

射擊.若此次射擊不中，則后退50帆進(jìn)行第二次射擊，一直進(jìn)行下去.每次射擊前都后

退50根，直到命中為止，已知他第一次的命中率為!，且命中率與距離的平方成反比.

則他能夠命中的概率等于.

15.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知數(shù)列｛可｝滿足4=6,%=20,

4（4-8）=?！?「12（心2）,記｛%｝=%一區(qū),其中，國(guó)表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大

整數(shù)廁則｛瘋｝.

10052010

16.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）設(shè)（2+尤-2巧.貝1」4+305+5/+?-+2009%必=

￡-0

17.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）聯(lián)結(jié)正多面體各個(gè)面的中心，得到一個(gè)新的正多面體，我們

稱這個(gè)新正多面體為原多面體的正子體.一正方體工的表面積為6=16,它的正子體為

%,表面積為生，刀的正子體為7；，表面積為4,……如此下去，記第〃個(gè)正子體的表

面積為則!吧（4+生+…+"“）=.

18.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）四次多項(xiàng)式/（x）的四個(gè)實(shí)根構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列.則

f'（x）的所有根中最大根與最小根之差是.

19.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）若數(shù)列｛q｝是首項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，則

…％+。2+???+&

20.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）兩數(shù)列包｝,但｝滿足4">0,偽=1,且對(duì)任意正整數(shù)〃,

a?+\,,b?+1IL

%二4十七力向=>十七,則也才為-----------?

21.(2021?浙江?高三競(jìng)賽)若xJnX]In9,為<9，憶=系3+W+24二)，keZ,

貝必二.

22.(2019?四川?高三競(jìng)賽)已知。為實(shí)數(shù)，且對(duì)任意￡口一1,1]當(dāng)5￡(0,6]時(shí)，6如十爐

—3x+a<kx恒成立，則。的最大值是.

二、解答題

23.(2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽)已知函數(shù)/(”=/一/+|卜?0』,〃€乂).

(1)求/(力的極大值g(〃)；

(2)求g(〃)的最大值.

24.(2019?廣西?高三競(jìng)賽)己知函數(shù)/(4)=([+Jlnx+--x.

(1)設(shè)。>1,討論凡0在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性；

(2)設(shè)心0,求貝人)的極值.

25.(2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽)求c的最大值，使得對(duì)任意的正實(shí)數(shù)工、y、z,均有

WX'-N一ZY),),其中“z”表示輪換對(duì)稱求和.

26.(2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽)在銳角△ABC中，證明：

(sinA+sinB+sinC)f---+——+——|—+—+—|.

\\sinAsin5sinCjBC)

27.--(2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽)求所有的正實(shí)數(shù)k,使得對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a、b、c,均有

abkc入

+-------+-------..2.

b+cc+aa+b

28.(2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽)已知函數(shù)/(力=丁-2奴與g(x)=r2-],的圖像有兩條公

切線，且由這四個(gè)切點(diǎn)組成的四邊形的周長(zhǎng)為6,求實(shí)數(shù)a的值.

29.(2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽)已知/(x)=l±!&±D,g(x)=—1.求最大的正整數(shù)上使得

對(duì)任意的正數(shù)。，存在實(shí)數(shù)a、當(dāng)滿足—l<a<b<c,且〃c)=f(a)=g?.

30.(2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽)已知吧3/(")=〃°)="/(2x)-〃x)=f對(duì)任意實(shí)數(shù)x成

立.求/(6的解析式.

31.(2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽)已知各項(xiàng)均不小于1的數(shù)列｛4｝滿足：q=l,%=1+率,

(\2/.\2

=2,試求：(1)數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

Ian-\)

(2)lim%的值.

n—〃

32.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知?！攴玻匠蘹2-2at-241nx=0在（0,+巧上有唯一解.

求a的值.

33.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）設(shè)4=心0,對(duì)〃22,有〃“=什（1+4）?求常數(shù)為，使對(duì)

J-1

白111A1

一切正整數(shù)〃有—<—,而對(duì)任何c<b，都存在正整數(shù)〃，使

小+420112011印+4

34.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）給定正整數(shù)〃（〃之3）,q,=（L002）（即明等于〃進(jìn)制表示

為1002的數(shù)）?試求lim，」-+」一+???+-------］的值.

a3aAa3a4'，，anJ

35.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）求最小的實(shí)數(shù)A,使得對(duì)每個(gè)滿足條件似x）歸1（0W1）的

二次三項(xiàng)式〃x）,適合不等式f'（0）VA.

36.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）己知〃x）=2x告+：,其中，常數(shù)ae（0,4］.求所有的實(shí)

數(shù)3使對(duì)任意/、x2eR+,恒有|/（4）一/（42）|之?。菀?2|.

37.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）設(shè)女是一個(gè)給定的非零實(shí)數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系或力中，曲線C|

的方程為兇二|），|且￡=系，點(diǎn)A（kM）.

⑴設(shè)P是G上的任意一點(diǎn)，試求線段4P的中點(diǎn)。的軌跡的方程并指出曲線G的類

型和位置；

⑵求出G、G在它們的交點(diǎn)8處的各自切線之間的夾角外銳角）（用反三角函數(shù)式表示）

I2

38.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知函數(shù)f（x）=）x3_（2a+l）r+3a（a+2）x+y,其中，a

為實(shí)數(shù).

（1）當(dāng)函數(shù)y=f'（x）的圖像在（0,6）上與x軸有唯一的公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）當(dāng)〃=-1時(shí)，求函數(shù)>=/（力在［0,6］上的最大值與最小值.

39.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知拋物線丁=以上的動(dòng)點(diǎn)P,及焦點(diǎn)尸（1,0）.求AOP/的

內(nèi)切圓半徑r的最大值.

40.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）設(shè)％=*x2=bt=12…）,其中，。、b、

c為給定的實(shí)數(shù).

（1）求）的表達(dá)式.

(2)問(wèn)：當(dāng)。為何值時(shí)，極限!則與存在？如果存在，請(qǐng)求出其值.

41.(2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽)設(shè)函數(shù)/(x)=o?+加2+B+d的圖像T上有兩個(gè)極值點(diǎn)P、

Q,其中，P為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)當(dāng)點(diǎn)Q(L2)時(shí)，求f(x)解析式；

(2)當(dāng)點(diǎn)Q在圓C:(x-2)2+(y-3)2=l上時(shí)，求曲線T的切線斜率的最大值.

42.(2019?四川?高三競(jìng)賽)已知函數(shù)段)三由1￥—加，aWR.

(1)證明：當(dāng)1*3時(shí)，"?：弋一"2>±；

(3-x)ee~

(2)設(shè)函數(shù)尸(x)=l/U)|(x￡[l,e])有極小值，求。的取值范圍.

43.(2019?江蘇?高三競(jìng)賽)證明：對(duì)任意工在(一8,0)U(0,+oo),

max{0,ln|x|)...^iln|x|+-Uln|x2-l|+lln^^,且等號(hào)成立的充要條件是

2V52^51122

*小土1

x=±-----.

2

44.(2020?浙江溫州?高一競(jìng)賽)已知1<姓2,^f(x)=x+-^=-a.

(1)證明：函數(shù)>=/(1)在(0,+8)上有唯一零點(diǎn)；

(2)設(shè)M是函數(shù)y=f(x)在(0,+8)上的零點(diǎn)，證明：2?六2<22a_2.

45.(2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽)設(shè)分4。=1,2,3,…㈤均為正數(shù),證明：

(1)若4伉+。24+…+。也…+2，則d嘮…

(2)若4+4+…+2