北京市平谷區(qū)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控?cái)?shù)學(xué)試題 含解析

平谷區(qū)2022—2023學(xué)年度第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控試卷高一數(shù)學(xué)2023.11．本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共4頁(yè)，共150分，考試時(shí)間為120分鐘．2．試題所有答案必須書寫在答題紙上，在試卷上作答無效．3．考試結(jié)束后，將答題紙交回，試卷按學(xué)校要求保存好第I卷選擇題（共40分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上．）1.已知集合，集合．則集合（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】已知集合、集合，由集合的基本運(yùn)算，直接求解.【詳解】集合，集合，則集合.故選：C2.命題，則是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定是存在命題，即可得到答案.【詳解】命題，則：.故選：D3.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在上是增函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分別判斷每個(gè)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是否符合題意.【詳解】對(duì)A，函數(shù)，定義域?yàn)?，，函?shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，A選項(xiàng)正確；對(duì)B，函數(shù)，，不滿足在上是增函數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)C，函數(shù)，定義域?yàn)?，不是奇函?shù)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)D，函數(shù)，定義域?yàn)?，值域?yàn)?，函?shù)圖象在軸上方，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A4.已知實(shí)數(shù)滿足，則下列式子中正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】ABD錯(cuò)誤的選項(xiàng)可以取特殊值進(jìn)行判斷，C選項(xiàng)可以利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，例如，則，不滿足，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，例如，，，不滿足，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由可知，，結(jié)合指數(shù)函數(shù)在上遞增可知，，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，例如，，，不滿足，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷各數(shù)的范圍，可比較大小.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得，，，，由，則，所以，故選∶B．6.若角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則下列三角函數(shù)值恒為正的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三角函數(shù)定義結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系得到正弦和余弦值，從而判斷出正確答案.【詳解】由題意得：，，A選項(xiàng)，，B選項(xiàng)，可能正，可能負(fù)，不確定；C選項(xiàng)，可能正，可能負(fù)，不確定；D選項(xiàng)，，錯(cuò)誤.故選：A7.函數(shù)在下列區(qū)間內(nèi)一定存在零點(diǎn)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)建新函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分析判斷.【詳解】令，則，構(gòu)建，則在上單調(diào)遞增，∵，∴在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)所在的區(qū)間是，故函數(shù)一定存在零點(diǎn)的區(qū)間是.故選：B.8.已知函數(shù)定義域?yàn)?，那么“函?shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”是“，都存在，使得成立”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)性質(zhì)分別驗(yàn)證充分性與必要性是否成立，即可得答案.【詳解】解：函數(shù)定義域?yàn)镈，若函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則，則，且，所以，都存在，使得滿足，即成立，故充分性成立；若函數(shù)，其定義域?yàn)?，滿足，都存在，使得成立，但是函數(shù)的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱，故必要性不成立；故“函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”是“，都存在，使得成立”的充分不必要條件.故選：A.9.中醫(yī)藥在疫情防控中消毒防疫作用發(fā)揮有力，如果學(xué)校的教室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（單位：毫克）隨時(shí)間x（單位：h）的變化情況如圖所示．在藥物釋放過程中，y與x成正比；藥物釋放完畢后，y與x的函數(shù)關(guān)系式為（a為常數(shù)），據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下，學(xué)生方可進(jìn)教室，根據(jù)圖中提供的信息，從藥物釋放開始到學(xué)生能進(jìn)入教室，至少需要經(jīng)過（）A.0.4h B.0.5h C.0.7h D.1h【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，求出的值，然后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即得.【詳解】由題意知，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，解得，所以，由，可得，所以，解得，所以從藥物釋放開始，到學(xué)生回到教室至少需要經(jīng)過的小時(shí).故選：C.10.已知三角形是邊長(zhǎng)為的等邊三角形．如圖，將三角形的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合．在軸上，然后將三角形沿著軸順時(shí)針滾動(dòng)，每當(dāng)頂點(diǎn)再次回落到軸上時(shí)，將相鄰兩個(gè)之間的距離稱為“一個(gè)周期”，給出以下四個(gè)結(jié)論：①一個(gè)周期是；②完成一個(gè)周期，頂點(diǎn)的軌跡是一個(gè)半圓；③完成一個(gè)周期，頂點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度是；④完成一個(gè)周期，頂點(diǎn)的軌跡與軸圍成的面積是．其中說法正確的是（）A.①② B.①③④ C.②③④ D.①③【答案】D【解析】【分析】依題意將沿著軸順時(shí)針滾動(dòng)，完成一個(gè)周期，得出點(diǎn)軌跡，由題目中“一個(gè)周期”的定義、軌跡形狀、弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】如上圖，沿著軸順時(shí)針滾動(dòng)完成一個(gè)周期的過程如下：第一步，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至線段落到軸上位置，得到，此時(shí)頂點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的一段圓弧，即頂點(diǎn)由原點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)至位置；第二步，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至線段落到軸上位置，得到，此時(shí)頂點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的一段圓弧，即頂點(diǎn)由沿運(yùn)動(dòng)至位置，落到軸，完成一個(gè)周期.對(duì)于①，∵，∴一個(gè)周期，故①正確；對(duì)于②，如圖所示，完成一個(gè)周期，頂點(diǎn)的軌跡是和組成的曲線，不是半圓，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由已知，，∴，∴的弧長(zhǎng)，的弧長(zhǎng)，∴完成一個(gè)周期，頂點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故③正確；對(duì)于④，如圖，完成一個(gè)周期，頂點(diǎn)的軌跡與軸圍成的圖形為扇形，扇形與的面積和，∵，∴，∵等邊邊長(zhǎng)為，∴，∴完成一個(gè)周期，頂點(diǎn)的軌跡與軸圍成的面積是，故④錯(cuò)誤.∴正確的說法為：①③.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：分步解決點(diǎn)軌跡，第一步是繞點(diǎn)滾動(dòng)得到，第二步是繞點(diǎn)滾動(dòng)得到，再將兩步得到的點(diǎn)軌跡合并，即可依次判斷各個(gè)說法是否正確.

第II卷非選擇題（共110分）二、填空題（本大題共7小題，每小題5分，共35分，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11.______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，以及特殊角的正弦值，可得結(jié)果.【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式，屬基礎(chǔ)題.12.函數(shù)的定義域?yàn)開__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次根式以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)有意義所需的條件.【詳解】函數(shù)有意義，則有，解得，即函數(shù)定義域?yàn)?故答案為：13.函數(shù)在區(qū)間[0，3]上的值域是___________．【答案】【解析】【分析】對(duì)二次函數(shù)配方，結(jié)合單調(diào)性得函數(shù)的值域.【詳解】，所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，所以值域?yàn)?故答案為：.14.已知函數(shù)，若，則x的范圍是___________．【答案】【解析】【分析】作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合解不等式.【詳解】作出函數(shù)和函數(shù)的圖像，如圖所示，兩個(gè)函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)和，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的圖像在的圖像的上方，即不等式的解集為.故答案為：15.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，角終邊與單位圓相交于點(diǎn)，將角終邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與角終邊重合，那么___________．【答案】##-0.6【解析】【分析】先根據(jù)三角函數(shù)的定義算出，然后根據(jù)的關(guān)系結(jié)合誘導(dǎo)公式計(jì)算.【詳解】根據(jù)三角函數(shù)的定義，，由題意，，于是.故答案為：16.已知某產(chǎn)品總成本C（單位：元）與年產(chǎn)量Q（單位：件）之間的關(guān)系為．設(shè)年產(chǎn)量為Q時(shí)的平均成本為f（Q）（單位：元/件），那么f（Q）的最小值是___________．【答案】1600【解析】【分析】由題意得到年產(chǎn)量為Q時(shí)的平均成本為，再利用基本不等式求解.【詳解】解：因?yàn)槟钞a(chǎn)品總成本C（單位：元）與年產(chǎn)量Q（單位：件）之間的關(guān)系為．所以年產(chǎn)量為Q時(shí)的平均成本為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，最小值為1600，故答案為：160017.已知函數(shù)，a為常數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，如果方程有兩個(gè)不同的解，那么k的取值范圍是___________；（2）若有最大值，則a的取值范圍是___________．【答案】①.②.【解析】【分析】（1）通過討論和的單調(diào)性得出函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性，將方程有兩個(gè)不同的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)的問題，即可得出k的取值范圍.（2）根據(jù)（1）中得出的和的單調(diào)性，分類討論不同情況時(shí)圖象的情況，即可得出a的取值范圍.【詳解】解（1）由題意，在中，函數(shù)單調(diào)遞增，且，在中，，對(duì)稱軸，∴函數(shù)在處取最大值，為，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在，a為常數(shù)中，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在處取最大值7，∵方程有兩個(gè)不同的解，即有兩個(gè)不同的解，∴函數(shù)與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴，∴的取值范圍為，（2）由題意及（1）得，在中，函數(shù)單調(diào)遞增，且，在中，對(duì)稱軸，在處取最大值，且上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)，a為常數(shù)∵有最大值，∴在的值要不大于在的值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)最大值為，符合題意；當(dāng)時(shí)，由（1）知，當(dāng)時(shí)在的值不大于在的值，綜上，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)方程根的個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍的問題，解決此類問題的基本思路是將問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，進(jìn)而作出函數(shù)圖象，采用數(shù)形結(jié)合的方式來進(jìn)行分析求解.三、解答題（本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）18.已知，（1）求，；（2）求的值.【答案】（1），.（2）【解析】【分析】（1）由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算即可；（2）結(jié)合第（1）問結(jié)果，由誘導(dǎo)公式進(jìn)行運(yùn)算即可.【小問1詳解】，∵，∴，∴，∴【小問2詳解】原式.19.已知函數(shù)（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）解不等式．【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定參數(shù)的取值區(qū)間；（2）由題化簡(jiǎn)不等式，求出對(duì)應(yīng)方程的根，討論兩根的大小關(guān)系得出不等式的解集.【小問1詳解】函數(shù)的對(duì)稱軸，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)依題意得或，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【小問2詳解】由，即，即，令得方程的兩根分別為，當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為，綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，20.給定函數(shù)．（1）求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；（3）若當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象總在函數(shù)圖象的上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】（1），；（2）見解析；（3）.【解析】【分析】(1)令求解即可；(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；(3)由題意可得在上恒成立，令，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義可得在上單調(diào)遞減，且有，即可得的取值范圍.小問1詳解】解：因?yàn)?，所以，令，則有，即，解得或；【小問2詳解】證明：任取，則,因?yàn)?，所以，即，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；【小問3詳解】解：由題意可得在上恒成立，即在上恒成立，令，因?yàn)?，，?dāng)趨于時(shí)，趨于0，趨于2，所以，所以由在上恒成立可得，故的取值范圍為.21.如圖，四邊形是高為2的等腰梯形．（1）求兩條腰OC，AB所在直線方程；（2）記等腰梯形位于直線左側(cè)的圖形的面積為．①當(dāng)時(shí)，求圖形面積的值；②試求函數(shù)的解析式，并畫出函數(shù)的圖象．【答案】（1）腰OC所在直線方程為，腰AB所在直線方程為；（2）①，②，圖象見解析.【解析】【分析】(1)由已知，解三角形求點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求其方程；(2)①解三角形結(jié)合三角形面積公式求時(shí)的解析式，由此求時(shí)，的值；②分別在條件，，下求，由此可得函數(shù)的解析式，作出函數(shù)的圖象．【小問1詳解】過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，又，，所以四邊形為矩形，且，因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，，所以，，所以，設(shè)直線的方程為，則，所以，所以腰OC所在直線方程為，設(shè)直線的方程為，則，所以，所以腰AB所在直線方程為，【小問2詳解】①當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與直線的交點(diǎn)分別為，則，所以，所以，又，所以，所以，故當(dāng)時(shí)，，②由①知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與直線的交點(diǎn)分別為，則，由已知四邊形為矩形，所以，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與直線的交點(diǎn)分別為，則，所以，所以，又，所以，所以，所以，作函數(shù)的圖象可得22.設(shè)A是正整數(shù)集的非空子集，稱集合，且為集合A的生成集．（1）當(dāng)時(shí)，寫出集合A的生成集B；（2）若A是由5個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合，求其生成集B中元素個(gè)數(shù)的最小值；（3）判斷是否存在4個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合A，使其生成集，并說明理由．【答案】（1）；（2）4；（3）不存在，理由見解析.【解析】【分析】（1）利用集合的生成集定義直接求解；（2）設(shè)，且，利用生成集的定義即可求解；（3）假設(shè)存在集合，可得，，，，然后結(jié)合條件說明即得.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，所以；【小?詳解】設(shè)，不妨設(shè)，因?yàn)椋灾性貍€(gè)數(shù)大于等于4個(gè)，又，則，此時(shí)中元素個(gè)數(shù)等于4個(gè)，所以生成集B中元素個(gè)數(shù)的最小值為4；【小問3詳解】不