北京市豐臺(tái)區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末練習(xí)數(shù)學(xué)試卷 含解析

豐臺(tái)區(qū)2023～2024學(xué)年度第一學(xué)期期末練習(xí)高二數(shù)學(xué)考生須知1.答題前，考生務(wù)必先將答題卡上的學(xué)校、班級(jí)、姓名、教育ID號(hào)用黑色字跡簽字筆填寫清楚，并認(rèn)真核對(duì)條形碼上的教育ID號(hào)、姓名，在答題卡的“條形碼粘貼區(qū)”貼好條形碼.2.本次練習(xí)所有答題均在答題卡上完成.選擇題必須使用2B鉛筆以正確填涂方式將各小題對(duì)應(yīng)選項(xiàng)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦除干凈后再選涂其它選項(xiàng).非選擇題必須使用標(biāo)準(zhǔn)黑色字跡簽字筆書寫，要求字體工整、字跡清楚.3.請(qǐng)嚴(yán)格按照答題卡上題號(hào)在相應(yīng)答題區(qū)內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在練習(xí)卷、草稿紙上答題無(wú)效.4.本練習(xí)卷滿分共150分，作答時(shí)長(zhǎng)120分鐘.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知直線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，求得直線的斜率為，進(jìn)而求得直線的傾斜角，得到答案.【詳解】由直線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，可得直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，可得，所以.故選：B.2.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（）A. B. C.1 D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解.【詳解】由可得為等比數(shù)列且公比為，，故，故選：C3.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上.若，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】根據(jù)焦半徑公式，即可求解.【詳解】由焦半徑公式可知，，得.故選：A4.已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，列出不等式組，即可求解.【詳解】由橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則滿足，解得.故選：C.5.如圖，在四面體中，，，.點(diǎn)在上，且，為的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算及空間向量基本定理，結(jié)合圖像即可得解.【詳解】由題意可知，，，所以.故選：D6.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上.若，則的面積為（）A2 B.4 C.8 D.9【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由橢圓的定義，得到，再由勾股定理得，聯(lián)立方程組，求得，結(jié)合三角形的面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，橢圓，可得，則，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，可得，又由，可得,聯(lián)立方程組，可得，所以的面積為.故選：B.7.月相是指天文學(xué)中對(duì)于地球上看到的月球被太陽(yáng)照亮部分的稱呼.1854年，愛(ài)爾蘭學(xué)者在大英博物館所藏的一塊巴比倫泥板上發(fā)現(xiàn)了一個(gè)記錄連續(xù)15天月相變化的數(shù)列，記為，其將滿月等分成240份，（且）表示第天月球被太陽(yáng)照亮部分所占滿月的份數(shù).例如，第1天月球被太陽(yáng)照亮部分占滿月的，即；第15天為滿月，即.已知的第1項(xiàng)到第5項(xiàng)是公比為的等比數(shù)列，第5項(xiàng)到第15項(xiàng)是公差為的等差數(shù)列，且q，d均為正整數(shù)，則（）A.40 B.80 C.96 D.112【答案】B【解析】【分析】由已知條件和等比數(shù)列等差數(shù)列的性質(zhì)，得，又q，d均為正整數(shù)，求解q的值得.【詳解】依題意，有，，時(shí)，d不是正整數(shù)；時(shí)，；時(shí)，，d不是正整數(shù).所以，，.故選：B8.已知點(diǎn)在由直線，和所圍成的區(qū)域內(nèi)（含邊界）運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再確定出使的位置.然后求出值即可【詳解】由直線，和圍成,如圖所示，點(diǎn)在內(nèi)（含邊界）運(yùn)動(dòng)，在軸上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則，的最小值為到直線的距離，即.故選：B.9.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為棱上一動(dòng)點(diǎn).給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在點(diǎn)，使得平面；②直線與所成角的最大值為；③點(diǎn)到平面的距離為；④點(diǎn)到直線的距離為.其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由線面平行的判定定理驗(yàn)證選項(xiàng)A；幾何法處理異面直線所成的角驗(yàn)證選項(xiàng)B；等體積法求點(diǎn)到平面的距離驗(yàn)證選項(xiàng)C；等面積法求點(diǎn)到直線的距離驗(yàn)證選項(xiàng)D.【詳解】連接，如圖所示正方體中有，，則四邊形平行四邊形，有，為棱的中點(diǎn)，當(dāng)為棱的中點(diǎn)時(shí)，有，則，平面，平面，所以此時(shí)平面，結(jié)論①正確；直線與所成角，即直線與所成的角，由圖形可知，直線與不可能垂直，結(jié)論②錯(cuò)誤；正方體中平面，平面，，，同理，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，有，即，解得，結(jié)論③正確；設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，中，，解得，結(jié)論④正確.正確結(jié)論有3個(gè).故選：C10.過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)引圓的切線，切點(diǎn)為，延長(zhǎng)交雙曲線的左支于點(diǎn).若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出的長(zhǎng)，再利用雙曲線定義、結(jié)合余弦定理列式求解即得.【詳解】令雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，由切圓于得，，令雙曲線的半焦距為c，則，由，得，由雙曲線定義得，在中，，由余弦定理得，即，解得，所以雙曲線的離心率.故選：D第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知向量，，若與共線，則_______.【答案】【解析】【分析】利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】向量，，若與共線，則有，解得.故答案為：12.雙曲線的漸近線方程為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】利用雙曲線的性質(zhì)即可求得漸近線方程.【詳解】由雙曲線的相關(guān)知識(shí)可知：，所以焦點(diǎn)在軸雙曲線的漸近線方程為：故答案為：13.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，能夠說(shuō)明“對(duì)，若，則”是假命題的的一個(gè)通項(xiàng)公式為_(kāi)______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由命題為假命題，則符合條件的等差數(shù)列遞減且即可.【詳解】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若“對(duì)，若，則”是假命題，只需等差數(shù)列為遞減數(shù)列，即可，符合題意.故答案為：14.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)取最大值時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)______.【答案】【解析】【分析】設(shè)圓心到直線的距離為，則，分析可知，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，取最大值，取最大值，再結(jié)合勾股定理可求得的長(zhǎng).【詳解】易知圓的圓心為，半徑為，設(shè)圓心到直線的距離為，則，因?yàn)?，結(jié)合上圖及圓的對(duì)稱性易知：，則，當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)，取最大值，且，此時(shí)，.故答案為：.15.已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的無(wú)窮數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②各項(xiàng)中的最大值為2；③，使得；④，都有.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_______.【答案】①②④【解析】【分析】令，求出可以判斷①，將已知變形可判斷③，判斷數(shù)列的增減性可判斷②和④.【詳解】令得即，解得令得，因?yàn)樗越獾?，故①正確.依題意有，，所以所以有，，故③不正確，且所以因?yàn)轱@然是隨著的增大而遞增的，且，所以即所以數(shù)列是遞減數(shù)列，所以所以②正確.所以所以④正確故答案為：①②④.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式及求和公式列式計(jì)算可得結(jié)果；（2）根據(jù)分組求和法、等差數(shù)列求和公式及等比數(shù)列求和公式可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意，，解得，所以，故數(shù)列的通項(xiàng)公式【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，所以.故數(shù)列的前項(xiàng)和.17.如圖，在四面體中，平面，，，分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線與平面所成角的正弦值.條件①：；條件②：為等邊三角形.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線線平行即可求證，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角求解線面角.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)镈，E分別為，的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?【小問(wèn)2詳解】選條件①：因?yàn)?，所以，?因?yàn)槠矫?，平面，所以，，故以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.則，，，所以，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即.令，則，，所以.設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為（2）選條件②：因?yàn)槠矫妫矫?，所以?在直角三角形中，，所以.因?yàn)闉榈冗吶切危?在中，因?yàn)?，所以，?故以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.（以下解答過(guò)程與選擇條件①相同.）18.已知圓C經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）設(shè)直線與圓交于D，E兩點(diǎn)，求四邊形的面積.【答案】（1）（2）30【解析】【分析】（1）設(shè)，由可得a值，則圓心坐標(biāo)可求，再利用兩點(diǎn)之間的距離公式求半徑即可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）先證得四邊形是平行四邊形，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式以及圓的性質(zhì)可得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閳A心在直線上，所以設(shè)，由A，B是圓上兩點(diǎn)，所以，即，解得，所以圓心的坐標(biāo)為.圓的半徑，故圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，則為線段的中點(diǎn)，由點(diǎn)到直線的距離公式，得，所以.因?yàn)?，，所以，直線的方程為.而直線的方程為，所以，且，由此得四邊形是平行四邊形.因?yàn)?，之間的距離，所以平行四邊形的面積為，故四邊形的面積為30.19.如圖，在三棱柱中，中，側(cè)面為正方形，平面平面，，.（1）求證：；（2）若點(diǎn)在棱上，且平面與平面夾角的余弦值為，求的值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）.【解析】【分析】（1）由為正方形，推出，再由面面垂直推出線線垂直，再證明線面垂直，推出線線垂直；（2）以為原點(diǎn)，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面與平面法向量求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閭?cè)面為正方形，所以.又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，且，平面，所以平面，又平面，所以【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，，，故以為原點(diǎn)，分別以為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，.設(shè)，其中.則，所以，又.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，令，，所以.由題意，為平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面與平面的夾角為，所以，解得或（舍）.所以.20.已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，上頂點(diǎn)為，的面積為2，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）橢圓上不同于頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M，N關(guān)于軸對(duì)稱，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn).設(shè)點(diǎn)，求的值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可求解；（2）首先設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并表示直線的直線方程，并通過(guò)聯(lián)立方程求點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由的值，確定和分別關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即可判斷四邊形為平行四邊形，即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意，因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，即，所以，解得，由此得，故橢圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，，，所以直線的方程為.設(shè)，則，所以直線的方程為，與直線的方程聯(lián)立，得點(diǎn)的橫坐標(biāo).又直線的方程為，與直線的方程聯(lián)立，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以.因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即，所以.又，所以P，Q兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.又，，所以A，R兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以四邊形為平行四邊形，即，故.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是化簡(jiǎn)的值，并判斷和分別關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.21.已知數(shù)表，，，其中，，分別表示，，中第行第列的數(shù)．若，則稱是，的生成數(shù)表．（1）若數(shù)表，，且是，的生成數(shù)表，求；（2）對(duì)，，數(shù)表，，與滿足第i行第j列的數(shù)對(duì)應(yīng)相同（）.是，的生成數(shù)表，且．（ⅰ）求，；（ⅱ）若恒成立，求的最小值．【答案】（1）（2）（?。?，（ⅱ）【解析】【分析】（1）根據(jù)生成數(shù)表的定義求出，，，，進(jìn)而即可求出；（2）當(dāng)，時(shí)，根據(jù)題意得到的表達(dá)式，（?。┫犬?dāng)時(shí)，求出；再當(dāng)時(shí)，得到的通項(xiàng)公式，再驗(yàn)證，，是否符合通項(xiàng)公式即可；（ⅱ）結(jié)合（ⅰ）得到的通項(xiàng)公式，從而求得，從而得到，進(jìn)而得到時(shí)，恒成立；結(jié)合題意得到時(shí)，恒不成立；再證明對(duì)于任意，不