高中數(shù)學(xué)講義微13 利用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題

微專(zhuān)題13利用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題

一、基礎(chǔ)知識(shí)：

1、使用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題

（1）題目特點(diǎn)：敘述中體現(xiàn)兩個(gè)變量之間的關(guān)系（涉及的量也許有多個(gè)，但均能夠用兩個(gè)核

心變量進(jìn)行表示）。以其中一個(gè)為自變量，則另一個(gè)變量可視為自變量的函數(shù)，進(jìn)而搭建出函

數(shù)模型，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)，均值不等式等工具求出最值

（2）需用到的數(shù)學(xué)工具與知識(shí)點(diǎn)：

①分段函數(shù)：當(dāng)自變量的不同取值導(dǎo)致解析式不同時(shí)，可通過(guò)建立分段函數(shù)來(lái)體現(xiàn)兩個(gè)變量

之間的關(guān)系，在題目中若有多種情況，且不同的情況對(duì)應(yīng)不同的計(jì)算方式，則通常要用分段

函數(shù)進(jìn)行表示。

②導(dǎo)數(shù)：在求最值的過(guò)程中，若函數(shù)解析式不是常見(jiàn)的函數(shù)（二次函數(shù)，對(duì)勾函數(shù)等），則

可利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，進(jìn)而求得最值

③均值不等式：在部分解析式中（可構(gòu)造和為定值或積為定值）可通過(guò)均值不等式迅速的找

到最值。

④分式函數(shù)的值域問(wèn)題：可通過(guò)分離常數(shù)對(duì)分式進(jìn)行變形，并利用換元將其轉(zhuǎn)化為熟悉的函

數(shù)求解

（3）常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系：

①面積問(wèn)題：可通過(guò)尋底找高進(jìn)行求解，例如：

平行四邊形面積=底、高梯形面積=,、（上底+下底）x高

三角形面積=—X底X高

②商業(yè)問(wèn)題:

總價(jià)=單價(jià)X數(shù)量利潤(rùn)=營(yíng)業(yè)額-成本=貨物單價(jià)X數(shù)量-成本

③利息問(wèn)題:

利息=本金X利率本息總和=本金+利息=本金X利率+本金

（4）在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)要注意變量的取值范圍應(yīng)與實(shí)際情況相符，例如：涉及到個(gè)數(shù)時(shí)，變

量應(yīng)取正整數(shù)。涉及到錢(qián)，速度等問(wèn)題，變量的取值應(yīng)該為正數(shù)。

2、使用線性規(guī)劃模型解決實(shí)際問(wèn)題

（1）題目特點(diǎn)：敘述中也有兩個(gè)核心變量，但條件多為涉及兩核心變量的不等關(guān)系，且所求

是關(guān)于兩個(gè)核心變量的表達(dá)式，這類(lèi)問(wèn)題通常使用線性規(guī)劃模型來(lái)解決問(wèn)題

(2)與函數(shù)模型的不同之處

①函數(shù)模型：體現(xiàn)兩核心變量之間的等量關(guān)系，根據(jù)一個(gè)變量的范圍求另一個(gè)變量的范圍(或

最值)

②線性規(guī)劃模型：體現(xiàn)關(guān)于兩變量的不等關(guān)系，從而可列出不等式組，要解決的是含兩個(gè)變

量的表達(dá)式的最值。

(3)解題步驟：根據(jù)題目敘述確定未知變量(通常選擇兩個(gè)核心變量，其余變量用這兩個(gè)進(jìn)

行表示)，并列出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，然后利用數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行解決

(4)注意事項(xiàng)：在實(shí)際問(wèn)題中，變量的取值有可能為整數(shù)，若最優(yōu)解不是整數(shù)，則可在最優(yōu)

解附近尋找?guī)讓?duì)整點(diǎn)，代入到目標(biāo)函數(shù)中并比較大小

3、使用三角函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題

(1)題目特點(diǎn)：題目以幾何圖形(主要是三角形)作為基礎(chǔ)，條件多與邊角相關(guān)

(2)需要用到的數(shù)學(xué)工具與知識(shí)點(diǎn)：

①正弦定理：設(shè)AABC三邊a,A,c所對(duì)的角分別為ABC，則有一L=—也=—J

sinAsin8sinC

②余弦定理(以a和對(duì)角A為例)，a2=b2+c2-2bccosA

③三角函數(shù)表達(dá)式的化簡(jiǎn)與變形

④函數(shù)y=Asin(azr+o)的值域

(3)解題技巧與注意事項(xiàng)：

①在求邊角問(wèn)題時(shí)，應(yīng)把所求的邊或角放在合適的三角形中

②在直角三角形里，已知一條邊，則其它邊可用該邊與內(nèi)角的三角函數(shù)值進(jìn)行表示

③在圖形中要注意變量的取值范圍

二、典型例題：

例1：如圖所示,將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇要求M在A3的

延長(zhǎng)線上，N在AD的延長(zhǎng)線上，且對(duì)角線過(guò)C

點(diǎn)。已知A3=3米，AZ)=2米。'廣、-------------------P

(1)設(shè)AN=;c(單位：米)，要使花壇4W7W的面積

D---------------

大于32平方米，求無(wú)的取值范圍；'、、、

(2)若xe[3,4)(單位：米)，則當(dāng)AV,AN的長(zhǎng)度分J------------------^

AD

別是多少時(shí)，花壇AWPN的面積最大？并求出最大面積。

（1）思路：根據(jù)相似三角形可得線段比例：些=3￡從而解出收=_2土_則

ANAMx-2

3x23r2

S=AN-AM=----，從而可得------>32,解出X的范圍即可

AMPNx-2x-2

NDDC

解：-.-ANDC-ANAM——=——

ANAM

…DC-ANDCAN3x

"ND-AN-AD~x-2

3元2

SAMPN=\AN\-\AM\=--依題意可得：

x—2

3r2

---->323x2-32x+64>0（x>0）

x2

解得：無(wú)￡I?’]

U（8,+8

3r2

（2）思路：求AMPN面積的最大值，即求表達(dá)式/（%）=----的最大值，分離常數(shù)求解即

x-2

可

3x2

解：設(shè)/（%）=----xe[3,4）

x-2

”（同=31+2+*]1一2+*+4〔

設(shè)f=x—2,則7由2）

則y=3，+；+4：根據(jù)對(duì)勾函數(shù)可得：『=1時(shí)，y達(dá)到最大值，即y=27

3Y

此時(shí)f=lnx=3,所以⑷V=3,AM=^—=9

%—2

答:當(dāng)⑷V=3,AM=9時(shí)，四邊形4W7W的面積最大，為27ml

例2：時(shí)下網(wǎng)校教學(xué)越來(lái)越受到廣大學(xué)生的喜愛(ài)，它已經(jīng)成為學(xué)生們課外學(xué)習(xí)的一種趨勢(shì)，假

設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷(xiāo)售量y（單位：千套）與銷(xiāo)售價(jià)格：x（單位：元/套）滿(mǎn)足的關(guān)系式

y=一—+4（x—6）,其中2＜無(wú)＜6,相為常數(shù).已知銷(xiāo)售價(jià)格為4元/套時(shí)，每日可售出

x-2

套題21千套.

(1)求"Z的值；

(2)假設(shè)網(wǎng)校的員工工資、辦公等所有開(kāi)銷(xiāo)折合為每套題2元(只考慮銷(xiāo)售出的套數(shù))，試

確定銷(xiāo)售價(jià)格x的值，使網(wǎng)校每日銷(xiāo)售套題所獲得的利潤(rùn)最大.(保留1位小數(shù))

解：(1)將x=4,y=21代入關(guān)系式可得：21=5+4(4—6)=>機(jī)=10

(2)思路：依題意可得售出一套，所得利潤(rùn)為(1—2)元，所以總的利潤(rùn)

/(x)=(x-+4(x-6)],其中2<x<6,利用導(dǎo)數(shù)判定了(%)的單調(diào)性，進(jìn)而

可求得最大值點(diǎn)x

解：依題意所獲利潤(rùn)f(x)=(x-2)y=(x-2)]Jg+4(x-6)2j

化簡(jiǎn)可得：/(x)=4x3-56x2+240x-278(2<x<6)

=I2x2-112x+240=4(3x-10)(%-6)

令/(x)>0,即解不等式(3x—10)(x—6)>0

v2<x<6/.解得x<一

3

.?./(%)在。，/]單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減

.?./(X)在x=T取得最大值，即x=3.3

例3：某人銷(xiāo)售某種商品，發(fā)現(xiàn)每日的銷(xiāo)售量y(單位：kg)與銷(xiāo)售價(jià)格x(單位：元/kg)

150

+a(x-9)2,6<x<9,

x-6

滿(mǎn)足關(guān)系式y(tǒng)=,其中。為常數(shù).已知銷(xiāo)售價(jià)格為8元/kg時(shí),

177

-x,9<x<15

、x-6

該日的銷(xiāo)售量是80kg.

(1)求a的值；

(2)若該商品成本為6元/kg,求商品銷(xiāo)售價(jià)格x為何值時(shí)，每日銷(xiāo)售該商品所獲得的利潤(rùn)最

大.

解：⑴當(dāng)x=8時(shí)，80=空~+a(8—9)<解得：a=5

8—6

150

+5(x-9)-,6<x<9

-x,9<x<15

—6

（2）思路：依題意可得銷(xiāo)售商品所獲得利潤(rùn)/（x）=（x—6>y,所以也是一個(gè)分段函

數(shù)，可以考慮分別求出每段函數(shù)值的最大值，然后進(jìn)行比較即可挑出了（%）的最大值。

解：設(shè)商品利潤(rùn)為7（%）,則有/（x）=（x—6>y,由第（1）問(wèn)可得:

150

(x-6)+5(x-9)2,6<x<9

x-6

f(x)=(x-6)y=<

177

(x-6)-x|,9<x<15

x-6

當(dāng)6<x<9時(shí)，/(無(wú))=150+5(x—9)｛尤一6)

則f(x)=5〔(x—9)~+2(x-6)(x-9)]=15(x-7)(x-9)

令/''（無(wú)）>0,由％e（6,9）解得：6<x<7

.-./（x）在（6,7）單調(diào)遞增，在（7,+oo）單調(diào)遞減

/（7）=170

當(dāng)9〈尤415時(shí)，/（九）=177—尤2+6%=—（九一3）2+186

.?./（X）在（9,15）單調(diào)遞減

/（9）=150

??"⑺之/⑼

：.f（x）=170

JX/max

例4：已知某食品廠需要定期購(gòu)買(mǎi)食品配料，該廠每天需要食品配料200千克，配料的價(jià)格為

1.8元/千克，每次購(gòu)買(mǎi)配料需支付運(yùn)費(fèi)236元，每次購(gòu)買(mǎi)來(lái)的配料還需支付保管費(fèi)用，其標(biāo)準(zhǔn)

如下：7天以?xún)?nèi)（含7天），無(wú)論重量度搜好，均按10元/天支付，超出7天以外的天數(shù)，根

據(jù)實(shí)際剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付

（1）當(dāng)9天購(gòu)買(mǎi)一次配料時(shí)，求該廠用于配料的保管費(fèi)用P是多少元？

（2）設(shè)該廠x天購(gòu)買(mǎi)一次配料，求該廠在這x天中用于配料的總費(fèi)用y（元）關(guān)于x的函數(shù)

關(guān)系式，并求出該廠多少天購(gòu)買(mǎi)一次配料才能使平均每天支付的費(fèi)用最少？

解：（1）第8天乘U余配料為2x200=400（千克）

第9天剩余配料為200千克

二該廠用于配料的保管費(fèi)為：尸=70+0.03x400+0.03x200=88（元）

（2）當(dāng)時(shí)，y=360%+10%+236=236+370%

當(dāng)x>7時(shí)，y=360%+236+70+6]（X—7）+（龍一6）H-----P2+1]

=31+325+432

236+370%,%<7

綜上所述：y=<

3%2+321%+432,x>7

236+370%「

----------------,%<7

設(shè)W為平均每天支付的費(fèi)用，則W=』=,x

x3x2+32U+432「

-------------------------,x>7

當(dāng)XW7時(shí)，16+370X=370+受，當(dāng)％=7時(shí)，％n=^^"404

Xx7

432（144144

當(dāng)%>7時(shí)，W=3x+——+321=31x++321>3-2Jx——+321=393

x

144

等號(hào)成立條件：％=——nx=12

x

二%—393（元）

例5：甲，乙兩校計(jì)劃周末組織學(xué)生參加敬老活動(dòng)，甲校每位同學(xué)的往返車(chē)費(fèi)是5元，每人可

為3位老人服務(wù)，乙校每位同學(xué)往返車(chē)費(fèi)是3元，每人可為5位老人服務(wù)，兩校都有學(xué)生參

加，甲校參加活動(dòng)的學(xué)生比乙校至少多1人，且兩校同學(xué)往返總車(chē)費(fèi)不超過(guò)45元，如何安排

甲，乙兩校參加活動(dòng)的人數(shù)，才能使收到服務(wù)的老人最多？此時(shí)受到服務(wù)的老人最多有多少

人？

思路：本題涉及的變量有兩個(gè)：甲校人數(shù)與乙校的人數(shù)，且所給條件均為關(guān)于兩校人數(shù)的不

等式，所以可聯(lián)想到線性規(guī)劃問(wèn)題?？稍O(shè)甲校人數(shù)為X,乙校人數(shù)為y,所求問(wèn)題為目標(biāo)函

數(shù)z=3x+5y,列出約束條件后通過(guò)數(shù)形結(jié)合即可求出z的最大值

解：設(shè)甲校人數(shù)為x,乙校人數(shù)為y,依題意，尤,y應(yīng)滿(mǎn)足的條件為：

5x+3y<45

<x-y>\

x,yeN*

3z

目標(biāo)函數(shù)2=3x+5y=>y=-1犬+1，通過(guò)數(shù)形結(jié)合

可得。動(dòng)直線/經(jīng)過(guò)”時(shí)，z取得最大值

f5x+3y=45\x=6

x-y=l[y=5

-A/(6,5)Za=3x+5y=43

例6：如圖，某海濱浴場(chǎng)的岸邊可近似地看成直線，位于岸邊A處的救生員發(fā)現(xiàn)海中B處有人

求救，救生員沒(méi)有直接從A處游向B處，而是沿岸邊自A跑到距離B最近的D處，然后游向B

處，若救生員在岸邊的行進(jìn)速度為6米/秒，在海中的行進(jìn)速度為

2米/秒，/BAD=45°。

(1)分析救生員的選擇是否正確；

(2)在AD上找一點(diǎn)C,使救生員從A到B的時(shí)間為最短，并求出

最短時(shí)間

解：(1)思路：所謂“選擇是否正確”，是指方案二所用的時(shí)間是否比直接游到8處時(shí)間短,

所以考慮分別求出兩種方案所用的時(shí)間，再進(jìn)行比較即可。

解：從圖形可得：恒閭=上巴一=3000,所以:=——=150A/2(s)

sin4502

300300

而|叫=忸￡>|=300所以,2=---+=200(s)

6---2

?.工＞/2,所以救生員的選擇是正確的

(2)思路：要求得時(shí)間的最值，考慮創(chuàng)設(shè)一個(gè)變量x,并構(gòu)造出時(shí)間關(guān)于x的函數(shù),

再求出“X)的最小值即可。不妨設(shè)|CD|=九，則忸q=A/3002+X2,所以時(shí)間

/(%)=3。；"+3。；+”,再求導(dǎo)求出的最小值即可

解：設(shè)|CD|=九，則忸C|=,30()2+尤2,設(shè)所用時(shí)間為了(%)

22

r/\300—xA/300+%

，=+——A——

oz

、112x-A/3002+X2+3X

二.f（x）=---1---—[=----/—

622A/3002+%26go。?+?

令/’（無(wú)）>0,即解不等式3x-53002+/>0n3x>,300,十￡

onn2

.-.9%2>3002+X2x2>——，解得：x>750

8

.-./（%）在（0,750）單調(diào)遞減，在（750,300）單調(diào)遞增

，/（%）3=/（75血）=50+100虎（秒）

答：當(dāng)|CD|=75夜時(shí)，救生員所用的時(shí)間最短，為50+100拒秒

答：甲，乙兩校參加活動(dòng)的人數(shù)分別為6和5時(shí)，受到服務(wù)的老人最多，最多為43人

例7：某人有樓房一幢，室內(nèi)面積共計(jì)180m2,擬分割成兩類(lèi)房間作為旅游客房，大房間每間

面積為18m，可住游客5名，每名游客每天住宿費(fèi)40元；小房間每間面積為15m°,可以住游

客3名，每名游客每天住宿費(fèi)50元；裝修大房間每間需要1000元，裝修小房間每間需要600

元.如果他只能籌款8000元用于裝修，且游客能住滿(mǎn)客房，他應(yīng)隔出大房間和小房間各多少

間，每天能獲得最大的房租收益？（注：設(shè)分割大房間為x間，小房間為y間，每天的房租

收益為z元），求羽y各為多少時(shí)，每天能獲得最大的房租收益？每天能獲得最大的房租收益

是多少？

思路：本題的主要變量是羽y,從題目中可發(fā)現(xiàn)對(duì)羽y的約束條件有3個(gè)，一個(gè)是房間數(shù)必

須是非負(fù)整數(shù)，所以第二個(gè)條件是室內(nèi)面積為18S",所以大小房間面積和要不

大于180帆2,第三個(gè)條件是裝修費(fèi)用總和不高于8000元，據(jù)此列出約束條件：

18x+15y<180

<1000x+600y<8000,所求收益z=200x+150y,所

x,yeN

以該模型為線性規(guī)劃問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合即可。

解：依題意可得對(duì)羽y的約束條件為：

18x+15y<1806x+5y<60

1000%+600y<8000=><5x+3yW40,所求目標(biāo)函數(shù)為z=200x+150y

x,y&Nx,yeN

作出可行域，依圖可得：直線過(guò)M（3,8）或M（0,12）時(shí)，z最大，即z1mx=18000

答：當(dāng)大房間為3間，小房間為8間；或者不設(shè)大房間，小房間為12間時(shí)，收益最大，最大

值為18000元

例8：某棚戶(hù)區(qū)改造建筑用地平面示意圖如圖所示，經(jīng)規(guī)劃調(diào)研確定，

棚改規(guī)劃建筑用地區(qū)域近似地為半徑是R的圓面，該圓面的內(nèi)接四邊（

形ABCD是原棚戶(hù)建筑用地，測(cè)量可知邊界A5=AD=4萬(wàn)米，V___________1

3C=6萬(wàn)米，CD=2萬(wàn)米

（1）請(qǐng)計(jì)算原棚戶(hù)區(qū)建筑用地ABCD的面積及圓面半徑R的值

（2）因地理?xiàng)l件的限制，邊界A。,CD不能變更，而邊界A53C可以調(diào)整，為了提高棚戶(hù)

區(qū)改造建筑用地的利用率，請(qǐng)?jiān)趫A弧ABC上設(shè)計(jì)一點(diǎn)P,使得棚戶(hù)區(qū)改造的新建筑用地

APCD的面積最大，并求最大值

解：（1）在AABC中，由余弦定理可得：

AC2=AB-+BC2-2AB-BC-cosB①

在AAOC中，由余弦定理可得：

AC2=AD'+DC2-2AD-DC-cosD②

因?yàn)樗倪呅蜛BCD內(nèi)接于圓ZB+ZD=180°/.cosB=-cosD

所以由①②可得：42+62-2-4-6cosB=42+22+2x4x2cosB

解得：cosB=-^ZB=60°.-.ZD=120°

2

SARCD—Sn+S——AB-BCBAD-DCD

AULDA/AIDLCAr）c2,sinH—2,sin

=—x4x6xsin600+—x2x4xsin120°=8百（萬(wàn)平方米）

22

由余弦定理可得：

AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=28

:.AC=25

CDAC2幣4A/2102扃

sinBV333

~T

(2)設(shè)AP=%,CP=y,可知梟尸c。=S△APC+SA℃

由(1)可知S"加c=26，若要APCD面積最大，只需5“作最大

SAPr=-APCPsmP=~APCPsinB=—xy

A”c224

在AAPC中，由余弦定理可得：AC2=AP2+PC2-2AP-PCcosP

即28=犬2+y2-2xy?COS60°=>%2+y2一孫=28

x2+y2>2xy

2S=x2+y2-xy>2xy-xy,即醐K28當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，等號(hào)成立

SAPCD=26+曰盯<26+曰-28=96

所以四邊形APCD的最大面積為9百萬(wàn)平方米

例9：如圖是一塊平行四邊形園地ABCD,經(jīng)測(cè)量，AB=20m,BC=10m,ZABC=120°,

擬過(guò)線段AB上一點(diǎn)E設(shè)計(jì)一條直路￡尸（點(diǎn)尸在四邊形ABCD的邊上，不計(jì)路的寬度），

將該園地分為面積比為3:1的左，右兩部分，分別種植不同的花卉，設(shè)EB=x,EF=y（單

位：m）g

（1）當(dāng)點(diǎn)/與點(diǎn)。重合時(shí)，試確定點(diǎn)E的位置/￡/

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式

（3）試確定點(diǎn)￡，廠的位置，使得直路E尸長(zhǎng)度最短

解：（1）當(dāng)b與C重合時(shí)，S^BEF=^BEh（設(shè)//為平行四邊形的高）

SABCD=AB-h

依題意可得：SBEF=^SABCD即2.BE?力=工.A5?力

△￡?￡LF4/ixJv-Lx24

BE=-AB即E為AB的中點(diǎn)

2

（2）?.?石在線段AB上

.-.0<x<20

當(dāng)xe[10,20]時(shí)，可得r在線段上

AB=20m,BC=10m,ZABC=120°

S?=ABBC-sinZABC=20xl0x—=100G

CAJADrLn-U2"

=!s=25A/3-.-S=-BEBFsml200=—XBF

^iLDr4oAzJCZJrAeZibDrf24

/.在ABEF中

X

EF2=BE2+BF2-2BE,BFcosEBF=x2

12+*100

/.y=EF=

當(dāng)xe[0,10)時(shí)，點(diǎn)歹在線段CD上，此時(shí)四邊形座CF為梯形或平行四邊形

SEBCF=；(%+CF)x(10xsin60。),由SEBCF=￡ABCD=25A5得：

CF=10-x

當(dāng)BE2CF時(shí)，EF=^102+(2%-10)2-2x10x(2%-10)cosl20°=2Jx?—5x+25

當(dāng)BE<CF時(shí)，EF=^102+(10-2x)2-2x10x(10-2x)cos600=2y/x2-5x+25

即y=2ylx2-5x+25

行+曙+100,10X20

綜上所述可得：，y=<

2dxi-5x+25,0<x<10

（3）即求y的最小值

1爐+等+1。。丫232?華+1。。=1。6

當(dāng)九￡[10,20]時(shí)，y=

等號(hào)成立條件：X2=、一=>%=10

x

當(dāng)X￡[0,10)時(shí),

等號(hào)成立條件：x=-

2

y1nhi=573，此時(shí)BE=2.5,CF=7.5

例10：如圖，在海岸線石尸一側(cè)有一休閑游樂(lè)場(chǎng)，游樂(lè)場(chǎng)的前一部分邊界為曲線段/GBC,

該曲線段是函數(shù)y=Asin(ox+0(A>0⑷〉0,(pee(T。］的圖像，圖像的最高

點(diǎn)為3(-1,2),邊界的中間部分為長(zhǎng)1千米的直線段CD,且?！ā?，游樂(lè)場(chǎng)的后一部分

邊界是以。為圓心的一段圓弧DE

(1)求曲線bGBC的函數(shù)表達(dá)式

(2)曲線段bGBC上的入口G距海岸線防最近距離

為1千米，現(xiàn)準(zhǔn)備從入口G,修一條筆直的景觀路