高中數(shù)學講義微13 利用函數(shù)解決實際問題

微專題13利用數(shù)學模型解決實際問題

一、基礎知識：

1、使用函數(shù)模型解決實際問題

（1）題目特點：敘述中體現(xiàn)兩個變量之間的關系（涉及的量也許有多個，但均能夠用兩個核

心變量進行表示）。以其中一個為自變量，則另一個變量可視為自變量的函數(shù)，進而搭建出函

數(shù)模型，再根據(jù)導數(shù)，均值不等式等工具求出最值

（2）需用到的數(shù)學工具與知識點：

①分段函數(shù)：當自變量的不同取值導致解析式不同時，可通過建立分段函數(shù)來體現(xiàn)兩個變量

之間的關系，在題目中若有多種情況，且不同的情況對應不同的計算方式，則通常要用分段

函數(shù)進行表示。

②導數(shù)：在求最值的過程中，若函數(shù)解析式不是常見的函數(shù)（二次函數(shù)，對勾函數(shù)等），則

可利用導數(shù)分析其單調(diào)性，進而求得最值

③均值不等式：在部分解析式中（可構造和為定值或積為定值）可通過均值不等式迅速的找

到最值。

④分式函數(shù)的值域問題：可通過分離常數(shù)對分式進行變形，并利用換元將其轉化為熟悉的函

數(shù)求解

（3）常見的數(shù)量關系：

①面積問題：可通過尋底找高進行求解，例如：

平行四邊形面積=底、高梯形面積=,、（上底+下底）x高

三角形面積=—X底X高

②商業(yè)問題:

總價=單價X數(shù)量利潤=營業(yè)額-成本=貨物單價X數(shù)量-成本

③利息問題:

利息=本金X利率本息總和=本金+利息=本金X利率+本金

（4）在解決實際問題時要注意變量的取值范圍應與實際情況相符，例如：涉及到個數(shù)時，變

量應取正整數(shù)。涉及到錢，速度等問題，變量的取值應該為正數(shù)。

2、使用線性規(guī)劃模型解決實際問題

（1）題目特點：敘述中也有兩個核心變量，但條件多為涉及兩核心變量的不等關系，且所求

是關于兩個核心變量的表達式，這類問題通常使用線性規(guī)劃模型來解決問題

(2)與函數(shù)模型的不同之處

①函數(shù)模型：體現(xiàn)兩核心變量之間的等量關系，根據(jù)一個變量的范圍求另一個變量的范圍(或

最值)

②線性規(guī)劃模型：體現(xiàn)關于兩變量的不等關系，從而可列出不等式組，要解決的是含兩個變

量的表達式的最值。

(3)解題步驟：根據(jù)題目敘述確定未知變量(通常選擇兩個核心變量，其余變量用這兩個進

行表示)，并列出約束條件和目標函數(shù)，然后利用數(shù)形結合的方式進行解決

(4)注意事項：在實際問題中，變量的取值有可能為整數(shù)，若最優(yōu)解不是整數(shù)，則可在最優(yōu)

解附近尋找?guī)讓φc，代入到目標函數(shù)中并比較大小

3、使用三角函數(shù)模型解決實際問題

(1)題目特點：題目以幾何圖形(主要是三角形)作為基礎，條件多與邊角相關

(2)需要用到的數(shù)學工具與知識點：

①正弦定理：設AABC三邊a,A,c所對的角分別為ABC，則有一L=—也=—J

sinAsin8sinC

②余弦定理(以a和對角A為例)，a2=b2+c2-2bccosA

③三角函數(shù)表達式的化簡與變形

④函數(shù)y=Asin(azr+o)的值域

(3)解題技巧與注意事項：

①在求邊角問題時，應把所求的邊或角放在合適的三角形中

②在直角三角形里，已知一條邊，則其它邊可用該邊與內(nèi)角的三角函數(shù)值進行表示

③在圖形中要注意變量的取值范圍

二、典型例題：

例1：如圖所示,將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇要求M在A3的

延長線上，N在AD的延長線上，且對角線過C

點。已知A3=3米，AZ)=2米。'廣、-------------------P

(1)設AN=;c(單位：米)，要使花壇4W7W的面積

D---------------

大于32平方米，求無的取值范圍；'、、、

(2)若xe[3,4)(單位：米)，則當AV,AN的長度分J------------------^

AD

別是多少時，花壇AWPN的面積最大？并求出最大面積。

（1）思路：根據(jù)相似三角形可得線段比例：些=3￡從而解出收=_2土_則

ANAMx-2

3x23r2

S=AN-AM=----，從而可得------>32,解出X的范圍即可

AMPNx-2x-2

NDDC

解：-.-ANDC-ANAM——=——

ANAM

…DC-ANDCAN3x

"ND-AN-AD~x-2

3元2

SAMPN=\AN\-\AM\=--依題意可得：

x—2

3r2

---->323x2-32x+64>0（x>0）

x2

解得：無￡I?’]

U（8,+8

3r2

（2）思路：求AMPN面積的最大值，即求表達式/（%）=----的最大值，分離常數(shù)求解即

x-2

可

3x2

解：設/（%）=----xe[3,4）

x-2

”（同=31+2+*]1一2+*+4〔

設f=x—2,則7由2）

則y=3，+；+4：根據(jù)對勾函數(shù)可得：『=1時，y達到最大值，即y=27

3Y

此時f=lnx=3,所以⑷V=3,AM=^—=9

%—2

答:當⑷V=3,AM=9時，四邊形4W7W的面積最大，為27ml

例2：時下網(wǎng)校教學越來越受到廣大學生的喜愛，它已經(jīng)成為學生們課外學習的一種趨勢，假

設某網(wǎng)校的套題每日的銷售量y（單位：千套）與銷售價格：x（單位：元/套）滿足的關系式

y=一—+4（x—6）,其中2＜無＜6,相為常數(shù).已知銷售價格為4元/套時，每日可售出

x-2

套題21千套.

(1)求"Z的值；

(2)假設網(wǎng)校的員工工資、辦公等所有開銷折合為每套題2元(只考慮銷售出的套數(shù))，試

確定銷售價格x的值，使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大.(保留1位小數(shù))

解：(1)將x=4,y=21代入關系式可得：21=5+4(4—6)=>機=10

(2)思路：依題意可得售出一套，所得利潤為(1—2)元，所以總的利潤

/(x)=(x-+4(x-6)],其中2<x<6,利用導數(shù)判定了(%)的單調(diào)性，進而

可求得最大值點x

解：依題意所獲利潤f(x)=(x-2)y=(x-2)]Jg+4(x-6)2j

化簡可得：/(x)=4x3-56x2+240x-278(2<x<6)

=I2x2-112x+240=4(3x-10)(%-6)

令/(x)>0,即解不等式(3x—10)(x—6)>0

v2<x<6/.解得x<一

3

.?./(%)在。，/]單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減

.?./(X)在x=T取得最大值，即x=3.3

例3：某人銷售某種商品，發(fā)現(xiàn)每日的銷售量y(單位：kg)與銷售價格x(單位：元/kg)

150

+a(x-9)2,6<x<9,

x-6

滿足關系式y(tǒng)=,其中。為常數(shù).已知銷售價格為8元/kg時,

177

-x,9<x<15

、x-6

該日的銷售量是80kg.

(1)求a的值；

(2)若該商品成本為6元/kg,求商品銷售價格x為何值時，每日銷售該商品所獲得的利潤最

大.

解：⑴當x=8時，80=空~+a(8—9)<解得：a=5

8—6

150

+5(x-9)-,6<x<9

-x,9<x<15

—6

（2）思路：依題意可得銷售商品所獲得利潤/（x）=（x—6>y,所以也是一個分段函

數(shù)，可以考慮分別求出每段函數(shù)值的最大值，然后進行比較即可挑出了（%）的最大值。

解：設商品利潤為7（%）,則有/（x）=（x—6>y,由第（1）問可得:

150

(x-6)+5(x-9)2,6<x<9

x-6

f(x)=(x-6)y=<

177

(x-6)-x|,9<x<15

x-6

當6<x<9時，/(無)=150+5(x—9)｛尤一6)

則f(x)=5〔(x—9)~+2(x-6)(x-9)]=15(x-7)(x-9)

令/''（無）>0,由％e（6,9）解得：6<x<7

.-./（x）在（6,7）單調(diào)遞增，在（7,+oo）單調(diào)遞減

/（7）=170

當9〈尤415時，/（九）=177—尤2+6%=—（九一3）2+186

.?./（X）在（9,15）單調(diào)遞減

/（9）=150

??"⑺之/⑼

：.f（x）=170

JX/max

例4：已知某食品廠需要定期購買食品配料，該廠每天需要食品配料200千克，配料的價格為

1.8元/千克，每次購買配料需支付運費236元，每次購買來的配料還需支付保管費用，其標準

如下：7天以內(nèi)（含7天），無論重量度搜好，均按10元/天支付，超出7天以外的天數(shù)，根

據(jù)實際剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付

（1）當9天購買一次配料時，求該廠用于配料的保管費用P是多少元？

（2）設該廠x天購買一次配料，求該廠在這x天中用于配料的總費用y（元）關于x的函數(shù)

關系式，并求出該廠多少天購買一次配料才能使平均每天支付的費用最少？

解：（1）第8天乘U余配料為2x200=400（千克）

第9天剩余配料為200千克

二該廠用于配料的保管費為：尸=70+0.03x400+0.03x200=88（元）

（2）當時，y=360%+10%+236=236+370%

當x>7時，y=360%+236+70+6]（X—7）+（龍一6）H-----P2+1]

=31+325+432

236+370%,%<7

綜上所述：y=<

3%2+321%+432,x>7

236+370%「

----------------,%<7

設W為平均每天支付的費用，則W=』=,x

x3x2+32U+432「

-------------------------,x>7

當XW7時，16+370X=370+受，當％=7時，％n=^^"404

Xx7

432（144144

當%>7時，W=3x+——+321=31x++321>3-2Jx——+321=393

x

144

等號成立條件：％=——nx=12

x

二%—393（元）

例5：甲，乙兩校計劃周末組織學生參加敬老活動，甲校每位同學的往返車費是5元，每人可

為3位老人服務，乙校每位同學往返車費是3元，每人可為5位老人服務，兩校都有學生參

加，甲校參加活動的學生比乙校至少多1人，且兩校同學往返總車費不超過45元，如何安排

甲，乙兩校參加活動的人數(shù)，才能使收到服務的老人最多？此時受到服務的老人最多有多少

人？

思路：本題涉及的變量有兩個：甲校人數(shù)與乙校的人數(shù)，且所給條件均為關于兩校人數(shù)的不

等式，所以可聯(lián)想到線性規(guī)劃問題?？稍O甲校人數(shù)為X,乙校人數(shù)為y,所求問題為目標函

數(shù)z=3x+5y,列出約束條件后通過數(shù)形結合即可求出z的最大值

解：設甲校人數(shù)為x,乙校人數(shù)為y,依題意，尤,y應滿足的條件為：

5x+3y<45

<x-y>\

x,yeN*

3z

目標函數(shù)2=3x+5y=>y=-1犬+1，通過數(shù)形結合

可得。動直線/經(jīng)過”時，z取得最大值

f5x+3y=45\x=6

x-y=l[y=5

-A/(6,5)Za=3x+5y=43

例6：如圖，某海濱浴場的岸邊可近似地看成直線，位于岸邊A處的救生員發(fā)現(xiàn)海中B處有人

求救，救生員沒有直接從A處游向B處，而是沿岸邊自A跑到距離B最近的D處，然后游向B

處，若救生員在岸邊的行進速度為6米/秒，在海中的行進速度為

2米/秒，/BAD=45°。

(1)分析救生員的選擇是否正確；

(2)在AD上找一點C,使救生員從A到B的時間為最短，并求出

最短時間

解：(1)思路：所謂“選擇是否正確”，是指方案二所用的時間是否比直接游到8處時間短,

所以考慮分別求出兩種方案所用的時間，再進行比較即可。

解：從圖形可得：恒閭=上巴一=3000,所以:=——=150A/2(s)

sin4502

300300

而|叫=忸￡>|=300所以,2=---+=200(s)

6---2

?.工＞/2,所以救生員的選擇是正確的

(2)思路：要求得時間的最值，考慮創(chuàng)設一個變量x,并構造出時間關于x的函數(shù),

再求出“X)的最小值即可。不妨設|CD|=九，則忸q=A/3002+X2,所以時間

/(%)=3。；"+3。；+”,再求導求出的最小值即可

解：設|CD|=九，則忸C|=,30()2+尤2,設所用時間為了(%)

22

r/\300—xA/300+%

，=+——A——

oz

、112x-A/3002+X2+3X

二.f（x）=---1---—[=----/—

622A/3002+%26go。?+?

令/’（無）>0,即解不等式3x-53002+/>0n3x>,300,十￡

onn2

.-.9%2>3002+X2x2>——，解得：x>750

8

.-./（%）在（0,750）單調(diào)遞減，在（750,300）單調(diào)遞增

，/（%）3=/（75血）=50+100虎（秒）

答：當|CD|=75夜時，救生員所用的時間最短，為50+100拒秒

答：甲，乙兩校參加活動的人數(shù)分別為6和5時，受到服務的老人最多，最多為43人

例7：某人有樓房一幢，室內(nèi)面積共計180m2,擬分割成兩類房間作為旅游客房，大房間每間

面積為18m，可住游客5名，每名游客每天住宿費40元；小房間每間面積為15m°,可以住游

客3名，每名游客每天住宿費50元；裝修大房間每間需要1000元，裝修小房間每間需要600

元.如果他只能籌款8000元用于裝修，且游客能住滿客房，他應隔出大房間和小房間各多少

間，每天能獲得最大的房租收益？（注：設分割大房間為x間，小房間為y間，每天的房租

收益為z元），求羽y各為多少時，每天能獲得最大的房租收益？每天能獲得最大的房租收益

是多少？

思路：本題的主要變量是羽y,從題目中可發(fā)現(xiàn)對羽y的約束條件有3個，一個是房間數(shù)必

須是非負整數(shù)，所以第二個條件是室內(nèi)面積為18S",所以大小房間面積和要不

大于180帆2,第三個條件是裝修費用總和不高于8000元，據(jù)此列出約束條件：

18x+15y<180

<1000x+600y<8000,所求收益z=200x+150y,所

x,yeN

以該模型為線性規(guī)劃問題，數(shù)形結合即可。

解：依題意可得對羽y的約束條件為：

18x+15y<1806x+5y<60

1000%+600y<8000=><5x+3yW40,所求目標函數(shù)為z=200x+150y

x,y&Nx,yeN

作出可行域，依圖可得：直線過M（3,8）或M（0,12）時，z最大，即z1mx=18000

答：當大房間為3間，小房間為8間；或者不設大房間，小房間為12間時，收益最大，最大

值為18000元

例8：某棚戶區(qū)改造建筑用地平面示意圖如圖所示，經(jīng)規(guī)劃調(diào)研確定，

棚改規(guī)劃建筑用地區(qū)域近似地為半徑是R的圓面，該圓面的內(nèi)接四邊（

形ABCD是原棚戶建筑用地，測量可知邊界A5=AD=4萬米，V___________1

3C=6萬米，CD=2萬米

（1）請計算原棚戶區(qū)建筑用地ABCD的面積及圓面半徑R的值

（2）因地理條件的限制，邊界A。,CD不能變更，而邊界A53C可以調(diào)整，為了提高棚戶

區(qū)改造建筑用地的利用率，請在圓弧ABC上設計一點P,使得棚戶區(qū)改造的新建筑用地

APCD的面積最大，并求最大值

解：（1）在AABC中，由余弦定理可得：

AC2=AB-+BC2-2AB-BC-cosB①

在AAOC中，由余弦定理可得：

AC2=AD'+DC2-2AD-DC-cosD②

因為四邊形ABCD內(nèi)接于圓ZB+ZD=180°/.cosB=-cosD

所以由①②可得：42+62-2-4-6cosB=42+22+2x4x2cosB

解得：cosB=-^ZB=60°.-.ZD=120°

2

SARCD—Sn+S——AB-BCBAD-DCD

AULDA/AIDLCAr）c2,sinH—2,sin

=—x4x6xsin600+—x2x4xsin120°=8百（萬平方米）

22

由余弦定理可得：

AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=28

:.AC=25

CDAC2幣4A/2102扃

sinBV333

~T

(2)設AP=%,CP=y,可知梟尸c。=S△APC+SA℃

由(1)可知S"加c=26，若要APCD面積最大，只需5“作最大

SAPr=-APCPsmP=~APCPsinB=—xy

A”c224

在AAPC中，由余弦定理可得：AC2=AP2+PC2-2AP-PCcosP

即28=犬2+y2-2xy?COS60°=>%2+y2一孫=28

x2+y2>2xy

2S=x2+y2-xy>2xy-xy,即醐K28當且僅當x=y時，等號成立

SAPCD=26+曰盯<26+曰-28=96

所以四邊形APCD的最大面積為9百萬平方米

例9：如圖是一塊平行四邊形園地ABCD,經(jīng)測量，AB=20m,BC=10m,ZABC=120°,

擬過線段AB上一點E設計一條直路￡尸（點尸在四邊形ABCD的邊上，不計路的寬度），

將該園地分為面積比為3:1的左，右兩部分，分別種植不同的花卉，設EB=x,EF=y（單

位：m）g

（1）當點/與點。重合時，試確定點E的位置/￡/

（2）求y關于x的函數(shù)表達式

（3）試確定點￡，廠的位置，使得直路E尸長度最短

解：（1）當b與C重合時，S^BEF=^BEh（設//為平行四邊形的高）

SABCD=AB-h

依題意可得：SBEF=^SABCD即2.BE?力=工.A5?力

△￡?￡LF4/ixJv-Lx24

BE=-AB即E為AB的中點

2

（2）?.?石在線段AB上

.-.0<x<20

當xe[10,20]時，可得r在線段上

AB=20m,BC=10m,ZABC=120°

S?=ABBC-sinZABC=20xl0x—=100G

CAJADrLn-U2"

=!s=25A/3-.-S=-BEBFsml200=—XBF

^iLDr4oAzJCZJrAeZibDrf24

/.在ABEF中

X

EF2=BE2+BF2-2BE,BFcosEBF=x2

12+*100

/.y=EF=

當xe[0,10)時，點歹在線段CD上，此時四邊形座CF為梯形或平行四邊形

SEBCF=；(%+CF)x(10xsin60。),由SEBCF=￡ABCD=25A5得：

CF=10-x

當BE2CF時，EF=^102+(2%-10)2-2x10x(2%-10)cosl20°=2Jx?—5x+25

當BE<CF時，EF=^102+(10-2x)2-2x10x(10-2x)cos600=2y/x2-5x+25

即y=2ylx2-5x+25

行+曙+100,10X20

綜上所述可得：，y=<

2dxi-5x+25,0<x<10

（3）即求y的最小值

1爐+等+1。。丫232?華+1。。=1。6

當九￡[10,20]時，y=

等號成立條件：X2=、一=>%=10

x

當X￡[0,10)時,

等號成立條件：x=-

2

y1nhi=573，此時BE=2.5,CF=7.5

例10：如圖，在海岸線石尸一側有一休閑游樂場，游樂場的前一部分邊界為曲線段/GBC,

該曲線段是函數(shù)y=Asin(ox+0(A>0⑷〉0,(pee(T。］的圖像，圖像的最高

點為3(-1,2),邊界的中間部分為長1千米的直線段CD,且?！ā?，游樂場的后一部分

邊界是以。為圓心的一段圓弧DE

(1)求曲線bGBC的函數(shù)表達式

(2)曲線段bGBC上的入口G距海岸線防最近距離

為1千米，現(xiàn)準備從入口G,修一條筆直的景觀路