2025屆江蘇省海安縣白甸鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)八上期末經(jīng)典模擬試題含解析

2025屆江蘇省海安縣白甸鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)八上期末經(jīng)典模擬試題題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，正方期ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，且為F，則EF的長(zhǎng)為（）A．2 B． C． D．2．如圖，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，DE∥AB，交AC于點(diǎn)E，則下列結(jié)論不正確的是（）A．∠CAD＝∠BAD B．BD＝CD C．AE＝ED D．DE＝DB3．下面四個(gè)數(shù)中與最接近的數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．54．已知關(guān)于x的分式方程的解是負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜1 B．a(chǎn)＞1且a≠2 C．a(chǎn)＜3 D．a(chǎn)＜3且a≠25．如圖，在中，，邊上的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，若的周長(zhǎng)是11，則直線上任意一點(diǎn)到、距離和最小為（）A．28 B．18 C．10 D．76．小穎在做下面的數(shù)學(xué)作業(yè)時(shí)，因鋼筆漏墨水，不小心將部分字跡污損了，作業(yè)過(guò)程如下(涂黑部分即為污損部分)：如圖，OP平分∠AOB，MN∥OB，試說(shuō)明：OM=MN.理由：因?yàn)镺P平分∠AOB，所以■，又因?yàn)镸N∥OB，所以■，故∠1=∠3，所以O(shè)M=MN.小穎思考：污損部分應(yīng)分別是以下四項(xiàng)中的兩項(xiàng)：①∠1=∠2；②∠2=∠3；③∠3=∠4；④∠1=∠4.那么她補(bǔ)出來(lái)的部分應(yīng)是()A．①④ B．②③C．①② D．③④7．甲乙兩地相距420千米,新修的高速公路開通后,在甲、乙兩地行駛的長(zhǎng)途客運(yùn)車平均速度是原來(lái)的1.5倍,進(jìn)而從甲地到乙地的時(shí)間縮短了2小時(shí)．設(shè)原來(lái)的平均速度為x千米/時(shí),可列方程為（）A． B．C． D．8．下列圖形中，不是運(yùn)用三角形的穩(wěn)定性的是()A． B． C． D．9．等式成立的條件是()A． B． C．x＞2 D．10．如圖所示，在中，，D為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D分別向，作垂直線段、，則能直接判定的理由是（）A． B． C． D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．若不等式組的解集是，則的取值范圍是________．12．小亮用天平稱得一個(gè)罐頭的質(zhì)量為2.026kg，近似數(shù)2.026精確到0.1是_____．13．如圖，直線l1：y＝﹣x+b與直線l2：y＝mx+n相交于點(diǎn)P（﹣2，1），則不等式﹣x+b＜mx+n的解集為_____．14．2015年10月．我國(guó)本土科學(xué)家屠呦呦榮獲諾貝爾生理學(xué)或醫(yī)學(xué)獎(jiǎng)，她創(chuàng)制新型抗瘧藥青蒿素為人類作出了突出貢獻(xiàn)．瘧原蟲早期期滋養(yǎng)體的直徑約為0.00000122米，這個(gè)數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示為______米．15．如圖，直線的解析式為，直線的解析式為，為上的一點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為作直線軸，交直線于點(diǎn)，再作于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，作軸，交直線于點(diǎn)，再作于點(diǎn)，作軸，交直線于點(diǎn)....按此作法繼續(xù)作下去，則的坐標(biāo)為_____，的坐標(biāo)為______16．如圖所示，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與x軸相交于點(diǎn)（2，0），與y軸相交于點(diǎn)（0，4），結(jié)合圖象可知，關(guān)于x的方程ax+b=0的解是_____．17．的立方根是____．18．已知點(diǎn)P（a，b）在一次函數(shù)y=2x+1的圖像上，則2a-b+1=______三、解答題(共66分)19．（10分）解方程組：（1）（2）20．（6分）某校計(jì)劃組織師生共300人參加一次大型公益活動(dòng)，如果租用6輛大客車和5輛小客車，恰好全部坐滿，已知每輛大客車的乘客座位數(shù)比小客車多17個(gè)．（1）求每輛大客車和每輛小客車的乘客座位數(shù)；（2）由于最后參加活動(dòng)的人數(shù)增加了30人，學(xué)校決定調(diào)整租車方案，在保持租用車輛總數(shù)不變的情況下，且所有參加活動(dòng)的師生都有座位，求租用小客車數(shù)量的最大值．21．（6分）如圖，已知∠B+∠CDE=180°，AC=CE．求證：AB=DE．22．（8分）小明和小強(qiáng)兩名運(yùn)動(dòng)愛好者周末相約到濱江大道進(jìn)行跑步鍛煉．（1）周六早上6點(diǎn)，小明和小強(qiáng)同時(shí)從家出發(fā)，分別騎自行車和步行到離家距離分別為4500米和1200米的濱江大道入口匯合，結(jié)果同時(shí)到達(dá).若小明每分鐘比小強(qiáng)多行220米，求小明和小強(qiáng)的速度分別是多少米/分？（2）兩人到達(dá)濱江大道后約定先跑1000米再休息.小強(qiáng)的跑步速度是小明跑步速度的倍，兩人在同起點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，結(jié)果小強(qiáng)先到目的地分鐘．①當(dāng)，時(shí)，求小強(qiáng)跑了多少分鐘？②小明的跑步速度為_______米/分（直接用含的式子表示）．23．（8分）已知：如圖，E是AC上一點(diǎn)，AB=CE，AB∥CD，∠ACB=∠D．求證：BC=ED．24．（8分）如圖，△ABC中，AB=AC=BC，∠BDC=120°且BD=DC，現(xiàn)以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，使角兩邊分別交AB，AC邊所在直線于M，N兩點(diǎn)，連接MN，探究線段BM、MN、NC之間的關(guān)系，并加以證明．（1）如圖1，若∠MDN的兩邊分別交AB，AC邊于M，N兩點(diǎn)．猜想：BM+NC=MN．延長(zhǎng)AC到點(diǎn)E，使CE=BM，連接DE，再證明兩次三角形全等可證．請(qǐng)你按照該思路寫出完整的證明過(guò)程；（2）如圖2，若點(diǎn)M、N分別是AB、CA的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，其它條件不變，再探究線段BM，MN，NC之間的關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你的猜想（不用證明）．25．（10分）（1）在等邊三角形ABC中，①如圖①，D，E分別是邊AC，AB上的點(diǎn)且AE=CD，BD與EC交于點(diǎn)F，則∠BFE的度數(shù)是度；②如圖②，D，E分別是邊AC，BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)且AE=CD，BD與EC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，此時(shí)∠BFE的度數(shù)是度；（2）如圖③，在△ABC中，AC=BC，∠ACB是銳角，點(diǎn)O是AC邊的垂直平分線與BC的交點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別在AC，OA的延長(zhǎng)線上，AE=CD，BD與EC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若∠ACB=α，求∠BFE的大?。ㄓ煤恋拇鷶?shù)式表示）．26．（10分）如圖，正比例函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，點(diǎn)B為一次函數(shù)的圖象與x軸負(fù)半軸交點(diǎn)，且的面積為1．求這兩個(gè)函數(shù)的解析式．根據(jù)圖象，寫出當(dāng)時(shí)，自變量x的取值范圍．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、D【分析】在AF上取FG=EF，連接GE，可得△EFG是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得EG=，∠EGF=45°，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠BAE+∠AEG=∠EGF，然后求出∠BAE=∠AEG=22.5°，根據(jù)等角對(duì)等邊可得AG=EG，再根據(jù)正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角求出∠ABD=45°，然后求出△BEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得BF=EF，設(shè)EF=x，最后根據(jù)AB=AG+FG+BF列方程求解即可．【詳解】解：如圖，在AF上取FG=EF，連接GE，

∵EF⊥AB，

∴△EFG是等腰直角三角形，∴EG=EF，∠EGF=45°，由三角形的外角性質(zhì)得，∠BAE+∠AEG=∠EGF，

∵∠BAE=22.5°，∠EGF=45°，

∴∠BAE=∠AEG=22.5°，

∴AG=EG，

在正方形ABCD中，∠ABD=45°，

∴△BEF是等腰直角三角形，

∴BF=EF，

設(shè)EF=x，∵AB=AG+FG+BF，∴4=x+x+x，解得x=故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出等腰直角三角形并根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)AB列出方程．2、D【解析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)解答即可．【詳解】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠CAD=∠BAD，A正確，不符合題意；BD=CD，B正確，不符合題意；∵DE∥AB，∴∠EDA=∠BAD．∵∠EAD=∠BAD，∴∠EAD=∠EDA，∴AE=ED，C正確，不符合題意；DE與DB的關(guān)系不確定，D錯(cuò)誤，符合題意．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3、B【解析】分析：先根據(jù)的平方是10，距離10最近的完全平方數(shù)是9和16，通過(guò)比較可知10距離9比較近，由此即可求解．解答：解：∵12=9，42=16，又∵11-9=2＜16-9=5∴與最接近的數(shù)是1．故選B．4、D【分析】先求得分式方程的解，然后再解不等式即可，需要注意分式方程的分母不為4．【詳解】解：去分母得：a﹣4＝x+4．解得：x＝a﹣3．∵方程的解為負(fù)數(shù)，且x+4≠4，∴a﹣3＜4且a﹣3+4≠4．∴a＜3且a≠4．∴a的取值范圍是a＜3且a≠4．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程，已知方程解的情況求參數(shù)的值，解題過(guò)程中易忽略分式有意義的條件是分母不為4，靈活的求含參數(shù)的分式方程的解是解題的關(guān)鍵.5、D【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和已知三角形的周長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算即可求得結(jié)果．【詳解】解：∵DE是BC的中垂線，∴BE=EC，則AB=EB+AE=CE+EA，又∵△ACE的周長(zhǎng)為11，故AB=11?4=1，直線DE上任意一點(diǎn)到A、C距離和最小為1．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱—最短路線問題，線段垂直平分線的性質(zhì)（垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等）有關(guān)知識(shí)，難度簡(jiǎn)單．6、C【解析】∵OP平分∠AOB，∴∠1=∠2，∵M(jìn)N∥OB，∴∠2=∠3，所以補(bǔ)出來(lái)的部分應(yīng)是：①、②.故選C.點(diǎn)睛：掌握平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì).7、B【分析】設(shè)原來(lái)的平均速度為x千米/時(shí)，高速公路開通后的平均速度為1.5x千米/時(shí)，根據(jù)走過(guò)相同的距離時(shí)間縮短了2小時(shí)，列方程即可．【詳解】解：設(shè)原來(lái)的平均速度為x千米/時(shí)，

由題意得，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程．8、C【解析】分析：利用三角形的穩(wěn)定性解答即可.詳解：對(duì)于A、B、D選項(xiàng)，都含有三角形，故利用了三角形的穩(wěn)定性；而C選項(xiàng)中，拉閘門是用到了四邊形的不穩(wěn)定性.故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，需理解穩(wěn)定性在實(shí)際生活中的應(yīng)用；首先，明確能體現(xiàn)出三角形的穩(wěn)定性，則說(shuō)明物體中必然存在三角形；9、C【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)得出關(guān)于x的不等式進(jìn)而求出答案．【詳解】解：∵等式=成立，∴，解得：x＞1．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)，正確解不等式組是解題關(guān)鍵．10、D【分析】根據(jù)AAS證明△BDE≌△CDF即可．【詳解】解：∵D為BC中點(diǎn)，

∴BD=CD，

∵由點(diǎn)D分別向AB、AC作垂線段DE、DF，

∴∠DEB=∠DFC=90°，

在△BDE與△CDF中，∴△BDE≌△CDF（AAS）

故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定；判定方法有ASA、AAS、SAS、SSS等，在選擇時(shí)要結(jié)合其它已知在圖形上的位置進(jìn)行選?。?、填空題(每小題3分,共24分)11、【分析】先解第一個(gè)不等式得到，由于不等式組的解集為，根據(jù)同小取小得到．【詳解】解：解①得，

∵不等式組的解集為，

∴．

故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組：分別求出不等式組各不等式的解集，然后根據(jù)“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中間，大于大的小于小的無(wú)解”確定不等式組的解集．12、2.0【解析】2.026kg，精確到0.1即對(duì)小數(shù)點(diǎn)后的0后邊的數(shù)進(jìn)行四舍五入，為2.0，故答案為2.0.13、x＞﹣1【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象的位置關(guān)系，即可得到不等式的解集．【詳解】觀察圖象得，當(dāng)x＞﹣1時(shí)，﹣x+b＜mx+n，∴不等式﹣x+b＜mx+n的解集為：x＞﹣1．故答案為：x＞﹣1．【點(diǎn)睛】本題主要考查求不等式的解，掌握一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．14、1.22×10﹣1．【詳解】解：0.00000122＝1.22×10－1．故答案為1.22×10－1．點(diǎn)睛：本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10－n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．15、【分析】依據(jù)直角三角形“角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半”求得B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求得OB=BA1，最后根據(jù)平行于x軸的直線上兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，即可求得A1的坐標(biāo)，依此類推即可求得An的坐標(biāo)．【詳解】如圖，作⊥軸于E，⊥軸于F，⊥軸于G，∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，，∴，∴，∴，，∵∥軸，

根據(jù)平行于軸的直線上兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，∴的縱坐標(biāo)為，∵點(diǎn)在直線上，將代入得，解得：，∴的坐標(biāo)為，∴，，∴，∴，∴，∴，∵∥軸，，∴，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知：，∴，∴，，∴的坐標(biāo)為，同理可得：的坐標(biāo)為，【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是利用平行于x軸的直線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，以及等腰三角形的性質(zhì)得出點(diǎn)的坐標(biāo)，得出一般規(guī)律．16、x=1【解析】一次函數(shù)y=ax+b的圖象與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)的值即為方程ax+b=0的解．【詳解】∵一次函數(shù)y=ax+b的圖象與x軸相交于點(diǎn)（1，0），∴關(guān)于x的方程ax+b=0的解是x=1，故答案為x=1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系．任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0（a，b為常數(shù)，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值．從圖象上看，相當(dāng)于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值．17、．【分析】利用立方根的定義即可得出結(jié)論【詳解】的立方根是．故答案為：【點(diǎn)睛】此題主要考查了立方根的定義，求一個(gè)數(shù)的立方根，應(yīng)先找出所要求的這個(gè)數(shù)是哪一個(gè)數(shù)的立方．由開立方和立方是互逆運(yùn)算，用立方的方法求這個(gè)數(shù)的立方根．注意一個(gè)數(shù)的立方根與原數(shù)的性質(zhì)符號(hào)相同．一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，并且它們是一對(duì)相反數(shù)．18、1【分析】把點(diǎn)P代入一次函數(shù)y=2x+1中即可求解．【詳解】點(diǎn)P（a，b）在一次函數(shù)y=2x+1的圖像上，b=2a+1即2a-b+1=1故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，得出b=2a+1是解題關(guān)鍵．三、解答題(共66分)19、（1）；（2）【分析】（1）利用加減法消元法和代入消元法求解即可；（2）先把②去分母，然后利用加減法消元法和代入消元法求解即可；【詳解】（1），由②得③，③代入①得，解得，把代入③得，∴方程組的解是；（2）方程組可化為，①+②得，解得，把代入①得，解得，∴原方程組的解是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解二元一次方程組，掌握解二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.20、（1）每輛小客車的乘客座位數(shù)是18個(gè)，每輛大客車的乘客座位數(shù)是15個(gè)；（2）租用小客車數(shù)量的最大值為1．【解析】（1）根據(jù)題意結(jié)合每輛大客車的乘客座位數(shù)比小客車多17個(gè)以及師生共100人參加一次大型公益活動(dòng)，分別得出等式求出答案；（2）根據(jù)（1）中所求，進(jìn)而利用總?cè)藬?shù)為100＋10，進(jìn)而得出不等式求出答案．【詳解】（1）設(shè)每輛小客車的乘客座位數(shù)是個(gè)，大客車的乘客座位數(shù)是個(gè)，根據(jù)題意可得：解得答：每輛小客車的乘客座位數(shù)是18個(gè)，大客車的乘客座位數(shù)是15個(gè)；（2）設(shè)租用a輛小客車才能將所有參加活動(dòng)的師生裝載完成，則18a＋15（11?a）≥100＋10，解得：.符合條件的a最大整數(shù)為1，答：租用小客車數(shù)量的最大值為1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用以及二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是正確得出不等式的關(guān)系．21、證明見解析.【解析】如圖，過(guò)E點(diǎn)作EH∥AB交BD的延長(zhǎng)線于H．可證明△ABC≌△EHC（ASA），則由全等三角形的性質(zhì)得到AB=HE；然后結(jié)合已知條件得到DE=HE，所以AB=HE，由等量代換證得AB=DE．【詳解】證明：如圖，過(guò)E點(diǎn)作EH∥AB交BD的延長(zhǎng)線于H，∵EH∥AB，∴∠A=∠CEH，∠B=∠H在△ABC與△EHC中，，∴△ABC≌△EHC（ASA），∴AB=HE，∵∠B+∠CDE=180°，∠HDE+∠CDE=180°.∴∠HDE=∠B=∠H，∴DE=HE．∵AB=HE，∴AB=DE．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，正確添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．22、（1）小強(qiáng)的速度為1米/分，小明的速度為2米/分；（2）①小強(qiáng)跑的時(shí)間為3分；②．【分析】（1）設(shè)小強(qiáng)的速度為x米/分，則小明的速度為（x+220）米/分，根據(jù)路程除以速度等于時(shí)間得到方程，解方程即可得到答案；（2）①設(shè)小明的速度為y米/分，由m＝3，n＝6，根據(jù)小明的時(shí)間-小強(qiáng)的時(shí)間=6列方程解答；②根據(jù)路程一定，時(shí)間與速度成反比，可求小強(qiáng)的時(shí)間進(jìn)而求出小明的時(shí)間，再根據(jù)速度=路程除以時(shí)間得到答案.【詳解】（1）設(shè)小強(qiáng)的速度為x米/分，則小明的速度為（x+220）米/分，根據(jù)題意得：＝．解得：x＝1．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝1是原方程的根，且符合題意．∴x+220＝2．答：小強(qiáng)的速度為1米/分，小明的速度為2米/分．（2）①設(shè)小明的速度為y米/分，∵m＝3，n＝6，∴，解之得.經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，∴小強(qiáng)跑的時(shí)間為：（分）②小強(qiáng)跑的時(shí)間：分鐘，小明跑的時(shí)間：分鐘，小明的跑步速度為：分．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查分式方程的應(yīng)用，正確理解題意根據(jù)路程、時(shí)間、速度三者的關(guān)系列方程解答是解題的關(guān)鍵.23、證明見解析.【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠A=∠ECD，然后利用“角角邊”證明△ABC和△ECD全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證．【詳解】∵AB∥CD，∴∠A=∠ECD.在△ABC和△ECD中，∵∠A＝∠ECD，∠ACB＝∠D，AB＝CE，∴△ABC≌△ECD（AAS）.∴BC=DE．考點(diǎn)：1.平行線的性質(zhì)；2.全等三角形的判定和性質(zhì)．24、（1）過(guò)程見解析；（2）MN=NC﹣BM．【分析】（1）延長(zhǎng)AC至E，使得CE=BM并連接DE，根據(jù)△BDC為等腰三角形，△ABC為等邊三角形，可以證得△MBD≌△ECD，可得MD=DE，∠BDM=∠CDE，再根據(jù)∠MDN=60°，∠BDC=120°，可證∠MDN=∠NDE=60°，得出△DMN≌△DEN，進(jìn)而得到MN=BM+NC．

（2）在CA上截取CE=BM，利用（1）中的證明方法，先證△BMD≌△CED（SAS），再證△MDN≌△EDN（SAS），即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖示，延長(zhǎng)AC至E，使得CE=BM，并連接DE．∵△BDC為等腰三角形，△ABC為等邊三角形，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，又BD=DC，且∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，∴∠MBD=∠ECD=90°，在△MBD與△ECD中，∵，∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD=DE，∠BDM=∠CDE∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠CDE+∠NDC=∠BDM+∠NDC=120°-60°=60°，即：∠MDN=∠NDE=60°，在△DMN與△DEN中，∵，∴△DMN≌△DEN（SAS），∴MN=NE=CE+NC=BM+NC．（2）如圖②中，結(jié)論：MN=NC﹣BM．理由：在CA上截取CE=BM．∵△ABC是正三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，又∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠BCD=∠CBD=30°，∴∠MBD=∠DCE=90°，在△BMD和△CED中∵，∴△BMD≌△CED（SAS），∴DM=DE，∠BDM=∠CDE∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠NDE=∠BDC-（∠BDN+∠CDE）=∠BDC-（∠BDN+∠BDM）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，即：∠MDN=∠NDE=60°，在△MDN和△EDN中∵，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN=NE