高中數(shù)學(xué)新教材人教A版選擇性必修培優(yōu)練習(xí)：08 圓的方程（學(xué)生版+解析版）

專題08圓的方程

一、單選題

1.(2020?湖南省高二月考)曲線方程V+V+Ex—y+4=0表示一個圓的充要條件為()

A.E>15B.E>15C.E2>15D.E2>15

2.(2019?浙江省高二期中)圓心在(2,-1)上，半徑為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.(x-2)2+(,+1)2=3B.-2)2+(y+l)2=9

C.(x—2)~+(y—1)~=3D.(無一2)~+(y—1)~=9

3.(2020?北京高三一模)設(shè)4(2,—1),3(4,1),則以線段A3為直徑的圓的方程是()

A.(X-3)2+/=2B.(x-3)2+y2=8

C.(x+3)2+V=2D.(x+3)2+y2=8

4.(2020?吳江汾湖高級中學(xué)高一月考)圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是()

A.(x-1)-+(y-l)2=1

B.(x+l)2+(y+1『=1

C.(x+l)2+(y+l)2=2

D.(x-1)"+(y-l)--2

5.(2019?瓦房店市實驗高級中學(xué)高二月考)已知點4(3,6),C(l,0),則AA3C外接圓的圓心

坐標(biāo)為()

A.(5,2)B.(-5,2)C.(2,5)D.(5,-2)

6.(2020?陜西省陜西師大附中高一期末)若圓C的半徑為1,圓心在第一象限，且與直線4x—3y=0和x

軸相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

A.(x-2)2+(y-l)2=1B.-3)2+[y—g]=1

C.（X-1）2+（J-3）2=1D.1x—S+（>-1）2=1

7.（2020?江蘇省王漁昌中學(xué)高一開學(xué)考試）已知圓M與直線3x—4y=0和3x—4y+10=0都相切，圓心

在直線y=-x—4上，則圓”的方程為（）

A.（x+3）2+（y-1-=1B.（x-3）2+（y+l）2=1

C.（x+3）2+（y+l）2=1D.（x-3）2+（y-l）2=1

8.（2020?廣東省高三月考（理））已知圓好+丁2=i,點A。。），AA3C內(nèi)接于圓，且N54C=60。，當(dāng)3,

C在圓上運動時，3c中點的軌跡方程是（）

11

2222

X+y-X+y-

A.2-B.4-

C.X2+y2=-|x<-ID.X2+y2=x<-I

-212）-414；

9.（2020?全國高三月考（理））已知圓C過點（4,6）,（-2,—2）,（5,5）,點在圓。上，則ACMN面積

的最大值為（）

25

A.100B.25C.50D.——

2

10.（2019?全國高三二模（文））已知2,m+2n,一6成等差數(shù)列，則圓C：（犬一3行）+（>+1）?=4上

的點到點距離的最大值為（）

A.1B.2C.5D.3-75

二、多選題

11.（2019?遼寧省高二期末）圓x2+y2-4x_l=o（）

A.關(guān)于點（2,0）對稱B.關(guān)于直線y=0對稱

C.關(guān)于直線x+3y-2=0對稱D.關(guān)于直線%-丁+2=0對稱

12.（2019?福建省南安第一中學(xué)高二月考）己知點P（cosasin8）（8eH）,直線/:x+樞y—4=0,下列

結(jié)論正確的是（）

A./恒過定點（4,0）

B.|（9P|=1（O為坐標(biāo)原點）

C.尸到直線/的距離有最小值，最小值為3

D.P到直線/的距離有最大值，最大值為5

13.（2019?福建省高一期末）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn):“平面內(nèi)到兩

個定點A,3的距離之比為定值4（/1w1）的點的軌跡是圓”后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅

PA1

尼斯圓，簡稱阿氏圓在平面直角坐標(biāo)系中,4（—2,0）,3（4,0）,點PW足用=耳.設(shè)點p的軌跡為C,

下列結(jié)論正確的是（）

A.。的方程為（x+4）?+y2=9

B.在％軸上存在異于A,3的兩定點RE,使得\P屈D\=

\PE\2

C.當(dāng)三點不共線時，射線PO是Z4PB的平分線

D.在C上存在點/，使得|MO|=2|M4|

三、填空題

14.（2019?江蘇省南京師大附中高三一模）圓C:（x+iy+（y—2）2=4關(guān)于直線y=2x—1的對稱圓的方程

為.

15.（2020?廣東省紅嶺中學(xué)高二期末）方程必+/一2%+機〉一根一3=0表示圓C中，則圓C面積的最小

值等于.

16.（2。2。?全國高三月考《理））已知點。。。），A（4,。），〃是圓C-V上一點，則黑

的最小值為

17.（2019?山東省高三期中）已知圓心在直線x-3y=0上的圓。與y軸的正半軸相切，且截％軸所得的弦

長為4形，則圓。的方程為，則點「（6,5）到圓。上動點。的距離最大值為.

四、解答題

18.（2019?四川省仁壽一中高二期中（文））求過點A（0,6）且與圓C：『+儼+10尤+ioy=。切于原點的圓的

方程.

19.（2019?吉林省東北師大附中高一月考）已知一個圓與y軸相切，在直線y=x上截得弦長為24，且

圓心在直線x-3y=0上，求此圓的方程.

20.（2020?吳江汾湖高級中學(xué)高一月考）已知圓C：x=+y2+Dx+Ey+3=0,圓C關(guān)于直線x+y-1=0

對稱，圓心在第二象限，半徑為也.

（1）求圓C的方程；

（2）直線［與圓C相切，且在久軸、y軸上的截距相等，求直線［的方程.

21.（2019?四川省成都七中高二期中（理））已知圓尸過4（5,—2）,3（0,3）,C（4,l）.

（1）求圓P的方程；

（2）若過點/（-3,-3）的直線/被圓尸所截得的弦長為8,求直線/的方程.

22.（2019?瓦房店市實驗高級中學(xué)高二月考）圓C過點A（6,0）,8（1,5）,且圓心在直線/：2x—7y+8=0

上.

（1）求圓。的方程；

（2）P為圓C上的任意一點，定點。（8,0）,求線段PQ中點M的軌跡方程.

23.（2019?四川省成都七中高二期中（理））已知圓C的圓心在直線3尤+2y=0上，并且與x軸的交點分別

為4-2,0）,3（6,0）.

（1）求圓C的方程；

（2）若直線/過原點且垂直于直線3x+2y=0,直線/交圓C于M,N,求△w（次的面積.

專題08圓的方程

一、單選題

1.（2020.湖南省高二月考）曲線方程/+丁2+Ex—丁+4=0表示一個圓的充要條件為（）

A.E>15B.E>15C.E1>15D.E2>15

【答案】C

【解析】

表示圓的充要條件是石2+（_1）2—4X4>0,即石2>5

故選：C.

2.(2019?浙江省高二期中)圓心在(2,-1)上，半徑為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.(X-2)2+(,+1)2=3B.(x-2)2+(y+l)2=9

C.(x-2)2+(y-1)2=3D.(^-2)2+(y-l)2=9

【答案】B

【解析】

圓心在(2,—1)上，半徑為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x—2)2+(y+l)2=9

故選：B

3.(2020?北京高三一模)設(shè)4(2,—1),5(4,1),則以線段A3為直徑的圓的方程是()

A.(x-3)2+/=2B.(x-3)2+y2=8

C.(x+3)2+y2=2D.(x+3)2+y2=8

【答案】A

【解析】

A3的中點坐標(biāo)為：(3,0),圓半徑為廠=網(wǎng)=/22+2?=叵,

22

圓方程為(x—3)2+V=2.

故選：A.

4.(2020?吳江汾湖高級中學(xué)高一月考)圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是()

A.(x-l)2+(y-l)2=1

B.(x+1)-+(y+l)2=]

C.(x+l)2+(y+l)2=2

D.(x-l)2+(y-l)2=2

【答案】D

【解析】

設(shè)圓的方程為(尤—1)2+(y—1)2=皿加＞0),且圓過原點，即(0—1)2+(0—1)2=皿機＞0),得=2,

所以圓的方程為(％—1)2+(y-l)2=2.故選D.

5.(2019?瓦房店市實驗高級中學(xué)高二月考)已知點4(3,6),C(l,0),則AABC外接圓的圓心

坐標(biāo)為()

A.(5,2)B.(-5,2)C.(2,5)D.(5,-2)

【答案】A

【解析】

線段AB中點坐標(biāo)為(2,5),線段A5斜率為合=1,所以線段A3垂直平分線的斜率為-1，故線段

的垂直平分線方程為y—5=—(X—2),即y=—x+7.

線段AC中點坐標(biāo)為(2,3)，線段AC斜率為合=3,所以線段AC垂直平分線的斜率為-；，故線段AC

的垂直平分線方程為y-3=-1(x-2),即y=—gx+段.

k―x+7p5

由<111?所以AA6C外接圓的圓心坐標(biāo)3勺(5,2).

y=——x-\---y=2

r331

故選：A

6.(2020?陜西省陜西師大附中高一期末)若圓C的半徑為1,圓心在第一象限，且與直線4x—3y=0和x

軸相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

A.(x—2)2+(y—1)2=1B.(x-3)2+j^

c.(x—1)2+(y—3)2=lD.(x—+

(y-1)2=1

【答案】A

【解析】

設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,b)(a>0,b>0),

由圓與直線4x-3y=0相切，可得圓心到直線的距離d=4a；31"=〃=1,化簡得：|4a-3b1=5①，

又圓與x軸相切，可得|b|=r=l,解得b=l或b=-l(舍去)，

把b=l代入①得：4a-3=5或4a-3=-5,解得a=2或a=-—

2

（舍去），，圓心坐標(biāo)為（2,1）,

則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（X-2）2+（y-1）2=1.

故選A

7.（2020?江蘇省王漁昌中學(xué)高一開學(xué)考試）已知圓M與直線3x—4y=0和3x—4y+10=0都相切，圓心

在直線y=-x—4上，則圓〃的方程為（）

A.(x+3)2+(y-l)2=1B.(x-3)2+(y+l)2=1

C.(x+3)2+(y+l)2=1D.(x-3)2+(y-l)2=1

【答案】C

【解析】

到兩直線3x—4y=0及3x—4y+10=0的距離都相等的直線方程為3x—4y+5=0,聯(lián)立方程組

3x-4y+5=0x——3

,解得｛，.兩平行線之間的距離為2,所以，半徑為1，從而圓”的方程為

y--X-4y=-i

（x+3）2+（y+l）2=1.選C.

8.（2020?廣東省高三月考（理））已知圓V+y2=1,點A。。），AA3C內(nèi)接于圓，且41c=60。，當(dāng)3,

C在圓上運動時，中點的軌跡方程是（）

A.x2+y2=-B.x2+y2--

-274

C.x2+/=-fx<-1D.x2+y2=-（x<^-]

【答案】D

【解析】

設(shè)8C中點為D,

?.?圓心角等于圓周角的一半，44c=60。，

:.NBOD=60°，

在直角三角形30。中，由。

22

故中點。的軌跡方程是：x2+y2=^,

如圖，由NR4c的極限位置可得，%<-.

4

故選：D

9.（2020?全國高三月考（理））己知圓。過點（4,6）,（—2,—2）,（5,5）,點M,N在圓。上，則AC肱V面積

的最大值為（）

25

A.100B.25C.50D.——

2

【答案】D

【解析】

設(shè)圓C的方程為^+y1+Dx+Ey+F=Q,將（4,6）,（-2,-2）,（5,5）代入可得,

'52+4D+6E+F=0

<8—2D—2E+F=0,解得D=—2,E=—4,F=—20.

50+5D+5E+F=0

故圓C的一般方程為7+丁—2X—4y-20=0,即（X-1）2+（y—2）2=25,

故ACMN的面積S=sinNMCN=3義5x5sinNMCNK；義5義5義1=日.

:.ACMN面積的最大值為一.

2

故選：D.

10.（2019?全國高三二模（文））已知2,m+2n,一6成等差數(shù)列，則圓C：（%-3指）+（y+l）~=4上

的點到點/（〃,"）距離的最大值為（）

A.1B.2C.5D.36

【答案】C

【解析】

因為2,m+2n,一6成等差數(shù)列，所以2（加+2〃）=2—6,可得相+2〃+2=0,

所以點M的軌跡方程為x+2y+2=0,圓心則圓C上的點到點"的最大值為

|3A/5-2+2|

dIlldX=---/l7=------1-2=3+2=5-

故選：C

二、多選題

11.（2019?遼寧省高二期末）0x2+/-4.r-l=0（）

A.關(guān)于點（2,0）對稱B.關(guān)于直線丁=0對稱

C.關(guān)于直線x+3y-2=0對稱D.關(guān)于直線x-y+2=0對稱

【答案】ABC

【解析】

X2+/-4X-1=0^（X-2）2+/=5,所以圓心的坐標(biāo)為（2,0）.

A：圓是關(guān)于圓心對稱的中心對稱圖形，而點（2,0）是圓心，所以本選項正確；

B：圓是關(guān)于直徑對稱的軸對稱圖形，直線y=0過圓心，所以本選項正確；

C：圓是關(guān)于直徑對稱的軸對稱圖形，直線x+3y-2=。過圓心，所以本選項正確；

D：圓是關(guān)于直徑對稱的軸對稱圖形，直線x-y+2=0不過圓心，所以本選項不正確.

故選：ABC

12.（2019?福建省南安第一中學(xué)高二月考）已知點P（cosO,sine）（eeR）,直線/:%+陽—4=0,下列

結(jié)論正確的是（）

A./恒過定點（4,0）

B.|OP|=1（O為坐標(biāo)原點）

C.P到直線/的距離有最小值，最小值為3

D.尸到直線/的距離有最大值，最大值為5

【答案】ABD

【解析】

直線/:%+72一4=0,當(dāng)y=0時，x=4,故A正確;

\OP\=A/COS2^+sin20=1,故B正確;

點P的軌跡是以（0,0）為圓心，半徑為1的圓，直線過定點（4,0）,位置如圖:

由圖可知，點尸到直線/的距離最小值為0,

當(dāng)直線與x軸垂直時，圓心到直線的距離最大，最大值為4,所以尸到直線/的距離有最大值，最大值為5.

故C錯誤，D正確.

故選：ABD.

13.（2019?福建省高一期末）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)廣'平面內(nèi)到兩

個定點A,3的距離之比為定值4（幾豐1）的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅

\pj\\1

尼斯圓，簡稱阿氏圓在平面直角坐標(biāo)系xOy中,4（—2,0）,5（4,0）,點R黃足局=-.設(shè)點P的軌跡為C,

下列結(jié)論正確的是（）

A.C的方程為（x+4y+y2=9

\PD\1

B.在x軸上存在異于4,3的兩定點。,后,使得「密=彳

\PE\2

C.當(dāng)AB,p三點不共線時，射線PO是/4PB的平分線

D.在C上存在點"，使得|MO|=2|肱4|

【答案】BC

【解析】

PA|1_J(x+2p+上

設(shè)點P(x,y),則化簡整理得f+y2+8x=0,即(x+4『+y2=16,故A

/、/、附14P2+PO2—AO2

錯誤；當(dāng)。(—1,0),6(2,0),時，茜-故B正確；對于C選項，cosZAPO=—~—

22APPO

op2pr)2_or)2

cosZBPO=_匕L，要證PO為角平分線，只需證明cosZAPO=cosZBPO,即證

2BPPO

AP-+PO--AO-=BP-+PO--BO?，化簡整理即證po2=2Ap2一8,設(shè)？3)，貝ij肥)？芳2#,

2APPO2BPPO'7

2Ap2-8=2無2+8x+2y~=+8x++=x~+y2,則證

cosZAPO=cosZBPO,故C正確；對于D選項，設(shè)河(％,%),由|改?|=2|M4|可得

#02+典2=,5+2)2+為2,整理得3/2+3%2+16%+16=0,而點M在圓上，故滿足x2+y2+Sx=0,

聯(lián)立解得x0=2,%無實數(shù)解，于是D錯誤.故答案為BC.

三、填空題

14.(2019?江蘇省南京師大附中高三一模)圓C:(x+l)2+(y—2)2=4關(guān)于直線y=2x—1的對稱圓的方程

為.

【答案】(x—3)2+/=4

【解析】

C:(x+1)2+(y—2)2=4的圓心為(-1,2),關(guān)于y=2x—1對稱點設(shè)為(x,y),

y+2x-1

------=2x--------1

x=3

22解得〈c

y-217=0

、x+l一一2

所以對稱后的圓心為(3,0),故所求圓的方程為(x-3了+/=4.

故答案為：(x—3)2+V=4

15.(2020?廣東省紅嶺中學(xué)高二期末)方程x2+y2-2x+根y-根一3=0表示圓C中，則圓C面積的最小

值等于.

【答案】3兀

【解析】

x2+y~—2x+my—zn—3=0.'.(x+l)-+771+4

'席"1/

R-=——+m+4=—(m+2y+3

44V

當(dāng)初=-2時，半徑最小為故面積為；TR2=3;T

故答案為3萬

,,IOM|

16.(2020?全國高三月考(理))已知點。(0,0),4(4,0),4是圓C:(x—2尸+y?=1上一點，則三大

-|AM|

的最小值為

【答案】』

3

【解析】

則黯

設(shè)點M(x,y),

又因為(X—2了+>2=1,貝I]y2=i—(X—2)2,

|OM|24x-3,10

故u-----T=----------=-1H-------------xe[l,3],

\AM|--4x+13-4x+13

易得函數(shù)y=—1+10-在工3］上單調(diào)遞增.

—4x+13

2

則I——OM^I的最小值為1一，故|O臺M表|的最小值為1一.

\AM|29\AM\3

故答案為：-

3

17.(2019?山東省高三期中)已知圓心在直線x-3y=0上的圓。與y軸的正半軸相切，且截x軸所得的弦

長為4夜，則圓C的方程為,則點網(wǎng)6,5)到圓。上動點。的距離最大值為.

［答案］(%-3)2+(,_以=98

【解析】

設(shè)圓的方程為(尤一a、+(y-6)2=/(a>0力>0)

a-3b=0a=3

解得卜=1，

由題意可得＜a=r

Z?2+8=r2r=3

所以圓的方程為(X—3)2+(y—1)2=9;

設(shè)點P(6,5)到圓心C(3,1)的距離為d=J(6-3)2+(5-1)2=5，

則點尸(6,5)到圓C上動點。的距離最大值為J+r=5+3=8.

故答案為:(x-3)2+(y-1)2=9；8

四、解答題

18.(2019?四川省仁壽一中高二期中(文))求過點4(0,6)且與圓C：尤2+y2+i0x+lOy=O切于原點的圓的

方程.

【答案】(X—3)2+。-3)2=18.

【解析】

設(shè)圓的方程為(x—〃)2+(y—。)2=/(->0).

a2+Z?2=r2,…

由題意得+3—6)2=r2解得*=3圓的方程為a—3)2+?！?)2=18.

a=b

點睛：

確定圓的方程方法

(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進而寫出方程.

(2)待定系數(shù)法

①若已知條件與圓心(a,切和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程依據(jù)已知條件列出關(guān)于a,6/的方程組，從而

求出a,b,r的值；

②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于。、E、尸的方程組,

進而求出E、尸的值.

19.(2019?吉林省東北師大附中高一月考)已知一個圓與y軸相切，在直線y=x上截得弦長為24，且

圓心在直線x-3y=0上，求此圓的方程.

［答案］(x—3)2+(y_l)2=9,(x+3)2+(,+1)2=9

【解析】

設(shè)圓的方程為：(X-4)2+('-6)2=/，

則：|a|=r,

Q—3Z?=0,

\a-b\

a=3a=—3

所以＜b=l或＜〃=一1,

r=3r=3

因此圓的方程為：(x—3)2+(y—1)2=9,(%+3)2+(y+l)2=9.

20.(2020?吳江汾湖高級中學(xué)高一月考)已知圓C：x:+y2+Dx+Ey+3=0,圓C關(guān)于直線x+y-1=0

對稱，圓心在第二象限，半徑為0.

(1)求圓C的方程；

(2)直線［與圓C相切，且在x軸、y軸上的截距相等，求直線［的方程.

【答案】(1)x2+y2+2x—4y+3=0(2)x+y—3=0或x+y+1=0.或y=(2+V6)x

【解析】

分析：

(1)通過圓C關(guān)于直線對稱，可知圓心在直線上，再結(jié)合半徑為在，得到關(guān)于D.E的方程組，求解方程組,

選擇在第二象限中的根，即可求得圓的方程；(2)分截距為零和不為零兩種情況討論，利用圓心到直線距

離等于半徑求解直線方程。

詳解：

(1)由x，+y:+Dx+Ey+3=0知圓心C的坐標(biāo)為(—g,—g),

:圓C關(guān)于直線x+y—1=0對稱，二點(一與,—：)在直線x+y—1=0上，

則D+E=—2,又2+'--二=2,圓心C在第二象限，二D=2,E——4,

4

二所求圓C的方程為爐+y24-2x—4y+3=0

(2)1。當(dāng)切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等且不為零時，可設(shè)［的方程為x+y=a,

圓C的方程可化為(x+1)-+(y-2)==2,圓心C(-L2)到切線的距離等于半徑近,

即尸+「|=在,二a=-1,或a=3

2。當(dāng)切線在兩坐標(biāo)軸上的截距為零，設(shè)丫=左4,求得：y=(2±V6)%

所求切線方程x+y—3=0或x+y+1=0或y=(2+m)x

21.(2019?四川省成都七中高二期中(理))已知圓尸過A(5,—2),B(0,3),C(4,l).

(1)求圓尸的方程；

(2)若過點M(-3,-3)的直線/被圓尸所截得的弦長為8,求直線/的方程.

22

【答案】(1)%+y+4j-21=0：(2)4x+3y+21=0或x=—3.

【解析】

(1)設(shè)圓產(chǎn)的方程為：x2+y2+Dx+Ey+F=0.

VA,B,C都在圓上，

'29+5D-2E+F=0伊=0

.*.<9+3E+F=0,解得<E=4.

17+4O+E+/=0[F=-21

：.所求圓P的方程為x2+y2+4y-21=0.

(2)由x?+(y+2)2=25,知圓心P(0,—2),半徑r=5,

由直線/被圓0截得的弦長為8,得圓心距〃=乒不=3

當(dāng)直線/與x軸不垂直時，設(shè)直線/方程為：y+3=k(x+3),

即kx—y+3k—3=0,

_|3^-1|4

?，?圓心尸到直線/距禺d=—=3,化簡得一6左=8,則左二—.

4

.?.直線/方程為：y+3=—§(x+3),即4x+3y+21=。

當(dāng)直線/，刀軸時，直線/方程為x=—3,

代入圓方程得9+4y—12=0,解得必=-6,%=2,

.?.弦長仍為8,滿足題意.

綜上，直線/的方程為4x+3y+21=0或1=—3

22.(2019?瓦房店市實驗高