線面垂直高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

8.6.2直線與平面垂直第八章立體幾何初步2024/9/221

2024/9/222?探究：將一本書打開直立在桌面上，觀察書脊所在直線與桌面的位置關(guān)系，以及書脊與每頁書和桌面的交線的位置關(guān)系.2024/9/223Pα

垂足

（直線與平面垂直的定義）一般地，如果直線??與平面??內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線??與平面??互相垂直，記作??⊥??.直線??叫做平面??的垂線平面??叫做直線??的垂面直線與平面垂直時，它們唯一的公共點(diǎn)??叫做垂足辨析若直線??與平面??內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則直線垂直于平面.若??⊥??，?????，則??⊥??.直線??不垂直于??，則??內(nèi)沒有與??垂直的直線.2024/9/224在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.推廣：過空間一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有幾條?證明（反證法）如圖，假設(shè)過點(diǎn)P兩條直線??,??垂直于同一平面??，設(shè)直線??,??確定的平面為??，且?????=????，???????，由線面垂直的定義可知，??⊥????,??⊥????，這與“在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”矛盾，所以，過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條結(jié)論：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.2024/9/225（點(diǎn)到平面的距離）過一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個點(diǎn)到該平面的垂線段,垂線段的長度叫做這個點(diǎn)到該平面的距離.2024/9/226探究2024/9/227（直線與平面垂直的判定定理）如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,那么該直線與此平面垂直.符號語言圖形語言2024/9/228mnP例3求證：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面.2024/9/229（直線與平面所成角）過斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影.斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角.取值范圍？2024/9/2210例42024/9/2211探究點(diǎn)二

證明直線與平面垂直圖8-6-8

圖8-6-9

［素養(yǎng)小結(jié)］（1）利用直線與平面垂直的判定定理判定直線與平面垂直的一般步驟:①在這個平面內(nèi)找兩條直線,使它們和已知直線垂直;②確定這個平面內(nèi)的兩條直線是相交直線;③根據(jù)判定定理得出結(jié)論.（2）證明線面垂直的常用方法除利用判定定理外，還可用以下結(jié)論：

圖8-6-12

ABC

1.直線與平面垂直概念的理解（1）定義中強(qiáng)調(diào)的是垂直于平面內(nèi)的任意一條直線（即所有直線）,而不能用垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線來代替.（2）若一條直線與一個平面內(nèi)的一條直線不垂直,則這條直線就一定不與這個平面垂直.（3）直線與平面垂直的定義既可用作線面垂直的判定,也可作為線面垂直的性質(zhì).2.線面垂直的判定定理解讀（1）線面垂直的判定定理可簡述為“若線線垂直,則線面垂直”.（2）在利用線面垂直的判定定理時,一定要注意這條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直（一交一內(nèi)一垂直）.證明線面垂直的方法:（1）由線線垂直證明線面垂直:①定義法（不常用）;②判定定理（最常用）,要著力尋找平面內(nèi)的兩條相交直線（有時需要作輔助線）,使它們與所給直線垂直.

8.6.2直線與平面垂直第八章立體幾何初步2024/9/2220TURNOFFTHELIGHTSFORBETTEREXPERIENCETURNOFFTHELIGHTSFORBETTEREXPERIENCE（直線與平面垂直的判定定理）如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,那么該直線與此平面垂直.符號語言圖形語言2024/9/2223mnP思考1：如果一條直線垂直于一個平面，

那么這條直線和該平面內(nèi)的直線有何關(guān)系？如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于該平面內(nèi)的任意一條直線.思考2：在平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，那么在空間中呢？垂直于同一條直線的兩條直線平行嗎？垂直于同一個平面的兩條直線又有什么關(guān)系呢？2024/9/2224（直線與平面垂直的性質(zhì)定理）垂直于同一個平面的兩條直線平行.符號語言圖象語言證明（反證法）2024/9/2225（直線到平面的距離）當(dāng)一條直線與一個平面平行時，直線上任意一點(diǎn)到平面的距離都相等，我們稱這個距離為這條直線到這個平面的距離．（兩個平行平面間的距離）當(dāng)兩個平面平行時，其中一個平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個平面的距離都相等，我們把這個距離叫做兩個平行平面間的距離．2024/9/2226探究點(diǎn)一

求直線與平面所成的角圖8-6-14

［素養(yǎng)小結(jié)］求直線與平面所成的角的一般步驟:（1）尋找過斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線;（2）垂足和斜足所在直線即為斜線在平面上的射影,斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角;（3）把該角放在某個三角形中,通過解三角形求出該角.探究點(diǎn)二

線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用圖8-6-15

平行

1.確定點(diǎn)（或線）在平面內(nèi)射影位置的常用方法（1）如果一個角所在平面外一點(diǎn)到角兩邊的距離相等,那么這一點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個角的平分線所在直線上.（2）經(jīng)過一個角的頂點(diǎn)引這個角所在平面的斜線,如果斜線與這個角的兩邊的夾角相等,那么斜線在這個平面內(nèi)的射影是這個角的平分線所在直線.

圖8-6-17

［素養(yǎng)小結(jié)］1.利用線面、面面平行轉(zhuǎn)化：利用線面距、面面距的定義，轉(zhuǎn)化為直線或平面上的一點(diǎn)到平面的距離.2.利用中點(diǎn)轉(zhuǎn)化：如果條件中具有中點(diǎn)條件，將一個點(diǎn)到