吉林省四校聯(lián)考2024-2025學年高二上學期第一次月考數(shù)學試題

2024~2025（上）高二年級第一次月考數(shù)學全卷滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚．4．考試結束后，請將試卷和答題卡一并上交．5．本卷主要考查內(nèi)容：選擇性必修第一冊第一章~第二章2.3．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．直線的傾斜角為（）A． B． C． D．2．若與是兩條不同的直線，則“”是“”的（）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知直線l的一個方向向量，且直線l經(jīng)過和兩點，則（）A． B． C．1 D．24．已知空間向量，，則在上的投影向量為（）A． B． C． D．5．下列關于空間向量的說法中錯誤的是（）A．平行于同一個平面的向量叫做共面向量B．空間任意三個向量都可以構成空間的一個基底C．直線可以由其上一點和它的方向向量確定D．任意兩個空間向量都可以通過平移轉化為同一平面內(nèi)的向量6．在平行六面體中，點P是線段BD上的一點，且，設，，，則（）A． B．C． D．7．如圖，直線交x軸于點A，將一塊等腰直角三角形紙板的直角頂點置于原點O，另兩個頂點M、N恰好落在直線上．若點N在第二象限內(nèi)，則的值為（）A． B． C． D．8．在棱長為2的正方體中，EF是正方體外接球的直徑，點P是正方體表面上的一點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．給出下列命題，其中正確的命題是（）A．若空間向量，滿足，則B．空間任意兩個單位向量必相等C．在正方體中，必有D．空間向量的模為10．已知兩條平行直線和之間的距離小于，則實數(shù)m的值可能為（）A．0 B．1 C．2 D．11．如圖，在棱長為2的正方體中，E為的中點，F(xiàn)為的中點，如圖所示建立空間直角坐標系，則下列說法正確的有（）A．B．向量與所成角的余弦值為C．平面AEF的一個法向量是D．點D到平面AEF的距離為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．直線，的斜率，是關于k的方程的兩根，若，則實數(shù)__________．13．在通用技術課程上，老師教大家利用現(xiàn)有工具研究動態(tài)問題．如圖，老師事先給學生準備了一張坐標紙及一個三角板，三角板的三個頂點記為A、B、C，，，．現(xiàn)移動邊AC，使得點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上運動，則（點O為坐標原點）的最大值為__________．14．已知空間向量，，則最大值為__________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15．（本小題滿分13分）已知直線，，．（1）若這三條直線交于一點，求實數(shù)m的值；（2）若三條直線能構成三角形，求實數(shù)m滿足的條件．16．（本小題滿分15分）如圖，在直三棱柱中，，，，，點d是棱AB的中點（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．17．（本小題滿分15分）已知直線．（1）m為何值時，點到直線l的距離最大，并求出最大值；（2）若直線l分別與x軸，y軸的負半軸交于A，B兩點，求（O為坐標原點）面積的最小值及此時直線l的方程．18．（本小題滿分17分）如圖，在棱長為3的正方體中，點E是棱上的一點，且，點F是棱上的一點，且．（1）求異面直線與CF所成角的余弦值；（2）求直線BD到平面CEF的距離．19．（本小題滿分17分）如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，平面ABCD，，點E是棱PB的中點，點F是棱PC上的一點，且．（1）證明：平面平面PBC；（2）求平面AEF和平面AFC夾角的大?。?024~2025（上）高二年級第一次月考·數(shù)學參考答案、提示及評分細則1．D，其傾斜角為．故選D．2．C若，則，解得或，則“”是“”的充分不必要條件，故選C．3．A因為，所以，解得，，所以，故選A．4．D，故在上的投影向量為．故選D．5．B平行于平面的向量，可平移至一個平行于的平面，故為共面向量，A正確；空間任意三個向量都共面時，則不能構成空間的基底，B錯誤；直線的方向向量是直線任取一點，向其兩個方向的任意方向作出一個向量即可得，故直線上一點和方向向量確定直線，C正確；由向量的位置的任意性，將空間兩個向量某一端點移至重合位置，它們即可構成一個平面，即可為同一平面的向量，D正確．故選B．6．C．故選C．7．A設直線與y軸的交點為B，過O作于C，過N作于D．因為N在直線上且在第二象限內(nèi)，設，則，．又，，即，，所以．在中，由三角形的面積公式得，，所以．在中，，，所以，即．在中，，即，解得，．因為點N在第二象限內(nèi)，所以，所以，，所以，故選A．8．A記正方體的外接球的球心為O，易得，且，所以，故選A．9．CD兩個向量相等需要方向相同，模長相等，所以不能得到，A錯誤；空間任意兩個單位向量的模長均為1，但是方向不一定相同，故B錯誤，正方體中，，的方向相同，長度相等，故，故C正確；空間向量的模為，故D正確．故選CD．10．AC直線和平行，則，兩條平行直線間距離，解得且，故0和2符合要求．故選AC．11．BCD對于A，正方體中，，故A錯誤；對于B，，，故向量夾角余弦值為，故B正確；對于C，，，，．故是平面AEF的一個法向量，故C正確；對于D，，則點D到平面AEF的距離為，故D正確．故選BCD．12．因為，而且斜率存在，所以，又，是關于k的方程的兩根，，解得．13．1+由已知，，．如圖，取AC的中點E．因為為直角三角形，故．由于為直角三角形，故，顯然，當且僅當O、B、E三點共線時等號成立，故的最大值為．14．，當時，，由，所以，當且僅當，即時等號成立，故，當時，，故的最大值為．15．解：（1）由解得代入的方程，得．（2）當三條直線相交于一點或其中兩直線平行時，三條直線不能構成三角形．①聯(lián)立解得代入，得；②當與平行時，，當與平行時，．綜上所述，當且且時，三條直線能構成三角形．（且寫成或扣1分）．16．解：如圖，以C為坐標原點，CA，CB，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，所以，，，，，，所以，，，設平面的一個法向量為，則即令，解得，，所以平面的一個法向量為．（1）證明：，因為，平面，所以平面；（2）解：因為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值是．17．解：（1）已知直線，整理得，由故直線l過定點，點到直線l的距離最大，可知點Q與定點的連線的距離就是所求最大值，即為最大值．，的斜率為，可得，解得；（2）若直線l分別與x軸，y軸的負半軸交于A，B兩點，則可設直線l的方程為，，則，，．（當且僅當時，取“=”），故面積的最小值為12，此時直線l的方程為．18．解：（1）如圖所示，以D為坐標原點，DA，DC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，所以，，，，所以，，所以，所以異面直線與CF所成角的余弦值是；（2）因為，，，所以，，所以，所以，又平面CEF，平面CEF，所以平面CEF，所以點D到平面CEF的距離即為直線BD到平面CEF的距離．設平面CEF的一個法向量為，則即令，解得，，所以平面CEF的一個法向量為．因為，所以點D到平面CEF的距離，即直線BD到平面CEF的距離為．19．（1）證明：如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，所以，，，設，則，解得，即．則，，，設平面AEC的一個法向量為，則即令，解得，，所