教學(xué)過程 立體幾何中的向量方法 高二數(shù)學(xué)

立體幾何中的向量方法

適用學(xué)科高中數(shù)學(xué)適用年級高中二年級

適用區(qū)域通用課時(shí)時(shí)長（分鐘）90

知識點(diǎn)用空間向量處理平行垂直問題；用空間向量處理夾角問題.

教學(xué)目標(biāo)1.理解直線的方向向量與平面的法向量；

2.能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系；

3.能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）.

4.能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問題，體會向量方法的作用.

教學(xué)重點(diǎn)用向量方法解決立體幾何中的有關(guān)問題

教學(xué)難點(diǎn)用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問題

教學(xué)過程

一、課堂導(dǎo)入

空間平行垂直問題

1.兩條直線平行與垂直；

2.直線與平面平行與垂直；

3.兩個(gè)平面平行與垂直；

空間夾角問題

1?兩直線所成角；

2.直線和平面所成角；

3.二面角的概念；

空間距離問題

復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)

(1)空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律:設(shè)a=(%%，/)，b=(bvb2,b3)，則

〃+/?=(%+4,。2+4,生+4)a-b=(a一瓦,。?一4,%-b)Aa=(Aa,Aa,Aa)(A^R)

，[3，[23，

a-b=aibi+/&i〃〃)<=>%=油,外=血,%=H)iQ+外一4一十/.一&=0

(2)若A(Xi，％，zJ,B(x2,y2,z2)，貝A3=(々一為，％—M,z2一馬).

一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).

(3)模長公式：若0=(4，%%),則⑷=后=而"+).

cos加疥=a-b=她+唾士地

(4)夾角公式?I。I?I川Ja；+4+/-Jb；+b；+.

(5)兩點(diǎn)間的距離公式：若4不%4),8(孫打小)，則

朋==J、一丁)2+(%-必產(chǎn)+G-Z2)2.

三、知識講解

考點(diǎn)1平面法向量的求法

在空間平面法向量的算法中，普遍采用的算法是設(shè)〃=(x,y,z),它和平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量垂直，數(shù)量積為0,

建立兩個(gè)關(guān)于x,%z的方程，再對其中一個(gè)變量根據(jù)需要取特殊值，即可得到法向量.還有幾種求平面法向量的辦法也比

較簡便.

求法一：先來看一個(gè)引理：

若平面A3C與空間直角坐標(biāo)系X軸、y軸、z軸的交點(diǎn)分別為A(a,0,0)、B(Q,b,0)、C(0,0,c),定義三點(diǎn)分別

在x軸、〉軸、z軸上的坐標(biāo)值XA=a,yB=b,zc=da,",c均不為0),則平面ABC的法向量為九=(2H0)參

abc

數(shù)2的值可根據(jù)實(shí)際需要選取.

z

證明：AB=(-〃,瓦0),AC=(-a,0,c),

/.n?AB=€),〃.AC=0,

n=2(-,^-,-)是平面ABC的法向量.

abc

這種方法非常簡便，但要注意幾個(gè)問題：

(1)若平面和某個(gè)坐標(biāo)軸平行，則可看作是平面和該坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值為oo,法向量對應(yīng)于該軸的坐標(biāo)為0.比

如若和x軸平行(交點(diǎn)坐標(biāo)值為oo)，和y軸、z軸交點(diǎn)坐標(biāo)值分別為b、c，則平面法向量為n=；若平面和

bc

軸平行，和Z軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值為c，則平面法向量為n=2(0,0,-).

C

(2)若平面過坐標(biāo)原點(diǎn)。，則可適當(dāng)平移平面.

求法二：求出平面方程，得到法向量.

我們先求過點(diǎn)1(%,%/。)及以門={AEC}為法向量的平面的方程.

設(shè)P(x,y,z)是平面上的動點(diǎn),于是有與P?n=0,

即A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

整理得Ax+By+Cz+(-Ax0-By0-Cz0)=0

令D=-Ax0-By0-Cz0,Ax+By+Cz+D=0

這就是平面的一般方程.

平面的方程可用三元一次方程來表示.且z的系數(shù)組成該平面的法向量.

注意：⑴有了平面的方程Ar+By+Cz+DnO,就能得到平面的法向量{A3,C},可用平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)求出平

面的方程.

(2)一些特殊情形的平面，方程會更簡捷：

通過原點(diǎn)的平面，。=0,方程為Ar+By+Cz=O；

平行于x軸的平面,A=0,方程為By+Cz+￡>=0；

通過x軸的平面，A=O,D=O，方程為By+Cz=O；

既平行于x軸又平行于y軸的平面，也就是一個(gè)平行于my坐標(biāo)面的平面,方程為0+。=0；

類似地，可討論其它特殊情形.

⑶兩平面：A/+笈y+Gz+2=0與Ax+^y+Gz+A=0平行的充要條件是

A：4=5]：與=G:。2a2：2

求法三：用行列式求得法向量.

右n[={%，％,Z]},n2={x2,為，z2}是平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，

ijk

計(jì)算行列式七%Z[=ai+bj+ck,

%》2Z2

則平面的法向量為■={a/c}.

考點(diǎn)2用空間向量求解二面角

(-)用法向量解二面角

用法向量求解二面角時(shí)遇到一個(gè)難題：二面角的取值范圍是［0,乃］,而兩個(gè)向量的夾角取值范圍也是［0,萬］,那用向

量法算出的角是二面角的平面角呢還是它的補(bǔ)角？如果是求解異面直線所成的角或直線與平面所成的角，只要取不超過

f的那個(gè)角即可，但對二面角卻是個(gè)難題.筆者經(jīng)過思考，總結(jié)出一個(gè)簡單可行的方法，供讀者參考.

圖一

用法向量解二面角首先要解決的問題就是：兩個(gè)法向量所夾的角在什么情況下與二面角大小一致？其次，如何去判

斷得到的法向量是否是我們需要的那個(gè)方向？

對第一個(gè)問題，我們用一個(gè)垂直于二面角棱的平面去截二面角(如圖一)，兩個(gè)平面的法向量公n2則應(yīng)分別垂直于

該平面角的兩邊.易知，當(dāng)心巧同為逆時(shí)針方向或同為順時(shí)針方向時(shí)，它們所夾的解即為。.所以，我們只需要沿著二

面角棱的方向觀察，選取旋轉(zhuǎn)方向相同的兩個(gè)法向量即可.或者可以通俗地理解，起點(diǎn)在半平面上的法向量，如果指向

另一個(gè)半平面,則稱為“向內(nèi)”的方向；否則稱為“向外’的方向.兩個(gè)法向量所夾的角與二面角大小相等當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)

法向量方向一個(gè)“向內(nèi)”，而另一個(gè)“向外”.

Iz

y

圖二

對第二個(gè)問題，我們需要選取一個(gè)參照物.在空間直角坐標(biāo)系中，我們可以選擇其中一個(gè)坐標(biāo)軸（如Z軸），通過前

面的辦法，可以確定法向量的方向，再觀察該法向量與xOy平面的關(guān)系，是自下而上穿過X。7平面呢，還是自上而下穿

過xOy平面？若是第一種情形，貝!J〃與友所夾的角是銳角，只需取法向量的z坐標(biāo)為正即可；若是第二種情形，貝心

與友所夾的角是鈍角，只需取法向量的Z坐標(biāo)為負(fù)即可.若法向量與X?！灯矫嫫叫校瑒t可以選取其它如yOz平面、zOx

平面觀察.

（二）用半平面內(nèi)的向量解二面角

由二面角的平面角定義，由棱上一點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，這樣構(gòu)成的角即為二面角的平面角.如果分

別在兩個(gè)半平面內(nèi)作兩個(gè)向量（如圖），起點(diǎn)在棱上且均垂直于棱，可以看出，這兩個(gè)向量所夾的角，與二面角的大小

是相等的.這種方法與用法向量解二面角相比，其優(yōu)點(diǎn)是向量的方向已經(jīng)固定，不必考慮向量的不同方向給二面角大小

帶來的影響.

考點(diǎn)3空間直線與空間平面的向量形式

在平面解析幾何中，曲線上的動點(diǎn)可以用坐標(biāo)表示，通過對變量的運(yùn)算達(dá)到求值、證明的目的.在立體幾何中借用

向量，直線、平面上的點(diǎn)也可以用參數(shù)來表示，通過對參數(shù)的運(yùn)算，同樣可以達(dá)到求值、證明的目的.

i.空間直線：如果i為經(jīng)過已知點(diǎn)A且方向向量為a的直線，那么點(diǎn)P在直線i上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,滿足等

式=,或?qū)θ我稽c(diǎn)。（通常取坐標(biāo)原點(diǎn)）,有

OP=OA+ta

這是空間直線的向量形式.

2.空間平面：空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對s、乙使

MP=sMA+tMB,或?qū)臻g任一定點(diǎn)0（通常取坐標(biāo)原點(diǎn)）,有

OP=OM+sMA+tMB.

這是空間平面的向量形式.

四、例題精析

【例題1】如圖，在四棱錐s-ABCD中,底面ABCD為正方形，側(cè)棱底面ABCD,E、F分別是A&SC的中點(diǎn)。

(I)求證：〃平面SAD；

(II)設(shè)SD=2CD,求二面角A-EF-D的大?。?/p>

【解析】（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫Z.

設(shè)A(a,O,O),S(0,0,b)，貝!J3(a,a,0),C(0,a,0),

E［吟o］,小，K)，跖=，a,0,，］.

y

取SO的中點(diǎn)G(0,0,6,則AG='a,O,g

EF=AG,EF//AG,AGu平面5AD,￡F<z平面1s4T>

所以郎〃平面SAD.

(2)不妨設(shè)A(1,O,O)，則5(110),C(0,l,0),S(0,0,2),石糙,0),尸(0,；,1).

平面AERG與x軸、z軸的交點(diǎn)分別為A(1,0,0)、6(0,0/)，與丁軸無交點(diǎn)，則法向量々=(1,0,1)，在CD延長線上取

點(diǎn)H,使AE,則DH/^AE,所以AH//ED，由(1)可知AG//EF,所以平面AHG〃平面EFD,平面AHG與x

軸、y軸、z軸的交點(diǎn)分別為A(l,0,0).H(0,-1,0)、G(0,0,l),則法向量%=(1-2,1),設(shè)二面角A-EF-D的大小為a,

則

costz=?,即二面角A-EF-D的大小為arccos—.

匐司33

【例題2］已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形,AB〃DC,ND48=90°，外，底面ABCD,^PA=AD=DC=^AB

=1,M是尸5的中點(diǎn).

(1)求二面角C-AM-B的大??；

(2)求二面角A-MC-B的大小.

【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則對二面角C-AM-B而言，~AD是平面AMB的法向量(向內(nèi))，易知平面ACM符

合“向外”方向的法向量是自下而上穿過xOy平面,所以與次所夾的角是銳角.對二面角A-MC-B而言,平面ACM選

取上述法向量,則為“向外”的方向,平面3cM就應(yīng)選取“向內(nèi)”的方向，此時(shí)是自上而下穿過xOy平面，與z軸正向所夾

的角是鈍角.

f

/

X

(1)如圖，以AD為x軸，A3為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則平面AMB的法向量為勺=(1,0,0),設(shè)平

面ACM的法向量為%=(%,%z).

由已知C(1,1,0),P(0,0,1),B(0,2,0)，則M(0,1,1),

AC=(1,1,0),~AM=(0,1,1).

「s八0,

,n-AC=0,Ix+y=_l?

由仁?1八取y=-1,則x=l,z=2,

n,-AM=0.V+Gz=0.

1I2

n2=(1,-1,2).(滿足%?次>0).

_々%_1

設(shè)二面角C—AM—B的大小為6，則cos6

匐.同忖

A/6

所求二面角的大小為arccos

~6

(2)選取(1)中平面ACM的法向量的=(1,-1,2),設(shè)平面BCM的法向量為

?3=(x,y,z).

~BC=(1,-1,0),~BM=(0,-1,1),

fnc八fx-y=0,

,n,-BC=0,'

由《一二〈1

n.BM=0.-y+-z=0.

LI2

取z=-2,則y=-1,x=-1,"3=(-1，-1，-2),則〃2,公所夾的角大小即為二面角A-MC-B的大小,

設(shè)為3coscp-

???所求二面角的大小為萬-arcs普

[例題3]如圖，已知長方體ABC。-ABGOi中，48=8。=1,A4i=2,E是35的中點(diǎn)?

(1)求二面角E-AC\-B的大?。?/p>

(2)求二面角Ci-AE-B的大小.

【解析】在第(1)題中，只需在AC上找到兩點(diǎn)G、H，使得行、~HE均與7苕垂直，則F、~HE的夾角即為

所求二面角的大小.如何確定G、”的位置呢？可設(shè)G4=XAC1,GB=GA+AB=AACl+AB，這樣向量,就用參數(shù)4

表示出來了，再由■?~ACi=0求出4的值，則向量,即可確定,同理可定出H點(diǎn).第(2)題方法類似.

以B為坐標(biāo)原點(diǎn),為無軸，及1為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，則5(0,0,0),A(0,l,0),C(l,0,0),9(0,0,2),Ci(l,0,2),

E(0,0,l).~ACi=(1,-1,2),~AB=(0,-1,0).

(1)^G4=2AC1=(2,-2,22),貝U

GB=GA+AB^(A,-A-1,22),

由言?~ACi=0=>2+(2+1)+42=0,

解得：4=--,

6

圖六

同理可得：HE-(—―,——,0),HE-ACi=0.

~GB、~HE的夾角等于二面角E-ACx-B的平面角.

cos<GB,HE>=

GBHE_6GB2HE_1+5_715

|GB|-|HE||6GB|.|2HE|底W5

???二面角E-ACi-B的大小為arccos?

(2)73=(0,-1,1),在AE上取點(diǎn)M、N,

MA=yAE-(0,-y,/),

貝!]MB=AM+A6=(0,—7—l，7),

由瓦蘇~AE=0得：/+l+y=0,解得：片

圖七

(o—.

同理可求彳導(dǎo)：-^VCi=(1,1,~NCi.~AE=0.

22

MS、~NCi的夾角等于二面角Ci-AE-B的平面角

_1_1

MBNC；_二工__V|

cos<MB,NC\>-

二面角Ci-AE-B的大小為arccos(-

五、課堂運(yùn)用

【基礎(chǔ)】

1.在空間直角坐標(biāo)系。-盯z中，已知A(2,0,0),3(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,也).若Si,S2,S3分別是三棱

錐D-ABCKxOy,yOz,zOx坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則()

A.S=S2=S3B.S2=S1且S2邦3

C.S3=S1且S3卦2D.S3=S2且S3rsi

【解析】設(shè)頂點(diǎn)。在三個(gè)坐標(biāo)平面立認(rèn)yOz,zOx上的正投影分別為￡h、D2、。3,則

ADi=BDi=^2,AB=2,

Si=3x2x2=2,S2=SOCD2-；x2x啦=,S3=SOAD3=^x2x-^2=.

.,.選D.

【答案】D

2.求過點(diǎn)監(jiān)(2,0,1),M2(1,1,0),叫(0,1,1)的平面的法向量.

【解析】方法一：由給定平面上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可知平面上的兩個(gè)向量加1加2={-U，T}，={-2,1,0},

設(shè)平面的法向量為7={x,y,z},由[也％?尸，得「了-z：0,

M{M3-n=Q[-2x+y=Q

令九=1,得平面的一個(gè)法向量?={1,2,1}.

方法二：設(shè)過點(diǎn)M(2,0,1),心(1,1,0),M3(0,1,1)的平面的方程為Ax+By+Cz+DN,

A=-2

'2A+C+D=Q3

代入點(diǎn)的坐標(biāo)，得A+B+D=0,解之B=-當(dāng),即-[x-與y-，z+D=0,

Jouo

B+C+D=Qn

1C=——

[3

所以平面的方程為x+2y+z-3=0,所以平面的一個(gè)法向量；={1,2,1}.

方法三：由給定平面上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),可知平面上的兩個(gè)向量兩記1},M,M3={-2,1,0},

iik

因?yàn)檫@兩個(gè)向量不平行，計(jì)算-11-l=i+2j+k.故所求平面的一個(gè)法向量n={1,2,1}.

-210

3.已知正方體AG的棱長為a,E是CG的中點(diǎn)，。是對角線即的中點(diǎn)，

(1)求證：OE是異面直線CC,和5A的公垂線；(2)求異面直線CC,和8。的距離.

【解析】(1)解法一：延長EO交AA于尸，則/為AA的中點(diǎn)，?;EF//AC,

'：CCX±AC,qc1EF,連結(jié)D]E,3E,則RE=BE,

又。是的中點(diǎn)，...OE，3。，...(?￡是異面直線CG和BA的公垂線.

解法二：以。為原點(diǎn),分別以為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

于是有(0,0,tz),C(O,a,0),G(0,a,a),B(a,a,0),0((,1,1),E(0,a,|-),

--------*,--------*,—*,aa

BD[=(-a,—a,a),CQ=(0,0,a),EO==0),

西?訪=0,西.麗=0,所以O(shè)E是異面直線CCI和8,的公垂線.

(2)由(1)知，OE為異面直線CG和8,的距離.

所以?！?|阿=，174=字-

【鞏固】

1.已知正方體ABC。-A耳GA的棱長為a，求與。與血間的距離.

【解析】解法一：(轉(zhuǎn)化為耳C到過且與與C平行的平面的距離)

連結(jié)4。，貝!14。〃用C,平面,連AG,可證得

ACX±BD,AC,±AD,，AC1，平面片。3,

?..平面AC」平面,且兩平面的交線為4。，過C作CE，A。，垂足為E,

則CE即為BXC與平面\DB的距離，也即BXC與BD間的距離,

在AAQC中，=,：.CE=^-a.故耳。與5。間的距離日a.

解法二：以。為原點(diǎn),分別以DADC,。。所在的直線分別為1軸,y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

IJJI]A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),Bx(a,a,a),\(?,0,a),Z)(0,0,0),

由(解法一)求點(diǎn)。到平面4。以的距離C石，設(shè)￡(x,y,z),

???E在平面上，

/.A^E=AA[D+/uA^B,即(x—a,y,z—a)=%(—a,0,—a)+〃(0,a,G),

八-（

????4nIon?（龍，'-2,Z）（一。,0,一。）=0

??〈y=Lia..C/s_LA17,C七_(dá)LBD..?<.

,［（羽y—2,z）（一見一。,0）=。

z=a-jLia-Aa

解得：2=4=g，?二CE—（g—gCE=^~a.

解法三：直接求片。與5。間的距離,設(shè)與C與m的公垂線為。。1,且QiCO^BD,

設(shè)。（％y,z）,設(shè)DO=；LBD,

x=-Aa

貝！］（羽y,z）=2（—。,一。,0）,.*.<j=-Aa,/.O（-2a,-2a,0）,

z=0

同理01（〃。,。,〃。），

/.OOX=（（//+/l）a,a+Aa,^ua）,OOX±BD,OOX±BXC,OOX-BD=0,OOX-BXC=0,

r\1

彳導(dǎo)：%=—,〃=—,OO=（—〃,—〃,一〃）,|。。|=—a.

3333l33

2.如圖所示，三棱柱ABC-A山Ci中，點(diǎn)4在平面ABC內(nèi)的射影。在AC上,ZACB=90°,BC=1,AC=CCi=2.

⑴證明：ACiXAiB;

(2)設(shè)直線A4i與平面BCCiBi的距離為小,求二面角Ai-AB-C的大小.

【解析】方法一：⑴證明：因?yàn)?。，平面ABC,ALDU平面A4CC,故平面A41cle，平面A3C.

又BC1AC,所以平面AAiCiC.

連接AC,因?yàn)閭?cè)面AA1C1C為菱形,故AC4C.由三垂線定理得AC,43.

(2?C,平面AA1C1C,3Cu平面BCCLBI,故平面A41cle，平面BCCLBI.

作AIELCCI,E為垂足，則AiE,平面BCCLBI.

又直線441〃平面BCCLBI,因而AiE為直線AAi與平面BCC131的距離，即AiE=4.

因?yàn)锳C為NACG的平分線,所以ALD=AIE=^.

作DfUAB,R為垂足,連接.

由三垂線定理得AifUAB,故NAFD為二面角Ai-AB-C的平面角.

由，得。為AC中點(diǎn),

DF=^',tanZAiFD==V^5,所以COSZAIFD=4.

所以二面角Ai-AB-C的大小為arccos!.

方法二：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線C4為x軸的正半軸，以CB的長為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz.

由題設(shè)知AiD與z軸平行，z軸在平面AACC內(nèi).

⑴證明:設(shè)Ai(a,0,c).由題設(shè)有tz<2,A(2,0,0),B(0,1,0),

貝佛=(-2,1,0),At=(-2,0,0),Ati=(a-2,0,c),A?i=At+M=(tz-4,0,c),BAI=(a,-1,c).

由I|=2,得｛(a-2)2+C?=2,即a?-4a+°2=0.①

又?怎i=屋-4a+°?=o,所以ACi-LAiB.

(2)設(shè)平面BCCLBJ的法向量用=(x,y,z),則加，建，m±B$i,即加=0,*聞i=0.因?yàn)閙=(0,1,0),屈i=

AA\=(a-2,0,c),所以y=0且(a-2)x+cz=0.

令x=c,貝!]2=2-a,所以m=(c,0,2-a),

Alc

故點(diǎn)A到平面BCCiB的距離為|瑞.|cos(m,cA)\=^=~1==c.

又依題設(shè)，A到平面BCCB的距離為小，所以c=小，

代入①，解得。=3(舍去)或a=1,于是用1=(-1,0,小).

設(shè)平面ABAx的法向量n=(p,q,r),

貝!]n-LAAi,n±A^,即n-AAi=0,n-Ati=0,-p+y[3r=0,且-2p+q=0.

令P=小，則q=24，r=1,所以〃=(小,2小，1).

又P=(0,0,1)為平面ABC的法向量，故

1

2-

C一=

OS一4

IIPI

1

-

所以二面角Ax-AB-C的大小為arccos4

【拔高】

1.如圖，已知A3CD為邊長是4的正方形,E、歹分別是A&AD的中點(diǎn),GC垂直于A3CD所在的平面，且GC=

2,求點(diǎn)B到平面EFG的距離.

【解析】分別以F、F、飛為X、”2軸建立空間直角坐標(biāo)系，則E(2,4,0),網(wǎng)4,2,0),6(0,0,2),5(040).

???~EF=(2,-2,0),~EG=(-2,-4,2),

設(shè)P是平面EFG上的動點(diǎn),則存在實(shí)數(shù)印，使得

~CP=~CE+^~EF+r~EG

=(2,4,0)+5(2,-2,0)+/(-2,-4,2)

=(2s-2,+2,4-2s-4r,2t),

**?尸(2s-2%+2,4-2s-2t),

BP=(2s-2t+2,-2s-It).

當(dāng)且僅當(dāng)BP±EF^.BP±EG時(shí)，BP,平面EFG,BP即為所求的點(diǎn)B到平面EFG的距離.

,fBPEF=0f2(2s-2t+2)-2(-2s-4t)=0-曰\S='U

由—一八一1-2(2.-2/+2)-4(-25-4/)+4/=0，解得：j_3_-

、BP?EG=0t=五

.—>226

??3P=(TT，TT，TT)，

??.點(diǎn)3到平面ERG的距離即為|罰|=斗J

解法二：因?yàn)槠矫鍱FG的豎截距為2,可設(shè)平面EFG的方程為

7

Ax+By+-=1,將E(2,4,0)，網(wǎng)4,2,0)的坐標(biāo)分別代入，得

rL_1

—，解之所以平面ERG的方程為f++f=1

4A+28=1n_l662

、6

即x+y+3z—6=0

點(diǎn)3(0,4,0)到平面EFG的距離為I。："。-6=叩

V1+1+911

2.如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2,。為CG中點(diǎn)。

(I)求證：AB，面ALBD；

(II)求二面角A-AiD-B的大??；

(III)求點(diǎn)C到平面AiBD的距離.

【解析】（I）取中點(diǎn)。，連結(jié)A。.

△ABC為正三角形，「.AO,BC.

在正三棱柱ABC-43￡中，平面ABC，平面3CC4,

AOJ_面BCG3].

取用G中點(diǎn)。1，以。為原點(diǎn)，OB,OO],的方向?yàn)閤,y,Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系貝?。?(100),

0(—1,1,0),4(。，2,百)，A(0,0,6),4(1,2,0),

.?.做=(1,2,-揚(yáng),50=(-2,1,0),B%=(-12,亞.

?.?福.麗=-2+2+0=0,AX-BA=-1+4-3=0,

麗±BD,麗,

..A4,平面A5。.

(II)設(shè)尸是直線4。上的動點(diǎn)，由(I)可得以=(1,1,6)，則存在?！瓿撸沟?/p>

OP=OD+tDAi=(-1,1,0)+t(l,1,A/3)=(r-1,r+1,V3r),

P[t—1,?