2023–2024學年七年級數(shù)學下冊單元速記與巧練（人教版）第八章 二元一次方程組壓軸專練（解析版）

第八章二元一次方程組（12壓軸題專練）目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一利用二元一次方程的定義求字母參數(shù)】 1【題型二利用二元一次方程的解求字母參數(shù)的值】 2【題型三利用二元一次方程的解求代數(shù)式的值】 4【題型四不解二元一次方程組求代數(shù)式的值】 6【題型五利用二元一次方程組的解求字母參數(shù)】 8【題型六利用二元一次方程組的解相同求字母參數(shù)】 10【題型七二元一次方程組結合一元一次方程含參數(shù)問題】 12【題型八二元一次方程組的特殊解法】 15【題型九新定義型二元一次方程組有關問題】 19【題型十二元一次方程組解決分配問題】 22【題型十一二元一次方程組解決方案問題】 25【題型十二二元一次方程組解決銷售、利潤問題】 28【題型一利用二元一次方程的定義求字母參數(shù)】例題：（2023下·遼寧大連·七年級統(tǒng)考階段練習）若是二元一次方程，那么a、b的值分別是．【答案】，【分析】依據(jù)二元一次方程的未知數(shù)的次數(shù)為1列出方程組求解即可．【詳解】解：∵是二元一次方程，∴，解得．故答案為：，．【點睛】本題主要考查的是二元一次方程的定義，依據(jù)二元一次方程的未知數(shù)的次數(shù)為1列出方程組是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023下·廣東惠州·七年級統(tǒng)考期末）若是關于x，y的二元一次方程，則．【答案】【分析】根據(jù)二元一次方程的定義可得，，解方程可以計算出、的值，再算出即可．【詳解】解：由題意得：，，解得：，，∴，故答案為：．【點睛】此題主要考查了二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特點：含有2個未知數(shù)，未知數(shù)的項的次數(shù)是1的整式方程．2．（2023下·江蘇·七年級專題練習）若方程是關于x，y的二元一次方程，則．【答案】【分析】根據(jù)二元一次方程的定義得出且且，再求出m、n即可．【詳解】∵方程是關于x，y的二元一次方程，∴且且，解得：，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了二元一次方程的定義和絕對值，能熟練掌握二元一次方程的定義是解此題的關鍵．【題型二利用二元一次方程的解求字母參數(shù)的值】例題：（2024上·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）已知是二元一次方程的一個解，則a的值為．【答案】2【分析】本題考查了二元一次方程的解和解一元一次方程的應用，根據(jù)題意得出關于a的方程，即可解題．【詳解】解：將，代入，得：，解得：，故答案為：2．【變式訓練】1．（2024上·廣東佛山·八年級?？计谀┤羰欠匠痰囊唤M解，則實數(shù)m的值為；【答案】3【分析】本題主要考查的是二元一次方程的解的定義，得到關于的一元一次方程是解題的關鍵．將方程的解代入方程得到關于的一元一次方程，從而可求得的值．【詳解】將代入方程得：解得．故答案為：3．2．（2024上·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）如果是方程的一組解，那么的值為．【答案】/【分析】本題主要考查了二元一次方程的解，二元一次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，據(jù)此把代入原方程中求出m的值即可．【詳解】解：∵是方程的一組解，∴，∴，故答案為：．3．（2024上·吉林長春·七年級吉林省第二實驗學校?？计谀┮阎欠匠痰慕猓瑒t的值為．【答案】7【分析】本題主要考查了二元一次方程的解，根據(jù)二元一次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值把代入原方程求出m的值即可．【詳解】解：∵是方程的解，∴，∴，故答案為：7．【題型三利用二元一次方程的解求代數(shù)式的值】例題：（2023下·福建泉州·七年級統(tǒng)考期中）若是方程的解，則．【答案】1【分析】先由是方程的解，得出，然后把化為，再整體代入即可．【詳解】解：把代入方程得：，則，故答案為：1．【點睛】此題考查的知識點是二元一次方程組的解，解題關鍵是把方程的解代入原方程，得出，然后整體代入．【變式訓練】1．（2023下·重慶南川·七年級統(tǒng)考期末）若是二元一次方程的解，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)題意將解代入等式，可得關于的關系時，通過變形即可求解．【詳解】解：∵是二元一次方程的解，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查二元一次方程的解，理解二元一次方程的解，代入等式變形，并掌握代數(shù)式的變形求值是解題的關鍵．2．（2023下·海南省直轄縣級單位·七年級校考期末）已知是方程的解，則代數(shù)式的值為．【答案】2【分析】將解代入方程，求得，進一步求得代數(shù)式值．【詳解】解：把代入方程，得，∴．故答案為：2．【點睛】本題考查方程組解的定義，理解二元一次方程的解的定義是關鍵．3．（2022下·湖南株洲·七年級統(tǒng)考期末）已知是二元一次方程的一組解，則代數(shù)式的值為．【答案】2020【分析】把x和y的值代入方程即可求出a與b的關系式，然后再整體代入計算即可．【詳解】解：把代入可得：，∴．故答案為：2020．【點睛】本題主要考查二元一次方程的解，代數(shù)式求值，整體代入的思想是解答的關鍵．4．（2023下·福建福州·七年級福州華倫中學?？计谀┤羰嵌淮畏匠痰囊唤M解，則．【答案】【分析】根據(jù)題意得出，代入代數(shù)式即可求解．【詳解】解：∵是二元一次方程的一組解，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了二元一次方程的解，代數(shù)式求值，熟練掌握二元一次方程的解的定義是解題的關鍵．【題型四不解二元一次方程組求代數(shù)式的值】例題：（2023上·四川成都·八年級校考期末）已知，則（）A．3 B． C．2 D．1【答案】A【分析】此題考查了解二元一次方程組，用加減消元法得到，即可確定的值．【詳解】解：，由得，即，，故選：A．【變式訓練】1．（2023上·安徽宿州·八年級校考階段練習）已知二元一次方程組則的值是（

）A． B． C． D．9【答案】B【分析】本題考查了加減消元法解方程組，兩式相加，后除以2計算即可．【詳解】兩式相加，得，∴，故選B．2．（2023下·山東聊城·七年級校考階段練習）已知方程組，則．【答案】//5.8【分析】觀察可知兩個式子相加，即可求解．【詳解】解：得，，故答案為：．【點睛】本題考查解二元一次方程組，解題的關鍵是掌握加減消元法．3．（2023上·重慶大渡口·八年級?？茧A段練習）已知關于，的二元一次方程組，則．【答案】/【分析】本題考查了解二元一次方程組；利用加減消元法，將，即可得到答案．【詳解】解：得，∴故答案為：．【題型五利用二元一次方程組的解求字母參數(shù)】例題：（2023下·江蘇常州·七年級統(tǒng)考期末）已知是方程組的解，則．【答案】【分析】把x與y代入方程組求出m與n的值，即可求出的值．【詳解】解：把代入方程組得：，解得：，，則，故答案為：．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．解題的關鍵是求出m與n的值．【變式訓練】1．（2023下·上海長寧·六年級校聯(lián)考期末）關于、的方程組的解為，則．【答案】1【分析】把方程組的解代入可得，得到a和b的值即可求解．【詳解】解：把方程組的解代入可得：，解得，，∴，故答案為：1．【點睛】本題考查二元一次方程組的解，掌握二元一次方程組的解的定義是解題的關鍵．2．（2023下·山東東營·七年級統(tǒng)考期末）已知是二元一次方程組的解，則的立方根為．【答案】3【分析】先將與的值代入方程組即可與的值．【詳解】解：將代入，∴，①②，∴27的立方根為3，即的立方根為3，故答案為：3．【點睛】本題考查了立方根和方程組的解法，熟練運用二元一次方程組的解法是解題的關鍵．3．（2023下·湖北武漢·七年級校考階段練習）已知是關于x，y的二元一次方程組的一組解，則的值為．【答案】5【分析】把代入得出m和n的值，代入即可【詳解】解：∵是關于x，y的二元一次方程組的一組解，∴，∴，∴．【點睛】題考查二元一次方程組的解，解題的關鍵是熟練運用二元一次方程組的解的定義，本題屬于基礎題型．【題型六利用二元一次方程組的解相同求字母參數(shù)】例題：（2023上·全國·七年級專題練習）已知關于x，y的方程組與關于x，y的方程組的解相同，則的值為．【答案】【分析】先求出x和y的值，再代入求出m，n的值再求解；【詳解】解方程組，解之得，代入得，代入得，故；【點睛】本題考查了二元一次方程組的解，掌握消元思想是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023下·山東菏澤·七年級統(tǒng)考期末）已知關于，的方程組和的解相同，則的值為．【答案】0【分析】聯(lián)立不含與的方程組成方程組，求出方程組的解得到與的值，進而求出與的值，代入即可求解．【詳解】解：解得，，把代入得，，解得，．故答案為：0．【點睛】此題考查了二元一次方程組的解，以及解二元一次方程組，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值．2．（2023上·安徽亳州·七年級統(tǒng)考階段練習）已知關于x，y的方程組與有相同的解．(1)求這個相同的解；(2)求m，n的值；(3)若（1）中的解也是關于x，y的方程的解，求a的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查同解方程組，由二元一次方程組的解求參數(shù)，理解同解方程組的概念是解題關鍵．（1）根據(jù)兩個方程組有相同的解，即可聯(lián)立兩個方程組中不含m，n的方程，再求解即可；（2）將（1）所求的解代入含m，n的方程，即得出關于m，n的方程組，解之即可；（3）將（1）所求的解代入，再化簡，即可求出a的值．【詳解】（1）解：由題意可得：，解得；（2）解：將代入含有m，n的方程得，解得；（3）解：將代入，得，解得：．【題型七二元一次方程組結合一元一次方程含參數(shù)問題】例題：（2024上·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）若關于x，y的二元一次方程組的解也是二元一次方程的一個解，則m的值為．【答案】3【分析】本題考查了解一元二次方程，方程的解，先算出的解，再將解代入中，即可得，掌握解一元二次方程，方程的解是解題的關鍵．【詳解】解：，①×2，得，③+②，得，，把代入②，得，，，∴方程組的解為，∵二元一次方程組的解也是二元一次方程的一個解，∴，，，，故答案為：3．【變式訓練】1．（2024上·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期末）已知關于，的二元一次方程組的解也是方程的解，則m的值為.【答案】8【分析】本題考查了利用二元一次方程組解的情況求參數(shù)，由由得，從而得到，即可求解，觀察所給方程的特征，考慮用整體代入法求解是解題的關鍵．【詳解】解：，由得：，二元一次方程組的解也是方程的解，，，故答案為：8．2．（2024上·重慶北碚·七年級西南大學附中?？计谀┤絷P于的二元一次方程組的解也是二元一次方程的解，則的值為．【答案】2【分析】本題考查二元一次方程組的解法以及解的定義．聯(lián)立方程組，解得和的值，再代入中，即可求出答案．【詳解】解：關于，的二元一次方程組的解也是二元一次方程的解，聯(lián)立方程組，解得，將代入中，即，解得：；故答案為：2．3．（2023下·河北廊坊·七年級廊坊市第四中學校考階段練習）已知關于x、y的方程組(1)直接寫出方程所有的正整數(shù)解___；(2)如果方程組的解滿足，求k的值；(3)當k每取一個值時，就對應一個方程，而這些方程有一個公共解，請直接寫出這個公共解．【答案】(1)或(2)7(3)【分析】（1）根據(jù)采用“給一個，求一個”的方法，求解方程的所有正整數(shù)解即可；（2）先解，再將解代入，求解即可；（3）可化為，當時，即可求出公共解．【詳解】（1）解：時，，；時，，，方程的所有正整數(shù)解為或，故答案為：或；（2）根據(jù)題意，解，解得，將代入，得，解得；（3）可化為，當時，即時，，，這個公共解為．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解，二元一次方程的解，公共解，熟練掌握這些含義是解題的關鍵．【題型八二元一次方程組的特殊解法】例題：（2023春·浙江臺州·七年級統(tǒng)考期末）若關于x，y的二元一次方程組的解是，則關于m、n的二元一次方程組的解是．【答案】/【分析】由關于x，y的二元一次方程組的解是，可得出關于，的二元一次方程組的解是，解之即可得出結論．【詳解】解：∵關于x，y的二元一次方程組的解是，∴出關于，的二元一次方程組的解是，解得：，∴關于m、n的二元一次方程組的解是，故答案為：．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解以及解二元一次方程組，利用整體思想求解方程組是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·江蘇揚州·七年級?？茧A段練習）已知方程組的解是，則方程組的解是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】觀察兩個方程組結合二元一次方程組的解的定義，得出，，結合，即可作答．【詳解】解：因為方程組的解是，所以的解是x和y，那么得，因為，則解得，故選：C．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解的定義，理解二元一次方程組的解的定義是解題的關鍵．3．（2023上·山東青島·八年級?？茧A段練習）閱讀材料：善于思考的樂樂同學在解方程組時，采用了一種“整體換元”的解法．把看成一個整體，設，則原方程組可化為，解得，即，解得．(1)學以致用，模仿樂樂同學的“整體換元”的方法，解方程組．(2)拓展提升，已知關于的方程組的解為，請直接寫出關于的方程組的解是______．(3)請你用上述方法解方程組【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查二元一次方程組的特殊解法—“整體換元法”．（1）根據(jù)題意所給材料可令，則原方程組可化為，解出m，n，代入，再解出關于x，y的方程組即可；（2）根據(jù)題意所給材料可得出，再解出這個方程組即可；（3）令則原方程組為，再解出這個方程組即可求解．【詳解】（1）解：對于，令，則原方程組可化為，解得：，∴，即，解得：；（2）解：∵方程組的解是，∴，解得：．（3）解：依題意，令則原方程組為，即得，解得：，得，，解得：∴得，，解得：得，，解得：，∴原方程組的解為．【題型九新定義型二元一次方程組有關問題】例題：（2024上·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期末）對于有理數(shù)，，我們定義新運算．其中，是常數(shù)．若|，則．【答案】【分析】本題考查了解二元一次方程組，根據(jù)題意列出關于的方程組，然后解方程組求出的值，然后再代入中進行計算即可解答．【詳解】解：∵∴∴解得：∴，故答案為：．【變式訓練】1．（2023下·重慶銅梁·七年級統(tǒng)考期末）對于有理數(shù)x，y，定義一種新運算“”：，其中a，b為常數(shù)，已知，則．【答案】3【分析】先根據(jù)新定義得到關于a、b的方程組，然后解方程組求出a、b的值，再根據(jù)算術平方根的定義求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，故答案為：3．【點睛】本題主要考查了新定義，求一個數(shù)的算術平方根，解二元一次方程組，正確理解新定義得到關于a、b的方程組是解題的關鍵．2．（2023下·廣西河池·七年級?？茧A段練習）對于實數(shù)a，b，定義運算“◆”和“*”：，例如4◆3，因為，所以，，為常數(shù)，若，，則．【答案】【分析】根據(jù)新定義法則得出，求出的值，再根據(jù)新定義運算法則，計算即可得出答案．【詳解】解：，，，，解得：，，，故答案為：．【點睛】本題考查了新定義運算，解二元一次方程組，解本題的關鍵在理解新定義運算法則．3．（2023下·黑龍江佳木斯·七年級校聯(lián)考期末）已知是平面直角坐標系中的一點，若，是關于，的二元一次方程組的解，則稱為該方程組的“夢想點”例如：是二元一次方程組，的“夢想點”根據(jù)以上定義，回答下列問題：(1)求關于，的二元一次方程組的“夢想點”．(2)若關于，的方程組與的“夢想點”相同，求，的值．【答案】(1)(2)的值為，的值為【分析】（1）解方程組，可得出關于，的二元一次方程組的解為，進而可得出關于，的二元一次方程組的“夢想點”為；（2）解方程組，可得出關于，的方程組的解為，進而可得出關于，的方程組的“夢想點”為，再將代入中，解之即可求出，的值．【詳解】（1）解：，得：，將代入得：，解得：，關于，的二元一次方程組的解為，關于，的二元一次方程組的“夢想點”為；（2），得：，將代入得：，解得：，關于，的方程組的解為，關于，的方程組的“夢想點”為．將代入得：，解得：，的值為，的值為．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解、解二元一次方程組以及點的坐標，熟練掌握用加減法解二元一次方程組的一般步驟是解題的關鍵．【題型十二元一次方程組解決分配問題】例題：（2024上·山東棗莊·八年級統(tǒng)考期末）糖葫蘆一般是用竹簽串上山楂，再蘸以糖稀冷卻后制作而成．現(xiàn)將一些山楂分別串在若干根竹簽上，如果每根竹簽串5個山楂，還剩2個山楂；如果每根竹簽串7個山楂，還剩4根竹簽．這些竹簽共有多少根？山楂共有多少個？【答案】竹簽有15根，山楂有77個．【分析】本題主要考查二元一次方程組的應用，能夠根據(jù)題意列出方程組是解題的關鍵．設竹簽有x根，山楂有y個，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可得出答案．【詳解】解：設竹簽有x根，山楂有y個，根據(jù)題意，得解得：答∶竹簽有15根，山楂有77個．【變式訓練】1．（2023上·陜西西安·九年級?？茧A段練習）為提高集團人力資源利用率，某集團對下屬甲、乙兩地分公司的員工人數(shù)進行了如下調整：甲分公司人數(shù)增加，乙分公司人數(shù)減少5人，已知調整前甲分公司比乙分公司人數(shù)少10人，調整后甲比乙多3人，求調整前甲、乙分公司的人數(shù)分別為多少人？【答案】調整前甲分公司的人數(shù)為80人，乙分公司的人數(shù)為90人【分析】設調整前甲分公司的人數(shù)為人，乙分公司的人數(shù)為人，根據(jù)調整前甲分公司比乙分公司人數(shù)少10人，調整后甲分公司比乙分公司多3人，列出二元一次方程組，解方程組即可．【詳解】解：設調整前甲分公司的人數(shù)為人，乙分公司的人數(shù)為人，根據(jù)題意，得，解得：，答：調整前甲分公司的人數(shù)為80人，乙分公司的人數(shù)為90人．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．2．（2023下·浙江杭州·七年級統(tǒng)考期末）用如圖（1）中的長方形和正方形紙板做側面和底面，做成如圖（2）的橫式和豎式兩種無蓋紙盒．

(1)若倉庫里有張長方形紙板和張正方形紙板，若兩種紙板恰好用完，問兩種紙盒各做多少個？(2)若倉庫里有張長方形紙板和張正方形紙板，要使兩種紙板恰好用完，則應滿足什么條件，請說明理由．【答案】(1)橫式紙盒做個，豎式紙盒做個(2)是的整數(shù)倍，理由見解析【分析】（1）設橫式紙盒做個，豎式紙盒做個，根據(jù)制作的兩種紙盒恰好用完張長方形紙板和張正方形紙板，可列出關于，的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）設橫式紙盒做個，豎式紙盒做個，根據(jù)制作的兩種紙盒恰好用完張長方形紙板和張正方形紙板，可列出關于，的二元一次方程組，兩方程相加，可得出，結合，均為正整數(shù)，即可得出是的整數(shù)倍．【詳解】（1）解：設橫式紙盒做個，豎式紙盒做個，根據(jù)題意得：，解得：．答：橫式紙盒做個，豎式紙盒做個；（2）解：是的整數(shù)倍，理由如下：設橫式紙盒做個，豎式紙盒做個，根據(jù)題意得：，，又，均為正整數(shù)，是的整數(shù)倍．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以及列代數(shù)式，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．3．（2023上·重慶·八年級重慶八中?？计谥校┠彻蚕韱诬囘\營公司準備采購一批共享單車投入市場，而共享單車安裝公司由于抽調不出足夠熟練工人，準備招聘一批新工人．已知2名熟練工人和3名新工人每天共安裝44輛共享單車；4名熟練工人每天安裝的共享單車數(shù)與5名新工人每天安裝的共享單車數(shù)一樣多．(1)求每名熟練工人和新工人每天分別可以安裝多少輛共享單車；(2)共享單車安裝公司計劃抽調出熟練工人若干，并且招聘新工人共同安裝共享單車．如果25天后剛好交付運營公司3500輛合格品投入市場，求熟練工人和新工人各多少人．【答案】(1)每名熟練工人和新工人每天分別可以安裝輛和輛共享單車(2)熟練工人和新工人分別有10人、5人或6人、10人或2人、15人【分析】（1）設每名熟練工人每天可以安裝x輛共享單車，每名新工人每天可以安裝y輛共享單車，根據(jù)題意列方程組即可；（2）設熟練工人和新工人各m，n人，根據(jù)題意列出等式取值即可．【詳解】（1）解：設每名熟練工人每天可以安裝x輛共享單車，每名新工人每天可以安裝y輛共享單車，根據(jù)題意，得：，解得，答：每名熟練工人和新工人每天分別可以安裝輛和輛共享單車．（2）解：設熟練工人和新工人各m，n人，由題意得：，整理得：，當時，；當時，；當時，；答：熟練工人和新工人分別有10人、5人或6人、10人或2人、15人；【點睛】本題主要考查二元一次方程組的應用，解題的關鍵是理解題意，找到題目蘊含的相等關系．【題型十一二元一次方程組解決方案問題】例題：（2023上·廣東茂名·八年級統(tǒng)考期末）某藥店出售、兩種的口罩，已知該店進貨4個種口罩和3個種口罩共需27元，進貨2個種口罩所需費用比進貨1個種口罩所需費用多1元．(1)請分別求出、兩種口罩的進價是多少元？(2)已知藥店將種口罩每個提價1元出售，種口罩每個提價出售，小雅在該藥店購買、兩種口罩（兩種口罩均要購買）共花費36元，小雅有哪幾種購買方案？【答案】(1)種口罩的進價是3元，種口罩的進價是5元(2)小雅共有2種購買方案，方案1：購買種口罩6個，種口罩2個；方案2：購買種口罩3個，種口罩4個【分析】本題考查了二元一次方程組的應用以及二元一次方程的應用，（1）設A種口罩的進價是x元，B種口罩的進價是y元，根據(jù)“該店進貨4個種口罩和3個種口罩共需27元，進貨2個種口罩所需費用比進貨1個種口罩所需費用多1元”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）設購買A種口罩m個，B種口罩n個，利用總價單價數(shù)量，即可得出關于m，n的二元一次方程，再結合m，n均為正整數(shù)，即可得出各購買方案．【詳解】（1）解：設種口罩的進價是元，種口罩的進價是元，依題意得：，解得：，答：種口罩的進價是3元，種口罩的進價是5元；（2）解：設購買種口罩個，種口罩個，依題意得：，即，解得：，又，均為正整數(shù)，或小雅共有2種購買方案，方案1：購買種口罩6個，種口罩2個；方案2：購買種口罩3個，種口罩4個．【變式訓練】1．（2023上·安徽合肥·七年級統(tǒng)考期末）自2023年12月17日，肥西縣氣溫驟降，根據(jù)市場的需要，某超市銷售A、B兩種型號的取暖器．如表所示是近2周的銷售情況：（溫馨提示：請同學們注意用電取暖的安全?。N售時段銷售數(shù)量銷售收入A種型號B種型號第一周352900元第二周685000元(1)求A、B兩種型號取暖器的銷售單價；(2)一家公司打算花費4000元同時購買A、B兩種型號的取暖器若干臺，兩種型號都購買，且資金恰好用完，請你為該公司設計不同的購買方案．【答案】(1)A種型號取暖器的銷售單價為元，B種型號取暖器的銷售單價為元(2)見解析【分析】本題考查二元一次方程實際應用--方案選擇問題．（1）根據(jù)題意列出方程組正確解答即可得到本題答案；（2）根據(jù)題意列出算式并分情況說明即可．【詳解】（1）解：設A種型號取暖器的銷售單價為x元，B種型號取暖器的銷售單價為y元，依題意得：，解得．（2）解：設購買a臺A種型號取暖器，b臺B種型號取暖器，依題意得：，又∵a，b均為正整數(shù)，∴或或，∴該公司共有3種購買方案，方案1：購買4臺A種型號取暖器，7臺B種型號取暖器；方案2：購買8臺A種型號取暖器，4臺B種型號取暖器；方案3：購買12臺A種型號取暖器，1臺B種型號取暖器．2．（2024上·廣東深圳·八年級深圳中學?？计谀榱祟A防甲型流感病毒的擴散，學校準備購買一批醫(yī)用口罩和洗手液用于日常防護，若醫(yī)用口罩買600個，洗手液買50瓶，則需1850元；若醫(yī)用口罩買800個，洗手液買25瓶，則需1425元．(1)求醫(yī)用口罩和洗手液的單價．(2)學校本次采購準備了500元，除購買醫(yī)用口罩和洗手液外，還需增加購買單價為3元的N95口罩a個，醫(yī)用口罩和N95口罩共250個，購買洗手液b瓶，錢恰好全部用完且，學校一共有幾種購買方案？寫出所有采購方案．【答案】(1)醫(yī)用口罩的單價為1元，洗手液的單價為25元(2)學校一共有4種購買方案，詳見解析【分析】本題主要考查二元一次方程組的應用以及一元一次方程組的應用：（1）設醫(yī)用口罩的單價為x元，洗手液的單價為y元，根據(jù)若醫(yī)用口罩買600個，洗手液買50瓶，則需1550元；若醫(yī)用口罩買800個，洗手液買30瓶，則需1150元．列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）利用總價=單價×數(shù)量，列出關于a、b的二元一次方程，求出正整數(shù)解，即可得出答案．【詳解】（1）設醫(yī)用口罩的單價為x元，洗手液的單價為y元，根據(jù)題意得：，解得：，答：醫(yī)用口罩的單價為1元，洗手液的單價為25元；（2）由題意可得：，整理得：，∴，∵∴a、b均為正整數(shù)，∴或或或，∴學校一共有4種購買方案：①購買口罩100個，醫(yī)用口罩150個，洗手液2瓶；②購買口罩75個，醫(yī)用口罩175個，洗手液4瓶；③購買口罩50個，醫(yī)用口罩200個，洗手液6瓶；④購買口罩25個，醫(yī)用口罩225個，洗手液8瓶．【題型十二二元一次方程組解決銷售、利潤問題】例題：（2024上·安徽安慶·七年級統(tǒng)考期末）隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具．某汽車銷售公司針對市場情況，計劃購進一批新能源汽車進行銷售，據(jù)了解，2輛型汽車和3輛型汽車的進價共計120萬元；3輛型汽車和4輛型汽車的進價共計170萬元．(1)求，兩種型號的汽車每輛進價分別為多少萬元？(2)若該公司計劃正好用200萬元購進以上兩種型號的新能源汽車（兩種型號的汽車均有購買），請你寫出所有購買方案；(3)若該公司銷售1輛型汽車可獲利1．8萬元，銷售1輛型汽車可獲利1．1萬元，在第（2）問中的所有購買方案中，假如這些新能源汽車全部售出，哪種方案獲利最大，最大利潤是多少元．【答案】(1)型汽車每輛的進價為30萬元，型汽車每輛的進價為20萬元(2)共3種購買方案：方案一：購進型車2輛，型車7輛；方案二：購進型車4輛，型車4輛；方案三：購進型車6輛，型車1輛(3)方案三購進型車6輛，型車1輛獲利最大，最大利潤是11．9萬元【分析】本題主要考查了二元一次方程組的實際應用，二元一次方程的實際應用，有理數(shù)四則混合計算的實際應用：（1）設型汽車每輛的進價為萬元，型汽車每輛的進價為萬元，根據(jù)2輛型汽車和3輛型汽車的進價共計120萬元；3輛型汽車和4輛型汽車的進價共計170萬元列出方程組求解即可；（2）設購進型汽車輛，購進型汽車輛，由題意得，解方程即可得到答案；（3）根據(jù)（2）所求分別求出三種方案的利潤即可得到答案．【詳解】（1）解：設型汽車每輛的進價為萬元，型汽車每輛的進價為萬元，依題意，得：，解得：，答：型汽車每輛的進價為30萬元，型汽車每輛的進價為20萬元；（2）解：設購進型汽車輛，購進型汽車輛，依題意，得：，化簡，得：，，均為正整數(shù)或或；共3種購買方案：方案一：購進型車2輛，型車7輛；方案二：購進型車4輛，型車4輛；方案三：購進型車6輛，型車1輛；（3）解：方案一獲得利潤：（萬元）；方案二獲得利潤：（萬元）；方案三獲得利潤：（萬元）；，方案三購進型車6輛，型車1輛獲利最大，最大利潤是11．9萬元．【變式訓練】1．（2023上·陜