初中數(shù)學(xué)-幾何

幾何

本專題是這樣安排的：

第一課時(shí)介紹幾何的奇妙之處，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)樂(lè)趣，領(lǐng)略數(shù)學(xué)的美魅力;

第二課時(shí)講三角形的相似與全等；

第三課時(shí)介紹四邊形的性質(zhì)及定理；

第四課時(shí)介紹一些面積計(jì)算等應(yīng)用型問(wèn)題；

第五課時(shí)灌輸一些基本的幾何證明方法，提高學(xué)生的邏輯思維能力。

現(xiàn)在只是初步成稿，本人將進(jìn)一步完善課程的趣味性和適用性。

課時(shí)1魅力數(shù)學(xué)一一從勾股定理的證明開(kāi)始

首先可指引同學(xué)們觀看我們周圍的世界，提問(wèn)大家說(shuō)說(shuō)身邊的圖形，幾何圖形無(wú)處不在,

它們演繹了一個(gè)精彩絕倫的世界，那么我們?cè)撛鯓尤チ私馑鼈兡兀?/p>

我們說(shuō)數(shù)學(xué)是美的，更在于它有無(wú)盡的魅力和魔力；那么讓我們從簡(jiǎn)單的勾股定理開(kāi)始

去感受一下：

問(wèn)同學(xué)們對(duì)勾股定理的認(rèn)識(shí)，并請(qǐng)同學(xué)證明得出結(jié)論：

證明可以是很多的，請(qǐng)看：

1、古希臘的畢氏證明法

如圖，以RtzXABC的三邊為邊長(zhǎng)作三個(gè)正方形。求證即：AC2+BC2=AB2

因?yàn)?ABF的面積=2正方形ACGF的面積（底AD和高等于正方形的邊長(zhǎng)）

又因4ACD的面積=2矩形ADLM的面積（底AF和高分別等于矩形的長(zhǎng)和

寬）

又因AABF以ZkACD（SAS）

所以正方形ACGF的面積與矩形ADLM的面積相等

同里可證正方形BCHK的面積與矩形BELM的面積相等

所以正方形ACGF的面積+正方形BCHK的面積=正方形ABCD的面積

即AC2+BC2=AB2

2、美國(guó)總統(tǒng)伽菲爾德的證明法

如圖2,又兩個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)等腰直角三角形拼成一個(gè)直角梯

形。

因?yàn)椋禾菪蚊娣e二三個(gè)直角三角形的面積和

一(ci++b)=—abx2H—c

所以：222

(a+b)2=2ab+c2

a1+2ab+b2=2ab+c2

故a2+b2=c2

3、我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的證明法

如圖，由4個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，且里面套一個(gè)小正方

形。

顯然大正方形的面積等于4個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積之和。

即：

其他

4、如圖1,由四個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)正方形ABCD,且四條斜

邊也構(gòu)成一個(gè)正方形。

因?yàn)椋赫叫蜛BCD的面積=4個(gè)直角三角形的面積+正方形EFGH的面積

(a+Z?)2~-abx4+c~

所以：2

ci~+2cib+b~=2ab+c~

故a2+b2=c2

5、如圖左右兩個(gè)大正方形的面積相等，相同字母表示的線段相等。

因?yàn)樽笥覂蓚€(gè)大正方形的面積相等

又因左右4個(gè)直角三角形的面積和相等。

所以。2+/=02(等量減等量，差相等)

6、利用相似三角形證明。

如圖，在RtZkABC中，CD±AB,m+n=c

Cb.2

—=一=>cm—b…①

因?yàn)?，bm

所以?！?。加=。2+〃=。（加+〃）=。2+〃=/=〃+〃

小節(jié)，數(shù)學(xué)的奧妙是無(wú)盡的，我們決不能滿足于簡(jiǎn)單的表面上，應(yīng)該深入去挖掘，尋找數(shù)學(xué)

尤其是幾何的奧秘。之后布置作業(yè)大家課后練習(xí)，尋求更多的證明方法。

課時(shí)2三角形的相似與全等

首先介紹相似與全等的概念，讓同學(xué)暢所欲言，談?wù)勆磉叺南嗨菩闻c全等形。

提問(wèn)：這些圖形是不是真的全等呢？許多是后憑感覺(jué)是有視覺(jué)誤差的，那么我們?cè)撛鯓舆\(yùn)

用數(shù)學(xué)的方法證明呢？我們從最簡(jiǎn)單的三角形開(kāi)始：

知識(shí)結(jié)構(gòu):

1,兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似.

2,三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似.

3.兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似.

三角形相似的基本圖形：①平行型：如圖1,、'A”型即公共角對(duì)的邊平行，、'x”型即對(duì)

頂角對(duì)的邊平行，都可推出兩個(gè)三角形相似；②相交線型：如圖2,公共角對(duì)的邊不平行，

即相交或延長(zhǎng)線相交或?qū)斀撬鶎?duì)邊延長(zhǎng)相交.圖中幾種情況只要配上一對(duì)角相等，或夾公

共角（或?qū)斀牵┑膬蛇叧杀壤涂梢耘卸▋蓚€(gè)三角形相似。三角形全等的判定

全等是相似的特殊情況，即兩三角形相似比為1

判定方法;1SAS

2SSS

3AAS

當(dāng)然這只是一般方法，需要同學(xué)們多多在練習(xí)中探索總結(jié)，并實(shí)際應(yīng)用

探索三角形全等的條件

例.如圖所示，ZE=ZF=90°,ZB=ZC,AE=AF,給出下

列結(jié)論：

①/1=/2；②BE=CF；③△ACN04ABM；@CD=DN.

其中正確的結(jié)論是.

解析：由/E=NF,ZB=ZC,AE=AF

A

可判定4AEB之ZkAFC,從而得/EAB=/FAC.

/.Z1=Z2,又可證出AAEM絲△AFN.

依此類推得①、②、③

點(diǎn)評(píng)：注意已知條件與隱含條件相結(jié)合.

下面舉例談?wù)勅切稳群拖嗨频膽?yīng)用

1、已知:如圖，AB〃CD,AB=CD,BE//DF；B

求證：BE=DF

證明：（思路點(diǎn)撥）先證AOB全等于DOC,得BO=DO,

再證三角形BOE全等于DOF,得BE=DF

2課后習(xí)題

在aABC中/BAC是銳角，AB=AC,AD和BE是高，它們交于點(diǎn)H,且AE=BE；

（1）求證：AH=2BD；

（2）若將/BAC改為鈍角，其余條件不變,上述的結(jié)論還成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成

立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

課時(shí)3四邊形的性質(zhì)及定理

1一般四邊形的概念和性質(zhì)

四邊形內(nèi)角和等于360度

2特殊四邊形的的判定和性質(zhì)（平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形）

3探討各四邊形之間的聯(lián)系，這需要在學(xué)生中進(jìn)行誘導(dǎo)性學(xué)習(xí)。

平行四邊形性質(zhì)：對(duì)邊相等、對(duì)角相等、對(duì)角線互相平分

判定：一組對(duì)邊平行且相等，或兩組對(duì)邊分別相等，或?qū)蔷€互相平分的四邊形

矩形菱形正方形的性質(zhì)：矩形的四個(gè)角都是直角，對(duì)角線相等；菱形的四條邊相等，對(duì)角

線互相垂直平分

判定：三個(gè)角是直角的四邊形，或?qū)蔷€相等的平行四邊形是矩形；四邊相等的四邊

形，或?qū)蔷€互相垂直的平行四邊形是菱形

梯形（等腰梯形）的性質(zhì)：等腰梯形同一底上的兩底角相等，兩條對(duì)角線相等

判定同一底上的兩底角相等的梯形是等腰梯形

例如甌在梯形ABC。中，AB//DC,D特殊的四邊形5,

I_______________

???ZE=45

AZC+ZE=180°

???AE//BC

(2)解：VAE//BC,CE//AB,

：.四邊形ABC石是平行四邊形

：.CE=AB=3

：.DA=DE=CE-CD=2

SARCF-CE*AD=3x2=6

例2如圖。。為口ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)0

左一條直線分別與AB、CD交于點(diǎn)M、N,E、F在直線

MN上，且OE=O/

解：(1)有四對(duì)全等三角形

分別為△AMO四△CNO,AOCF^AOAE

△AME四△CNF,AABC^ACDA

(2)證明：?.?AO=OC,N1=N2,OE=OF,

(第20題圖)

?.AAME^ACNF

7.ZEAO=ZFCO

在口兒BCO中，AB〃CD

ZBAO=ZDCO

：.ZEAM=ZNCF

例3如圖，在448C。中，E為BC邊上一點(diǎn)，且AB=AE.

(1)求證：AABC沿LEAD.

(2)若AE平分ZEAC=25°,求的度數(shù).

(1)四邊形ABCD為平行四邊形,

：.AD//BC,AD=BC.

：.NDAE=/AEB.

：.AB=AE,：.ZAEB=ZB

:.NB=/DAE.

：.LABC出LEAD.

(2)VZDAE=ZBAE,/DAE

：.ZBAE=ZAEB=ZB.

：.AABE為等邊三角形.

ZBA￡=60°.

VZEAC=25°,.\ZBAC=85°.

,?AABC^AEAZ),

ZA￡Z)=ZJBAC=85°.

課后練習(xí)在梯形ABCD中，AB//CD,ZABC=90°,AB=5,BC=10,tanZADC=2o

(1)求DC的長(zhǎng);

(2)E為梯形內(nèi)一點(diǎn)，F(xiàn)為梯形外一點(diǎn)，若BF=DE,ZFBC=ZCDE,試判斷△ECf'

的形狀，并說(shuō)明理由。

(3)在(2)的條件下，若BE工EC,BE：EC=4：3,求DE的長(zhǎng)。

課題四圖形面積計(jì)算及其他應(yīng)用問(wèn)題

這方面主要聯(lián)系實(shí)際，談?wù)勆钪械膽?yīng)用

1面積問(wèn)題

回憶三角形四邊形的面積計(jì)算公式，并總結(jié)出一些常見(jiàn)方法

例1如圖，已知在等邊AABC中，D是BC邊上的三分點(diǎn)，DE_LAB,DFXACo

求：^AADE,S&ADF的值。⑸8)

例如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD上的一點(diǎn)，且DE:EC=5：3,連接AE、BE、

BD,AE、BD交于F,設(shè)ADEF、ABEF>4ABF的面積分別為Si、S2.S3=求它們的面積

比。(25：40：64)

例如圖，王華同學(xué)在晚上由路燈AC走向路燈BD,當(dāng)他走到點(diǎn)P時(shí)，發(fā)現(xiàn)身后他影子的頂

部剛好接觸到路燈AC的底部，當(dāng)他向前再步行12m到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)身前他影子的頂部剛

好接觸到路燈BD的底部.已知王華同學(xué)的身高是1.6m,兩個(gè)路燈的高度都是9.6m.

⑴求兩個(gè)路燈之間的距離;

⑵當(dāng)王華同學(xué)走到路燈BD處時(shí)，他在路燈AC下的影子

長(zhǎng)是多少？

解析(1)由對(duì)稱性可知AP=BQ,設(shè)AP=BQ=xm

VMP/7BDAAAPM^AABD二——=——

BDAB

1.6_x

x=3

97-2.x+12

AB=2x+12=2X3+12=18(m)

AB=2x+12=2X3+12=18(m)

(2)設(shè)王華走到路燈BD處頭的頂部為E,連結(jié)CE并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F則BF即為

此時(shí)他在路燈AF的影子長(zhǎng)，設(shè)AB=ym.

BEBF]6y

BE〃ACAAFEB^AFCAZ.——=——即一=—=—解得y=3.6.

ACFA9.6y+18

例李老師在與同學(xué)進(jìn)行“螞蟻怎樣爬最近”的課題研究時(shí)設(shè)計(jì)了以下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你根據(jù)

下列所給的重要條件分別求出螞蟻需要爬行的最短路程的長(zhǎng)。

(1)如圖1,正方體的棱長(zhǎng)為5cm一只螞蟻欲從正方體底面上的點(diǎn)A沿著正方體表面

爬到點(diǎn)J處；

(2)如圖2,正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為5cm,側(cè)棱長(zhǎng)為6cm,一只螞蟻從正四棱柱底面

上的點(diǎn)A沿著棱柱表面爬到Ci處；

(3)如圖3,圓錐的母線長(zhǎng)為4cm,圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖如圖4所示，且NA0Ai=120°,

一只螞蟻欲從圓錐的底面上的點(diǎn)A出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬行一周回到點(diǎn)A.

1.解：(1)AG=JAC2+cc：=J(5+5)2+52=5退

(2).分兩種情況：①AC1=,(5+5)2+62a分)

②AC=1(6+5)2+52(1分)

?1,V146>V136最短路程為2用cm(1分)

(3)由已知得所求的最短的路程為A4=4j5

課時(shí)5證明題的解法

本專題將對(duì)前面所學(xué)的進(jìn)行總結(jié)，激發(fā)同學(xué)的探索熱情，培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力及解題能

力。

灌輸解題的切入點(diǎn)和技巧：

1構(gòu)造定理所需的圖形或基本圖形

2做不出、找相似，有相似，用相似

3緊扣不變量，并善于使用前題所采用的方法或結(jié)論

4展開(kāi)聯(lián)想，尋找解決過(guò)的問(wèn)題

現(xiàn)在我們?cè)倩仡櫟谝徽n時(shí)的證明，可見(jiàn)方法是何等重要，有了方法任何問(wèn)題就能迎刃而解,

關(guān)鍵是把握好切入點(diǎn)。下面我們?cè)購(gòu)囊恍├}中去探索這種方法：

例1.如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊AB和AD的中點(diǎn)，CE和BF相交于G,求

證：CD=GD

分析：借助正方形有直角，邊的中點(diǎn)構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形斜邊上的中線等

于斜邊的一半解題。