彈性力學(xué)基礎(chǔ)：邊界條件：彈性體的應(yīng)力邊界條件

彈性力學(xué)基礎(chǔ)：邊界條件：彈性體的應(yīng)力邊界條件1彈性力學(xué)概述1.1彈性力學(xué)的基本概念彈性力學(xué)是固體力學(xué)的一個(gè)分支，主要研究彈性體在外力作用下的變形和應(yīng)力分布。它基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的基本假設(shè)，即材料可以被視為連續(xù)的、無間隙的介質(zhì)，其內(nèi)部的物理量（如應(yīng)力、應(yīng)變）可以連續(xù)變化。彈性力學(xué)的核心是通過數(shù)學(xué)模型描述材料的彈性行為，這些模型包括彈性方程、幾何方程和物理方程，它們共同構(gòu)成了彈性力學(xué)的基本方程組。1.1.1彈性方程彈性方程描述了彈性體內(nèi)部應(yīng)力與外力之間的關(guān)系，是基于牛頓第二定律推導(dǎo)而來的。在三維空間中，彈性方程通常表示為：?其中，σ是應(yīng)力張量，b是體積力（如重力），ρ是材料密度，u是位移的二階時(shí)間導(dǎo)數(shù)。1.1.2幾何方程幾何方程描述了位移與應(yīng)變之間的關(guān)系，反映了材料變形的幾何特性。在小變形情況下，幾何方程可以簡(jiǎn)化為：ε其中，ε是應(yīng)變張量，u是位移矢量。1.1.3物理方程物理方程，也稱為本構(gòu)方程，描述了應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系，反映了材料的物理性質(zhì)。對(duì)于線性彈性材料，物理方程通常表示為胡克定律：σ其中，C是彈性張量，它包含了材料的彈性模量和泊松比等參數(shù)。1.2彈性體的分類與特性1.2.1彈性體分類彈性體可以根據(jù)其幾何形狀、材料性質(zhì)和受力情況分為以下幾類：一維彈性體：如桿、梁，主要考慮軸向應(yīng)力和應(yīng)變。二維彈性體：如板、殼，可以簡(jiǎn)化為平面應(yīng)力或平面應(yīng)變問題。三維彈性體：如塊體，需要全面考慮三個(gè)方向的應(yīng)力和應(yīng)變。1.2.2彈性體特性彈性體的特性主要由其材料性質(zhì)決定，包括：彈性模量：材料抵抗彈性變形的能力，分為楊氏模量（E）、剪切模量（G）和體積模量（K）。泊松比：橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變的比值，反映了材料在受力時(shí)的橫向變形特性。線性與非線性：線性彈性體遵循胡克定律，非線性彈性體的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系則更為復(fù)雜，可能隨應(yīng)變大小而變化。1.2.3示例：計(jì)算一維彈性桿的應(yīng)力假設(shè)有一根長(zhǎng)度為L(zhǎng)=1m的彈性桿，其截面積為A=0.01m2，材料的楊氏模量為σσ在這個(gè)例子中，我們使用了彈性力學(xué)的基本概念——應(yīng)力計(jì)算公式，通過給定的力和截面積計(jì)算出了一維彈性桿的應(yīng)力。通過上述內(nèi)容，我們對(duì)彈性力學(xué)的基本概念和彈性體的分類與特性有了初步的了解。彈性力學(xué)在工程設(shè)計(jì)、材料科學(xué)和結(jié)構(gòu)分析等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，掌握其原理對(duì)于理解和解決實(shí)際問題至關(guān)重要。2彈性力學(xué)基礎(chǔ)：邊界條件：應(yīng)力邊界條件詳解2.1應(yīng)力邊界條件的定義在彈性力學(xué)中，邊界條件是描述物體邊界上力學(xué)行為的約束條件。應(yīng)力邊界條件，也稱為第二類邊界條件或Neumann邊界條件，是指在彈性體的邊界上規(guī)定了應(yīng)力分布的條件。這種條件通常用于描述物體表面受到的外力或外力矩，如壓力、剪切力或力矩等。在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)力邊界條件可以是已知的分布函數(shù)，也可以是特定的數(shù)值。2.1.1原理考慮一個(gè)三維彈性體，其邊界上任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以用一個(gè)3x3的應(yīng)力張量σ來描述。在邊界上，我們通常只關(guān)心法向應(yīng)力σn和切向應(yīng)力τ2.1.2內(nèi)容應(yīng)力邊界條件可以表示為：σ其中，σ是應(yīng)力張量，n是邊界上的單位法向量，t是作用在邊界上的外力向量。在實(shí)際問題中，t可以是已知的，例如，當(dāng)一個(gè)彈性體被固定在某一端，而另一端受到均勻的壓力時(shí)，該端的應(yīng)力邊界條件就是已知的。2.2應(yīng)力邊界條件的數(shù)學(xué)表達(dá)應(yīng)力邊界條件的數(shù)學(xué)表達(dá)依賴于彈性體的幾何形狀和外力的分布。在直角坐標(biāo)系中，應(yīng)力張量可以表示為：σ其中，σxx、σyy、σzz是法向應(yīng)力，而σxy、σx2.2.1示例假設(shè)我們有一個(gè)長(zhǎng)方體彈性體，其一個(gè)面受到均勻的壓力p。我們可以將這個(gè)壓力作為應(yīng)力邊界條件來表示。假設(shè)這個(gè)面的法線方向是x方向，那么在該面上的應(yīng)力邊界條件可以表示為：σ2.2.2計(jì)算示例考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的二維彈性體問題，其中彈性體的右邊界受到均勻的拉力T。我們可以使用Python和NumPy庫來計(jì)算這個(gè)邊界上的應(yīng)力分布。假設(shè)彈性體的材料屬性和幾何尺寸已知，我們可以使用有限元方法來求解。importnumpyasnp

#材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

#幾何尺寸

L=1.0#長(zhǎng)度，單位：m

H=0.5#高度，單位：m

#外力

T=100e3#拉力，單位：N/m

#應(yīng)力邊界條件

stress_boundary=np.array([T,0,0])#右邊界上的應(yīng)力分布

#假設(shè)我們已經(jīng)通過有限元方法計(jì)算了整個(gè)彈性體的應(yīng)力分布

#這里我們只展示右邊界上的應(yīng)力分布

print("右邊界上的應(yīng)力分布:",stress_boundary)在這個(gè)示例中，我們假設(shè)彈性體的右邊界受到沿x方向的均勻拉力T。因此，右邊界上的應(yīng)力分布只在x方向有非零值，即σxx=T，而2.2.3結(jié)論應(yīng)力邊界條件在彈性力學(xué)中是至關(guān)重要的，它們描述了彈性體邊界上的力學(xué)行為，對(duì)于求解彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變分布具有決定性作用。通過數(shù)學(xué)表達(dá)和計(jì)算示例，我們可以更深入地理解應(yīng)力邊界條件的含義和應(yīng)用。3彈性體的應(yīng)力邊界條件應(yīng)用3.1平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題3.1.1平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題通常發(fā)生在薄板結(jié)構(gòu)中，其中厚度方向的應(yīng)力可以忽略不計(jì)。這意味著在平面內(nèi)的應(yīng)力分量是主要關(guān)注點(diǎn)，而厚度方向的應(yīng)力（通常標(biāo)記為σ_z）被假設(shè)為零。在平面應(yīng)力條件下，應(yīng)力張量和應(yīng)變張量可以簡(jiǎn)化為：σ其中，σ_x,σ_y是正應(yīng)力，τ_xy是剪應(yīng)力，ε_(tái)x,ε_(tái)y是正應(yīng)變，γ_xy是剪應(yīng)變，而ε_(tái)z是厚度方向的應(yīng)變，它可以通過泊松比ν和正應(yīng)力來計(jì)算。3.1.2平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題則發(fā)生在長(zhǎng)而厚的結(jié)構(gòu)中，其中厚度方向的應(yīng)變可以忽略不計(jì)。這意味著在平面內(nèi)的應(yīng)變分量是主要關(guān)注點(diǎn)，而厚度方向的應(yīng)變（通常標(biāo)記為ε_(tái)z）被假設(shè)為零。在平面應(yīng)變條件下，應(yīng)力張量和應(yīng)變張量可以簡(jiǎn)化為：σ盡管ε_(tái)z為零，但σ_z可能不為零，因?yàn)樗怯刹此杀圈秃驮谄矫鎯?nèi)的應(yīng)力σ_x,σ_y決定的。3.1.3示例：平面應(yīng)力問題的有限元分析假設(shè)我們有一個(gè)矩形薄板，其尺寸為100mmx50mm，厚度為1mm，材料為鋼，彈性模量E=200GPa，泊松比ν=0.3。薄板的一端固定，另一端受到均勻分布的拉力P=100N/mm。我們將使用有限元方法來分析這個(gè)平面應(yīng)力問題。3.1.3.1數(shù)據(jù)樣例材料屬性：E=200GPa,ν=0.3幾何尺寸：L=100mm,H=50mm,t=1mm載荷：P=100N/mm3.1.3.2代碼示例#導(dǎo)入必要的庫

importnumpyasnp

fromfenicsimport*

#定義幾何尺寸和材料屬性

L,H,t=100,50,1

E,nu=200e9,0.3

P=100e3

#創(chuàng)建網(wǎng)格

mesh=RectangleMesh(Point(0,0),Point(L,H),100,50)

#定義函數(shù)空間

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',degree=1)

#定義邊界條件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant((0,0)),boundary)

#定義材料屬性

mu,lmbda=Constant(E/(2*(1+nu))),Constant(E*nu/((1+nu)*(1-2*nu)))

#定義變分形式

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

f=Constant((0,-P))

T=Constant((0,0))

a=lmbda*div(u)*div(v)*dx+2*mu*inner(sym(grad(u)),sym(grad(v)))*dx

L=dot(f,v)*dx+dot(T,v)*ds

#求解問題

u=Function(V)

solve(a==L,u,bc)

#輸出結(jié)果

plot(u)

interactive()3.1.3.3解釋在這個(gè)示例中，我們使用了FEniCS庫來執(zhí)行有限元分析。首先，我們定義了薄板的幾何尺寸和材料屬性。然后，我們創(chuàng)建了一個(gè)矩形網(wǎng)格，并定義了函數(shù)空間，用于描述位移場(chǎng)。我們還定義了邊界條件，其中一端被固定，另一端受到拉力。通過定義材料屬性和變分形式，我們能夠求解平面應(yīng)力問題。最后，我們輸出了位移場(chǎng)的可視化結(jié)果。3.2維應(yīng)力邊界條件的處理在三維彈性力學(xué)中，應(yīng)力邊界條件的處理更為復(fù)雜，因?yàn)樗婕暗剿腥齻€(gè)方向的應(yīng)力分量。在三維問題中，應(yīng)力張量和應(yīng)變張量是完全三維的：σ3.2.1示例：三維彈性體的有限元分析假設(shè)我們有一個(gè)立方體彈性體，其尺寸為100mmx100mmx100mm，材料為鋁，彈性模量E=70GPa，泊松比ν=0.33。立方體的一側(cè)固定，另一側(cè)受到均勻分布的壓力P=100N/mm^2。我們將使用有限元方法來分析這個(gè)三維應(yīng)力問題。3.2.1.1數(shù)據(jù)樣例材料屬性：E=70GPa,ν=0.33幾何尺寸：L=100mm,H=100mm,W=100mm載荷：P=100N/mm^23.2.1.2代碼示例#導(dǎo)入必要的庫

importnumpyasnp

fromfenicsimport*

#定義幾何尺寸和材料屬性

L,H,W=100,100,100

E,nu=70e9,0.33

P=100e3

#創(chuàng)建網(wǎng)格

mesh=BoxMesh(Point(0,0,0),Point(L,H,W),10,10,10)

#定義函數(shù)空間

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',degree=1)

#定義邊界條件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant((0,0,0)),boundary)

#定義材料屬性

mu,lmbda=Constant(E/(2*(1+nu))),Constant(E*nu/((1+nu)*(1-2*nu)))

#定義變分形式

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

f=Constant((0,0,-P))

T=Constant((0,0,0))

a=lmbda*div(u)*div(v)*dx+2*mu*inner(sym(grad(u)),sym(grad(v)))*dx

L=dot(f,v)*dx+dot(T,v)*ds

#求解問題

u=Function(V)

solve(a==L,u,bc)

#輸出結(jié)果

plot(u)

interactive()3.2.1.3解釋在這個(gè)三維示例中，我們同樣使用了FEniCS庫。我們定義了立方體的幾何尺寸和材料屬性，創(chuàng)建了一個(gè)三維網(wǎng)格，并定義了函數(shù)空間。邊界條件中，一側(cè)被固定，另一側(cè)受到壓力。通過定義材料屬性和變分形式，我們能夠求解三維應(yīng)力問題。最后，我們輸出了位移場(chǎng)的可視化結(jié)果，這在三維問題中通常更為復(fù)雜，需要適當(dāng)?shù)目梢暬ぞ邅韼椭斫饨Y(jié)果。通過以上示例，我們可以看到，無論是平面應(yīng)力還是三維應(yīng)力問題，有限元方法都是一個(gè)強(qiáng)大的工具，能夠幫助我們理解和解決復(fù)雜的彈性力學(xué)問題。4解決彈性力學(xué)問題的步驟4.1確定邊界條件類型在解決彈性力學(xué)問題時(shí)，邊界條件的確定是至關(guān)重要的一步。邊界條件描述了彈性體與周圍環(huán)境的相互作用，可以分為兩大類：應(yīng)力邊界條件和位移邊界條件。本節(jié)將專注于應(yīng)力邊界條件的識(shí)別與應(yīng)用。4.1.1應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件，也稱為第二類邊界條件，指的是在彈性體的邊界上，給定的是作用于邊界上的外力或應(yīng)力分布。在實(shí)際工程問題中，這可能包括壓力、剪切力或接觸力等。例如，考慮一個(gè)承受均勻壓力的圓柱體，其邊界上的應(yīng)力分布是已知的，可以用來求解彈性體內(nèi)部的應(yīng)力和應(yīng)變分布。4.1.2確定步驟識(shí)別邊界：首先，需要明確彈性體的邊界，即與外部環(huán)境接觸的表面。分析外力：接著，分析作用在邊界上的外力類型，確定是壓力、剪切力還是其他形式的力。數(shù)學(xué)描述：將外力轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)表達(dá)式，通常使用應(yīng)力張量來描述。應(yīng)用到方程：將這些邊界條件應(yīng)用到彈性力學(xué)的基本方程中，如平衡方程和本構(gòu)方程，以求解問題。4.2應(yīng)用應(yīng)力邊界條件解決實(shí)際問題應(yīng)用應(yīng)力邊界條件解決實(shí)際問題，需要將理論與具體工程實(shí)例相結(jié)合。下面通過一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來說明如何在彈性力學(xué)問題中應(yīng)用應(yīng)力邊界條件。4.2.1例子：承受軸向壓力的圓柱體假設(shè)我們有一個(gè)圓柱體，其長(zhǎng)度為L(zhǎng)，半徑為R，承受均勻的軸向壓力P。我們的目標(biāo)是計(jì)算圓柱體內(nèi)部的應(yīng)力分布。4.2.1.1步驟1：識(shí)別邊界圓柱體的邊界包括兩個(gè)底面和側(cè)面。在本例中，應(yīng)力邊界條件主要應(yīng)用于兩個(gè)底面。4.2.1.2步驟2：分析外力外力為均勻的軸向壓力P，作用在圓柱體的底面上。4.2.1.3步驟3：數(shù)學(xué)描述軸向壓力可以表示為：\sigma_z=P其中，σz4.2.1.4步驟4：應(yīng)用到方程將應(yīng)力邊界條件應(yīng)用到彈性力學(xué)的平衡方程中。對(duì)于軸對(duì)稱問題，平衡方程簡(jiǎn)化為：\fracjzj5det{dr}\left(r\sigma_r\right)+r\sigma_z=0其中，σr4.2.2解決方案為了解決上述問題，我們可以使用有限元方法。下面是一個(gè)使用Python和FEniCS庫的簡(jiǎn)化代碼示例，用于求解承受軸向壓力的圓柱體的應(yīng)力分布。fromfenicsimport*

#定義圓柱體的幾何參數(shù)

L=1.0

R=0.5

P=-1.0

#創(chuàng)建網(wǎng)格

mesh=Mesh()

editor=MeshEditor()

editor.open(mesh,"interval",2)

editor.init_vertices(100)

editor.init_cells(99)

#定義函數(shù)空間

V=FunctionSpace(mesh,"Lagrange",1)

#定義邊界條件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant(0),boundary)

#定義變量

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

#定義材料參數(shù)

E=1.0e3

nu=0.3

mu=E/(2*(1+nu))

lmbda=E*nu/((1+nu)*(1-2*nu))

#定義應(yīng)力張量

defsigma(u):

returnlmbda*tr(eps(u))*Identity(2)+2.0*mu*eps(u)

#定義應(yīng)變張量

defeps(u):

returnsym(nabla_grad(u))

#定義軸向壓力

f=Constant((0,P))

#定義弱形式

a=inner(sigma(u),eps(v))*dx

L=dot(f,v)*dx

#求解問題

u=Function(V)

solve(a==L,u,bc)

#輸出結(jié)果

file=File("cylinder.pvd")

file<<u4.2.2.1代碼解釋定義幾何參數(shù)：設(shè)置圓柱體的長(zhǎng)度、半徑和軸向壓力。創(chuàng)建網(wǎng)格：使用FEniCS的網(wǎng)格編輯器創(chuàng)建一個(gè)簡(jiǎn)單的網(wǎng)格。定義函數(shù)空間：選擇一個(gè)適合的函數(shù)空間來近似解。定義邊界條件：在邊界上應(yīng)用零位移邊界條件。定義材料參數(shù)：設(shè)置彈性模量和泊松比。定義應(yīng)力和應(yīng)變張量：根據(jù)材料參數(shù)和位移場(chǎng)計(jì)算應(yīng)力和應(yīng)變。定義軸向壓力：將軸向壓力表示為一個(gè)常數(shù)向量。定義弱形式：將彈性力學(xué)的基本方程轉(zhuǎn)換為弱形式。求解問題：使用FEniCS的求解器求解位移場(chǎng)。輸出結(jié)果：將求解得到的位移場(chǎng)保存為.pvd文件，以便可視化。通過以上步驟，我們可以有效地應(yīng)用應(yīng)力邊界條件來解決彈性力學(xué)中的實(shí)際問題。在更復(fù)雜的情況下，可能需要更精細(xì)的網(wǎng)格和更高級(jí)的材料模型，但基本的解決流程保持不變。5彈性力學(xué)基礎(chǔ)：實(shí)例分析5.1梁的彎曲問題5.1.1原理在彈性力學(xué)中，梁的彎曲問題是一個(gè)經(jīng)典案例，涉及到梁在橫向力作用下發(fā)生彎曲變形的分析。梁的彎曲問題通常通過歐拉-伯努利梁理論或蒂蒙斯-納維梁理論來解決，其中歐拉-伯努利梁理論適用于細(xì)長(zhǎng)梁，而蒂蒙斯-納維梁理論則適用于較厚的梁。在這些理論中，梁的彎曲變形可以通過微分方程來描述，該方程通常稱為梁的彎曲方程。5.1.2內(nèi)容梁的彎曲方程基于以下假設(shè)：-梁是均勻的，材料性質(zhì)在梁的長(zhǎng)度方向上不變。-梁是細(xì)長(zhǎng)的，橫向尺寸遠(yuǎn)小于縱向尺寸。-梁的中性軸在彎曲過程中保持直線，且梁的截面保持平面。對(duì)于歐拉-伯努利梁理論，梁的彎曲方程可以表示為：d其中，E是材料的彈性模量，I是截面的慣性矩，w是梁的撓度，qx5.1.3示例假設(shè)我們有一根簡(jiǎn)支梁，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，在梁的中點(diǎn)施加一個(gè)集中力F。梁的截面為矩形，寬度為b，高度為h。材料的彈性模量為E。我們可以通過以下步驟來求解梁的撓度。確定邊界條件：簡(jiǎn)支梁的邊界條件為兩端的撓度和轉(zhuǎn)角均為零。求解微分方程：根據(jù)梁的彎曲方程，我們可以求解出梁的撓度表達(dá)式。5.1.3.1Python代碼示例importsympyassp

#定義符號(hào)變量

x,F,E,I,L=sp.symbols('xFEIL')

#定義微分方程

w=sp.Function('w')(x)

differential_equation=sp.diff(E*I*sp.diff(w,x,2),x,2)-F*sp.DiracDelta(x-L/2)

#求解微分方程

solution=sp.dsolve(differential_equation,w)

#應(yīng)用邊界條件

boundary_conditions=[solution.rhs.subs(x,0)-0,sp.diff(solution.rhs,x).subs(x,0)-0,

solution.rhs.subs(x,L)-0,sp.diff(solution.rhs,x).subs(x,L)-0]

#求解常數(shù)

constants=sp.solve(boundary_conditions,solution.rhs.free_symbols)

#替換常數(shù)得到最終解

final_solution=solution.rhs.subs(constants)

#打印結(jié)果

print("梁的撓度表達(dá)式為：")

sp.pprint(final_solution)5.1.4解釋上述代碼使用了sympy庫來求解微分方程。首先，我們定義了符號(hào)變量，包括梁的長(zhǎng)度L，彈性模量E，慣性矩I，以及施加的集中力F。然后，我們定義了微分方程，其中使用了DiracDelta函數(shù)來表示中點(diǎn)的集中力。求解微分方程后，我們應(yīng)用了簡(jiǎn)支梁的邊界條件，即兩端的撓度和轉(zhuǎn)角均為零。最后，我們求解了常數(shù)，并將它們代入到微分方程的解中，得到了梁的撓度表達(dá)式。5.2壓力容器的應(yīng)力分析5.2.1原理壓力容器的應(yīng)力分析是彈性力學(xué)中的另一個(gè)重要應(yīng)用，主要關(guān)注容器在內(nèi)部壓力作用下產(chǎn)生的應(yīng)力。壓力容器的形狀可以是圓筒形、球形或其他形狀，但圓筒形和球形是最常見的。在分析壓力容器的應(yīng)力時(shí)，通常使用薄殼理論，該理論假設(shè)容器的壁厚遠(yuǎn)小于其直徑。5.2.2內(nèi)容對(duì)于圓筒形壓力容器，其在內(nèi)部壓力作用下產(chǎn)生的應(yīng)力可以分為環(huán)向應(yīng)力和軸向應(yīng)力。環(huán)向應(yīng)力和軸向應(yīng)力的計(jì)算公式分別為：σσ其中，p是內(nèi)部壓力，r是容器的內(nèi)半徑，t是容器的壁厚。5.2.3示例假設(shè)我們有一個(gè)圓筒形壓力容器，內(nèi)半徑為r，壁厚為t，內(nèi)部壓力為p。我們可以通過以下步驟來求解容器的環(huán)向應(yīng)力和軸向應(yīng)力。確定參數(shù)：給定容器的內(nèi)半徑r，壁厚t，以及內(nèi)部壓力p。計(jì)算應(yīng)力：根據(jù)薄殼理論的公式，我們可以計(jì)算出環(huán)向應(yīng)力和軸向應(yīng)力。5.2.3.1Python代碼示例#定義參數(shù)

r=1.0#內(nèi)半徑，單位：米

t=0.01#壁厚，單位：米

p=1e6#內(nèi)部壓力，單位：帕斯卡

#計(jì)算環(huán)向應(yīng)力和軸向應(yīng)力

sigma_theta=p*r/t

sigma_z=p*r/(2*t)

#打印結(jié)果

print("環(huán)向應(yīng)力為：",sigma_theta,"帕斯卡")

print("軸向應(yīng)力為：",sigma_z,"帕斯卡")5.2.4解釋上述代碼首先定義了容器的內(nèi)半徑r，壁厚t，以及內(nèi)部壓力p。然后，根據(jù)薄殼理論的公式，我們計(jì)算了環(huán)向應(yīng)力和軸向應(yīng)力。最后，我們打印了計(jì)算出的應(yīng)力值。這個(gè)例子展示了如何使用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)公式來分析壓力容器的應(yīng)力，這對(duì)于設(shè)計(jì)和評(píng)估壓力容器的安全性非常重要。6彈性力學(xué)基礎(chǔ)：邊界條件與彈性力學(xué)數(shù)值方法6.1有限元法中的應(yīng)力邊界條件在有限元法(FEM)中，應(yīng)力邊界條件是定義在結(jié)構(gòu)邊界上的外力或應(yīng)力分布，它們對(duì)于準(zhǔn)確求解彈性體的變形和應(yīng)力至關(guān)重要。應(yīng)力邊界條件可以是面力（如壓力或牽引力）或點(diǎn)力（如集中力）。在實(shí)際應(yīng)用中，這些條件可以通過各種方式施加，包括直接在邊界上施加應(yīng)力、施加面力或通過約束來間接影響應(yīng)力分布。6.1.1直接施加應(yīng)力在有限元分析中，可以直接在模型的邊界上施加應(yīng)力。例如，如果一個(gè)結(jié)構(gòu)的一端被固定，而另一端受到均勻的拉應(yīng)力，可以將拉應(yīng)力作為邊界條件直接施加在自由端的邊界上。6.1.2施加面力面力，如壓力或牽引力，通常在有限元模型的邊界上施加。這些力可以是均勻分布的，也可以是隨位置變化的。例如，一個(gè)承受水壓的水壩，水壓隨水深線性增加，這種情況下，面力將隨位置變化。6.1.3通過約束間接影響應(yīng)力在某些情況下，邊界條件可能不是直接的應(yīng)力或面力，而是通過約束來間接影響應(yīng)力分布。例如，一個(gè)結(jié)構(gòu)的某部分被固定，不允許任何位移，這種約束將導(dǎo)致該部分的應(yīng)力分布發(fā)生變化。6.1.4示例：使用Python和FEniCS求解帶有應(yīng)力邊界條件的彈性問題假設(shè)我們有一個(gè)簡(jiǎn)單的二維彈性體，其一端受到均勻的拉應(yīng)力，另一端被固定。我們將使用Python和FEniCS庫來求解這個(gè)問題。fromfenicsimport*

#創(chuàng)建網(wǎng)格和函數(shù)空間

mesh=UnitSquareMesh(32,32)

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',degree=1)

#定義邊界條件

defleft_boundary(x,on_boundary):

returnnear(x[0],0.0)andon_boundary

defright_boundary(x,on_boundary):

returnnear(x[0],1.0)andon_boundary

bc_left=DirichletBC(V,Constant((0,0)),left_boundary)

bc_right=DirichletBC(V.sub(0),Constant(1.0),right_boundary)

#定義變分問題

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

f=Constant((0,-10))

T=Constant((1.0,0.0))

#彈性體參數(shù)

E=1e3

nu=0.3

mu=E/(2*(1+nu))

lmbda=E*nu/((1+nu)*(1-2*nu))

#應(yīng)力邊界條件

a=lmbda*dot(div(u),div(v))*dx+2*mu*dot(sym(grad(u)),sym(grad(v)))*dx

L=dot(f,v)*dx+dot(T,v)*ds

#求解

u=Function(V)

solve(a==L,u,[bc_left,bc_right])

#可視化結(jié)果

importmatplotlib.pyplotasplt

plot(u)

plt.show()在這個(gè)例子中，我們定義了一個(gè)帶有拉應(yīng)力和固定約束的二維彈性體問題，并使用有限元法求解了位移場(chǎng)。通過Constant((1.0,0.0))定義了右邊界上的均勻拉應(yīng)力，而DirichletBC則用于施加固定約束。6.2邊界元法在彈性力學(xué)中的應(yīng)用邊界元法(BEM)是一種數(shù)值方法，特別適用于求解邊界值問題，如彈性力學(xué)中的應(yīng)力和位移問題。與有限元法不同，BEM僅在結(jié)構(gòu)的邊界上進(jìn)行計(jì)算，