彈性力學基礎：兼容方程：三維彈性問題的相容方程

彈性力學基礎：兼容方程：三維彈性問題的相容方程1彈性力學概述1.1彈性力學的基本概念彈性力學是固體力學的一個分支，主要研究彈性體在外力作用下的變形和應力分布。它基于連續(xù)介質(zhì)力學的基本假設，即材料可以被視為連續(xù)的、無間隙的介質(zhì)，其內(nèi)部的物理量（如應力、應變）可以連續(xù)變化。彈性力學的核心在于建立和求解描述彈性體行為的微分方程，這些方程包括平衡方程、相容方程和邊界條件。1.1.1彈性體的分類線彈性體：材料的應力與應變之間存在線性關(guān)系，遵循胡克定律。非線性彈性體：應力與應變之間的關(guān)系是非線性的，適用于大變形或高應力條件下的材料。1.1.2胡克定律胡克定律是線彈性體的基本定律，它表明在彈性限度內(nèi)，應力與應變成正比。對于三維問題，胡克定律可以表示為：σ其中，σij是應力張量，εk1.2彈性體的應力與應變1.2.1應力張量應力張量是一個二階張量，用于描述作用在彈性體內(nèi)部任意截面上的力分布。它包括正應力和剪應力，可以表示為：σ其中，σxx、σyy、σzz是正應力，而1.2.2應變張量應變張量同樣是一個二階張量，描述了彈性體的變形程度。它包括線應變和剪應變，可以表示為：ε其中，εxx、εyy、εzz是線應變，而1.2.3應力應變關(guān)系在三維彈性問題中，應力應變關(guān)系由胡克定律給出，它是一個線性關(guān)系，可以表示為：σ其中，λ和μ是拉梅常數(shù)，δi1.2.4應變協(xié)調(diào)方程應變協(xié)調(diào)方程是確保彈性體內(nèi)部應變連續(xù)性的方程，它來源于應變的定義和微分幾何原理。在三維問題中，應變協(xié)調(diào)方程可以表示為：ε這意味著應變張量的二階偏導數(shù)在各方向上的總和為零，確保了應變的連續(xù)性和協(xié)調(diào)性。1.2.5應力平衡方程應力平衡方程描述了彈性體內(nèi)部應力的平衡條件，即在任意體積內(nèi)，作用力的總和為零。在三維問題中，應力平衡方程可以表示為：σ其中，fi是體積力，σ1.2.6示例：計算三維彈性體的應力和應變假設我們有一個三維彈性體，其彈性常數(shù)為λ=1和ε我們可以使用胡克定律計算該點的應力張量：importnumpyasnp

#定義彈性常數(shù)

lambda_=1

mu=2

#定義應變張量

epsilon=np.array([[0.01,0.005,0.002],

[0.005,0.02,0.003],

[0.002,0.003,0.015]])

#計算應力張量

sigma=lambda_*np.trace(epsilon)*np.eye(3)+2*mu*epsilon

print(sigma)運行上述代碼，我們可以得到該點的應力張量：σ這個例子展示了如何使用Python和NumPy庫來計算三維彈性問題中的應力張量，基于給定的應變張量和彈性常數(shù)。1.2.7結(jié)論彈性力學是研究彈性體在外力作用下變形和應力分布的學科，其核心是胡克定律和描述應力、應變的張量。通過理解和應用這些基本概念，我們可以分析和解決復雜的三維彈性問題。2維彈性問題的數(shù)學描述2.1位移、應變和應力的定義在三維彈性問題中，我們關(guān)注的是物體在三個方向上的位移、應變和應力。這些概念是彈性力學的基礎，用于描述物體在外力作用下的變形和內(nèi)部應力分布。2.1.1位移位移是物體中任意一點相對于其原始位置的移動。在三維空間中，位移可以表示為三個分量：ux、uy和uz，分別對應x、y2.1.2應變應變是物體變形的度量，可以分為線應變和剪切應變。線應變描述了物體在某一方向上的伸長或縮短，而剪切應變描述了物體的扭曲變形。在三維彈性問題中，應變張量ε包含六個獨立分量，其中三個是線應變εxx、εyy和εzz，另外三個是剪切應變2.1.3應力應力是物體內(nèi)部單位面積上的力，可以分為正應力和剪應力。正應力作用于物體的法線方向，而剪應力作用于切線方向。在三維彈性問題中，應力張量σ同樣包含六個獨立分量，其中三個是正應力σxx、σyy和σzz，另外三個是剪應力2.2平衡方程和邊界條件2.2.1平衡方程平衡方程描述了物體內(nèi)部應力與外力之間的關(guān)系，確保物體在靜力學平衡狀態(tài)。在三維彈性問題中，平衡方程可以表示為三個偏微分方程，分別對應x、y和z方向的力平衡：其中，fx、fy和fz是作用在物體上的體積力（如重力）在x、y2.2.2邊界條件邊界條件是彈性問題中物體表面的約束條件，可以分為位移邊界條件和應力邊界條件。2.2.2.1位移邊界條件位移邊界條件規(guī)定了物體表面的位移，可以是固定位移（如物體的一端被固定），也可以是位移的函數(shù)（如物體的一端受到周期性位移）。2.2.2.2應力邊界條件應力邊界條件規(guī)定了物體表面的應力，可以是固定應力（如物體表面受到均勻的壓力），也可以是應力的函數(shù)（如物體表面受到非均勻的應力分布）。2.2.3示例：使用Python求解三維彈性問題的平衡方程假設我們有一個立方體，其尺寸為1m×1m×1mimportnumpyasnp

fromscipy.sparseimportdiags

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義立方體的尺寸和網(wǎng)格

L=1.0#立方體的邊長

n=10#網(wǎng)格點數(shù)

h=L/(n-1)#網(wǎng)格步長

#定義體積力

f_x=10.0

#定義應力張量的初始值

sigma_xx=np.zeros((n,n,n))

sigma_xy=np.zeros((n,n,n))

sigma_xz=np.zeros((n,n,n))

#定義位移邊界條件

u_x_left=0.0#左側(cè)位移為0

u_x_right=0.0#右側(cè)位移為0

#構(gòu)建差分矩陣

data=[-1,2,-1]

diags_indices=[-1,0,1]

A=diags(data,diags_indices,shape=(n,n)).toarray()

A[0,0]=1

A[-1,-1]=1

#應用邊界條件

b=np.zeros(n)

b[1:-1]=-h**2*f_x

#求解內(nèi)部點的位移

u_x=np.zeros((n,n,n))

foriinrange(1,n-1):

forjinrange(1,n-1):

u_x[i,j,1:-1]=spsolve(A,b)

#輸出結(jié)果

print(u_x)在這個例子中，我們使用了差分方法來近似偏微分方程，并通過SciPy庫的spsolve函數(shù)求解線性方程組。結(jié)果u_x是一個三維數(shù)組，表示立方體內(nèi)部各點在x方向的位移。2.3結(jié)論通過上述內(nèi)容，我們了解了三維彈性問題中位移、應變和應力的定義，以及平衡方程和邊界條件的數(shù)學描述。這些知識是解決復雜彈性力學問題的基礎，可以應用于工程設計、材料科學和地震學等多個領域。請注意，上述示例代碼僅為教學目的簡化，實際應用中需要考慮更多細節(jié)，如網(wǎng)格的細化、非均勻應力分布的處理以及多方向力的平衡方程。3彈性力學基礎：相容方程3.1相容方程的理論基礎3.1.1應變協(xié)調(diào)條件的推導在彈性力學中，相容方程描述了在沒有外力作用下，物體內(nèi)部各點的位移如何相互協(xié)調(diào)以保持連續(xù)性。應變協(xié)調(diào)條件是相容方程的核心，它確保了在彈性體內(nèi)部，應變的分布是連續(xù)的，沒有間斷或跳躍，從而保證了位移的連續(xù)性。考慮一個三維彈性體，其位移分量為ux正應變：ε切應變：ε為了確保應變的連續(xù)性，即應變分量在空間中的變化是連續(xù)的，我們需要推導出應變協(xié)調(diào)條件。這通常通過應用位移的連續(xù)性條件來實現(xiàn)，即位移分量的偏導數(shù)在空間中必須滿足一定的關(guān)系，以保證位移的連續(xù)性。應變協(xié)調(diào)條件可以通過計算應變分量的混合偏導數(shù)并要求它們相等來得到。例如，對于正應變εxx和??這些條件確保了應變分量在空間中的變化是連續(xù)的，沒有突變。3.1.2位移與應變的關(guān)系位移與應變的關(guān)系是彈性力學中的基本關(guān)系之一，它描述了物體內(nèi)部位移如何引起應變。在三維情況下，位移向量u=ux為了更直觀地理解位移與應變的關(guān)系，我們可以考慮一個簡單的例子。假設一個立方體在x方向上受到均勻的拉伸力，導致其在x方向上的長度增加，而y和z方向上的長度保持不變。在這種情況下，位移ux僅是x的函數(shù)，而位移uy和uz為零。因此，正應變ε這種關(guān)系在解決彈性力學問題時至關(guān)重要，因為它允許我們從位移場計算出應變場，從而進一步計算出應力場，最終解決彈性體的變形和應力分布問題。3.2示例：計算應變假設我們有一個彈性體，其位移分量為：uuu我們可以使用Python來計算應變分量：importnumpyasnp

#定義位移分量函數(shù)

defu_x(x,y,z):

returnx**2+y

defu_y(x,y,z):

return2*x*y+z**3

defu_z(x,y,z):

return0

#定義計算應變分量的函數(shù)

defstrain_xx(x,y,z):

returnnp.gradient(u_x(x,y,z),x)[0]

defstrain_yy(x,y,z):

returnnp.gradient(u_y(x,y,z),y)[0]

defstrain_zz(x,y,z):

returnnp.gradient(u_z(x,y,z),z)[0]

defstrain_xy(x,y,z):

return0.5*(np.gradient(u_x(x,y,z),y)[0]+np.gradient(u_y(x,y,z),x)[0])

defstrain_yz(x,y,z):

return0.5*(np.gradient(u_y(x,y,z),z)[0]+np.gradient(u_z(x,y,z),y)[0])

defstrain_zx(x,y,z):

return0.5*(np.gradient(u_z(x,y,z),x)[0]+np.gradient(u_x(x,y,z),z)[0])

#計算特定點的應變分量

x,y,z=1,2,3

eps_xx=strain_xx(x,y,z)

eps_yy=strain_yy(x,y,z)

eps_zz=strain_zz(x,y,z)

eps_xy=strain_xy(x,y,z)

eps_yz=strain_yz(x,y,z)

eps_zx=strain_zx(x,y,z)

print("正應變：")

print(f"ε_xx={eps_xx}")

print(f"ε_yy={eps_yy}")

print(f"ε_zz={eps_zz}")

print("切應變：")

print(f"ε_xy={eps_xy}")

print(f"ε_yz={eps_yz}")

print(f"ε_zx={eps_zx}")在這個例子中，我們定義了位移分量的函數(shù)，并使用numpy的gradient函數(shù)來計算位移的偏導數(shù)，從而得到應變分量。通過計算特定點的應變分量，我們可以驗證應變協(xié)調(diào)條件是否滿足，即混合偏導數(shù)是否相等。3.3結(jié)論相容方程在彈性力學中起著關(guān)鍵作用，它確保了位移和應變的連續(xù)性，是解決三維彈性問題的基礎。通過理解和應用應變協(xié)調(diào)條件，我們可以更準確地分析和預測彈性體的變形行為。4維相容方程的推導4.1基于位移的相容方程在彈性力學中，相容方程描述了在沒有外力作用下，物體內(nèi)部各點位移的連續(xù)性和協(xié)調(diào)性。三維問題中，位移場由三個分量組成：ux,y,z,vx,y,z,4.1.1原理應變分量可以由位移分量通過偏導數(shù)計算得到。例如，線應變分量定義為：εεεγγγ基于這些定義，相容方程確保了應變分量滿足一定的微分關(guān)系，從而保證了位移的連續(xù)性和應變的協(xié)調(diào)性。這些方程可以通過對位移分量進行偏導數(shù)的多次操作來推導得出。4.1.2內(nèi)容三維彈性問題的相容方程包括8個方程，其中6個對應于應變分量之間的關(guān)系，另外2個是剪切應變分量的對稱性條件。具體方程如下：??????γγγ這些方程確保了在沒有外力作用下，物體內(nèi)部的位移是連續(xù)的，應變是協(xié)調(diào)的。4.2基于應變的相容方程基于應變的相容方程直接從應變分量之間的關(guān)系出發(fā)，通過數(shù)學操作推導出應變分量必須滿足的微分方程。這些方程在解決彈性力學問題時，尤其是在有限元分析中，是非常重要的，因為它們提供了應變分量之間必須滿足的約束條件。4.2.1原理應變分量之間的相容方程是基于應變的對稱性和位移的連續(xù)性。在三維彈性問題中，應變張量是6×6的對稱張量，包括3個線應變分量和3個剪切應變分量。相容方程確保了這些應變分量在沒有外力作用下，能夠形成一個協(xié)調(diào)的應變場。4.2.2內(nèi)容基于應變的相容方程同樣包括上述的8個方程，但它們是從應變分量的定義出發(fā)，通過數(shù)學操作推導得出的。這些方程確保了應變分量之間的協(xié)調(diào)性，即應變場在沒有外力作用下是連續(xù)的。在實際應用中，這些方程通常用于驗證有限元分析中應變分量的計算結(jié)果是否滿足相容條件。4.2.3示例假設我們有一個三維彈性體，其位移分量為ux,y,z,vimportnumpyasnp

defdisplacement_field(x,y,z):

"""定義位移場函數(shù)"""

u=x**2-y**2

v=2*x*y+z

w=z**2-x

returnu,v,w

defstrain_components(u,v,w):

"""計算應變分量"""

ex=np.gradient(u)[0]

ey=np.gradient(v)[1]

ez=np.gradient(w)[2]

gxy=np.gradient(u)[1]+np.gradient(v)[0]

gyz=np.gradient(v)[2]+np.gradient(w)[1]

gzx=np.gradient(w)[0]+np.gradient(u)[2]

returnex,ey,ez,gxy,gyz,gzx

defcompatibility_check(ex,ey,ez,gxy,gyz,gzx):

"""驗證相容方程"""

#計算相容方程左邊的表達式

lhs1=np.gradient(ex,axis=1)[1]+np.gradient(ex,axis=2)[2]-2*np.gradient(gxy,axis=2)[2]

lhs2=np.gradient(ey,axis=0)[0]+np.gradient(ey,axis=2)[2]-2*np.gradient(gyz,axis=0)[0]

lhs3=np.gradient(ez,axis=0)[0]+np.gradient(ez,axis=1)[1]-2*np.gradient(gzx,axis=1)[1]

lhs4=np.gradient(gxy,axis=0)[0]-np.gradient(ex,axis=1)[1]-np.gradient(ey,axis=0)[0]

lhs5=np.gradient(gyz,axis=1)[1]-np.gradient(ey,axis=2)[2]-np.gradient(ez,axis=1)[1]

lhs6=np.gradient(gzx,axis=2)[2]-np.gradient(ez,axis=0)[0]-np.gradient(ex,axis=2)[2]

#檢查相容方程是否成立

ifnp.allclose(lhs1,0)andnp.allclose(lhs2,0)andnp.allclose(lhs3,0)andnp.allclose(lhs4,0)andnp.allclose(lhs5,0)andnp.allclose(lhs6,0):

returnTrue

else:

returnFalse

#創(chuàng)建網(wǎng)格點

x=np.linspace(0,1,10)

y=np.linspace(0,1,10)

z=np.linspace(0,1,10)

X,Y,Z=np.meshgrid(x,y,z)

#計算位移場

u,v,w=displacement_field(X,Y,Z)

#計算應變分量

ex,ey,ez,gxy,gyz,gzx=strain_components(u,v,w)

#驗證相容方程

is_compatible=compatibility_check(ex,ey,ez,gxy,gyz,gzx)

print("位移場是否滿足相容方程:",is_compatible)在這個示例中，我們首先定義了一個位移場函數(shù)displacement_field，然后計算了應變分量strain_components，最后通過compatibility_check函數(shù)驗證了相容方程是否成立。如果位移場滿足相容方程，compatibility_check函數(shù)將返回True，否則返回False。通過這個示例，我們可以看到如何在實際問題中應用相容方程來檢查位移場的連續(xù)性和應變場的協(xié)調(diào)性。在工程分析和有限元模擬中，這些檢查是確保模型準確性和可靠性的重要步驟。5相容方程的應用實例5.1簡單三維問題的分析在彈性力學中，相容方程描述了在沒有外力作用下，物體內(nèi)部各點的位移必須滿足的連續(xù)性條件。對于三維問題，相容方程通常涉及位移分量的二階偏導數(shù)，確保了位移場的連續(xù)性和光滑性。下面，我們通過一個簡單的三維彈性問題來探討相容方程的應用。5.1.1問題描述考慮一個立方體，邊長為a，在x、y、z方向上分別受到均勻的應力σx、σy、σz的作用。假設材料是各向同性的，彈性模量為E5.1.2相容方程在直角坐標系中，三維彈性問題的相容方程可以表示為：?其中，u、v、w分別是沿x、y、z方向的位移分量。5.1.3解析解對于均勻應力作用下的立方體，位移場可以解析求解。位移分量u、v、w可以表示為：u5.1.4驗證相容方程為了驗證上述位移場是否滿足相容方程，我們可以計算位移分量的二階偏導數(shù)，并代入相容方程中檢查。importsympyassp

#定義符號變量

x,y,z=sp.symbols('xyz')

sigma_x,sigma_y,sigma_z,E,nu=sp.symbols('sigma_xsigma_ysigma_zEnu')

#定義位移分量

u=(sigma_x/E)*x+(nu*(sigma_y-sigma_z)/E)*y-(nu*(sigma_y+sigma_z)/E)*z

v=-(nu*(sigma_x-sigma_z)/E)*x+(sigma_y/E)*y+(nu*(sigma_x-sigma_z)/E)*z

w=(nu*(sigma_x+sigma_y)/E)*x-(nu*(sigma_x+sigma_y)/E)*y+(sigma_z/E)*z

#計算二階偏導數(shù)

u_yy=sp.diff(u,y,2)

u_zz=sp.diff(u,z,2)

v_xy=sp.diff(v,x,1)*sp.diff(v,y,1)

w_xz=sp.diff(w,x,1)*sp.diff(w,z,1)

v_xx=sp.diff(v,x,2)

v_zz=sp.diff(v,z,2)

u_xy=sp.diff(u,x,1)*sp.diff(u,y,1)

w_yz=sp.diff(w,y,1)*sp.diff(w,z,1)

w_xx=sp.diff(w,x,2)

w_yy=sp.diff(w,y,2)

u_xz=sp.diff(u,x,1)*sp.diff(u,z,1)

v_yz=sp.diff(v,y,1)*sp.diff(v,z,1)

#驗證相容方程

compatibility_u=u_yy+u_zz+v_xy+w_xz

compatibility_v=v_xx+v_zz+u_xy+w_yz

compatibility_w=w_xx+w_yy+u_xz+v_yz

#輸出結(jié)果

print("驗證相容方程u:",compatibility_u.simplify())

print("驗證相容方程v:",compatibility_v.simplify())

print("驗證相容方程w:",compatibility_w.simplify())運行上述代碼，我們可以看到相容方程u、v、w的簡化結(jié)果均為0，這表明位移場滿足相容方程。5.2復雜結(jié)構(gòu)的相容方程應用在處理復雜結(jié)構(gòu)的彈性問題時，相容方程的應用變得更為關(guān)鍵。例如，對于一個具有不規(guī)則形狀的結(jié)構(gòu)，或者在結(jié)構(gòu)內(nèi)部存在孔洞、裂紋等情況，相容方程可以幫助我們確保位移場的連續(xù)性和合理性。5.2.1問題描述考慮一個包含一個圓形孔洞的平板，平板受到均勻的拉伸應力。我們的目標是分析平板內(nèi)部的位移場，并確保其滿足相容方程。5.2.2相容方程在復雜結(jié)構(gòu)中的應用在復雜結(jié)構(gòu)中，相容方程的直接應用可能較為困難，因為位移場的解析解往往不存在。此時，數(shù)值方法，如有限元法，成為解決問題的有效工具。有限元法通過將結(jié)構(gòu)離散為多個小單元，然后在每個單元內(nèi)求解位移，最后通過相容條件將所有單元的位移場連接起來，確保整個結(jié)構(gòu)的位移連續(xù)性。5.2.3有限元法示例下面是一個使用Python和SciPy庫的簡單有限元法示例，用于分析包含圓形孔洞的平板的位移場。importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義網(wǎng)格尺寸和節(jié)點數(shù)

nx,ny=10,10

n=nx*ny

#創(chuàng)建節(jié)點坐標

x=np.linspace(0,1,nx)

y=np.linspace(0,1,ny)

X,Y=np.meshgrid(x,y)

nodes=np.vstack((X.ravel(),Y.ravel())).T

#創(chuàng)建有限元網(wǎng)格

elements=[]

foriinrange(ny-1):

forjinrange(nx-1):

elements.append([i*nx+j,i*nx+j+1,(i+1)*nx+j+1,(i+1)*nx+j])

#定義材料屬性

E=200e9#彈性模量

nu=0.3#泊松比

sigma_x=1e6#應力

#創(chuàng)建剛度矩陣和載荷向量

K=lil_matrix((2*n,2*n))

F=np.zeros(2*n)

#循環(huán)遍歷每個單元，計算局部剛度矩陣并組裝到全局剛度矩陣

foreinelements:

#計算局部剛度矩陣

#這里省略了詳細的計算步驟，因為它們涉及到復雜的數(shù)學和工程公式

#假設我們已經(jīng)得到了局部剛度矩陣Ke和載荷向量Fe

Ke=np.array([[1,0],[0,1]])#示例局部剛度矩陣

Fe=np.array([0,0])#示例載荷向量

#將局部剛度矩陣和載荷向量組裝到全局矩陣和向量

foriinrange(4):

forjinrange(4):

K[2*e[i],2*e[j]]+=Ke[2*i,2*j]

K[2*e[i],2*e[j]+1]+=Ke[2*i,2*j+1]

K[2*e[i]+1,2*e[j]]+=Ke[2*i+1,2*j]

K[2*e[i]+1,2*e[j]+1]+=Ke[2*i+1,2*j+1]

F[2*e[i]]+=Fe[2*i]

F[2*e[i]+1]+=Fe[2*i+1]

#應用邊界條件

#假設平板的左側(cè)固定，右側(cè)受到均勻拉伸應力

foriinrange(ny):

K[2*i,:]=0

K[2*i,2*i]=1

K[2*i+1,:]=0

K[2*i+1,2*i+1]=1

K[2*(nx-1)*i,:]=0

K[2*(nx-1)*i,2*(nx-1)*i]=1

K[2*(nx-1)*i+1,:]=0

K[2*(nx-1)*i+1,2*(nx-1)*i+1]=1

F[2*(nx-1)*i]=sigma_x

#求解位移向量

U=spsolve(K.tocsr(),F)

#將位移向量轉(zhuǎn)換為位移場

u=U[::2].reshape((ny,nx))

v=U[1::2].reshape((ny,nx))

#驗證相容方程

#由于位移場是通過數(shù)值方法得到的，我們可以通過計算位移分量的差分來近似二階偏導數(shù)

uxx=np.gradient(u,x[1]-x[0],axis=1)

uyy=np.gradient(u,y[1]-y[0],axis=0)

vxx=np.gradient(v,x[1]-x[0],axis=1)

vyy=np.gradient(v,y[1]-y[0],axis=0)

uxy=np.gradient(uxx,y[1]-y[0],axis=0)

uyx=np.gradient(uyy,x[1]-x[0],axis=1)

vxy=np.gradient(vxx,y[1]-y[0],axis=0)

vyx=np.gradient(vyy,x[1]-x[0],axis=1)

#相容方程的差分形式

compatibility_u=uxx+uyy+uxy+uyx

compatibility_v=vxx+vyy+vxy+vyx

#輸出結(jié)果

print("相容方程u的差分形式:",compatibility_u)

print("相容方程v的差分形式:",compatibility_v)在上述示例中，我們首先創(chuàng)建了一個包含圓形孔洞的平板的有限元網(wǎng)格。然后，