彈性力學(xué)基礎(chǔ)：應(yīng)力函數(shù)：應(yīng)力函數(shù)的求解方法：泊松方程

彈性力學(xué)基礎(chǔ)：應(yīng)力函數(shù)：應(yīng)力函數(shù)的求解方法：泊松方程1彈性力學(xué)概述1.1彈性力學(xué)的基本概念彈性力學(xué)是固體力學(xué)的一個(gè)分支，主要研究彈性體在外力作用下的變形和應(yīng)力分布。彈性體是指在外力作用下能夠產(chǎn)生變形，當(dāng)外力去除后，能夠恢復(fù)到原來形狀的物體。在彈性力學(xué)中，我們關(guān)注的是物體的內(nèi)部應(yīng)力和應(yīng)變，以及它們與外力之間的關(guān)系。1.1.1彈性體的分類一維彈性體：如桿件，主要研究軸向應(yīng)力和應(yīng)變。二維彈性體：如板和殼，研究平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題。三維彈性體：如實(shí)體，研究空間應(yīng)力和應(yīng)變問題。1.1.2彈性力學(xué)的基本假設(shè)連續(xù)性假設(shè)：物體內(nèi)部的應(yīng)力和應(yīng)變是連續(xù)分布的。小變形假設(shè)：物體的變形相對于其原始尺寸很小。各向同性假設(shè)：物體在所有方向上的物理性質(zhì)相同。均勻性假設(shè)：物體的物理性質(zhì)在空間上是均勻的。1.2應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系在彈性力學(xué)中，應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系是通過材料的本構(gòu)方程來描述的。對于線性彈性材料，這種關(guān)系遵循胡克定律。1.2.1胡克定律胡克定律表述為應(yīng)力與應(yīng)變成正比，比例常數(shù)為材料的彈性模量。對于一維情況，胡克定律可以表示為：σ其中，σ是應(yīng)力，?是應(yīng)變，E是彈性模量。1.2.2彈性模量楊氏模量E：描述材料在拉伸或壓縮時(shí)的彈性性質(zhì)。剪切模量G：描述材料在剪切作用下的彈性性質(zhì)。體積模量K：描述材料在體積變化時(shí)的彈性性質(zhì)。1.2.3應(yīng)力張量和應(yīng)變張量在三維情況下，應(yīng)力和應(yīng)變分別用應(yīng)力張量和應(yīng)變張量來描述。應(yīng)力張量和應(yīng)變張量都是二階張量，可以表示為：σ其中，Eijkl是彈性常數(shù)，σ1.2.4應(yīng)力張量的分量應(yīng)力張量的分量包括正應(yīng)力和剪應(yīng)力。正應(yīng)力是垂直于物體表面的應(yīng)力，剪應(yīng)力是平行于物體表面的應(yīng)力。1.2.5應(yīng)變張量的分量應(yīng)變張量的分量包括線應(yīng)變和剪應(yīng)變。線應(yīng)變描述物體在某一方向上的伸長或縮短，剪應(yīng)變描述物體在某一平面內(nèi)的剪切變形。1.2.6應(yīng)力邊界條件和位移邊界條件應(yīng)力邊界條件：在物體的邊界上，可以指定應(yīng)力的大小和方向。位移邊界條件：在物體的邊界上，可以指定位移的大小和方向。1.2.7平衡方程在彈性體內(nèi)部，應(yīng)力必須滿足平衡方程，即在任意體積元上，所有作用力的合力為零。平衡方程可以表示為：?其中，fi1.2.8應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)是彈性力學(xué)中用于簡化應(yīng)力和應(yīng)變計(jì)算的一種數(shù)學(xué)工具。通過引入應(yīng)力函數(shù)，可以將彈性力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為偏微分方程問題，從而簡化求解過程。1.2.9泊松方程在某些情況下，應(yīng)力函數(shù)的求解可以轉(zhuǎn)化為泊松方程的求解。泊松方程是一種常見的偏微分方程，形式為：?其中，?是應(yīng)力函數(shù)，f是源項(xiàng)，?21.2.10泊松方程的求解方法泊松方程的求解方法包括解析解法和數(shù)值解法。解析解法適用于簡單幾何形狀和邊界條件的問題，而數(shù)值解法適用于復(fù)雜幾何形狀和邊界條件的問題。解析解法示例假設(shè)我們有一個(gè)無限長的圓柱體，其軸向應(yīng)力為常數(shù)，徑向和周向應(yīng)力為零。在這種情況下，泊松方程可以簡化為：?其中，r是圓柱體的半徑。這個(gè)方程的解析解為：?其中，A和B是積分常數(shù)，可以通過邊界條件來確定。數(shù)值解法示例對于復(fù)雜幾何形狀和邊界條件的問題，我們通常使用數(shù)值解法，如有限元法或邊界元法。以下是一個(gè)使用Python和SciPy庫求解泊松方程的簡單示例：importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportdiags

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義網(wǎng)格大小和泊松方程的源項(xiàng)

N=100

f=np.ones((N,N))

#定義拉普拉斯算子的矩陣

data=np.array([[-4,1,1,1,1]])

offsets=np.array([0,-1,1,-N,N])

L=diags(data,offsets,shape=(N*N,N*N)).tocsc()

#應(yīng)用邊界條件

L[0,:N]=1

L[N-1,N-1:N+N-1]=1

L[N*(N-1),N*(N-1):N*(N-1)+N]=1

L[N*N-1,N*N-N:N*N]=1

#求解泊松方程

phi=spsolve(L,f.flatten()).reshape(N,N)

#打印結(jié)果

print(phi)在這個(gè)例子中，我們使用了一個(gè)100×100的網(wǎng)格來求解泊松方程。我們首先定義了網(wǎng)格大小和泊松方程的源項(xiàng)，然后構(gòu)建了拉普拉斯算子的矩陣。接著，我們應(yīng)用了邊界條件，最后使用SciPy庫的1.2.11結(jié)論彈性力學(xué)是研究彈性體在外力作用下的變形和應(yīng)力分布的學(xué)科。應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系遵循胡克定律，而泊松方程是求解應(yīng)力函數(shù)的一種常見方法。通過解析解法和數(shù)值解法，我們可以解決各種彈性力學(xué)問題。2泊松方程的推導(dǎo)2.1彈性體的平衡方程在彈性力學(xué)中，平衡方程描述了彈性體內(nèi)部的力平衡條件。對于一個(gè)三維彈性體，平衡方程可以表示為：?其中，σ是應(yīng)力張量，b是體力向量，??σ表示應(yīng)力張量的散度。在沒有體力作用的情況下，即?2.1.1應(yīng)力張量的表示應(yīng)力張量σ可以用以下形式表示：σ2.1.2應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系在彈性體中，應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系由胡克定律給出：σ其中，C是彈性張量，ε是應(yīng)變張量。在各向同性材料中，胡克定律可以簡化為：σ這里，λ和μ分別是拉梅常數(shù)和剪切模量，δij2.1.3應(yīng)變與位移的關(guān)系應(yīng)變張量ε可以通過位移場u來表示：ε將應(yīng)變與位移的關(guān)系代入應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系中，可以得到應(yīng)力與位移的關(guān)系。2.2泊松方程的數(shù)學(xué)形式將上述關(guān)系代入平衡方程中，可以得到泊松方程的數(shù)學(xué)形式。對于各向同性材料，在沒有體力作用的情況下，泊松方程可以表示為：?這里，?2是拉普拉斯算子，??2.2.1簡化泊松方程在平面應(yīng)力或平面應(yīng)變問題中，泊松方程可以進(jìn)一步簡化。例如，在平面應(yīng)力問題中，泊松方程可以簡化為：??這里，E是彈性模量，ux和uy分別是位移場在x和y2.2.2泊松方程的求解泊松方程的求解通常采用數(shù)值方法，如有限元法或有限差分法。下面是一個(gè)使用Python和SciPy庫求解二維泊松方程的示例：importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportdiags

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義網(wǎng)格大小和邊界條件

nx,ny=100,100

hx,hy=1.0/(nx-1),1.0/(ny-1)

u=np.zeros((nx,ny))

u[0,:]=1.0#上邊界條件

u[-1,:]=0.0#下邊界條件

u[:,0]=0.0#左邊界條件

u[:,-1]=0.0#右邊界條件

#定義泊松方程的系數(shù)矩陣

data=[np.ones(nx*ny),-2*np.ones(nx*ny),np.ones(nx*ny)]

diags_indices=[0,np.arange(1,nx*ny),np.arange(-1,nx*ny-1)]

A=diags(data,diags_indices,shape=(nx*ny,nx*ny)).toarray()

#定義泊松方程的右側(cè)向量

b=np.zeros(nx*ny)

#更新系數(shù)矩陣和右側(cè)向量以考慮邊界條件

foriinrange(nx):

forjinrange(ny):

ifi==0:

A[i*ny+j,i*ny+j]=1.0

b[i*ny+j]=u[i,j]

elifi==nx-1:

A[i*ny+j,i*ny+j]=1.0

b[i*ny+j]=u[i,j]

elifj==0:

A[i*ny+j,i*ny+j]=1.0

b[i*ny+j]=u[i,j]

elifj==ny-1:

A[i*ny+j,i*ny+j]=1.0

b[i*ny+j]=u[i,j]

else:

A[i*ny+j,i*ny+j]=-4.0/(hx*hy)

A[i*ny+j,(i-1)*ny+j]=1.0/(hx*hy)

A[i*ny+j,(i+1)*ny+j]=1.0/(hx*hy)

A[i*ny+j,i*ny+j-1]=1.0/(hx*hy)

A[i*ny+j,i*ny+j+1]=1.0/(hx*hy)

#求解泊松方程

u=spsolve(A,b).reshape((nx,ny))

#輸出結(jié)果

print(u)在這個(gè)例子中，我們使用了一個(gè)100x100的網(wǎng)格來求解泊松方程。上邊界條件被設(shè)置為1.0，而其他邊界條件被設(shè)置為0.0。我們使用了有限差分法來離散泊松方程，并使用SciPy庫中的spsolve函數(shù)來求解系數(shù)矩陣和右側(cè)向量。2.3結(jié)論泊松方程是彈性力學(xué)中描述彈性體內(nèi)部力平衡條件的重要方程。通過將應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系、應(yīng)變與位移的關(guān)系以及平衡方程相結(jié)合，我們可以得到泊松方程的數(shù)學(xué)形式。泊松方程的求解通常采用數(shù)值方法，如有限元法或有限差分法。在實(shí)際應(yīng)用中，泊松方程的求解可以幫助我們預(yù)測彈性體在不同載荷條件下的變形和應(yīng)力分布。3彈性力學(xué)基礎(chǔ)：應(yīng)力函數(shù)3.1應(yīng)力函數(shù)的概念在彈性力學(xué)中，應(yīng)力函數(shù)是一個(gè)用于簡化彈性體內(nèi)部應(yīng)力分布計(jì)算的數(shù)學(xué)工具。它通過滿足彈性體的平衡方程和相容方程，間接地描述了應(yīng)力場的分布。應(yīng)力函數(shù)的引入，使得在解決復(fù)雜彈性問題時(shí)，可以避免直接求解應(yīng)力分量，從而簡化了計(jì)算過程。3.1.1定義應(yīng)力函數(shù)通常定義為一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，記作ux,y,z，vx,y,z或3.1.2特性平衡方程：應(yīng)力函數(shù)必須滿足彈性體的平衡方程，即在沒有外力作用時(shí)，彈性體內(nèi)部的應(yīng)力分量滿足靜力平衡條件。相容方程：應(yīng)力函數(shù)還必須滿足相容方程，確保由應(yīng)力函數(shù)導(dǎo)出的應(yīng)變分量滿足幾何相容條件，即應(yīng)變分量之間滿足一定的關(guān)系，以保證變形的連續(xù)性。3.2應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力的關(guān)系在彈性力學(xué)中，應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力之間的關(guān)系是通過一系列微分方程建立的。對于平面應(yīng)力問題，Airy應(yīng)力函數(shù)ux,y與應(yīng)力分量σx，3.2.1示例：求解平面應(yīng)力問題假設(shè)我們有一個(gè)矩形彈性體，其長為L，寬為W，在x方向上受到均勻分布的拉力P。我們可以通過求解Airy應(yīng)力函數(shù)來找到應(yīng)力分布。步驟1：建立應(yīng)力函數(shù)方程首先，根據(jù)上述方程組，我們建立應(yīng)力函數(shù)ux,y的方程。由于在x方向上存在拉力，我們可以假設(shè)σ步驟2：求解應(yīng)力函數(shù)接下來，我們求解上述微分方程。這是一個(gè)關(guān)于y的二階微分方程，其通解為：u其中A，B和C是積分常數(shù)。為了確定這些常數(shù)，我們需要應(yīng)用邊界條件。步驟3：應(yīng)用邊界條件假設(shè)彈性體的底部（y=0）和頂部（y=σ這意味著A=0。同時(shí)，由于ux,y在yu步驟4：確定積分常數(shù)最后，我們需要確定積分常數(shù)C。假設(shè)在x=0和x=L邊界上，應(yīng)力函數(shù)ux步驟5：計(jì)算應(yīng)力分量現(xiàn)在我們有了應(yīng)力函數(shù)ux這表明在x方向上存在均勻的拉應(yīng)力P，而在y方向上沒有應(yīng)力，剪應(yīng)力也不存在。3.2.2Python代碼示例雖然在本例中，我們沒有使用數(shù)值方法求解微分方程，但在實(shí)際應(yīng)用中，特別是在處理更復(fù)雜邊界條件和幾何形狀時(shí)，數(shù)值方法如有限元法或有限差分法是常用的。以下是一個(gè)使用Python和SciPy庫求解上述微分方程的簡單示例：importnumpyasnp

fromegrateimportsolve_bvp

defstress_function(x,y,P):

#定義應(yīng)力函數(shù)的微分方程

defequation(y,u):

return[u[1],P]#u[0]=u(x,y),u[1]=du/dy

#定義邊界條件

defboundary(u0,u1):

return[u0[0],u1[0]-P*(W**2)/2]#u(x,0)=0,u(x,W)=PW^2/2

#初始猜測

x=np.linspace(0,L,100)

y=np.linspace(0,W,100)

X,Y=np.meshgrid(x,y)

u_guess=np.zeros(X.shape)

#求解邊界值問題

sol=solve_bvp(equation,boundary,Y,u_guess)

returnsol.sol(X,Y)[0]

#參數(shù)

L=1.0#長度

W=0.5#寬度

P=100.0#拉力

#求解應(yīng)力函數(shù)

u=stress_function(x,y,P)在上述代碼中，我們使用了SciPy的solve_bvp函數(shù)來求解邊界值問題。雖然這個(gè)例子中，我們已經(jīng)知道解析解，但在處理更復(fù)雜的微分方程時(shí)，這種方法非常有用。通過應(yīng)力函數(shù)的引入和求解，我們可以更有效地分析和解決彈性力學(xué)中的問題，特別是在處理復(fù)雜邊界條件和幾何形狀時(shí)。4泊松方程的求解方法4.1分離變量法求解泊松方程泊松方程是彈性力學(xué)中描述物體內(nèi)部應(yīng)力分布的重要方程，形式為：?其中，?2是拉普拉斯算子，u是應(yīng)力函數(shù)，而f4.1.1原理分離變量法的基本思想是假設(shè)應(yīng)力函數(shù)uxu將此假設(shè)代入泊松方程，可以得到關(guān)于每個(gè)變量的獨(dú)立方程。通過適當(dāng)選擇邊界條件，可以求解這些方程，從而得到應(yīng)力函數(shù)的解析解。4.1.2示例考慮一個(gè)二維泊松方程：?假設(shè)uxX進(jìn)一步整理，得到兩個(gè)獨(dú)立的常微分方程：XY其中，λ是分離常數(shù)。對于每個(gè)方程，根據(jù)邊界條件（如X0=XL=0和Y04.1.3代碼示例假設(shè)我們使用Python的scipy庫來求解上述方程中的Xx和Yy。這里我們只展示求解Xx的過程，因?yàn)閕mportnumpyasnp

fromegrateimportsolve_bvp

#定義常微分方程

defequation(x,y):

returnnp.vstack((y[1],-10*y[0]))#X''(x)=-10X(x)

#定義邊界條件

defboundary(ya,yb):

returnnp.array([ya[0],yb[0]])#X(0)=X(L)=0

#定義網(wǎng)格點(diǎn)

x=np.linspace(0,1,100)

#初始猜測

y=np.zeros((2,x.size))

#求解邊界值問題

sol=solve_bvp(equation,boundary,x,y)

#繪制解

importmatplotlib.pyplotasplt

plt.plot(x,sol.sol(x)[0])

plt.xlabel('x')

plt.ylabel('X(x)')

plt.title('SolutionofX(x)')

plt.show()此代碼示例展示了如何使用egrate.solve_bvp函數(shù)求解Xx4.2邊界條件在泊松方程求解中的應(yīng)用邊界條件在泊松方程的求解中起著關(guān)鍵作用，它們定義了應(yīng)力函數(shù)在物體邊界上的行為。常見的邊界條件包括：Dirichlet邊界條件：指定邊界上的函數(shù)值。Neumann邊界條件：指定邊界上的函數(shù)導(dǎo)數(shù)值。Robin邊界條件：是Dirichlet和Neumann邊界條件的組合。4.2.1應(yīng)用在彈性力學(xué)中，邊界條件通常反映了物體的支撐方式或外力作用。例如，如果物體的一端被固定，那么在該端的邊界條件可能是u=0（Dirichlet邊界條件）。如果物體的一側(cè)受到均勻的壓力，邊界條件可能是?u?n=4.2.2示例考慮一個(gè)長方形平板，其長寬分別為L和H，在x=0和x=L的邊界上，應(yīng)力函數(shù)ux,y被固定為零（Dirichlet邊界條件）；在y4.2.3代碼示例使用Python的scipy庫求解泊松方程，并應(yīng)用上述邊界條件。這里我們使用scipy.sparse.linalg.spsolve來求解離散化的泊松方程。importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportdiags

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義網(wǎng)格

L,H=1,1

N=100

x=np.linspace(0,L,N)

y=np.linspace(0,H,N)

X,Y=np.meshgrid(x,y)

#定義泊松方程的離散化

dx=x[1]-x[0]

dy=y[1]-y[0]

A=diags([1,-2,1],[-1,0,1],shape=(N-2,N-2)).toarray()/dx**2+\

diags([1,-2,1],[-N+1,0,N-1],shape=(N-2,N-2)).toarray()/dy**2

#定義源項(xiàng)

f=np.sin(np.pi*X)*np.sin(np.pi*Y)

#應(yīng)用邊界條件

f[0,:]=0

f[-1,:]=0

f[:,0]=0

f[:,-1]=0

#求解泊松方程

u=spsolve(A,f[1:-1,1:-1].flatten()).reshape((N-2,N-2))

#繪制解

importmatplotlib.pyplotasplt

plt.imshow(u,extent=[0,L,0,H],origin='lower')

plt.colorbar()

plt.title('SolutionofPoissonEquationwithBoundaryConditions')

plt.show()此代碼示例展示了如何使用scipy.sparse和scipy.sparse.linalg模塊來離散化并求解泊松方程，同時(shí)應(yīng)用了Dirichlet和Neumann邊界條件。在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體問題調(diào)整網(wǎng)格大小、邊界條件和源項(xiàng)函數(shù)。5泊松方程在彈性力學(xué)中的應(yīng)用5.1平面應(yīng)力問題的泊松方程求解在彈性力學(xué)中，平面應(yīng)力問題通常發(fā)生在薄板結(jié)構(gòu)中，其中應(yīng)力在板的厚度方向上可以忽略。對于這樣的問題，泊松方程提供了一種求解應(yīng)力分布的有效方法。泊松方程的一般形式為：?其中，?2是拉普拉斯算子，u是位移的某個(gè)分量，而f5.1.1應(yīng)力函數(shù)的定義應(yīng)力函數(shù)Axσ其中，σx和σy分別是x和y方向的正應(yīng)力，而5.1.2泊松方程的推導(dǎo)利用平面應(yīng)力條件和胡克定律，泊松方程可以被推導(dǎo)為：?其中，?4是雙調(diào)和算子，定義為?2?5.1.3求解泊松方程求解泊松方程通常需要邊界條件。對于平面應(yīng)力問題，邊界條件可以是應(yīng)力或位移的指定值。在數(shù)值求解中，有限元方法或有限差分方法是常用的工具。有限元方法示例假設(shè)我們有一個(gè)矩形薄板，其尺寸為1m×1m，材料屬性為彈性模量E=importfenicsasfe

#定義網(wǎng)格和函數(shù)空間

mesh=fe.RectangleMesh(fe.Point(0,0),fe.Point(1,1),32,32)

V=fe.FunctionSpace(mesh,'P',2)

#定義邊界條件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=fe.DirichletBC(V,fe.Constant(0),boundary)

#定義泊松方程的弱形式

u=fe.TrialFunction(V)

v=fe.TestFunction(V)

f=fe.Constant(0)

a=fe.dot(fe.grad(u),fe.grad(v))*fe.dx

L=f*v*fe.dx

#求解泊松方程

u=fe.Function(V)

fe.solve(a==L,u,bc)

#計(jì)算應(yīng)力

A=u

sigma_x=ject(fe.diff(A,y,y),V)

sigma_y=ject(fe.diff(A,x,x),V)

tau_xy=ject(-fe.diff(A,x,y),V)

#輸出結(jié)果

fe.plot(sigma_x)

fe.plot(sigma_y)

fe.plot(tau_xy)這段代碼使用FEniCS庫，一個(gè)用于求解偏微分方程的高級數(shù)值求解器，來求解泊松方程并計(jì)算應(yīng)力分布。5.2平面應(yīng)變問題的泊松方程求解平面應(yīng)變問題發(fā)生在長而厚的結(jié)構(gòu)中，其中應(yīng)變在結(jié)構(gòu)的長度方向上可以忽略。在這種情況下，泊松方程的求解方法略有不同，但基本原理相似。5.2.1平面應(yīng)變條件下的泊松方程在平面應(yīng)變條件下，泊松方程可以被改寫為：?其中，σz是z方向的正應(yīng)力。然而，由于平面應(yīng)變的假設(shè)，σ5.2.2應(yīng)力函數(shù)的求解在平面應(yīng)變問題中，應(yīng)力函數(shù)的求解通常涉及更復(fù)雜的方程組，包括平衡方程和胡克定律。這些方程組可以被轉(zhuǎn)換為一個(gè)更復(fù)雜的泊松方程形式，但通常直接求解應(yīng)力和應(yīng)變更為直接。有限元方法示例考慮一個(gè)平面應(yīng)變問題，其中一個(gè)長而厚的結(jié)構(gòu)受到側(cè)向約束和軸向拉伸。我們可以使用有限元方法來求解應(yīng)力和應(yīng)變分布。importfenicsasfe

#定義網(wǎng)格和函數(shù)空間

mesh=fe.RectangleMesh(fe.Point(0,0),fe.Point(1,1),32,32)

V=fe.VectorFunctionSpace(mesh,'P',2)

#定義邊界條件

defleft_boundary(x,on_boundary):

returnnear(x[0],0)

defright_boundary(x,on_boundary):

returnnear(x[0],1)

bc_left=fe.DirichletBC(V.sub(0),fe.Constant(0),left_boundary)

bc_right=fe.DirichletBC(V.sub(0),fe.Constant(100),right_boundary)

#定義材料屬性

E=200e9#彈性模量

nu=0.3#泊松比

mu=E/(2*(1+nu))

lmbda=E*nu/((1+nu)*(1-2*nu))

#定義應(yīng)變能密度

defstrain_energy_density(u):

e=fe.sym(fe.grad(u))

returnlmbda*fe.tr(e)**2+2*mu*fe.inner(e,e)

#定義泊松方程的弱形式

u=fe.TrialFunction(V)

v=fe.TestFunction(V)

a=fe.derivative(strain_energy_density(u)*fe.dx,u,v)

L=fe.Constant(0)*fe.dx

#求解泊松方程

u=fe.Function(V)

fe.solve(a==L,u,[bc_left,bc_right])

#計(jì)算應(yīng)力

sigma_x=2*mu*ject(fe.diff(u,x),V)+lmbda*ject(fe.div(u),V)

sigma_y=2*mu*ject(fe.diff(u,y),V)+lmbda*ject(fe.div(u),V)

tau_xy=mu*ject(fe.diff(u,x,y)+fe.diff(u,y,x),V)

#輸出結(jié)果

fe.plot(sigma_x)

fe.plot(sigma_y)

fe.plot(tau_xy)這個(gè)示例展示了如何使用FEniCS庫求解平面應(yīng)變問題中的應(yīng)力分布。通過定義應(yīng)變能密度和泊松方程的弱形式，我們可以求解位移場，進(jìn)而計(jì)算應(yīng)力和應(yīng)變。通過以上兩個(gè)示例，我們可以看到泊松方程在彈性力學(xué)中的應(yīng)用，特別是在平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題中。使用有限元方法，我們可以有效地求解這些方程，從而獲得結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和應(yīng)變分布。這在工程設(shè)計(jì)和分析中是至關(guān)重要的，因?yàn)樗鼛椭覀兝斫獠牧显诓煌d荷條件下的行為，從而確保結(jié)構(gòu)的安全性和可靠性。6實(shí)例分析6.1圓盤受均布壓力的泊松方程求解在彈性力學(xué)中，泊松方程是求解應(yīng)力函數(shù)的關(guān)鍵方程之一，尤其在平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題中。對于一個(gè)圓盤受均布壓力的情況，泊松方程的求解可以提供圓盤內(nèi)部的應(yīng)力分布信息。假設(shè)圓盤的半徑為R，厚度為h，在圓盤的上表面施加一個(gè)均布壓力p，下表面為自由邊界，且圓盤的邊緣不受任何約束。6.1.1泊松方程泊松方程在彈性力學(xué)中的形式為：?其中，φ是應(yīng)力函數(shù)，?2是拉普拉斯算子，f是源項(xiàng)，對于圓盤受均布壓力問題，f6.1.2解析解對于圓盤受均布壓力問題，可以采用極坐標(biāo)系下的泊松方程求解。假設(shè)應(yīng)力函數(shù)φ僅與徑向距離r有關(guān)，泊松方程簡化為：1其中，E是彈性模量。解此方程，可以得到應(yīng)力函數(shù)φ的解析解。6.1.3數(shù)值解在實(shí)際工程問題中，解析解往往難以獲得，此時(shí)可以采用數(shù)值方法求解泊松方程。以有限差分法為例，將圓盤區(qū)域離散化，建立網(wǎng)格，然后在每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上應(yīng)用泊松方程的差分形式，通過迭代求解得到應(yīng)力函數(shù)的數(shù)值解。代碼示例importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定義參數(shù)

R=1.0#圓盤半徑

h=0.1#圓盤厚度

p=100#均布壓力

E=200e3#彈性模量

N=100#網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)

#創(chuàng)建網(wǎng)格

r=np.linspace(0,R,N)

phi=np.zeros_like(r)

#應(yīng)用泊松方程的差分形式

foriinrange(1,N-1):

phi[i]=phi[i]+(r[i+1]-r[i-1])/(2*r[i])*(phi[i+1]-phi[i-1])-p/E*(r[i+1]-r[i-1])**2/(4*r[i])

#邊界條件

phi[0]=0#圓心處應(yīng)力函數(shù)為0

phi[-1]=-p*R**2/(2*E)#圓盤邊緣的應(yīng)力函數(shù)值

#繪制結(jié)果

plt.plot(r,phi)

plt.xlabel('徑向距離r')

plt.ylabel('應(yīng)力函數(shù)φ')

plt.title('圓盤受均布壓力的泊松方程數(shù)值解')

plt.show()6.1.4解釋上述代碼中，我們首先定義了圓盤的半徑、厚度、均布壓力和彈性模量。然后，創(chuàng)建了一個(gè)徑向網(wǎng)格，并初始化應(yīng)力函數(shù)φ為零。通過迭代應(yīng)用泊松方程的差分形式，更新每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上的應(yīng)力函數(shù)值。最后，應(yīng)用邊界條件，并繪制應(yīng)力函數(shù)隨徑向距離變化的曲線。6.2矩形板受集中力的泊松方程求解矩形板受集中力的情況是彈性力學(xué)中的另一個(gè)常見問題。假設(shè)矩形板的尺寸為a×b，在板的中心施加一個(gè)集中力6.2.1泊松方程對于矩形板受集中力問題，泊松方程可以表示為：?其中，φ是應(yīng)力函數(shù)，?2是拉普拉斯算子，F(xiàn)是集中力，E6.2.2解析解解析解的求解通常較為復(fù)雜，需要考慮邊界條件和載荷分布。在某些特殊情況下，如矩形板的尺寸和載荷分布滿足特定條件時(shí)，可以找到解析解。6.2.3數(shù)值解數(shù)值解的求解過程與圓盤受均布壓力類似，但需要在矩形區(qū)域內(nèi)建立網(wǎng)格，并應(yīng)用泊松方程的差分形式。邊界條件的處理也更為復(fù)雜，需要確保所有邊界上的位移和應(yīng)力滿足給定的約束。代碼示例importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportdiags

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義參數(shù)

a=1.0#矩形板長度

b=1.0#矩形板寬度

F=1000#集中力

E=200e3#彈性模量

N=100#網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)

#創(chuàng)建網(wǎng)格

x=np.linspace(0,a,N)

y=np.linspace(0,b,N)

X,Y=np.meshgrid(x,y)

phi=np.zeros((N,N))

#應(yīng)用泊松方程的差分形式

dx=x[1]-x[0]

dy=y[1]-y[0]

A=diags([1,-2,1],[-1,0,1],shape=(N-2,N-2)).toarray()/dx**2+diags([1,-2,1],[-1,0,1],shape=(N-2,N-2)).toarray().T/dy**2

b=-F/(a*b*E)*np.ones((N-2,N-2))

#解線性方程組

phi[1:-1,1:-1]=spsolve(A,b).reshape((N-2,N-2))

#邊界條件

phi[0,:]=0#下邊界

phi[-1,:]=0#上邊界

phi[:,0]=0#左邊界

phi[:,-1]=0#右邊界

#繪制結(jié)果

plt.imshow(phi,extent=[0,a,0,b],origin='lower')

plt.colorbar()

plt.xlabel('x方向')

plt.ylabel('y方向')

plt.title('矩形板受集中力的泊松方程數(shù)值解')

plt.show()6.2.4解釋在矩形板受集中力的泊松方程求解中，我們首先定義了矩形板的尺寸、集中力和彈性模量。然后，創(chuàng)建了x和y方向的網(wǎng)格，并初始化應(yīng)力函數(shù)φ為零。通過構(gòu)建泊松方程的差分形式對應(yīng)的線性方程組，并使用scipy.sparse.linalg.spsolve函數(shù)求解，得到應(yīng)力函數(shù)的數(shù)值解。最后，應(yīng)用邊界條件，并使用matplotlib庫繪制應(yīng)力函數(shù)在矩形板上的分布圖。以上兩個(gè)實(shí)例展示了如何在彈性力學(xué)中使用泊松方程求解圓盤受均布壓力和矩形板受集中力問題的應(yīng)力函數(shù)。通過解析解和數(shù)值解的對比，可以更深入地理解泊松方程在實(shí)際工程問題中的應(yīng)用。7泊松方程的數(shù)值解法7.1有限差分法求解泊松方程7.1.1原理泊松方程是彈性力學(xué)中描述物體內(nèi)部應(yīng)力分布的重要方程，形式為：?其中，u是位移函數(shù)，f是源項(xiàng)，?2?有限差分法通過將連續(xù)的偏微分方程離散化，將其轉(zhuǎn)換為一系列代數(shù)方程，從而可以使用數(shù)值方法求解。離散化過程通常涉及將空間域劃分為網(wǎng)格，并在網(wǎng)格點(diǎn)上用差商近似偏導(dǎo)數(shù)。7.1.2內(nèi)容離散化步驟網(wǎng)格劃分：將二維空間劃分為均勻或非均勻網(wǎng)格。差分逼近：使用中心差分公式近似二階偏導(dǎo)數(shù)。代數(shù)方程組：將泊松方程在每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上離散化，得到代數(shù)方程組。邊界條件：應(yīng)用適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件。求解：使用迭代方法或直接求解器求解代數(shù)方程組。代碼示例importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportdiags

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義網(wǎng)格參數(shù)

nx,ny=100,100

hx,hy=1.0/(nx-1),1.0/(ny-1)

#創(chuàng)建網(wǎng)格

x=np.linspace(0,1,nx)

y=np.linspace(0,1,ny)

X,Y=np.meshgrid(x,y)