彈性力學(xué)數(shù)值方法：積分法：復(fù)雜彈性問題的積分法求解

彈性力學(xué)數(shù)值方法：積分法：復(fù)雜彈性問題的積分法求解1彈性力學(xué)與數(shù)值方法簡介彈性力學(xué)是固體力學(xué)的一個分支，主要研究彈性體在外力作用下的變形和應(yīng)力分布。數(shù)值方法則是解決復(fù)雜彈性力學(xué)問題的有效工具，它通過將連續(xù)問題離散化，轉(zhuǎn)化為有限數(shù)量的代數(shù)方程組，從而在計算機(jī)上求解。在彈性力學(xué)中，積分法是一種重要的數(shù)值求解方法，它基于能量原理或變分原理，通過積分運(yùn)算來求解彈性體的平衡狀態(tài)。1.1彈性力學(xué)基礎(chǔ)彈性體：能夠在外力作用下發(fā)生變形，當(dāng)外力去除后能夠恢復(fù)原狀的物體。應(yīng)力：單位面積上的內(nèi)力，包括正應(yīng)力和切應(yīng)力。應(yīng)變：物體在外力作用下發(fā)生的變形程度，包括線應(yīng)變和剪應(yīng)變。胡克定律：在彈性限度內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。1.2數(shù)值方法概覽數(shù)值方法在彈性力學(xué)中的應(yīng)用主要包括有限元法、邊界元法、有限差分法等。其中，積分法通常與有限元法和邊界元法結(jié)合使用，通過積分運(yùn)算來求解彈性體的平衡方程。1.2.1有限元法有限元法將彈性體劃分為有限數(shù)量的單元，每個單元的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系通過單元的形狀函數(shù)和節(jié)點(diǎn)位移來表達(dá)。通過在每個單元上應(yīng)用胡克定律和平衡方程，可以得到整個彈性體的平衡狀態(tài)。1.2.2邊界元法邊界元法主要關(guān)注彈性體的邊界條件，將彈性體的內(nèi)部問題轉(zhuǎn)化為邊界上的積分方程。這種方法在處理無限域或半無限域問題時特別有效。2積分法在彈性力學(xué)中的應(yīng)用概述積分法在彈性力學(xué)中的應(yīng)用主要基于能量原理或變分原理。能量原理包括最小勢能原理和最小余能原理，而變分原理則包括哈密頓原理和拉格朗日原理。這些原理提供了一種將彈性力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為積分方程的方法，從而可以使用數(shù)值方法求解。2.1最小勢能原理最小勢能原理指出，彈性體在外力作用下的平衡狀態(tài)對應(yīng)于總勢能最小的狀態(tài)?？倓菽馨◤椥泽w的內(nèi)能和外力做的功。在有限元法中，通過將彈性體劃分為單元，可以將總勢能表示為單元勢能的和，然后通過求解單元勢能的最小值來得到整個彈性體的平衡狀態(tài)。2.1.1示例代碼假設(shè)我們有一個簡單的彈性體，由一個單元組成，使用Python和NumPy庫來求解其平衡狀態(tài)。importnumpyasnp

#單元剛度矩陣

K=np.array([[4,-2],[-2,4]])

#外力向量

F=np.array([10,5])

#求解位移向量

U=np.linalg.solve(K,F)

print("節(jié)點(diǎn)位移:",U)這段代碼中，K是單元的剛度矩陣，F(xiàn)是作用在單元上的外力向量。通過求解線性方程組KU=F，可以得到節(jié)點(diǎn)位移U。2.2最小余能原理最小余能原理是彈性力學(xué)中的另一個重要原理，它指出彈性體在外力作用下的平衡狀態(tài)對應(yīng)于總余能最小的狀態(tài)。總余能包括彈性體的內(nèi)能和外力做的功的差值。在邊界元法中，通過在邊界上應(yīng)用最小余能原理，可以得到邊界上的積分方程，從而求解彈性體的平衡狀態(tài)。2.2.1示例代碼邊界元法的實(shí)現(xiàn)通常比有限元法復(fù)雜，涉及到邊界積分方程的求解。下面是一個簡化版的邊界元法求解彈性體平衡狀態(tài)的示例代碼。importnumpyasnp

#邊界影響矩陣

B=np.array([[1,0],[0,1]])

#邊界力向量

G=np.array([5,3])

#求解邊界位移向量

V=np.linalg.solve(B,G)

print("邊界位移:",V)在這個例子中，B是邊界影響矩陣，G是作用在邊界上的力向量。通過求解線性方程組BV=G，可以得到邊界位移V。2.3結(jié)論積分法在彈性力學(xué)中的應(yīng)用，無論是通過有限元法還是邊界元法，都為解決復(fù)雜彈性問題提供了強(qiáng)大的工具。通過將連續(xù)問題轉(zhuǎn)化為離散問題，積分法使得在計算機(jī)上求解彈性力學(xué)問題成為可能。上述示例代碼展示了如何使用Python和NumPy庫來求解彈性體的平衡狀態(tài)，但實(shí)際應(yīng)用中，問題的復(fù)雜性可能需要更高級的數(shù)值方法和更復(fù)雜的代碼實(shí)現(xiàn)。3彈性力學(xué)基礎(chǔ)3.1應(yīng)力與應(yīng)變的概念在彈性力學(xué)中，應(yīng)力（Stress）和應(yīng)變（Strain）是兩個基本概念，用于描述材料在受力作用下的響應(yīng)。3.1.1應(yīng)力應(yīng)力定義為單位面積上的內(nèi)力，通常用符號σ表示。在三維空間中，應(yīng)力可以分為正應(yīng)力（σ）和剪應(yīng)力（τ）。正應(yīng)力是垂直于材料表面的應(yīng)力，而剪應(yīng)力則是平行于材料表面的應(yīng)力。應(yīng)力的單位是帕斯卡（Pa），即牛頓每平方米（N/m2）。3.1.2應(yīng)變應(yīng)變是材料在應(yīng)力作用下發(fā)生的形變程度，通常用符號ε表示。應(yīng)變分為線應(yīng)變（ε）和剪應(yīng)變（γ）。線應(yīng)變描述的是材料在某一方向上的長度變化與原長度的比值，而剪應(yīng)變描述的是材料在剪切力作用下發(fā)生的角形變。應(yīng)變是一個無量綱的量。3.2胡克定律與材料屬性3.2.1胡克定律胡克定律（Hooke’sLaw）是彈性力學(xué)中的一個基本定律，它描述了在彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變之間的線性關(guān)系。對于一維情況，胡克定律可以表示為：σ其中，σ是應(yīng)力，ε是應(yīng)變，E是材料的彈性模量，也稱為楊氏模量，它是一個材料屬性，反映了材料抵抗彈性形變的能力。3.2.2材料屬性除了彈性模量E之外，材料的泊松比（ν）也是一個重要的屬性，它描述了材料在某一方向受力時，垂直于該方向的形變與沿該方向的形變的比值。泊松比的值通常在0到0.5之間。3.3平衡方程與邊界條件3.3.1平衡方程平衡方程描述了在彈性體內(nèi)部，力的平衡條件。在三維空間中，平衡方程可以表示為：???其中，σ_x,σ_y,σ_z是正應(yīng)力，τ_{xy},τ_{xz},τ_{yz}是剪應(yīng)力，f_x,f_y,f_z是作用在彈性體上的體積力（如重力）的分量。3.3.2邊界條件邊界條件是彈性力學(xué)問題中不可或缺的一部分，它描述了彈性體與外界的相互作用。邊界條件可以分為兩種類型：位移邊界條件：在彈性體的某些邊界上，位移被指定為已知值。應(yīng)力邊界條件：在彈性體的某些邊界上，應(yīng)力被指定為已知值。3.3.3示例：使用Python求解簡單彈性問題假設(shè)我們有一個長方體，長、寬、高分別為10cm、5cm、2cm，材料的彈性模量E=200GPa，泊松比ν=0.3。長方體的一端受到100N的力，我們想要計算長方體的應(yīng)變。#導(dǎo)入必要的庫

importnumpyasnp

#定義材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

#定義幾何尺寸

length=0.1#長度，單位：m

width=0.05#寬度，單位：m

height=0.02#高度，單位：m

#定義外力

force=100#力的大小，單位：N

#計算應(yīng)力

stress=force/(width*height)#應(yīng)力=力/面積

#計算應(yīng)變

strain=stress/E#應(yīng)變=應(yīng)力/彈性模量

#輸出結(jié)果

print(f"應(yīng)力:{stress:.2f}Pa")

print(f"應(yīng)變:{strain:.6f}")在這個例子中，我們首先定義了材料的彈性模量和泊松比，以及長方體的幾何尺寸和作用在其上的力。然后，我們計算了長方體一端的應(yīng)力，并使用胡克定律計算了應(yīng)變。最后，我們輸出了應(yīng)力和應(yīng)變的值。這個簡單的例子展示了如何使用Python和彈性力學(xué)的基本原理來解決實(shí)際問題。在更復(fù)雜的情況下，可能需要使用數(shù)值方法，如有限元法，來求解彈性力學(xué)問題。然而，這些方法的基礎(chǔ)仍然是應(yīng)力、應(yīng)變和材料屬性的概念，以及平衡方程和邊界條件的應(yīng)用。4彈性力學(xué)數(shù)值方法：積分法：復(fù)雜彈性問題的積分法求解4.1積分法原理4.1.1加權(quán)殘值法介紹加權(quán)殘值法是解決復(fù)雜彈性力學(xué)問題的一種數(shù)值方法，其核心思想是通過將微分方程的殘差與一組加權(quán)函數(shù)相乘并積分，將微分方程轉(zhuǎn)換為一組代數(shù)方程。這種方法可以處理邊界條件復(fù)雜、幾何形狀不規(guī)則的問題，是有限元方法和邊界元方法的基礎(chǔ)。原理考慮一個彈性力學(xué)問題的微分方程：L其中，L是一個微分算子，u是位移場，f是外力。加權(quán)殘值法的目標(biāo)是找到一個近似解uh，使得殘差R=LuhΩ其中，Ω是問題的域，N是加權(quán)函數(shù)的數(shù)量。這組方程稱為加權(quán)殘值方程，是求解uh代碼示例假設(shè)我們使用Python和SciPy庫來求解一個簡單的彈性力學(xué)問題，其中微分方程為：?邊界條件為u0=0，u1=0，其中importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportdiags

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義參數(shù)

E=1.0#彈性模量

L=1.0#域的長度

N=10#離散點(diǎn)的數(shù)量

q=lambdax:x#分布載荷函數(shù)

#離散化

x=np.linspace(0,L,N+1)

h=x[1]-x[0]

K=diags([1,-2,1],[-1,0,1],shape=(N-1,N-1))/h**2

K*=E

#加權(quán)殘值法

#選擇加權(quán)函數(shù)為線性基函數(shù)

#構(gòu)建右側(cè)向量

F=np.zeros(N-1)

foriinrange(N-1):

xi=x[i]

xip1=x[i+1]

F[i]=np.trapz(q(np.linspace(xi,xip1,100)),dx=(xip1-xi)/100)

#解代數(shù)方程

u=np.zeros(N+1)

u[1:-1]=spsolve(K,F)

#輸出結(jié)果

print("位移場:",u)4.1.2伽遼金法與變分原理伽遼金法是加權(quán)殘值法的一種特殊形式，它使用試函數(shù)作為加權(quán)函數(shù)，從而將微分方程轉(zhuǎn)換為變分方程。這種方法在處理彈性力學(xué)問題時特別有效，因?yàn)樗梢宰匀坏靥幚磉吔鐥l件，并且在能量最小化原理下有堅實(shí)的理論基礎(chǔ)。原理伽遼金法基于能量原理，即在給定的邊界條件下，系統(tǒng)的總勢能Π達(dá)到最小。對于彈性問題，總勢能可以表示為：Π其中，σ是應(yīng)力張量，ε是應(yīng)變張量，u是位移場，f是體力，t是表面力，Γ是邊界。伽遼金法要求找到一個位移場uh，使得Πδ其中，δ表示變分。代碼示例繼續(xù)使用Python和SciPy庫，我們來求解一個使用伽遼金法的彈性力學(xué)問題。假設(shè)我們有一個簡單的梁，其微分方程為：?邊界條件為u0=0，u′0=0，uimportnumpyasnp

fromscipy.sparseimportdiags

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義參數(shù)

EI=1.0#彎曲剛度

L=1.0#域的長度

N=10#離散點(diǎn)的數(shù)量

q=lambdax:x#分布載荷函數(shù)

#離散化

x=np.linspace(0,L,N+1)

h=x[1]-x[0]

#構(gòu)建剛度矩陣

K=diags([1,-2,1],[-1,0,1],shape=(N-1,N-1))/h**2

K+=diags([-1,2,-1],[-2,-1,0],shape=(N-1,N-1))/h**3

K*=EI

#構(gòu)建右側(cè)向量

F=np.zeros(N-1)

foriinrange(N-1):

xi=x[i]

xip1=x[i+1]

F[i]=np.trapz(q(np.linspace(xi,xip1,100)),dx=(xip1-xi)/100)

#解代數(shù)方程

u=np.zeros(N+1)

u[1:-1]=spsolve(K,F)

#輸出結(jié)果

print("位移場:",u)這個例子展示了如何使用伽遼金法和變分原理來求解一個復(fù)雜的彈性力學(xué)問題。通過離散化和構(gòu)建剛度矩陣，我們可以將微分方程轉(zhuǎn)換為一組代數(shù)方程，然后使用數(shù)值方法求解。這種方法不僅適用于直線問題，也適用于處理更復(fù)雜的幾何形狀和邊界條件。4.2結(jié)論通過上述介紹和代碼示例，我們了解了加權(quán)殘值法和伽遼金法在解決復(fù)雜彈性力學(xué)問題中的應(yīng)用。這些方法通過將微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程，使得問題的求解變得更加靈活和高效。在實(shí)際應(yīng)用中，選擇合適的加權(quán)函數(shù)和離散化策略是關(guān)鍵，這將直接影響到求解的準(zhǔn)確性和效率。5復(fù)雜彈性問題的積分法求解5.1有限元法的基本步驟5.1.1原理有限元法(FiniteElementMethod,FEM)是一種廣泛應(yīng)用于工程分析的數(shù)值方法，尤其在解決復(fù)雜彈性問題時表現(xiàn)出色。它將連續(xù)的結(jié)構(gòu)離散成有限數(shù)量的單元，每個單元用一組節(jié)點(diǎn)來表示，通過在這些節(jié)點(diǎn)上求解，可以得到整個結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。FEM的基本步驟包括：結(jié)構(gòu)離散化：將結(jié)構(gòu)分解成多個小的、簡單的單元。選擇位移模式：為每個單元選擇適當(dāng)?shù)奈灰坪瘮?shù)。建立單元方程：基于彈性力學(xué)的基本原理，如胡克定律和虛功原理，建立每個單元的方程。組裝整體方程：將所有單元方程組合成一個整體的方程系統(tǒng)。施加邊界條件：根據(jù)問題的邊界條件，修改整體方程。求解方程：使用數(shù)值方法求解整體方程，得到節(jié)點(diǎn)位移。后處理：從節(jié)點(diǎn)位移計算應(yīng)力、應(yīng)變等其他物理量。5.1.2示例假設(shè)我們有一個簡單的梁，需要使用有限元法求解其在載荷下的位移。以下是一個使用Python和SciPy庫的簡單示例：importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義梁的屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

I=0.05**2#慣性矩，單位：m^4

L=1.0#梁的長度，單位：m

n_elements=4#元素數(shù)量

n_nodes=n_elements+1#節(jié)點(diǎn)數(shù)量

n_dofs=2*n_nodes#自由度數(shù)量

#創(chuàng)建剛度矩陣

K=lil_matrix((n_dofs,n_dofs))

#建立單元方程

foriinrange(n_elements):

#單元的節(jié)點(diǎn)

nodes=[i,i+1]

#單元的自由度

dofs=[2*nodes[0],2*nodes[0]+1,2*nodes[1],2*nodes[1]+1]

#單元長度

L_e=L/n_elements

#單元剛度矩陣

K_e=(E*I/L_e**3)*np.array([[12,6*L_e,-12,6*L_e],

[6*L_e,4*L_e**2,-6*L_e,2*L_e**2],

[-12,-6*L_e,12,-6*L_e],

[6*L_e,2*L_e**2,-6*L_e,4*L_e**2]])

#將單元剛度矩陣添加到整體剛度矩陣中

forjinrange(4):

forkinrange(4):

K[dofs[j],dofs[k]]+=K_e[j,k]

#施加邊界條件

K[0,:]=0#固定左端

K[-1,:]=0#固定右端

K[0,0]=1#防止剛度矩陣奇異

K[-1,-1]=1

#定義載荷向量

F=np.zeros(n_dofs)

F[1]=-1000#在第一個節(jié)點(diǎn)上施加向下載荷，單位：N

#求解方程

U=spsolve(K.tocsr(),F)

#輸出位移

print("節(jié)點(diǎn)位移：",U)5.2邊界元法的實(shí)現(xiàn)過程5.2.1原理邊界元法(BoundaryElementMethod,BEM)是一種數(shù)值方法，主要用于解決邊界值問題。與FEM不同，BEM僅在結(jié)構(gòu)的邊界上進(jìn)行計算，這在處理無限域或半無限域問題時特別有效。BEM的基本步驟包括：邊界離散化：將結(jié)構(gòu)的邊界分解成多個小的邊界元素。建立邊界積分方程：基于格林定理或其它相關(guān)定理，將彈性力學(xué)的微分方程轉(zhuǎn)換為邊界上的積分方程。數(shù)值求解：使用數(shù)值積分技術(shù)求解邊界積分方程。后處理：從邊界解中計算內(nèi)部的應(yīng)力、應(yīng)變等物理量。5.2.2示例邊界元法的實(shí)現(xiàn)通常涉及復(fù)雜的數(shù)學(xué)和編程，以下是一個簡化版的示例，展示如何使用Python和NumPy庫來求解一個簡單的二維彈性問題的邊界積分方程：importnumpyasnp

#定義邊界節(jié)點(diǎn)和元素

nodes=np.array([[0,0],[1,0],[1,1],[0,1]])

elements=np.array([[0,1],[1,2],[2,3],[3,0]])

#定義材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

#定義載荷

loads=np.array([0,-1000,0,0,0,0,0,0])

#建立邊界積分方程

#這里簡化為直接構(gòu)建剛度矩陣和載荷向量

K=np.zeros((len(nodes)*2,len(nodes)*2))

fori,eleminenumerate(elements):

#單元的節(jié)點(diǎn)

node1,node2=nodes[elem]

#單元長度

L_e=np.sqrt((node2[0]-node1[0])**2+(node2[1]-node1[1])**2)

#單元剛度矩陣

K_e=(E/(1-nu**2))*np.array([[1,0,-1,0],

[0,0.5*L_e,0,-0.5*L_e],

[-1,0,1,0],

[0,-0.5*L_e,0,0.5*L_e]])

#將單元剛度矩陣添加到整體剛度矩陣中

forjinrange(4):

forkinrange(4):

K[2*elem[j//2]+j%2,2*elem[k//2]+k%2]+=K_e[j,k]

#施加邊界條件

K[0,:]=0#固定左下角

K[-1,:]=0#固定右上角

K[0,0]=1#防止剛度矩陣奇異

K[-1,-1]=1

#求解方程

U=np.linalg.solve(K,loads)

#輸出位移

print("節(jié)點(diǎn)位移：",U)5.3積分法在非線性彈性問題中的應(yīng)用5.3.1原理在處理非線性彈性問題時，積分法需要考慮材料的非線性特性，如應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的非線性。這通常通過迭代求解來實(shí)現(xiàn)，每次迭代中，材料的剛度矩陣根據(jù)當(dāng)前的應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行更新。5.3.2示例以下是一個使用Python和SciPy庫求解非線性彈性問題的簡化示例。假設(shè)我們有一個非線性材料，其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系由一個簡單的冪律模型給出：importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義材料屬性

E0=200e9#初始彈性模量，單位：Pa

n=0.2#冪律指數(shù)

#定義梁的屬性

I=0.05**2#慣性矩，單位：m^4

L=1.0#梁的長度，單位：m

n_elements=4#元素數(shù)量

n_nodes=n_elements+1#節(jié)點(diǎn)數(shù)量

n_dofs=2*n_nodes#自由度數(shù)量

#創(chuàng)建剛度矩陣

K=lil_matrix((n_dofs,n_dofs))

#建立單元方程

foriinrange(n_elements):

#單元的節(jié)點(diǎn)

nodes=[i,i+1]

#單元的自由度

dofs=[2*nodes[0],2*nodes[0]+1,2*nodes[1],2*nodes[1]+1]

#單元長度

L_e=L/n_elements

#初始單元剛度矩陣

K_e=(E0*I/L_e**3)*np.array([[12,6*L_e,-12,6*L_e],

[6*L_e,4*L_e**2,-6*L_e,2*L_e**2],

[-12,-6*L_e,12,-6*L_e],

[6*L_e,2*L_e**2,-6*L_e,4*L_e**2]])

#將單元剛度矩陣添加到整體剛度矩陣中

forjinrange(4):

forkinrange(4):

K[dofs[j],dofs[k]]+=K_e[j,k]

#施加邊界條件

K[0,:]=0#固定左端

K[-1,:]=0#固定右端

K[0,0]=1#防止剛度矩陣奇異

K[-1,-1]=1

#定義載荷向量

F=np.zeros(n_dofs)

F[1]=-1000#在第一個節(jié)點(diǎn)上施加向下載荷，單位：N

#迭代求解

U=np.zeros(n_dofs)

foriterationinrange(10):#假設(shè)最多迭代10次

#更新剛度矩陣

foriinrange(n_elements):

#計算當(dāng)前應(yīng)變

strain=U[2*nodes[1]]-U[2*nodes[0]]

#計算當(dāng)前應(yīng)力

stress=E0*(strain+1)**n

#更新單元剛度矩陣

K_e=(stress*I/L_e**3)*np.array([[12,6*L_e,-12,6*L_e],

[6*L_e,4*L_e**2,-6*L_e,2*L_e**2],

[-12,-6*L_e,12,-6*L_e],

[6*L_e,2*L_e**2,-6*L_e,4*L_e**2]])

#更新整體剛度矩陣

forjinrange(4):

forkinrange(4):

K[dofs[j],dofs[k]]=K_e[j,k]

#求解方程

U=spsolve(K.tocsr(),F)

#輸出位移

print("節(jié)點(diǎn)位移：",U)5.4積分法在動態(tài)彈性問題中的應(yīng)用5.4.1原理動態(tài)彈性問題涉及到時間的變化，如振動或沖擊。在積分法中，除了空間離散化，還需要時間離散化，通常使用時間步進(jìn)方法，如顯式或隱式時間積分。動態(tài)問題的方程通常包含質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣，以及外力的時間函數(shù)。5.4.2示例以下是一個使用Python和SciPy庫求解動態(tài)彈性問題的簡化示例。假設(shè)我們有一個簡單的梁，受到一個隨時間變化的載荷作用：importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

fromegrateimportodeint

#定義梁的屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

I=0.05**2#慣性矩，單位：m^4

L=1.0#梁的長度，單位：m

n_elements=4#元素數(shù)量

n_nodes=n_elements+1#節(jié)點(diǎn)數(shù)量

n_dofs=2*n_nodes#自由度數(shù)量

#創(chuàng)建剛度矩陣和質(zhì)量矩陣

K=lil_matrix((n_dofs,n_dofs))

M=lil_matrix((n_dofs,n_dofs))

#建立單元方程

foriinrange(n_elements):

#單元的節(jié)點(diǎn)

nodes=[i,i+1]

#單元的自由度

dofs=[2*nodes[0],2*nodes[0]+1,2*nodes[1],2*nodes[1]+1]

#單元長度

L_e=L/n_elements

#單元剛度矩陣

K_e=(E*I/L_e**3)*np.array([[12,6*L_e,-12,6*L_e],

[6*L_e,4*L_e**2,-6*L_e,2*L_e**2],

[-12,-6*L_e,12,-6*L_e],

[6*L_e,2*L_e**2,-6*L_e,4*L_e**2]])

#單元質(zhì)量矩陣

M_e=(I*L_e/6)*np.array([[2,0,0,0],

[0,0,0,0],

[0,0,2,0],

[0,0,0,0]])

#將單元剛度矩陣和質(zhì)量矩陣添加到整體矩陣中

forjinrange(4):

forkinrange(4):

K[dofs[j],dofs[k]]+=K_e[j,k]

M[dofs[j],dofs[k]]+=M_e[j,k]

#施加邊界條件

K[0,:]=0#固定左端

K[-1,:]=0#固定右端

K[0,0]=1#防止剛度矩陣奇異

K[-1,-1]=1

#定義載荷函數(shù)

defload(t):

return-1000*np.sin(2*np.pi*t)#隨時間變化的載荷，單位：N

#定義時間步長和總時間

dt=0.01

t_end=1.0

#定義時間向量

t=np.arange(0,t_end,dt)

#定義初始條件

U0=np.zeros(n_dofs)

V0=np.zeros(n_dofs)

#定義動態(tài)方程

defdynamic_eq(UV,t,K,M):

U,V=UV[:n_dofs],UV[n_dofs:]

F=load(t)

A=np.zeros((2*n_dofs,2*n_dofs))

A[:n_dofs,n_dofs:]=-K

A[n_dofs:,:n_dofs]=M

returnnp.concatenate((V,M.dot(F)-K.dot(U)))

#求解動態(tài)方程

UV=odeint(dynamic_eq,np.concatenate((U0,V0)),t,args=(K.tocsr(),M.tocsr()))

#分離位移和速度

U=UV[:,:n_dofs]

V=UV[:,n_dofs:]

#輸出位移

print("節(jié)點(diǎn)位移隨時間變化：")

fori,uinenumerate(U):

print(f"t={t[i]:.2f}:{u}")以上示例展示了如何使用積分法解決復(fù)雜彈性問題，包括有限元法、邊界元法、非線性彈性問題和動態(tài)彈性問題。通過這些示例，可以更好地理解積分法在不同場景下的應(yīng)用和實(shí)現(xiàn)過程。6數(shù)值實(shí)施與案例分析6.1數(shù)值實(shí)施的注意事項(xiàng)在使用積分法求解復(fù)雜彈性問題時，數(shù)值實(shí)施是關(guān)鍵步驟之一。以下幾點(diǎn)是實(shí)施過程中需要特別注意的：網(wǎng)格劃分：選擇合適的網(wǎng)格劃分方法，確保模型的精度。網(wǎng)格過粗會導(dǎo)致結(jié)果不準(zhǔn)確，而網(wǎng)格過細(xì)則會增加計算成本。積分規(guī)則：根據(jù)問題的性質(zhì)選擇適當(dāng)?shù)姆e分規(guī)則，如高斯積分，以提高數(shù)值穩(wěn)定性。邊界條件：正確設(shè)定邊界條件，確保模型反映實(shí)際工程問題。收斂性檢查：實(shí)施過程中應(yīng)定期檢查解的收斂性，確保計算結(jié)果的可靠性。后處理：對計算結(jié)果進(jìn)行后處理，提取關(guān)鍵信息，如應(yīng)力、應(yīng)變等。6.2案例分析：平板彎曲問題6.2.1問題描述考慮一個矩形平板，尺寸為1m×1m，厚度為0.01m，材料為鋼，彈性模量E6.2.2數(shù)值實(shí)施使用有限元方法，將平板離散為四邊形單元，每個單元采用雙線性位移函數(shù)。采用高斯積分進(jìn)行數(shù)值積分，以提高計算效率和精度。6.2.3代碼示例#導(dǎo)入必要的庫

importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

t=0.01#厚度，單位：m

#定義平板尺寸

Lx=1.0#長度，單位：m

Ly=1.0#寬度，單位：m

#定義網(wǎng)格劃分

nx=10#x方向的單元數(shù)

ny=10#y方向的單元數(shù)

#定義力

F=100#單位：N

#初始化剛度矩陣和力向量

K=lil_matrix((nx*ny*2,nx*ny*2))

F_vec=np.zeros(nx*ny*2)

#構(gòu)建剛度矩陣和力向量

foriinrange(nx):

forjinrange(ny):

#計算單元剛度矩陣

Ke=np.array([[1,0,0,0],

[0,1,0,0],

[0,0,1,0],

[0,0,0,1]])*(E*t)/(1-nu**2)

#將單元剛度矩陣添加到整體剛度矩陣

K[i*ny*2:(i+1)*ny*2,j*ny*2:(j+1)*ny*2]+=Ke

#應(yīng)用力

ifi==0andj==0:

F_vec[i*ny*2]+=F

elifi==0andj==ny-1:

F_vec[i*ny*2+1]+=F

elifi==nx-1andj==0:

F_vec[(i+1)*ny*2-2]+=F

elifi==nx-1andj==ny-1:

F_vec[(i+1)*ny*2-1]+=F

#應(yīng)用邊界條件

foriinrange(nx*ny):

K[i*2,i*2]=1

K[i*2+1,i*2+1]=1

F_vec[i*2]=0

F_vec[i*2+1]=0

#求解位移向量

U=spsolve(K.tocsc(),F_vec)

#輸出結(jié)果

print("位移向量：",U)6.2.4解釋上述代碼首先定義了材料屬性、平板尺寸、網(wǎng)格劃分和力。然后，初始化了剛度矩陣和力向量，并通過循環(huán)構(gòu)建了剛度矩陣和力向量。最后，應(yīng)用了邊界條件，求解了位移向量，并輸出了結(jié)果。6.3案例分析：復(fù)合材料梁的應(yīng)力分析6.3.1問題描述考慮一根復(fù)合材料梁，長度為1m，寬度為0.1m，高度為0.05m。梁由兩層材料組成，上層材料為碳纖維，下層材料為環(huán)氧樹脂。碳纖維的彈性模量為150GPa，泊松比為0.2；環(huán)氧樹脂的彈性模量為6.3.2數(shù)值實(shí)施使用有限元方法，將梁離散為矩形單元，每個單元采用線性位移函數(shù)。采用高斯積分進(jìn)行數(shù)值積分，以提高計算效率和精度。6.3.3代碼示例#導(dǎo)入必要的庫

importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義材料屬性

E1=150e9#碳纖維彈性模量，單位：Pa

nu1=0.2#碳纖維泊松比

E2=3e9#環(huán)氧樹脂彈性模量，單位：Pa

nu2=0.4#環(huán)氧樹脂泊松比

t1=0.025#碳纖維層厚度，單位：m

t2=0.025#環(huán)氧樹脂層厚度，單位：m

#定義梁尺寸

L=1.0#長度，單位：m

b=0.1#寬度，單位：m

h=0.05#高度，單位：m

#定義網(wǎng)格劃分

n=10#單元數(shù)

#定義力

F=500#單位：N

#初始化剛度矩陣和力向量

K=lil_matrix((n*2,n*2))

F_vec=np.zeros(n*2)

#構(gòu)建剛度矩陣和力向量

foriinrange(n):

#計算單元剛度矩陣

ifi<n/2:

Ke=np.array([[1,0],

[0,1]])*(E1*t1)/(1-nu1**2)

else:

Ke=np.array([[1,0],

[0,1]])*(E2*t2)/(1-nu2**2)

#將單元剛度矩陣添加到整體剛度矩陣

K[i*2:(i+1)*2,i*2:(i+1)*2]+=Ke

#應(yīng)用力

ifi==0:

F_vec[i*2]+=F

elifi==n-1:

F_vec[i*2]+=F

#應(yīng)用邊界條件

K[0,0]=1

K[n*2-1,n*2-1]=1

F_vec[0]=0

F_vec[n*2-1]=0

#求解位移向量

U=spsolve(K.tocsc(),F_vec)

#計算應(yīng)力

ifn/2:

sigma1=E1*U[:n]

sigma2=E2*U[n:]

else:

sigma1=E1*U[:n-1]

sigma2=E2*U[n-1:]

#輸出結(jié)果

print("碳纖維層應(yīng)力：",sigma1)

print("環(huán)氧樹脂層應(yīng)力：",sigma2)6.3.4解釋上述代碼首先定義了材料屬性、梁尺寸、網(wǎng)格劃分和力。然后，初始化了剛度矩陣和力向量，并通過循環(huán)構(gòu)建了剛度矩陣和力向量。最后，應(yīng)用了邊界條件，求解了位移向量，計算了應(yīng)力，并輸出了結(jié)果。6.4案例分析：地震作用下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)6.4.1問題描述考慮一個簡單的單自由度系統(tǒng)，質(zhì)量為100kg，彈性模量為200GPa6.4.2數(shù)值實(shí)施使用有限元方法，將系統(tǒng)離散為單個單元，采用線性位移函數(shù)。采用顯式時間積分方法求解動力學(xué)方程。6.4.3代碼示例#導(dǎo)入必要的庫

importnumpyasnp

#定義材料屬性

m=100#質(zhì)量，單位：kg

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

k=E/(1-nu**2)*0.01#假設(shè)系統(tǒng)為一維，長度為0.01m

#定義地震加速度時程

t=np.linspace(0,1,1000)

a=10*np.sin(2*np.pi*t)

#定義時間步長和總時間

dt=t[1]-t[0]

T=t[-1]

#初始化位移和速度向量

u=np.zeros_like(t)

v=np.zeros_like(t)

#顯式時間積分求解動力學(xué)方程

foriinrange(1,len(t)):

u[i]=u[i-1]+v[i-1]*dt+a[i-1]*dt**2/2

v[i]=v[i-1]+a[i-1]*dt

#輸出結(jié)果

print("位移響應(yīng)：",u)6.4.4解釋上述代碼首先定義了材料屬性、地震加速度時程、時間步長和總時間。然后，初始化了位移和速度向量，并通過循環(huán)使用顯式時間積分方法求解了動力學(xué)方程。最后，輸出了位移響應(yīng)。以上三個案例分析展示了如何使用積分法和有限元方法求解復(fù)雜彈性問題，包括平板彎曲問題、復(fù)合材料梁的應(yīng)力分析和地震作用下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。通過這些案例，可以深入理解積分法在彈性力學(xué)數(shù)值方法中的應(yīng)用。7誤差分析與優(yōu)化7.1誤差來源與評估方法在彈性力學(xué)的數(shù)值方法中，積分法求解復(fù)雜彈性問題時，誤差主要來源于模型的離散化、近似函數(shù)的選擇、以及數(shù)值積分的精度。離散化誤差是由于將連續(xù)的物理域分割成有限數(shù)量的單元而產(chǎn)生的；近似函數(shù)誤差則源于使用有限項(xiàng)的函數(shù)來逼近實(shí)際的解；數(shù)值積分誤差則與積分點(diǎn)的選擇和積分權(quán)重的計算有關(guān)。7.1.1誤差評估方法評估這些誤差的方法包括：收斂性分析：通過比較不同網(wǎng)格密度下的解，觀察解是否隨著網(wǎng)格細(xì)化而趨于穩(wěn)定。后驗(yàn)誤差估計：基于解的后處理，如計算解的梯度或殘差，來估計誤差。誤差指標(biāo)：如能量誤差、位移誤差等，用于量化解的精度。7.2優(yōu)化策略：網(wǎng)格細(xì)化與自適應(yīng)算法7.2.1網(wǎng)格細(xì)化網(wǎng)格細(xì)化是一種直接減少離散化誤差的方法，通過增加單元數(shù)量，提高模型的精細(xì)度。然而，這會增加計算成本，因此需要謹(jǐn)慎使用。7.2.2自適應(yīng)算法自適應(yīng)算法是一種更智能的優(yōu)化策略，它根據(jù)誤差指標(biāo)動態(tài)調(diào)整網(wǎng)格的密度，確保在誤差較大的區(qū)域有更高的網(wǎng)格密度，而在誤差較小的區(qū)域則保持較低的密度，從而在保持計算效率的同時提高解的精度。示例：自適應(yīng)網(wǎng)格細(xì)化算法#自適應(yīng)網(wǎng)格細(xì)化算法示例

defadaptive_refinement(error_indicator,mesh,threshold):

"""

根據(jù)誤差指標(biāo)進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)化。

參數(shù):

error_indicator:誤差指標(biāo)函數(shù)，輸入為網(wǎng)格，輸出為每個單元的誤差指標(biāo)。

mesh:當(dāng)前網(wǎng)格。

threshold:誤差閾值，當(dāng)誤差指標(biāo)超過此閾值時，單元將被細(xì)化。

返回:

refined_mesh:細(xì)化后的網(wǎng)格。

"""

#計算每個單元的誤差指標(biāo)

errors=error_indicator(mesh)

#標(biāo)記需要細(xì)化的單元

to_refine=[cellforcell,errorinzip(mesh.cells(),errors)iferror>threshold]

#細(xì)化標(biāo)記的單元

refined_mesh=mesh.refine(to_refine)

returnrefined_mesh7.3優(yōu)化策略：高階單元與積分點(diǎn)選擇7.3.1高階單元使用高階單元可以減少近似函數(shù)誤差，因?yàn)楦唠A單元能夠更準(zhǔn)確地表示解的復(fù)雜性。高階單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)量更多，能夠更好地逼近實(shí)際的解。7.3.2積分點(diǎn)選擇積分點(diǎn)的選擇對數(shù)值積分的精度至關(guān)重要。通常，高階積分規(guī)則（如高斯積分）能夠更準(zhǔn)確地計算單元內(nèi)的積分，從而減少數(shù)值積分誤差。示例：高斯積分點(diǎn)選擇#高斯積分點(diǎn)選擇示例

importnumpyasnp

defgaussian_quadrature(f,a,b,n):

"""

使用高斯積分規(guī)則計算函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上的積分。

參數(shù):

f:被積函數(shù)。

a:積分區(qū)間的左端點(diǎn)。

b:積分區(qū)間的右端點(diǎn)。

n:積分點(diǎn)的數(shù)量。

返回:

integral:積分結(jié)果。

"""

#高斯積分點(diǎn)和權(quán)重

x,w=np.polynomial.legendre.leggauss(n)

#將積分點(diǎn)和權(quán)重映射到實(shí)際積分區(qū)間

x=(b-a)/2*x+(b+a)/2

w=(b-a)/2*w

#計算積分

integral=np.sum(w*f(x))

returnintegral7.3.3數(shù)據(jù)樣例假設(shè)我們有一個簡單的彈性問題，需要在區(qū)間[0,1]上計算函數(shù)fx#數(shù)據(jù)樣例

f=lambdax:x**2

a=0

b=1

n=3#使用3個高斯積分點(diǎn)

integral=gaussian_quadrature(f,a,b,n)

print("積分結(jié)果:",integral)在這個例子中，我們使用了3個高斯積分點(diǎn)來計算函數(shù)fx=x2在區(qū)間[0,通過上述的誤差分析與優(yōu)化策略，我們可以更有效地求解復(fù)雜彈性問題，同時控制和減少誤差，提高計算效率和精度。8高級主題與研究前沿8.1積分法在多物理場問題中的應(yīng)用在處理多物理場問題時，積分法提供了一種有效且靈活的工具。多物理場問題涉及不同物理現(xiàn)象的耦合，如熱力學(xué)、電磁學(xué)、流體力學(xué)與固體力學(xué)的交互作用。積分法，尤其是邊界元法（BoundaryElementMethod,BEM）和廣義積分法（GeneralizedIntegralMethod,GIM），在解決這類問題時展現(xiàn)出獨(dú)特的優(yōu)勢。8.1.1邊界元法（BEM）邊界元法是一種數(shù)值方法，它將問題的求解域從整個體積縮減到僅考慮邊界，從而顯著減少了計算資源的需求。在多物理場問題中，BEM可以用于耦合不同物理場的邊界條件，例如在熱-結(jié)構(gòu)耦合問題中，可以同時處理熱傳導(dǎo)和結(jié)構(gòu)變形。示例：熱-結(jié)構(gòu)耦合問題的BEM求解假設(shè)我們有一個包含熱源的固體結(jié)構(gòu)，需要同時計算熱傳導(dǎo)和結(jié)構(gòu)變形。這里使用Python和一個假設(shè)的BEM庫來展示如何設(shè)置和求解這個問題。#導(dǎo)入必要的庫

importnumpyasnp

fromBEM_libraryimportBEMSolver

#定義邊界條件

boundary_conditions={

'heat_source':{'type':'Neumann','value':100},#熱源的熱流密度

'fixed_end':{'type':'Dirichlet','value':0}#固定端的位移

}

#定義材料屬性

material_properties={

'thermal_conductivity':50,#熱導(dǎo)率

'elastic_modulus':200e9,#彈性模量

'poisson_ratio':0.3#泊松比

}

#創(chuàng)建BEM求解器實(shí)例

solver=BEMSolver(material_properties)

#設(shè)置邊界條件

solver.set_boundary_conditions(boundary_conditions)

#定義網(wǎng)格

grid=np.array([[0,0],[1,0],[1,1],[0,1]])#簡單的矩形網(wǎng)格

#求解問題

solution=solver.solve(grid)

#輸出結(jié)果

print(solution)8.1.2廣義積分法（GIM）廣義積分法是一種更通用的積分法，它能夠處理更復(fù)雜的多物理場耦合問題，包括非線性效應(yīng)和時變效應(yīng)。GIM通過將物理場的方程轉(zhuǎn)化為積分形式，然后使用數(shù)值積分技術(shù)求解。示例：電磁-結(jié)構(gòu)耦合問題的GIM求解考慮一個電磁場與結(jié)構(gòu)場耦合的問題，例如在電磁感應(yīng)加熱過程中，結(jié)構(gòu)的溫度變化會影響其電磁性能，反之亦然。下面是一個使用Python和假設(shè)的GIM庫來設(shè)置和求解此類問題的示例。#導(dǎo)入必要的庫

importnumpyasnp

fromGIM_libraryimportGIMSolver

#定義邊界條件

boundary_conditions={

'electric_source':{'type':'Neumann','value':100},#電磁源的電流密度

'fixed_end':{'type':'Dirichlet','value':0}#固定端的位移

}

#定義材料屬性

material_properties={

'electric_conductivity':50,#電導(dǎo)率

'elastic_modulus':200e9,#彈性模量

'poisson_ratio':0.3#泊松比

}

#創(chuàng)建GIM求解器實(shí)例

solver=GIMSolver(material_properties)

#設(shè)置邊界條件

solver.set_boundary_conditions(boundary_conditions)

#定義網(wǎng)格

grid=np.array([[0,0],[1,0],[1,1],[0,1]])#簡單的矩形網(wǎng)格

#求解問題

solution=solver.solve(grid)

#輸出結(jié)果

print(solution)8.2研究前沿：非局部彈性理論與積分法非局部彈性理論考慮了材料的微觀結(jié)構(gòu)對宏觀彈性行為的影響，這在納米尺度材料的力學(xué)分析中尤為重要。積分法，尤其是基于非局部彈性理論的積分方程方法，為解決這類問題提供了新的視角和工具。8.2.1非局部彈性理論的積分方程非局部彈性理論的積分方程通常涉及材料點(diǎn)與周圍點(diǎn)之間的相互作用。這種相互作用可以通過積分方程來描述，其中積分項(xiàng)反映了材料點(diǎn)與遠(yuǎn)處點(diǎn)的相互依賴性。示例：非局部彈性問題的積分方程求解假設(shè)我們正在研究一個納米尺度的梁，其彈性行為受到非局部效應(yīng)的影響。下面是一個使用Python和假設(shè)的非局部彈性積分方程庫來設(shè)置和求解此類問題的示例。#導(dǎo)入必要的庫

importnumpyasnp

fromNonLocalElasticity_libraryimportNonLocalSolver

#定義邊界條件

boundary_conditions={

'left_end':{'type':'Dirichlet','value':0},#左端的位移

'right_end':{'type':'Neumann','value':100}#右端的力

}

#定義材料屬性

material_properties={

'elastic_modulus':200e9,#彈性模量

'poisson_ratio':0.3,#泊松比

'nonlocal_parameter':0.01#非局部參數(shù)

}

#創(chuàng)建非局部彈性求解器實(shí)例

solver=NonLocalSolver(material_properties)

#設(shè)置邊界條件

solver.set_boundary_conditions(boundary_conditions)

#定義網(wǎng)格

grid=np.array([[0,0],[1,0],[1,1],[0,1]])#簡單的矩形網(wǎng)格

#求解問題

solution=solver.solve(grid)

#輸出結(jié)果

print(solution)8.3研究前沿：分?jǐn)?shù)階彈性力學(xué)與數(shù)值方法分?jǐn)?shù)階彈性力學(xué)是近年來發(fā)展起來的一個領(lǐng)域，它使用分?jǐn)?shù)階微積分來描述材料的粘彈性行為。這種方法在處理具有記憶效應(yīng)的材料時特別有效，如生物組織和聚合物。8.3.1分?jǐn)?shù)階微積分在彈性力學(xué)中的應(yīng)用分?jǐn)?shù)階微積分允許使用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)來描述材料的粘彈性響應(yīng)，這在傳統(tǒng)整數(shù)階微積分無法準(zhǔn)確描述的復(fù)雜材料行為中非常有用。示例：分?jǐn)?shù)階彈性問題的數(shù)值求解考慮一個具有分?jǐn)?shù)階粘彈性行為的材料，下面是一個使用Python和假設(shè)的分?jǐn)?shù)階彈性力學(xué)數(shù)值方法庫來設(shè)置和求解此類問題的示例。#導(dǎo)入必要的庫

importnumpyasnp

fromF