蘇科版2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1.1一元二次方程(知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解)(學(xué)生版+解析)（含答案解析）

專題1.1一元二次方程（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】一元二次方程的定義（1）一元二次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)次數(shù)的最高次數(shù)是2次的整式方程，叫做一元二次方程.（2）構(gòu)成一元二次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：①原方程是整式方程；②整理后的方程只含有一個(gè)未知數(shù)；③整理后的方程含未知數(shù)的最高次數(shù)是2.【知識(shí)點(diǎn)二】一元二次方程的一般形式一般形式項(xiàng)及項(xiàng)的系數(shù)二次項(xiàng)為二次項(xiàng)系數(shù)為一次項(xiàng)為一次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)項(xiàng)為特點(diǎn)方程左邊是關(guān)于未知數(shù)的二次整式，一般按未知數(shù)冪降冪排列，方程右邊為0.【知識(shí)點(diǎn)三】一元二次方程的解（根）概念使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫這個(gè)一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根判斷一個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的解（根）的方法（代入檢驗(yàn)法）若一元二次方程有解，則這個(gè)解一定有兩個(gè)第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】一元二次方程的概念易忽視【例1】（23-24九年級(jí)上·廣西河池·期中）已知關(guān)于x的方程（1）當(dāng)m為何值時(shí)，此方程是一元一次方程？（2）當(dāng)m為何值時(shí)，此方程是一元二次方程？【變式1】（23-24八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）下列方程是關(guān)于x的一元二次方程的是（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·山東東營(yíng)·二模）如果關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)解是0，那么的值是．【題型2】一元二次方程的一般形式【例2】（22-23九年級(jí)·江蘇·假期作業(yè)）將下列方程化為一元二次方程一般形式，并指出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：（1）；（2）．【變式1】（23-24九年級(jí)上·四川自貢·階段練習(xí)）若一元二次方程（為常數(shù)），化成一般形式為，則的值分別是（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）一元二次方程的一般形式（二次項(xiàng)系數(shù)為正）為．【題型3】一元二次方程的解（根）的估算【例3】（23-24九年級(jí)上·山西呂梁·階段練習(xí)）閱讀與思考：下面是小華求一元二次方程的近似解的過程．如圖，這是一張長(zhǎng)、寬的矩形紙板，將紙板四個(gè)角各剪去一個(gè)同樣大小的正方形，可制成一個(gè)底面積是的無蓋長(zhǎng)方體紙盒．小華在做這道題時(shí)，設(shè)剪去的正方形邊長(zhǎng)為，列出關(guān)于x的方程，整理得．

他想知道剪去的邊長(zhǎng)到底是多少，下面是他的探索過程．探索方程的解：第一步：x012179因此：____________．第二步：x1.51.61.71.80.750.36因此：____________.（1）請(qǐng)你幫助小華完成表格中未完成的部分，并寫出x的范圍；（2）通過以上探索，請(qǐng)直接估計(jì)出x的值．（結(jié)果保留一位小數(shù)）【變式1】（23-24九年級(jí)上·福建寧德·階段練習(xí)）根據(jù)關(guān)于的一元二次方程，可列表如下：則方程的正數(shù)解滿足（

）01A．解的整數(shù)部分是0，十分位是5 B．解的整數(shù)部分是0，十分位是8C．解的整數(shù)部分是1，十分位是1 D．解的整數(shù)部分是1，十分位是2【變式2】（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·期中）如果是方程的一個(gè)根，根據(jù)下面表格中的取值，可以判斷．1.21.31.41.50.360.75【題型4】一元二次方程的解（根）中的整體思想求值（解）【例4】（23-24八年級(jí)下·安徽滁州·階段練習(xí)）已知是一元二次方程的一個(gè)根，求的值．【變式1】（23-24九年級(jí)上·四川德陽(yáng)·階段練習(xí)）若a是方程的一個(gè)根，則的值為（

）A．2022 B． C．2023 D．【變式2】（2024·江蘇常州·二模）已知m為方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值是．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川南充·中考真題）已知m是方程的一個(gè)根，則的值為．【例2】（2023·湖南婁底·中考真題）若m是方程的根，則．2、拓展延伸【例1】（2024·廣東·三模）（1）解不等式組：；（2）若（1）中不等式組的整數(shù)解是關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)解，求m的值．【例2】已知方程．（1）當(dāng)為何值時(shí)，它是一元二次方程？（2）當(dāng)為何值時(shí)，它是一元一次方程？專題1.1一元二次方程（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】一元二次方程的定義（1）一元二次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)次數(shù)的最高次數(shù)是2次的整式方程，叫做一元二次方程.（2）構(gòu)成一元二次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：①原方程是整式方程；②整理后的方程只含有一個(gè)未知數(shù)；③整理后的方程含未知數(shù)的最高次數(shù)是2.【知識(shí)點(diǎn)二】一元二次方程的一般形式一般形式項(xiàng)及項(xiàng)的系數(shù)二次項(xiàng)為二次項(xiàng)系數(shù)為一次項(xiàng)為一次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)項(xiàng)為特點(diǎn)方程左邊是關(guān)于未知數(shù)的二次整式，一般按未知數(shù)冪降冪排列，方程右邊為0.【知識(shí)點(diǎn)三】一元二次方程的解（根）概念使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫這個(gè)一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根判斷一個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的解（根）的方法（代入檢驗(yàn)法）若一元二次方程有解，則這個(gè)解一定有兩個(gè)第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】一元二次方程的概念易忽視【例1】（23-24九年級(jí)上·廣西河池·期中）已知關(guān)于x的方程（1）當(dāng)m為何值時(shí)，此方程是一元一次方程？（2）當(dāng)m為何值時(shí)，此方程是一元二次方程？【答案】(1)(2)【分析】此題考查了一元一次方程的定義以及一元二次方程的定義，熟練掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)一元一次方程的定義解答即可；（2）根據(jù)一元二次方程的定義解答即可．（1）解：∵是一元一次方程，∴，解得．即時(shí)，此方程是一元一次方程；（2）∵是一元二次方程，∴，解得．即時(shí)，此方程是一元二次方程．【變式1】（23-24八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）下列方程是關(guān)于x的一元二次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的概念．根據(jù)一元二次方程的定義解答，一元二次方程必須滿足四個(gè)條件：未知數(shù)的最高次數(shù)是2，二次項(xiàng)系數(shù)不為0，是整式方程，含有一個(gè)未知數(shù)；解：A、當(dāng)時(shí)，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；B、，不是整式方程，故本選項(xiàng)不符合題意；C、，含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；D、是一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【變式2】（2024·山東東營(yíng)·二模）如果關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)解是0，那么的值是．【答案】【分析】此題主要考查了一元二次方程的解的定義，首先把方程的解代入原方程中即可求出待定字母的值，然后就可以求出方程的解；由于的一元二次方程有一個(gè)根為0，直接把代入方程中，二次項(xiàng)系數(shù)不為0，即可求出的值．解：∵關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根為0，將代入原方程中得當(dāng)時(shí)，故答案為：．【題型2】一元二次方程的一般形式【例2】（22-23九年級(jí)·江蘇·假期作業(yè)）將下列方程化為一元二次方程一般形式，并指出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：（1）；（2）．【答案】(1)二次項(xiàng)系數(shù)為3，一次項(xiàng)系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為2；(2)二次項(xiàng)系數(shù)為，一次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)為【分析】（1）一元二次方程的一般形式是（a，b，c是常數(shù)且），a，b，c分別是二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)，據(jù)此解答即可；（2）一元二次方程的一般形式是（a，b，c是常數(shù)且），a，b，c分別是二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)，據(jù)此解答即可．（1）解：∵化為一般形式為，∴二次項(xiàng)系數(shù)為3，一次項(xiàng)系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為2；（2）∵化為一般形式為，∴二次項(xiàng)系數(shù)為，一次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)為．【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常數(shù)且），其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．【變式1】（23-24九年級(jí)上·四川自貢·階段練習(xí)）若一元二次方程（為常數(shù)），化成一般形式為，則的值分別是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是一元二次方程的一般形式，要確定二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須先把一元二次方程化成一般形式，根據(jù)完全平方公式、移項(xiàng)法則把原方程化為一般形式，根據(jù)題意列出方程，解方程得到答案．解：，則，∴，由題意得：，，解得：，，故選：．【變式2】（23-24八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）一元二次方程的一般形式（二次項(xiàng)系數(shù)為正）為．【答案】【分析】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式．這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；叫做一次項(xiàng)；c叫做常數(shù)項(xiàng)．首先去括號(hào)，然后移項(xiàng)，把等號(hào)右邊化為0，再合并同類項(xiàng)即可．解：，故答案為：．【題型3】一元二次方程的解（根）的估算【例3】（23-24九年級(jí)上·山西呂梁·階段練習(xí)）閱讀與思考：下面是小華求一元二次方程的近似解的過程．如圖，這是一張長(zhǎng)、寬的矩形紙板，將紙板四個(gè)角各剪去一個(gè)同樣大小的正方形，可制成一個(gè)底面積是的無蓋長(zhǎng)方體紙盒．小華在做這道題時(shí)，設(shè)剪去的正方形邊長(zhǎng)為，列出關(guān)于x的方程，整理得．

他想知道剪去的邊長(zhǎng)到底是多少，下面是他的探索過程．探索方程的解：第一步：x012179因此：____________．第二步：x1.51.61.71.80.750.36因此：____________.（1）請(qǐng)你幫助小華完成表格中未完成的部分，并寫出x的范圍；（2）通過以上探索，請(qǐng)直接估計(jì)出x的值．（結(jié)果保留一位小數(shù)）【答案】（1），，，，（2）【分析】（1）第一步:代入及,可求出的的值,進(jìn)而可得出;第二步:根據(jù)及時(shí),的值，進(jìn)而可得出；（2）由的結(jié)論,可得出的值約為.解：（1）第一步:當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí),,∴；第二步:當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí),，∴.故答案為：，，，；（2）通過以上探索,的值約為.【點(diǎn)撥】本題考查了估算一元二次方程的近似解，熟練掌握用列舉法估算一元二次方程的近似解的方法是解題的關(guān)鍵.【變式1】（23-24九年級(jí)上·福建寧德·階段練習(xí)）根據(jù)關(guān)于的一元二次方程，可列表如下：則方程的正數(shù)解滿足（

）01A．解的整數(shù)部分是0，十分位是5 B．解的整數(shù)部分是0，十分位是8C．解的整數(shù)部分是1，十分位是1 D．解的整數(shù)部分是1，十分位是2【答案】D【分析】觀察表格得：一元二次方程的解位于與之間，方程的正數(shù)解滿足解的整數(shù)部分是1，十分位是2，即可求解．解：觀察表格得：一元二次方程的解位于與之間，∴方程的正數(shù)解滿足解的整數(shù)部分是1，十分位是2．故選：D．【點(diǎn)撥】本體主要考查了一元二次方程的解，根據(jù)表格得到方程的解位于與之間是解題的關(guān)鍵．【變式2】（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·期中）如果是方程的一個(gè)根，根據(jù)下面表格中的取值，可以判斷．1.21.31.41.50.360.75【答案】1.31.4【分析】觀察表格可知，隨的值逐漸增大，的值在之間由負(fù)到正，故可判斷時(shí)，對(duì)應(yīng)的的值在之間．解：根據(jù)表格可知，時(shí)，對(duì)應(yīng)的的值在之間，即：．故答案為：1.3，1.4．【點(diǎn)撥】本題考查了估算一元二次方程的近似解：用列舉法估算一元二次方程的近似解，具體方法是：給出一些未知數(shù)的值，計(jì)算方程兩邊結(jié)果，當(dāng)兩邊結(jié)果愈接近時(shí)，說明未知數(shù)的值愈接近方程的根．【題型4】一元二次方程的解（根）中的整體思想求值（解）【例4】（23-24八年級(jí)下·安徽滁州·階段練習(xí)）已知是一元二次方程的一個(gè)根，求的值．【答案】2【分析】本題主要考查了一元二次方程的解，代數(shù)式求值，根據(jù)是一元二次方程的一個(gè)根，得出，，再整體代入求解即可．解：由題意，將代入方程，得，∴，，∴，∴的值為2．【變式1】（23-24九年級(jí)上·四川德陽(yáng)·階段練習(xí)）若a是方程的一個(gè)根，則的值為（

）A．2022 B． C．2023 D．【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的解,先根據(jù)一元二次的定義得到，再用a表示得到，然后利用整體代入的計(jì)算所求代數(shù)式的值．解：∵a是方程的一個(gè)根，∴，∴，∴，∴．故選：A．【變式2】（2024·江蘇常州·二模）已知m為方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值是．【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程的解等知識(shí)點(diǎn)，先根據(jù)方程解的定義，化簡(jiǎn)關(guān)于m的方程，然后整體代入求值，掌握方程解的定義和整體代入的思想方法是解決本題的關(guān)鍵．∵m為方程的一個(gè)根，∴，∴，∴，故答案為：．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川南充·中考真題）已知m是方程的一個(gè)根，則的值為．【答案】【分析】本題主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代數(shù)式的值，根據(jù)m是方程的一個(gè)根，可得出，再化簡(jiǎn)代數(shù)式，整體代入即可求解．解：∵m是方程的一個(gè)根，∴，故答案為：．【例2】（2023·湖南婁底·中考真題）若m是方程的根，則．【答案】6【分析】由m是方程的根，可得，把化為，再通分變形即可．解：∵m是方程的根，∴，即，∴；【點(diǎn)撥】本題考查的是一元二次方程的解的含義，分式的化簡(jiǎn)求值，準(zhǔn)確的把原分式變形，再求值是解本題的關(guān)鍵．2、拓展延伸【例1】（2024·廣東·三模）（1）解不等式組：；（2）若（1）中不等式組的整數(shù)解是關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)解，求m的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先求出每一個(gè)不等式的解集，后確定不等式組的解集，后確定其整數(shù)解即可．本題考查了一元一次不等式組的解法，熟練進(jìn)行不等式求解是解題的關(guān)鍵．（2）根據(jù)方程的解的定義，代入解答即可．本題考查了一元一次不等式組的解法，方程的解，解方程，熟練進(jìn)行不等式組，解方程求解是解題的關(guān)鍵．解：（1）令，解不等式①，得，解不等式②，得，∴原不等式