蘇科版2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊2.8 確定圓的條件（專項練習(xí)）（含答案）

專題2.8確定圓的條件（專項練習(xí)）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（23-24九年級上·安徽合肥·期末）如圖，一圓弧過方格的格點A、B、C，試在方格中建立平面直角坐標(biāo)系，使點A的坐標(biāo)為．B的坐標(biāo)為．則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．2．（23-24九年級上·浙江溫州·期中）如果三角形的外心在三角形的外部，那么這個三角形一定是（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等邊三角形3．（23-24九年級上·江蘇常州·階段練習(xí)）已知中，，則外接圓的半徑為（）A．3 B．4 C．5 D．不確定4．（13-14九年級上·全國·課后作業(yè)）小明不慎把家里的圓形玻璃打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為配到與原來大小一樣的圓形玻璃，小明帶到商店去的一塊玻璃碎片應(yīng)該是（

）A．第①塊 B．第②塊 C．第③塊 D．第④塊5．（19-20九年級·浙江杭州·期末）如圖，分別為的垂心、外心，，若外接圓的半徑為2，則（

）

A． B． C．4 D．6．（18-19九年級·重慶綦江·期中）如圖，O是的外心，則A． B． C． D．7．（2023·江蘇無錫·一模）如圖，是的直徑，點C在上，，垂足為D，，點E是上的動點（不與C重合），點F為的中點，若在E運動過程中的最大值為4，則的值為（

）A． B． C． D．8．（23-24九年級上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）小穎同學(xué)在手工制作中，把一個邊長為6cm的等邊三角形紙片貼到一個圓形的紙片上，若三角形的三個頂點恰好都在這個圓上，則圓的半徑為（

）A．cm B．cm C．cm D．cm9．（23-24九年級上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，已知是的外心，分別是、的中點，連接、交于點，若，，，則的面積為（

）A． B． C． D．10．（2024·寧夏固原·模擬預(yù)測）如圖，在已知的中，按以下步驟作圖：①分別以為圓心，以大于長為半徑作弧，兩弧相交于兩點；②作直線交于點，連接．若，，則下列結(jié)論中錯誤的是(

)A． B．C． D．點是的外心二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．已知的兩條直角邊長為a和b，且a，b是方程的兩根，則的外接圓面積為．12．（2019·福建泉州·一模）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝5，D是AB的中點，則外接圓的直徑R＝．13．（2022·北京·一模）如圖所示，一圓弧過方格的格點，試在方格中建立平面直角坐標(biāo)系，使點的坐標(biāo)為，則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是；

14．（2024九年級·全國·競賽）已知為的外接圓，且圓心O在的內(nèi)部，分別過點O作，垂足分別為點，若，則．15．（2023九年級上·全國·專題練習(xí)）若點O是等腰的外心，且，底邊，則的面積為．16．（2024·浙江嘉興·二模）如圖，銳角三角形內(nèi)接于于點D，連結(jié)并延長交線段于點E（點E不與點B，D重合），設(shè)（m，n為正數(shù)），則m關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式為17．（20-21九年級·全國·課后作業(yè)）如圖，在中，為的外接圓，如果，那么的半徑為．18．（2024·吉林長春·三模）將邊長為2的小正方形ABCD和邊長為4的大正方形EFGH如圖擺放，使得C、E兩點剛好重合，且B、C、H三點共線，此時經(jīng)過A、F、G三點作一個圓，則該圓的半徑為．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2024·河南商丘·二模）如圖，在中，．（1）尺規(guī)作圖：作出經(jīng)過，，三點的．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）連接并延長，交于點，連接，．求證：20．（8分）（17-18九年級上·江蘇·課后作業(yè)）如圖，是的高，為的中點．試說明點在以點為圓心的同一個圓上．21．（10分）（2021·浙江寧波·一模）如圖，在中，，以點為圓心，長為半徑作圓，交于點，交于點，連接．

（1）若，求的度數(shù)；（2）若，求的長．22．（10分）（20-21九年級上·浙江·期末）如圖，已知銳角三角形內(nèi)接于圓O，交于點D，，連接（1）若，①求證：；②當(dāng)時，求面積的最大值．（2）點E在線段上，，連接，設(shè)（m,n是正數(shù)），若，求證：．23．（10分）（23-24九年級上·河北邯鄲·階段練習(xí)）如圖，，，直線經(jīng)過點．設(shè)，于點，將射線繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，與直線交于點．

（1）判斷：__________；（2）若，求的長；（3）若的外心在三角形內(nèi)部（不包括邊上），直接寫出的取值范圍．24．（12分）（23-24九年級上·陜西渭南·期末）【問題提出】（1）如圖1，是邊長為4的等邊三角形，點D為邊上的動點，連接，則的最小值為__________；【問題探究】（2）如圖2，四邊形是邊長為的正方形，點E為的中點，點F為線段（含端點）上的一個動點，以為底邊向上作等腰直角，以頂點O為圓心，為半徑作，延長交于點P，求的最小值；【問題解決】（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角是一塊花圃的平面示意圖，經(jīng)測量，底邊米，現(xiàn)欲對該花圃進(jìn)行擴(kuò)建，在底邊上取點C，作的外接圓，點D為與y軸的另一個交點，沿鋪設(shè)一條觀賞通道，為了節(jié)省鋪設(shè)成本，要求觀賞通道的長度盡可能小，問的長度是否存在最小值？若存在，求出長度的最小值；若不存在，請說明理由．參考答案：1．B【分析】本題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用．如圖以圖中每個小方格的邊長為單位1，在方格中建立平面直角坐標(biāo)系，使點A的坐標(biāo)為，B的坐標(biāo)為，分別連接，分別作線段的垂直平分線，兩條直線交于點D，則點D是所給圓弧所在圓的圓心，即可求解．【詳解】解：如圖以圖中每個小方格的邊長為單位1，在方格中建立平面直角坐標(biāo)系，使點A的坐標(biāo)為，B的坐標(biāo)為，分別連接，分別作線段的垂直平分線，兩條直線交于點D，則點D是所給圓弧所在圓的圓心，由圖得點D的坐標(biāo)為．故該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是．故選：B．2．A【分析】本題考查了三角形的外接圓與外心，掌握外心的形成和性質(zhì)是本題突破的關(guān)鍵，根據(jù)外心的形成和性質(zhì)直接判斷即可．【詳解】解：三角形的外心是三條邊的垂直平分線的交點，外心的性質(zhì)是到三角形三個頂點的距離相等，如果一個三角形的外心在三角形的外部，說明有一個圓周角大于，那么這個三角形一定是鈍角三角形，故選：C．3．C【分析】本題考查了三角形的外接圓與外心，在中，利用勾股定理求出的長，然后根據(jù)直角三角形外接圓的直徑等于斜邊的長即可解答．【詳解】解：在中，，∴，∴外接圓的半徑，故選：C．4．B【分析】根據(jù)不在一條直線上三點確定一個圓即可解得．本題考查的是垂徑定理的推論的應(yīng)用，確定圓的條件，掌握確定圓的的條件是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心．只要有一段弧，即可確定圓心和半徑．所以小明帶到商店去的一塊玻璃碎片應(yīng)該是第②塊．故選：B．5．B【分析】連接BO并延長交于點D，連接HC，CD，DA，由圓周角定理的推論，可得DC⊥BC，DA⊥AB，由三角形的垂心的定義得AH⊥BC，CH⊥AB，從而得四邊形AHCD是平行四邊形，結(jié)合，外接圓的半徑為2，即可求解．【詳解】連接BO并延長交于點D，連接HC，CD，DA．∵點O是的外心，∴BD是的直徑，∴DC⊥BC，DA⊥AB，又∵點H是的垂心，∴AH⊥BC，CH⊥AB，∴AH∥DC，CH∥DA，∴四邊形AHCD是平行四邊形，∴AH=DC，∵，外接圓的半徑為2，∴∠BDC=∠BAC=45°，BD=4，∴AH=DC=BD÷=4÷=．故選B．

【點撥】本題主要考查三角形外心與垂心的定義，圓周角定理及其推論，平行四邊形的判定和性質(zhì)定理，掌握三角形外心與垂心的定義，添加合適的輔助線，構(gòu)造平行四邊形和等腰直角三角形，是解題的關(guān)鍵．6．C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可．【詳解】如圖，，，同理，，，，，故選C．【點撥】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握三角形的外接圓的概念，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．7．A【分析】先判斷出點，，，四點共圓，判斷出的最大值為，再求出，然后根據(jù)勾股定理即可求出答案．【詳解】解：如圖，連接，，點是的中點，，，，，，點，，，在以為直徑的圓上，，∵，在中，，，根據(jù)勾股定理得，故選A．【點撥】此題主要考查了垂徑定理，四點共圓，勾股定理，作出輔助線判斷出點，，，四點共圓是解本題的關(guān)鍵．8．A【分析】本題主要考查了三角形的外接圓與外心，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理解三角形的應(yīng)用．依題意畫出圖形，連接，，過點作于點，利用等邊三角形的性質(zhì)和垂徑定理得到，，在中，利用勾股定理即可求得的長．【詳解】解：由題意畫圖如下，則為等邊三角形，且內(nèi)接于，

，．過點作于點，則，連接，，則，，．，，∴，在中，，，∴，．故選：A．9．B【分析】本題考查了三角形的外接圓和外心，三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心，考查了直角三角形的性質(zhì)和勾股定理的逆定理，三角形的面積，連接，，由題意得出，，可證得，根據(jù)三角形的面積公式可得出答案，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】連接，，如圖，∵是的外心，、分別是、的中點，∴，，∴，，∵，，∴，，∵，∴，∴是直角三角形，，∵，∴，故選：．10．B【分析】本題考查的是作圖基本作圖，線段垂直平分線的作法，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的外心的定義；由題意可知直線是線段的垂直平分線，故，，故可得出的度數(shù)，根據(jù)可知，故可得出的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：由題意可知直線是線段的垂直平分線，，，，，．，，A正確，C錯誤；，，，點為的外心，故D正確；，，，故B正確．故選：B．11．【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，直角三角形的外接圓，完全平方公式的變形求值，先根據(jù)兩直角邊a、b分別是一元二次方程的兩根，得出，，根據(jù)，求出，再求出的外接圓面積即可．【詳解】解：∵兩直角邊a、b分別是一元二次方程的兩根，∴，，，∴斜邊∴圓的半徑，的外接圓的面積為．故答案為：．12．10【分析】根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可計算的AB的長度，再根據(jù)直角三角形的外接圓的中點在斜邊的中點上，即可求出外接圓的直徑.【詳解】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝5，D是AB的中點，∴AB＝2CD＝10，∵直角三角形的外心在斜邊中點，∴斜邊AB即是△ABC外接圓的直徑，∴R＝10．故答案為10．【點撥】本題主要考查三角形的外接圓,關(guān)鍵在于直角三角形的外接圓的圓心和斜邊的中點重合.13．【分析】先根據(jù)點A的坐標(biāo)建立坐標(biāo)系，再根據(jù)圓心一定是線段和線段垂直平分線的交點進(jìn)行畫圖求解即可．【詳解】解：如圖所示，建立坐標(biāo)系，由圖可知該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是，故答案為：．

【點撥】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，確定圓心的位置，熟知圓心一定在圓中弦的垂直平分線上是解題的關(guān)鍵．14．16【分析】本題考查了三角形外心的性質(zhì)，三角形的中位線等，熟練掌握和靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵；由點是的外心，，得到是的中位線，根據(jù)三角形中位線定理即可求得．【詳解】解：如圖，是的外心，，，，，為的中位線，．故答案為：1615．或【分析】分兩種情形討論：①當(dāng)圓心O在內(nèi)部時．②當(dāng)點O在外時．分別求解即可．本題考查三角形的外接圓與外心、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，注意一題多解，屬于中考常考題型．【詳解】解：①當(dāng)圓心O在內(nèi)部時，作于E．∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，②當(dāng)點O在外時，連接交于E．，故答案為：或16．【分析】設(shè)，得到，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到，根據(jù)平角的定義即可得到結(jié)論．本題考查了三角形的外接圓與外心，三角形內(nèi)角和公式，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，設(shè)，，，，，，，，，，故答案為：．17．【分析】連接、，作，利用圓心角與圓周角的關(guān)系得出，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理解答即可．【詳解】解：連接、，作，，，又∵OB＝OC，，，，∴在中，，故答案為：．【點撥】此題考查三角形的外接圓與外心，關(guān)鍵是利用圓心角與圓周角的關(guān)系得出．18．【分析】本題考查確定圓的圓心，由題意可知，，，取的中點，連接，，，由勾股定理可得，可知點為、、三點所作圓的圓心，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：由題意可知，，，取的中點，則，，連接，，，由勾股定理可得：，，∴，即：點為、、三點所作圓的圓心，則該圓的半徑為，故答案為：．19．(1)作圖見解析(2)證明見解析【分析】本題考查了作三角形的外接圓；圓的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定；全等三角形的性質(zhì)與判定；（1）作的垂直平分線交于點，以為圓心，以為半徑作，就是所求作的圓；（2）根據(jù)題意可得，，則四邊形為平行四邊形，得出，，進(jìn)而根據(jù)證明，即可．【詳解】（1）解：如圖，作的垂直平分線交于點，以為圓心，以為半徑作，就是所求作的圓；（2）證明：如圖，，，四邊形為平行四邊形，，，在和中，，．20．見解析【分析】先連接，，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得，即可證結(jié)論．【詳解】證明：連接，．分別是的高，為的中點，，∴點在以點為圓心的同一圓上．【點撥】本題主要考查了直角三角形和圓的性質(zhì)，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半這一性質(zhì)是關(guān)鍵．21．(1)(2)【分析】本題主要考等腰三角形，勾股定理的綜合，掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等面積法求高等知識是解題的關(guān)鍵．（1）如圖所示，連接，可得是等腰三角形，根據(jù)直角三角形可求出的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出的度數(shù)，由此即可求解；（2）如圖所示，過點作與點，根據(jù)等面積法可求出的值，根據(jù)勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，連接，

∵點在圓上，∴，即是等腰三角形，∵在中，，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的度數(shù)為．（2）解：如圖所示，過點作與點，

∵，，∴在中，，∵，∴，∵，是等腰三角形，∴，在中，，∴，即．22．（1）①見解析；②；（2）見解析【分析】（1）①連接OB、OC，則∠BOD=∠BOC=∠BAC=60°，即可求解；②BC長度為定值，△ABC面積的最大值，要求BC邊上的高最大，即可求解；（2）∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-mx-nx=∠BOC=∠DOC，而∠AOD=∠COD+∠AOC=180°-mx-nx+2mx=180°+mx-nx，即可求解．【詳解】解：（1）①連接、，則，，；②∵BC長度為定值，面積的最大值，要求BC邊上的高最大，∵OA=OB=2，，∴BC=2BD=，當(dāng)AD過點O時，AD最大，即：，面積的最大值；（2）如圖2，連接OC，設(shè)，則，，則，，，，，即：，化簡得：．【點撥】本題為圓的綜合運用題，涉及到解直角三角形、三角形內(nèi)角和公式，其中（2），是本題容易忽視的地方，本題難度適中．23．(1)(2)(3)【分析】（1）由題意得，在四邊形中，根據(jù)四邊形內(nèi)角和求解即可；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，利用互余關(guān)系可得，再由，，可得，進(jìn)而可證明，可得，再利用勾股定理求解即可；（3）分三種情況：當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，分別判斷的形狀即可求解．