1.4.2用空間向量研究距離夾角問題（第1課時）課件高二上學期數(shù)學人教A版選擇性

第一章空間向量與立體幾何用空間向量研究距離、夾角問題第1課時距離問題人教A版

數(shù)學

選擇性必修第一冊課程標準能用向量方法解決點到直線、點到平面、互相平行的直線、互相平行的平面的距離問題.基礎落實·必備知識全過關知識點1點到直線的距離、兩條平行直線之間的距離1.點到直線的距離

切記μ是單位方向向量

2.兩條平行直線之間的距離求兩條平行直線l,m之間的距離,可在其中一條直線l上任取一點P,則兩條平行直線間的距離就等于點P到直線m的距離.名師點睛點到直線的距離,即點到直線的垂線段的長度,由于直線與直線外一點確定一個平面,所以空間點到直線的距離問題可轉化為空間某一個平面內點到直線的距離問題.過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)直線上的任意一點到該直線的距離是0.(

)(2)直線外一點到該直線的距離就是該點與直線上任意一點連線的距離.(

)√×2.[北師大版教材例題]如圖,在空間直角坐標系中有長方體ABCD-A'B'C'D',AB=1,BC=2,AA'=3.用向量的方法求點B到直線A'C的距離.知識點2點到平面的距離、兩個平行平面之間的距離點到平面的距離已知平面α的法向量為n,A是平面α內的定點,P是平面α外一點.過點P作平面α的垂線l,交平面α于點Q,則點P到平面α的距離為PQ=.

名師點睛

2.如果一條直線l與一個平面α平行,可在直線l上任取一點P,將線面距離轉化為點P到平面α的距離求解.3.兩個平行平面之間的距離如果兩個平面α,β互相平行,在其中一個平面α內任取一點P,可將兩個平行平面之間的距離轉化為點P到平面β的距離求解.過關自診1.怎樣求線面距離、面面距離?2.[人教B版教材習題]已知平面α外一點A到平面α的距離為d,且點A到平面α內一點B的距離為5,寫出d的取值范圍.提示

線面距離、面面距離都可以通過一定的方法轉化為點到平面的距離求解.解

如圖,設A在平面α內的射影為A',則A'B2=52-d2≥0,∴0<d≤5,即d的取值范圍是(0,5].3.[北師大版教材習題]已知點M(-1,1,-2),平面α經(jīng)過原點O,且垂直于向量n=(1,-2,2),求點M到平面α的距離.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一利用空間向量求點線距【例1】

已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求點B到直線A1C1的距離.解

以B為坐標原點,BA,BC,BB1分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A1(4,0,1),C1(0,3,1),變式探究

1例1中的條件不變,若M,N分別是A1B1,AC的中點,試求點C1到直線MN的距離.變式探究

2將條件中直三棱柱改為所有棱長均為2的直三棱柱,求點B到直線A1C1的距離.規(guī)律方法

用向量法求點到直線的距離時需注意以下幾點:(1)不必找點在直線上的垂足以及垂線段;(2)在直線上可以任意選點,但一般選較易求得坐標的特殊點;(3)直線的方向向量可以任取,但必須保證計算正確.探究點二利用空間向量求點面距【例2】

在三棱錐S-ABC中,△ABC是邊長為4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M,N分別為AB,SB的中點,如圖所示.求點B到平面CMN的距離.解

取AC的中點O,連接OS,OB.∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SO,AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC,∴SO⊥平面ABC.又BO?平面ABC,∴SO⊥BO.如圖所示,以O為原點,OA,OB,OS所在直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,規(guī)律方法

求點到平面的距離的三種主要方法

方法一作點到平面的垂線,點到垂足的距離即為點到平面的距離方法二在三棱錐中用等體積法求解方法三向量法:d=(n為平面的法向量,A為平面上一點,MA為過點A的斜線段)變式訓練1[北師大版教材習題]在邊長為4的正方形ABCD中,點E,F分別是AB和AD的中點,CG⊥平面ABCD,且CG=2,求點B到平面EFG的距離.解

以C為原點,CB,CD,CG所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則B(4,0,0),E(4,2,0),F(2,4,0),G(0,0,2).探究點三轉化與化歸思想在求空間距離中的應用【例3】

如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,點E在棱BB1上,EB1=1,D,F,G分別為CC1,B1C1,A1C1的中點,EF與B1D相交于點H.(1)求證:B1D⊥平面ABD;(2)求證:平面EGF∥平面ABD;(3)求平面EGF與平面ABD的距離.(1)證明

如圖所示,以B1為原點,分別以B1A1,B1C1,B1B為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,設AB=a,則A1(a,0,0),B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),D(0,2,2),所以B1D⊥AB,B1D⊥BD.又AB∩BD=B,所以B1D⊥平面ABD.所以GF∥AB,EF∥BD.又GF∩EF=F,AB∩BD=B,所以平面EGF∥平面ABD.規(guī)律方法

求兩個平行平面的距離,先在其中一個平面上找到一點,然后轉化為該點到另一個平面的距離求解.注意:這個點要選取適當,以方便求解為主.變式訓練2如圖,已知長方體ABCD-A1B1C1D1,A1A=5,AB=12,則直線B1C1到平面A1BCD1的距離是(

)C(方法2)因為B1C1∥BC,所以B1C1∥平面A1BCD1,從而點B1到平面A1BCD1的距離即為所求.如圖,過點B1作B1E⊥A1B于點E.因為BC⊥平面A1ABB1,且B1E?平面A1ABB1,所以BC⊥B1E.又BC∩A1B=B,所以B1E⊥平面A1BCD1,B1E的長即為點B1到平面A1BCD1的距離.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)點到直線的距離;(2)點到平面的距離;(3)直線到平面的距離;(4)兩平行平面間的距離.2.方法歸納:數(shù)形結合、轉化法.3.常見誤區(qū):(1)容易對距離公式理解不到位,在使用時不注意條件的限制;(2)容易對公式推導過程的理解不清晰.成果驗收·課堂達標檢測123456789101112A級必備知識基礎練1.[探究點一][2023江蘇徐州期末]已知直線l過點A(1,-1,-1),且方向向量為m=(1,0,-1),則點P(1,1,1)到l的距離為(

)B1234567891011122.[探究點一]在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為A1D1的中點,則點C1到直線CE的距離為(

)C1234567891011123.[探究點二]在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中點,則點A1到平面MBD的距離是(

)A1234567891011124.[探究點二]如圖,直三棱柱ABC

-A1B1C1的側棱AA1=,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,則點B1到平面A1BC的距離為

.

1234567891011125.[探究點二、三]已知正方形ABCD的邊長為1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分別為AB,BC的中點.(1)求點D到平面PEF的距離;(2)求直線AC到平面PEF的距離.123456789101112123456789101112123456789101112(2)因為E,F分別為AB,BC的中點,所以EF∥AC.又因為AC?平面PEF,EF?平面PEF,所以AC∥平面PEF.123456789101112B級關鍵能力提升練6.在空間直角坐標系中,定義:平面α的一般方程為Ax+By+Cz+D=0

(A,B,C,D∈R,且A,B,C不同時為零),點P(x0,y0,z0)到平面α的距離d=

,則在底面邊長與高都為2的正四棱錐P-ABCD中,底面中心O到側面PAB的距離d等于(

)B1234567891011127.如圖,在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為A1D1的中點,Q為A1B1上任意一點,E,F為CD上兩個動點,且EF的長為定值,則點Q到平面PEF的距離(

)A123456789101112BC1234567891011129.棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為BB1,C1C的中點,G為線段DD1上的點,且DG=

DD1,過E,F,G的平面交AA1于點H,則A1D1到平面EFGH的距離為

.

12345678910111210.正方體ABCD

-A1B1C1D1的棱長為4,M,N,E,F分別為A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中點,則平面AMN與平面EFBD的距離為

.

123456789101112ABCD,且PA=a,點F在AD上,且CF⊥PC.(1)求點A到平面PCF的距離;(2)求AD到平面PBC的距離