8.2.1一元線性回歸模型及參數(shù)的最小二乘估計(jì)課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

一元線性回歸模型及參數(shù)的最小二乘估計(jì)問(wèn)題1：生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，兒子的身高與父親的身高相關(guān).一般來(lái)說(shuō)，父親的身高較高時(shí)，兒子的身高通常也較高.為了進(jìn)一步研究?jī)烧咧g的關(guān)系，有人調(diào)查了14名男大學(xué)生的身高及其父親的身高，得到的數(shù)據(jù)如表1所示.編號(hào)1234567891011121314父親身高/cm174170173169182172180172168166182173164180兒子身高/cm176176170170185176178174170168178172165182探究新知思考1：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，兒子身高和父親身高這兩個(gè)變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)模型刻畫(huà)嗎？…172…父親身高…176174…兒子身高兒子身高不是父親身高的函數(shù)思考1：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，兒子身高和父親身高這兩個(gè)變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)模型刻畫(huà)嗎？編號(hào)1234567891011121314父親身高/cm174170173169182172180172168166182173164180兒子身高/cm176176170170185176178174170168178172165182思考1：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，兒子身高和父親身高這兩個(gè)變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)模型刻畫(huà)嗎？編號(hào)1234567891011121314父親身高/cm174170173169182172180172168166182173164180兒子身高/cm176176170170185176178174170168178172165182…170…兒子身高…173169…父親身高父親身高不是兒子身高的函數(shù)思考2：經(jīng)過(guò)剛才的分析，你覺(jué)得兒子身高與父親身高的關(guān)系是怎樣的？?jī)鹤由砀吲c父親身高不是函數(shù)關(guān)系，而是相關(guān)關(guān)系.追問(wèn)：兒子身高與父親身高的關(guān)系是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)？是線性相關(guān)還是曲線相關(guān)？

隨著父親身高的增加，兒子身高呈增加的趨勢(shì)，所以是正相關(guān).通過(guò)計(jì)算得到樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.886.兒子身高與父親身高呈正線性相關(guān)關(guān)系

母親身高飲食習(xí)慣體育鍛煉

測(cè)量誤差……

事實(shí)上，相關(guān)系數(shù)，故加上隨機(jī)誤差后可以記作

①可取正或取負(fù)②有些無(wú)法測(cè)量③不可事先設(shè)定誤差觀測(cè)值因?yàn)檎`差是隨機(jī)的，即取各種正負(fù)誤差的可能性一樣，所以它們均值的理想狀態(tài)應(yīng)該為0.

思考5：你能否考慮到上述隨機(jī)因素的作用，用類似于函數(shù)的表達(dá)式，表達(dá)兒子身高與父親身高的關(guān)系嗎？

函數(shù)模型與回歸模型有什么區(qū)別？函數(shù)模型：回歸模型：

解釋變量x(身高)模型誤差e

(其它所有變量)響應(yīng)變量Y(體重)

模型理解

它們的均值為：

即該子總體的均值與父親的身高是線性函數(shù)關(guān)系它僅是該子總體的一個(gè)觀測(cè)值，這個(gè)觀測(cè)值與均值有一個(gè)誤差項(xiàng)。

(1)除父親身高外，其他可能影響兒子身高的因素,比如母親身高、生活環(huán)境、飲食習(xí)慣和鍛煉時(shí)間等.(2)在測(cè)量?jī)鹤由砀邥r(shí)，由于測(cè)量工具、測(cè)量精度所產(chǎn)生的測(cè)量誤差.(3)實(shí)際問(wèn)題中,我們不知道兒子身高和父親身高的相關(guān)關(guān)系是什么，可以利用一元線性回歸模型來(lái)近似這種關(guān)系,這種近似關(guān)系也是產(chǎn)生隨機(jī)誤差e的原因.【思考】你能結(jié)合具體實(shí)例解釋產(chǎn)生模型（1）中隨機(jī)誤差項(xiàng)的原因嗎?思考：一元線性回歸模型有何用？

參數(shù)含義

父親身高每增加1厘米，兒子身高的均值增加0.839厘米.【例1】判斷下列變量間哪些能用函數(shù)模型刻畫(huà)，哪些能用回歸模型刻畫(huà)？(1)某公司的銷(xiāo)售收入和廣告支出；(2)某城市寫(xiě)字樓的出租率和每平米月租金；(3)航空公司的顧客投訴次數(shù)和航班正點(diǎn)率；(4)某地區(qū)的人均消費(fèi)水平和人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)；(5)學(xué)生期末考試成績(jī)和考前用于復(fù)習(xí)的時(shí)間；(6)一輛汽車(chē)在某段路程中的行駛速度和行駛時(shí)間；(7)正方形的面積與周長(zhǎng).典例分析(1)(2)(3)(4)(5)回歸模型，(6)(7)函數(shù)模型.

思考1：從成對(duì)樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，如何用數(shù)學(xué)的方法刻畫(huà)“從整體上看，各散點(diǎn)與直線最接近”？160165170175180185兒子身高/cm父親身高/cm190185180175170165160160165170175180兒子身高/cm父親身高/cm190185180175170165160

思考：如何求a,b的值，使

最小？易得:（1）經(jīng)驗(yàn)回歸直線必過(guò)樣本中心;（2）與相關(guān)系數(shù)r符號(hào)相同.我們將稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線，這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫最小二乘法，求得的,叫做b,a的最小二乘估計(jì)．

160165170175180185兒子身高/cm父親身高/cm190185180175170165160追問(wèn)1：當(dāng)x=176時(shí)，,如果一位父親身高為176cm,他兒子長(zhǎng)大后身高一定能長(zhǎng)到177cm嗎？為什么？?jī)鹤拥纳砀卟灰欢〞?huì)是177cm，這是因?yàn)檫€有其他影響兒子身高的因素，回歸模型中的隨機(jī)誤差清楚地表達(dá)了這種影響，父親的身高不能完全決定兒子的身高，不過(guò)，我們可以作出推測(cè)，當(dāng)父親的身高為176cm時(shí)，兒子身高一般在177cm左右.追問(wèn)2：根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程

中斜率的具體含義,高個(gè)子的父親一定生高個(gè)子的兒子嗎?同樣,矮個(gè)子的父親一定生矮個(gè)子的兒子嗎?

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程

中斜率0.839可以解釋為父親身高每增加1cm，其兒子的身高平均增加0.839cm.分析模型可以發(fā)現(xiàn)，高個(gè)子父親有生高個(gè)子兒子的趨勢(shì)，但一群高個(gè)子父親的兒子們的平均身高要低于父親們的平均身高，例如x=185(cm)，則矮個(gè)子父親有生矮個(gè)子兒子的趨勢(shì)，但一群矮個(gè)子父親的兒子們的平均身高要高于父親們的平均身高，例如x=170(cm),則英國(guó)著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓把這種后代的身高像中間值靠近的趨勢(shì)稱為“回歸現(xiàn)象”.后來(lái)，人們把由一個(gè)變量的變化去推測(cè)另一個(gè)變量的變化的方法稱為回歸分析.【例2】某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x(單位：百萬(wàn)元)與銷(xiāo)售額y(單位：百萬(wàn)元)之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：x24568y