2021-2022學(xué)年新教材人教A版必修第二冊(cè)-6.2.4-向量的數(shù)量積-學(xué)案

6．向量的數(shù)量積如下圖，兩位同學(xué)拉車，沿著繩子方向上的合力為F，車的位移是s，力和位移的夾角為θ.【問題1】合力F所做的功如何計(jì)算？【問題2】合力F所做的功是向量還是數(shù)量？【問題3】合力F與車的位移是s的夾角θ的取值范圍對(duì)功W有什么影響？1．向量的夾角(1)定義：兩個(gè)非零向量a，b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，那么∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角(如下圖).(2)三種特殊情況：a與b的夾角θa與b的關(guān)系0a與b同向πa與b反向eq\f(π,2)a與b垂直，記作a⊥b等邊△ABC中，向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))的夾角是60°嗎？提示：向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))的夾角是120°.2．平面向量數(shù)量積的定義兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，把數(shù)量|a||b|·cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為__0__．對(duì)向量數(shù)量積的理解(1)求a，b的數(shù)量積需知道三個(gè)量，即|a|，|b|及a，b的夾角．求兩向量的夾角，應(yīng)保證兩個(gè)向量有公共起點(diǎn)，假設(shè)沒有，需平移．(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積是兩個(gè)向量之間的運(yùn)算，其結(jié)果不再是向量，而是數(shù)量，它的符號(hào)由夾角確定，當(dāng)夾角為銳角或0時(shí)，符號(hào)為正；當(dāng)夾角為鈍角或π時(shí)，符號(hào)為負(fù)；當(dāng)夾角為直角時(shí)，其值為零．(3)兩個(gè)向量a，b的數(shù)量積與代數(shù)中兩個(gè)數(shù)a，b的乘積ab是不同的，因此要注意兩個(gè)向量a，b的數(shù)量積是記作a·b，中間的實(shí)心小圓點(diǎn)不能省略，也不能把實(shí)心小圓點(diǎn)用乘號(hào)“×〞代替．3．投影與投影向量(1)變換：變換圖示設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，過eq\o(AB,\s\up6(→))的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到(2)結(jié)論：稱上述變換為向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．(3)計(jì)算：設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，那么向量a在向量b上的投影向量為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))cos__θ__e．4．向量數(shù)量積的性質(zhì)(1)條件：設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量．(2)性質(zhì)：①a·e＝e·a＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))cos__θ．②a⊥ba·b＝0．③當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝－|a||b|．特別地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).④|a·b|≤|a||b|．向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用(1)a⊥ba·b＝0，既可以用來證明兩向量垂直，也可以由垂直進(jìn)行有關(guān)計(jì)算．(2)a·a＝a2＝|a|2與|a|＝eq\r(|a|2)＝eq\r(a2)也用來求向量的模，以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化．(3)用cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求兩向量的夾角，且夾角的取值與a·b的符號(hào)有關(guān)．(4)|a·b|≤|a||b|可以用來通過構(gòu)造向量來證明不等式問題或解決最值問題．5．向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝b·a．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．對(duì)于向量a，b，c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立嗎？提示：不一定成立，因?yàn)榧僭O(shè)(a·b)·c≠0，其方向與c相同或相反，而a·(b·c)≠0時(shí)其方向與a相同或相反，而a與c方向不一定相同或相反，故該等式不一定成立．1．如果a·b＝0，那么必有a＝0或b＝0嗎？2．a(chǎn)·a常記作a2，由a2＝b2能推出a＝b或a＝－b嗎？3．假設(shè)a·b＞0，那么a和b的夾角為銳角嗎？4．向量a在b上的投影向量是一個(gè)模等于|acosθ|(θ是a與b的夾角)，方向與b相同或相反的一個(gè)向量嗎？提示：1.不一定2.不一定3.不一定4.是閱讀教材第20頁，對(duì)向量數(shù)量積運(yùn)算的運(yùn)算律(3)的證明過程，你能借助投影向量說明下面這個(gè)推理是否正確嗎？對(duì)于向量a，b，c，假設(shè)c≠0，a·c＝b·c，那么a＝b.提示：該推理不正確．即a·c＝b·c且c≠0不能推出a＝b.如圖，由投影向量的定義及數(shù)量積公式，易知a·c＝b·c，但顯然a≠b.1．單位向量a，b，夾角為60°，那么a·b＝()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(3),2)C．1D．－eq\f(1,2)【解析】選A.a·b＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2).2．設(shè)向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，a·b＝－eq\f(1,2)，那么|a＋2b|＝()A.eq\r(2)B．eq\r(3)C．eq\r(5)D．eq\r(7)【解析】選B.因?yàn)閨a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝1＋4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋4＝3，所以|a＋2b|＝eq\r(3).根底類型一向量數(shù)量積和投影向量(數(shù)學(xué)抽象)1．等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，那么向量eq\o(AB,\s\up6(→))在向量eq\o(CA,\s\up6(→))方向上的投影向量為()A．－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))B．eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))C．2eq\o(AC,\s\up6(→))D．2eq\o(CA,\s\up6(→))2．兩個(gè)單位向量e1，e2的夾角為eq\f(π,3)，假設(shè)向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，那么b1·b2＝________．3．如下圖，四邊形ABCD為平行四邊形，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝6，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝4.假設(shè)點(diǎn)M，N滿足eq\o(BM,\s\up6(→))＝3eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(DN,\s\up6(→))＝2eq\o(NC,\s\up6(→)).(1)用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，表示eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(NM,\s\up6(→))；(2)求eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(NM,\s\up6(→)).【解析】1.選A.在等邊△ABC中，因?yàn)椤螦＝60°，所以向量eq\o(AB,\s\up6(→))在向量eq\o(AC,\s\up6(→))方向上的投影向量為eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以向量eq\o(AB,\s\up6(→))在向量eq\o(CA,\s\up6(→))方向上的投影向量為－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→)).2．由題設(shè)知|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝eq\f(1,2)，所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－2e1·e2－8eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝3－2×eq\f(1,2)－8＝－6.答案：－63．由題設(shè)知：eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(NM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(NM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(3,4)\o(AD,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))－\f(1,4)\o(AD,\s\up6(→))))＝eq\f(1,3)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2－eq\f(3,16)|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)×36－eq\f(3,16)×16＝9.1．向量數(shù)量積的求法(1)求兩個(gè)向量的數(shù)量積，首先確定兩個(gè)向量的模及兩個(gè)向量的夾角，其中準(zhǔn)確求出兩個(gè)向量的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵．(2)根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，向量的加、減與數(shù)量積的混合運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算．2．求投影向量的方法(1)依據(jù)投影的定義和平面幾何知識(shí)作出恰當(dāng)?shù)拇咕€，直接得到投影向量．(2)首先根據(jù)題意確定向量a的模，與b同向的單位向量e，及兩向量a與b的夾角θ，然后依據(jù)公式eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))cosθe計(jì)算．微提醒：數(shù)量積的定義中要注意兩向量的夾角一定要同起點(diǎn)．兩向量夾角的范圍是[0，π].根底類型二求向量的模(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)(1)求|a＋b|；(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影向量的模．【解析】(1)因?yàn)?2a－3b)·(2a＋b)＝所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝因?yàn)閨a|＝4，|b|＝3，所以a·b＝－6，所以|a＋b|＝eq\r(|a|2＋|b|2＋2a·b)＝eq\r(42＋32＋2×〔－6〕)＝eq\r(13).(2)因?yàn)閍·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，所以向量a在向量a＋b方向上的投影向量的模為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a·〔a＋b〕,|a＋b|)))＝eq\f(10,\r(13))＝eq\f(10\r(13),13).【備選例題】a，b是非零向量，t為實(shí)數(shù)，設(shè)u＝a＋tb.(1)當(dāng)|u|取最小值時(shí)，求實(shí)數(shù)t的值；(2)當(dāng)|u|取最小值時(shí)，向量b與u是否垂直？【解析】(1)|u|2＝|a＋tb|2＝(a＋tb)·(a＋tb)＝|b|2t2＋2(a·b)t＋|a|2＝|b|2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(a·b,|b|2)))eq\s\up12(2)＋|a|2－eq\f(〔a·b〕2,|b|2).因?yàn)閎是非零向量，所以|b|≠0，所以當(dāng)t＝－eq\f(a·b,|b|2)時(shí)，|u|＝|a＋tb|的值最?。?2)垂直．因?yàn)閎·(a＋tb)＝a·b＋t|b|2＝a·b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a·b,|b|2)·|b|2))＝a·b－a·b＝0，所以b⊥(a＋tb)，即b⊥u.【知識(shí)拓展】關(guān)于向量模的最值問題解答此類問題通常分以下兩步(1)依據(jù)數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì)，建立所求量關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù)；(2)利用有關(guān)函數(shù)的圖象和性質(zhì)求最值．1．求向量的模的依據(jù)和根本策略(1)依據(jù)：a·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq\r(a2)，可以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化．(2)根本策略：求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用a2＝|a|2，勿忘記開方．2．拓展公式(1)(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2(2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2.向量a與b夾角為45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝eq\r(10)，求|b|.【解析】因?yàn)閨2a＋b|＝eq\r(10)，所以(2a＋b)2＝10所以4a2＋4a·b＋b2又因?yàn)橄蛄縜與b的夾角為45°且|a|＝1，所以4×12＋4×1×|b|×eq\f(\r(2),2)＋|b|2＝10，整理得|b|2＋2eq\r(2)|b|－6＝0，解得|b|＝eq\r(2)或|b|＝－3eq\r(2)(舍去).【加固訓(xùn)練】向量a，b滿足|b|＝5，|2a＋b|＝5eq\r(3)，|a－b|＝5eq\r(2)，那么|a|＝________．【解析】由有將b2＝|b|2＝25代入方程組，解得|a|＝eq\f(5\r(6),3).答案：eq\f(5\r(6),3)綜合類型向量的夾角與垂直問題(邏輯推理)向量的夾角問題①e1與e2是兩個(gè)互相垂直的單位向量，假設(shè)向量e1＋ke2與ke1＋e2的夾角為銳角，那么k的取值范圍為________．②e1與e2是兩個(gè)互相垂直的單位向量，假設(shè)向量e1＋ke2與ke1＋e2的夾角為鈍角，那么k的取值范圍為________.【解析】①因?yàn)閑1＋ke2與ke1＋e2的夾角為銳角，所以(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝keeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋keeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，所以k＞0.當(dāng)k＝1時(shí)，e1＋ke2＝ke1＋e2，它們的夾角為0°，不符合題意，舍去．綜上，k的取值范圍為k＞0且k≠1.答案：(0，1)∪(1，＋∞)②因?yàn)閑1＋ke2與ke1＋e2的夾角為鈍角，所以(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝keeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋keeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋(k2＋1)e1·e2＝2k＜0，所以k＜0.當(dāng)k＝－1時(shí)，e1＋ke2與ke1＋e2方向相反，它們的夾角為π，不符合題意，舍去．綜上，k的取值范圍是k＜0且k≠－1.答案：(－∞，－1)∪(－1，0)點(diǎn)撥：題①兩個(gè)向量的夾角為銳角時(shí)，這兩個(gè)向量的數(shù)量積大于0且這兩個(gè)向量不共線；題②兩個(gè)向量的夾角為鈍角時(shí)，這兩個(gè)向量的數(shù)量積小于0且這兩個(gè)向量不共線．求向量夾角的根本步驟【加固訓(xùn)練】|a|＝1，a·b＝eq\f(1,4)，(a＋b)·(a－b)＝eq\f(1,2).(1)求|b|的值；(2)求向量a－b與a＋b夾角的余弦值．【解析】(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝eq\f(1,2).因?yàn)閨a|＝1，所以1－|b|2＝eq\f(1,2)，所以|b|＝eq\f(\r(2),2).(2)因?yàn)閨a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝2，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝1，所以|a＋b|＝eq\r(2)，|a－b|＝1.令a＋b與a－b的夾角為θ，那么cosθ＝eq\f(〔a＋b〕·〔a－b〕,|a＋b||a－b|)＝eq\f(\f(1,2),\r(2)×1)＝eq\f(\r(2),4)，即向量a－b與a＋b夾角的余弦值是eq\f(\r(2),4).向量的垂直問題【典例】向量a，b的夾角為eq\f(2,3)π，|a|＝1，|b|＝2.(1)求a·b的值；(2)假設(shè)2a－b和ta＋b垂直，求實(shí)數(shù)t【解析】(1)a·b＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))coseq\f(2π,3)＝1×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1；(2)因?yàn)?a－b和ta＋b所以(2a－b)·(ta＋b)＝0即2ta2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－t))a·b－b2＝0，所以2t－(2－t)－4＝0，所以t＝2.向量垂直問題的處理思路解決與垂直相關(guān)題目的依據(jù)是a⊥ba·b＝0，利用數(shù)量積的運(yùn)算代入，結(jié)合與向量的模、夾角相關(guān)的知識(shí)解題．【加固訓(xùn)練】向量a，b不共線，且|2a＋b|＝|a＋2b|求證：(a＋b)⊥(a－b).【證明】因?yàn)閨2a＋b|＝|a＋2b|所以(2a＋b)2＝(a＋2b)2即4a2＋4a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2，所以a2＝所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.又a與b不共線，a＋b≠0，a－b≠0，所以(a＋b)⊥(a－b).創(chuàng)新思維利用向量運(yùn)算判斷平面內(nèi)點(diǎn)、線的位置關(guān)系(邏輯推理)【典例】點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，有以下四個(gè)等式：甲：eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0；乙：eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))；丙：|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝|eq\o(PC,\s\up6(→))|；丁：eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→)).如果只有一個(gè)等式不成立，那么該等式為()A．甲B．乙C．丙D．丁【解析】選B.對(duì)于甲：eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，設(shè)M是BC的中點(diǎn)，那么eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PM,\s\up6(→))，所以eq\o(PA,\s\up6(→))＝－2eq\o(PM,\s\up6(→))，故P點(diǎn)是AM的靠近M的三等分點(diǎn)，即該三角形的重心；對(duì)于乙：eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))，移項(xiàng)整理得eq\o(BA,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，故AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形；對(duì)于丙：|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝|eq\o(PC,\s\up6(→))|，那么P為△ABC的外心；對(duì)于?。篹q\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→)).那么eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，所以PB⊥CA，同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，所以P為△ABC的垂心，如果只有一個(gè)等式不成立，那么該等式為乙．【思維難點(diǎn)】依據(jù)向量運(yùn)算判斷平面內(nèi)點(diǎn)、線的位置關(guān)系，關(guān)鍵是由條件建立數(shù)量積、向量的長(zhǎng)度、向量的夾角等之間關(guān)系，移項(xiàng)、兩邊平方是常用手段，這樣可以出現(xiàn)數(shù)量積及向量的長(zhǎng)度等信息，為說明邊相等、邊垂直指明方向．【加固訓(xùn)練】O為平面內(nèi)的定點(diǎn)，A，B，C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，假設(shè)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))·(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→)))＝0，那么△ABC是()A．以AB為底邊的等腰三角形B．以BC為底邊的等腰三角形C．以AB為斜邊的直角三角形D．以BC為斜邊的直角三角形【解析】選B.設(shè)BC的中點(diǎn)為M，那么化簡(jiǎn)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))·(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→)))＝0，得到eq\o(CB,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o