離散型隨機變量及其分布列 高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第三冊

7.2

離散型隨機變量及其分布列一般地，一個試驗如果滿足下列條件：

①試驗可以在相同的情形下重復進行;

②試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不只一個;

③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結果;這種試驗就是一個隨機試驗，為了方便起見，也簡稱試驗.1.隨機試驗的概念

我們把隨機試驗E的每個可能的基本結果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間.我們用Ω表示樣本空間，用ω表示樣本點.2.樣本點與樣本空間的概念

求隨機事件的概率時,我們往往需要為隨機試驗建立樣本空間,并會涉及樣本點和隨機事件的表示問題,類似函數(shù)在數(shù)集與數(shù)集之間建立對應關系,如果我們在隨機試驗的樣本空間與實數(shù)集之間建立某種對應,將不僅可以為一些隨機事件的表示帶來方便,而且能更好地利用數(shù)學工具研究隨機試驗.有些隨機試驗的樣本點與數(shù)值有關系，我們可以直接與實數(shù)建立對應關系.例如，擲一枚骰子，用實數(shù)m(m＝1,2,3,4,5,6)表示“擲出的點數(shù)為m”;又如，擲兩枚骰子，樣本空間為Ω＝{(x,y)|x,y=1,2,???,6}，用x+y表示“兩枚骰子的點數(shù)之和”，樣本點(x,y)就與實數(shù)x+y對應.有些隨機試驗的樣本點與數(shù)值沒有直接關系，我們可以根據問題的需要為每個樣本點指定一個數(shù)值.例如，隨機抽取一件產品，有“抽到次品”和“抽到正品”兩種可能結果，它們與數(shù)值無關.如果“抽到次品”用1表示，“抽到正品”用0表示，即定義那么這個試驗的樣本點與實數(shù)就建立了對應關系.情景引入類似地，擲一枚硬幣，可將試驗結果“正面朝上”用1表示，“反面朝上”用0表示；隨機調查學生的體育綜合測試成績，可將等級成績優(yōu)、良、中等、及格、不及格分別賦值5,4,3,2,1；等等.對于任何一個隨機試驗，總可以把它的每個樣本點與一個實數(shù)對應.即通過引人一個取值依賴于樣本點的變量X，來刻畫樣本點和實數(shù)的對應關系，實現(xiàn)樣本點的數(shù)量化.因為在隨機試驗中樣本點的出現(xiàn)具有隨機性，所以變量X的取值也具有隨機性.情景引入

探究考察下列隨機試驗及其引入的變量:

試驗1:從100個電子元件(至少含3個以上次品)中隨機抽取三個進行檢驗，變量X表示三個元件中的次品數(shù)；

試驗2:拋擲一枚硬幣直到出現(xiàn)正面為止，變量Y表示需要的拋擲次數(shù).

這兩個隨機試驗的樣本空間各是什么?各個樣本點與變量的值是如何對應的?變量X,Y有哪些共同的特征?對于試驗1，如果用0表示“元件為合格品”，1表示“元件為次品”，用0和1組成長度為3的字符串表示樣本點，則樣本空間Ω1＝{000,001,010,011,100,101,110,111}.各樣本點與變量X的值的對應關系如下圖所示.

探究考察下列隨機試驗及其引入的變量:

試驗1:從100個電子元件(至少含3個以上次品)中隨機抽取三個進行檢驗，變量X表示三個元件中的次品數(shù)；

試驗2:拋擲一枚硬幣直到出現(xiàn)正面為止，變量Y表示需要的拋擲次數(shù).

這兩個隨機試驗的樣本空間各是什么?各個樣本點與變量的值是如何對應的?變量X,Y有哪些共同的特征?對于試驗2，如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，例如用tth表示第3次才出現(xiàn)“正面朝上”，則樣本空間Ω2＝{h,th,tth,tth,???}.Ω2包含無窮多個樣本點.各樣本點與變量Y的值的對應關系如下圖所示.一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω，都有唯一的實數(shù)X(ω)與之對應，我們稱X為隨機變量.在上面兩個隨機試驗中，每個樣本點都有唯一的一個實數(shù)與之對應.變量X，Y有如下共同點:

(1)取值依賴于樣本點；(2)所有可能取值是明確的.隨機變量：

隨機變量將隨機事件的結果數(shù)量化1.隨機變量和離散型隨機變量試驗1中隨機變量X的可能取值為0,1,2,3,共有4個值；試驗2中隨機變量Y的可能取值為1,2,3,???，有無限個取值，但可以一一列舉出來.離散型隨機變量的定義:1.隨機變量和離散型隨機變量例1

判斷下列各個量是否為隨機變量，并說明理由.題型一隨機變量的概念(1)從10張已編好號碼的卡片(從1號到10號)中任取一張，被抽出卡片的號數(shù)；(2)拋兩枚骰子，出現(xiàn)的點數(shù)之和；(3)體積為8cm3的正方體的棱長.解(1)被抽取卡片的號數(shù)可能是1，2，…，10，出現(xiàn)哪種結果是隨機的，是隨機變量.(2)拋兩枚骰子，出現(xiàn)的點數(shù)之和可能為2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，共11種情況，出現(xiàn)哪種情況都是隨機的，因此是隨機變量.(3)正方體的棱長為定值，不是隨機變量.1.解題的關鍵是判斷變量(試驗結果)是否符合隨機變量的定義.2.隨機變量X滿足三個特征：(1)可以用不同的數(shù)來表示不同的試驗結果；(2)試驗前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值(取值是明確的)；(3)在試驗前不能確定取何值.思維升華訓練1

指出下列哪些是隨機變量，哪些不是隨機變量，并說明理由.(1)一個袋中裝有3個白球和2個黑球，從中任取2個，其中所含白球的個數(shù)；(2)某林場樹木最高達30m，則此林場中樹木的高度.(3)某個人的屬相隨年齡的變化.解(1)從5個球中取2個球，所得的結果有以下幾種：2個白球；1個白球和1個黑球；2個黑球.且出現(xiàn)哪個結果都是隨機的，因此是隨機變量.(2)林場樹木的高度可以取(0，30]內的一切值，是一個隨機變量.(3)一個人的屬相在他出生時就確定了，不隨年齡的變化而變化，因此屬相不是隨機變量.2.隨機變量與函數(shù)的關系隨機變量的定義與函數(shù)的定義類似，這里的樣本點ω相當于函數(shù)定義中的自變量，而樣本空間Ω相當于函數(shù)的定義域，不同之處在于Ω不一定是數(shù)集.隨機變量的取值X(ω)隨著試驗結果ω的變化而變化，這使我們可以比較方便地表示一些隨機事件.現(xiàn)實生活中，離散型隨機變量的例子有很多.例如，某射擊運動員射擊一次可能命中的環(huán)數(shù)X，它的可能取值為0,1,2,???,10；某網頁在24h內被瀏覽的次數(shù)Y，它的可能取值為0,1,2,???；等等.現(xiàn)實生活中還有大量不是離散型隨機變量的例子.例如，種子含水量的測量誤差X1；某品牌電視機的使用壽命X2；測量某一個零件的長度產生的測量誤差X3.這些都是可能取值充滿了某個區(qū)間、不能一一列舉的隨機變量.本節(jié)我們只研究取有限個值的離散型隨機變量.解：2.下列隨機試驗的結果能否用離散型隨機變量表示?若能，請寫出各隨機變量可能的取值，并說明這些值所表示的隨機試驗的結果.(1)拋擲2枚骰子，所得點數(shù)之和；(2)某足球隊在5次點球中射進的球數(shù)；(3)任意抽取一瓶標有1500ml的飲料，其實際含量與規(guī)定含量之差.(1)點數(shù)之和X是離散型隨機變量，X的可能取值為2，3，???，12.{X＝k}表示擲出的點數(shù)之和為k.(2)進球個數(shù)Y是離散型隨機變量，Y的可能取值為0，1，2，3，4，5.{Y＝k}表示射進k個球.(3)誤差Z不是離散型隨機變量.課堂練習課本P60T2根據問題引入合適的隨機變量，有利于我們簡潔地表示所關心的隨機事件，并利用數(shù)學工具研究隨機試驗中的概率問題.例如，擲一枚質地均勻的骰子，X表示擲出的點數(shù)，則事件“擲出m點”可以表示為{X＝m}(m=1,2,3,4,5,6)，事件“擲出的點數(shù)不大于2”可以表示為{X≤2}，事件“擲出偶數(shù)點”可以表示為{X＝2}∪{X＝4}∪{X＝6}，等等.由擲出各種點數(shù)的等可能性，我們還可以得到這一規(guī)律我們還可以用下表來表示.X123456P隨機變量X的概率分布列3.隨機變量表示隨機事件一般地，設離散型隨機變量X的可能取值為x1，x2，

???，xn，我們稱X取每一個值xi的概率為X的概率分布列(listofprobabilitydistribution)，簡稱分布列.Xx1x2???xnPp1p2???pn4.離散型隨機變量的分布列與函數(shù)的表示法類似，離散型隨機變量的分布列也可以用表格表示，還可以用圖形表示.例如，下圖直觀地表示了擲骰子試驗中擲出的點數(shù)X的分布列，稱為X的概率分布圖.根據概率的性質，離散型隨機變量分布列具有下述兩個性質:5.離散型隨機變量的分布列的性質利用分布列和概率的性質，可以計算由離散型隨機變量表示的事件的概率.例如，在擲骰子試驗中，由概率的加法公式，得事件“擲出的點數(shù)不大于2”的概率為類似地，事件“擲出偶數(shù)點”的概率為2.某位同學求得一個離散型隨機變量的分布列為X0123P0.20.30.150.45課本P61T2T4課堂練習

試說明該同學的計算結果是否正確.不正確4.某位射箭運動員命中目標箭靶的環(huán)數(shù)X的分布列為X678910P0.050.150.250.350.20如果命中9環(huán)或10環(huán)為優(yōu)秀，那么他一次射擊成績?yōu)閮?yōu)秀的概率是多少？根據X的定義，{X＝1}＝“抽到次品”，{X＝0}＝“抽到正品”，X的分布列為解：

例1一批產品中次品率為5%，隨機抽取1件，定義求X的分布列.用表格表示如下：X01P0.950.05兩點分布例題研討6.兩點分布對于只有兩個可能結果的隨機試驗，用A表示“成功”，

表示“失敗”,定義如果P(A)＝p，則P()＝1－p，那么X的分布列如下表所示.X01P1－pp實際上，X為在一次試驗中成功(事件A發(fā)生)的次數(shù)(0或1).像購買的彩券是否中獎，新生嬰兒的性別，投籃是否命中等，都可以用兩點分布來描述.我們稱X服從兩點分布或0—1分布.3.籃球比賽中每次罰球命中得1分，不中得0分.已知某運動員罰球命中的概率為0.7，求他一次罰球得分的分布列.設罰球得分為X，{X＝0}＝“罰球未命中”，{X＝1}＝“罰球命中品”，則X的分布列為解：用表格表示如下：X01P0.30.7課本P60T3課堂練習

由題意得，X的可能取值為1,2,3,4,5，則X的分布列為解：

例2某學校高二年級有200名學生，他們的體育綜合測試成績分5個等級，每個等級對應的分數(shù)和人數(shù)如下表所示.從這200名學生中任意選取1人，求所選同學分數(shù)X的分布列，以及P(X≥4).用表格表示如下：等級不及格及格中等良優(yōu)分數(shù)12345人數(shù)2050604030X12345P例題研討4.拋擲一枚質地均勻的硬幣2次，寫出正面向上次數(shù)X的分布列.由題意得，正面向上的次數(shù)X的可能取值為解：用表格表示如下：0，1，2.∴X的分布列為由于拋擲一枚硬幣2次可能出現(xiàn)的結果有正正，正反，反正，反反.X012P課本P60T4課堂練習

設隨機挑選的2臺電腦中A品牌的臺數(shù)為X，則X的可能取值為0,1,2.根據古典概型的知識，可得X的分布列為解：

例3一批筆記本