專題08 正（反）比例函數(shù)基礎(chǔ)概念壓軸題型全攻略（解析版）

專題08正（反）比例函數(shù)基礎(chǔ)概念壓軸題型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一函數(shù)概念的辨析】 1【考點二正（反）比例概念的辨析】 2【考點三由圖像求正（反）比例函數(shù)解析式】 2【考點四由函數(shù)的應(yīng)用求定義域】 3【過關(guān)檢測】 4【典型例題】【考點一函數(shù)概念的辨析】【例題1】下列各圖象中，不是的函數(shù)有（

）A．

B．C．

D．

【答案】B【分析】本題主要考查了函數(shù)的概念，根據(jù)函數(shù)的概念，觀察圖像，逐項進行判斷即可．熟練掌握函數(shù)的概念：如果給的一個值，都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么y是x的函數(shù)，是解題關(guān)鍵．【詳解】解：A，C，D選項．給出一個都對應(yīng)唯一值，y是x的函數(shù)，故A，C，D選項．不符合題意B選項一個x值對應(yīng)兩個值，y不是x的函數(shù)，故B選項符合題意．故選：B．【變式1】下列曲線不能表示y是x的函數(shù)的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本題主要考查了函數(shù)的定義，根據(jù)函數(shù)的定義逐一判斷即可求解，在定義中特別要注意，對于x的每一個值，y都有唯一的值與其對應(yīng)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)函數(shù)的定義可得：A、B、D都符合函數(shù)的定義，故不符合題意；C、對x的一個值y的值不是唯一的，則不能表示y是x的函數(shù)，故符合題意；故選：C．

【變式2】下列曲線中不能表示y是x的函數(shù)的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，在一個變化過程中有兩個變量與，對于的每一個確定的值，都有唯一的值與其對應(yīng)，判定即可．【詳解】解：∵A、C、D的圖象都滿足對于的每一個確定的值，都有唯一的值與其對應(yīng)，∴A、C、D的圖象能表示是的函數(shù)；故A、C、D選項不符合題意；B的函數(shù)圖象，對任意的一個值，y的對應(yīng)值都有兩個，不符合函數(shù)的定義，故此選項符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了函數(shù)的定義，掌握函數(shù)的定義的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．【變式3】下列四個圖像中，不表示是的某一函數(shù)圖像的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】由題意是的函數(shù)依據(jù)函數(shù)的概念可知對于的每一個確定的值，都有唯一的值與其對應(yīng)，以此進行分析判斷即可．【詳解】解：如圖，D選項中的圖象，對每一個確定的的值，有兩個值與之對應(yīng)，所以不是函數(shù)圖象；

ABC選項中的圖象，對每一個確定的的值，都有唯一確定的值與之對應(yīng)，所以是函數(shù)圖象，故選：D．【點睛】本題主要考查函數(shù)的概念，注意掌握函數(shù)的定義：設(shè)在一個變化過程中有兩個變量與，對于的每一個確定的值，都有唯一的值與其對應(yīng)，那么就說是的函數(shù)，是自變量．【考點二正（反）比例概念的辨析】【例題2】若y關(guān)于x的函數(shù)是正比例函數(shù)，則m，n應(yīng)滿足的條件是（

）A．且 B．且 C．且 D．且【答案】D【分析】正比例函數(shù)的解析式為，其中，據(jù)此求解．【詳解】解：是正比例函數(shù)，且，且．故選D．【點睛】本題考查根據(jù)正比例函數(shù)的定義求參數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握正比例函數(shù)中一次項系數(shù)不能為0，無常數(shù)項．【變式1】已知(－2，4)是反比例函數(shù)圖象上一點，下列各點也在該圖象上的是(

)A．(－1，3) B．(2，4) C．(2，4) D．(－4，2)【答案】D【分析】將（-2，4）代入y=即可求出k的值，再根據(jù)k=xy解答即可．【詳解】所給點的橫縱坐標的積為-2×4=-8，A、橫縱坐標的積為-1×3=-3，不符合題意；B、橫縱坐標的積為2×4=8，不符合題意；C、橫縱坐標的積為2×4=8，不符合題意；D、橫縱坐標的積為-4×2=-8，符合題意；故選D．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，只要點在函數(shù)的圖象上，則一定滿足函數(shù)的解析式．反之，只要滿足函數(shù)解析式就一定在函數(shù)的圖象上．【變式2】給出下列函數(shù)關(guān)系式：①；②；③；④；⑤2xy＝1；⑥－xy＝2．其中，表示y是x的反比例函數(shù)的個數(shù)為（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【分析】直接利用反比例函數(shù)的定義分別判斷得出答案．【詳解】解∶①是正比例函數(shù)，故不符合題題意；②，y是x的反比例函數(shù)，故符合題意；③，y是x的反比例函數(shù)，故符合題意；④，y不是x的反比例函數(shù)，故不符合題意；⑤由2xy＝1得，y是x的反比例函數(shù)，故符合題意；⑥由－xy＝2得，y是x的反比例函數(shù)，故符合題意；其中②③⑤⑥為反比例函數(shù)，故選B．【點睛】此題主要考查了反比例函數(shù)的定義，正確把握反比例函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．【變式3】下列函數(shù)：①y＝3x；②y＝；③y＝x－1；④y＝＋1.其中是反比例函數(shù)的有()A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【詳解】分析：此題應(yīng)根據(jù)反比例函數(shù)的定義，解析式符合y=（k≠0）的形式為反比例函數(shù)．詳解：①是正比例函數(shù)，故A選項錯誤；②屬于反比例函數(shù)，故B選項正確；③是反比例函數(shù)，故C選項正確；④不是反比例函數(shù)，故D選項錯誤．故選C．點睛：本題考查了反比例函數(shù)的定義，重點是將一般y=（k≠0）轉(zhuǎn)化為y=kx-1（k≠0）的形式．【考點三由圖像求正（反）比例函數(shù)解析式】【例題3】如圖是嘉淇某次實驗中的情形，左側(cè)每個鉤碼的質(zhì)量均為，杠桿總長．其余數(shù)據(jù)如圖所示，此時杠桿處于平衡狀態(tài)，則與的函數(shù)圖象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)杠桿平衡的條件確定函數(shù)解析式及自變量取值范圍，然后結(jié)合選項判斷即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，即且，∴是的反比例函數(shù)，且經(jīng)過點，故選：C．【點睛】題目主要考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，理解題意是解題關(guān)鍵．【變式1】在市舉辦的“劃龍舟，慶端午”比賽中，甲、乙兩隊在比賽時的路程（米）與時間（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示，根據(jù)圖象得到下列結(jié)論，你認為正確的結(jié)論是（

）①這次比賽的全程是米；②乙隊先到達終點；③比賽中兩隊從出發(fā)到分鐘時間段，乙隊的速度比甲隊的速度快；④乙與甲相遇時乙的速度是米/分鐘；⑤在分鐘時，乙隊追上了甲隊.A．①③④ B．①②⑤ C．①②④ D．①②③④⑤【答案】C【分析】由橫縱坐標可直接判斷①、②；觀察圖象比賽中兩隊從出發(fā)到1.1分鐘時間段，乙隊的圖象在甲圖象的下面可判斷③；由圖象得乙隊在1.1至1.9分鐘的路程為300米，可判斷④；分別求出在1.8分鐘時，甲隊和乙隊的路程，可判斷⑤．【詳解】解：①由縱坐標看出，這次龍舟賽的全程是500m，故①正確；②由橫坐標可以看出，乙隊先到達終點，故②正確；③∵比賽中兩隊從出發(fā)到1.1分鐘時間段，乙隊的圖象在甲圖象的下面，∴乙隊的速度比甲隊的速度慢，故③錯誤；④∵由圖象可知，乙隊在1.1分鐘后開始加速，加速的總路程是500-200=300（米），加速的時間是1.9-1.1=0.8（分鐘），∴乙與甲相遇時，乙的速度是300÷0.8=375（米/分鐘），故④正確．⑤甲隊：500÷2×1.8=450（米），乙隊：200+（500-200）÷（1.9-1.1）×（1.8-1.1）=462.5（米），故⑤錯誤．故選C．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)的圖象與實際應(yīng)用，準確識圖是解題的關(guān)鍵.【變式2】汽車以60千米/時的速度在公路上勻速行駛，1小時后進入高速路，繼續(xù)以100千米/時的速度勻速行駛，則汽車行駛的路程s（千米）與行駛的時間t（時）的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）A．B．C．D．【答案】C【詳解】試題分析：由題意可知,1小時以前的速度是60千米/時,而1小時之后的速度是100千米/時,速度越大傾斜角度越大,故選C考點：函數(shù)的圖象【變式3】在一個可以改變?nèi)莘e的密閉容器內(nèi)，裝有一定質(zhì)量的某種氣體，當改變?nèi)莘e時，氣體的密度也隨之改變，與在一定范圍內(nèi)滿足，它的圖象如圖所示，則該氣體的質(zhì)量為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將點代入，即可求得的值．【詳解】解：點在圖象上，，解得：，故選：C．【點睛】本題主要考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是由點的坐標，求出函數(shù)的解析式．【考點四由函數(shù)的應(yīng)用求定義域】【例題4】已知某等腰三角形的周長為36，腰長為，底邊長為，那么關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式及定義域是（

）A．（） B．（）C．（） D．【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的定義及三角形周長可列出函數(shù)關(guān)系式；然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求出定義域．【詳解】解：∵等腰三角形的的周長是36，設(shè)腰長為x，底邊長為y，∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為，根據(jù)題意，得：，解得：，即，故選：D．【點睛】本題主要考查了根據(jù)實際問題列函數(shù)關(guān)系式和三角形周長及等腰三角形的定義—等腰三角形兩腰相等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握根據(jù)實際問題列函數(shù)關(guān)系式的方法和三角形周長，等腰三角形的定義．【變式1】如圖，已知中，，點是射線上的兩個動點（點在點的右側(cè)），且，連接，若，則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式是（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖所示，，

∵，，∴，，∵是的外角，∴，則，∴，則，∴，且點是射線上運動時，，故選：．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)的綜合，理解圖示，掌握等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)【變式2】小明在勞動技術(shù)課中要制作一個周長為的等腰三角形，則底邊長，腰長的函數(shù)表達式和自變量的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】此題重點考查一次函數(shù)的應(yīng)用、不等式的應(yīng)用等知識，正確地用代數(shù)式表示三角形的周長，根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”是解題的關(guān)鍵．由周長為的等腰三角形，則底邊長，腰長得，則，由三角形的三邊關(guān)系得，則，于是得到問題的答案．【詳解】解：∵周長為的等腰三角形，則底邊長，腰長，∴，整理得，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得，解得，故選：D．【變式3】一個彈簧，不掛物體時長，掛上物體后，所掛物體質(zhì)量每增加，彈簧就伸長，但總質(zhì)量不得超過，則彈簧的總長度y（單位：）與所掛物體質(zhì)量x（單位：）之間的函數(shù)解析式是，其中自變量x的取值范圍是．【答案】【分析】彈簧的總長度=初始長度+掛物體后伸長的長度，其中初始長度為，掛物體后，彈簧伸長．【詳解】解：由于不掛物體時彈簧長，即當時，，所掛物體質(zhì)量每增加，彈簧就伸長，故所求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為．由于物體質(zhì)量不超過，故．故答案為：，．【點睛】考查函數(shù)關(guān)系式及函數(shù)自變量的取值范圍，根據(jù)題意，找到所求量的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．應(yīng)注意一次函數(shù)的一般形式為（k，b是常數(shù)，且），以及自變量的取值范圍．【過關(guān)檢測】一．選擇題1．點A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）都在反比例函數(shù)y=﹣的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3【答案】C【分析】將x的值代入函數(shù)解析式中求出函數(shù)值y即可判斷．【詳解】當x=-3時，y1=1，當x=-1時，y2=3，當x=1時，y3=-3，∴y3＜y1＜y2故選C．【點睛】考查反比例函數(shù)圖象上的點的特征，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題．2．下列各點在反比例的圖象上的是（

）A．（2，－3） B．（－2，3） C．（3，2） D．（3，－2）【答案】C【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征對各選項進行判斷．【詳解】解：∵2×（?3）＝?6，?2×3＝?6，3×（?2）＝?6，而3×2＝6，∴點（2，?3），（?2，3）（3，?2），不在反比例函數(shù)圖象上，點（3，2）在反比例函數(shù)圖象上．故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征：反比例函數(shù)（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy＝k．3．下列函數(shù)：①；②；③；④，y隨x的增大而減小的函數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【詳解】解：①、，所以y隨x的增大而減小，故本小題正確；②、，所以y隨x的增大而增大，故本小題錯誤；③、，在雙曲線的每一支上，y隨x的增大而增大，故本小題錯誤；④、，拋物線開口向上，當時，y隨x的增大而減小，故本小題正確；故選B.4．下列函數(shù)是反比例函數(shù)的是（

）A． B． C． D．y=-x+5【答案】C【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義判斷即可.【詳解】A選項中，當時不是反比例函數(shù)，故該選項錯誤.B選項中，是正比例函數(shù)，故該選項錯誤.C選項中，是反比例函數(shù)，故該選項正確.D選項中，y=-x+5是一次函數(shù)，故該選項錯誤.故選C【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)的定義，一般的，如果變量和之間的關(guān)系可以表示成（k是常數(shù)，且）的形式，則稱是的反比例函數(shù).掌握反比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.5．點（2，﹣4）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則k的值為（

）A．﹣2 B．﹣ C．4 D．﹣8【答案】D【分析】利用待定系數(shù)法將點（2，﹣4）代入即可求出k的值．【詳解】將點（2，﹣4）代入反比例函數(shù)y＝中得：，解得：k＝﹣8，故選：D．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，反比例函數(shù)圖象上所有點的坐標均滿足該函數(shù)的解析式，熟知待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式．二.填空題6．已知反比例函數(shù)的圖象在第二、第四象限，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象位于二、四象限，，解不等式即可得結(jié)果．【詳解】解：反比例函數(shù)的圖象在第二、第四象限，，則．故答案為：．【點睛】此題主要考查反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)：時，圖象是位于一、三象限．時，圖象是位于二、四象限．7．下表反映的是高速公路上勻速行駛的汽車在行駛過程中油箱的剩余油量（升）與時間（時）與之間的關(guān)系，該關(guān)系可以表示為．行駛時間/時…剩余油量/升…【答案】/【分析】由表格數(shù)據(jù)可得：每行駛小時，耗油升．【詳解】根據(jù)表格可得：每行駛小時，耗油升．與的函數(shù)表達式：．故答案為：【點睛】本題考查了寫出函數(shù)關(guān)系，理解題意解題的關(guān)鍵．8．已知一次函數(shù)，那么【答案】—4【分析】將x＝?2代入計算即可．【詳解】當x＝?2時，f（?2）＝3×（?2）＋2＝?4．故答案為?4．【點睛】本題主要考查的是求函數(shù)值，將x的值代入解析式解題的關(guān)鍵．9．點、在反比例函數(shù)的圖象上，若，則的取值范圍是．【答案】【分析】由圖像可知在第三象限，點在第一象限，所以a-2＜0，a+3大于0．【詳解】∵反比例函數(shù)的圖象在一三象限，a-2＜a+3,，∴在第三象限，點在第一象限，所以a-2＜0，a+3大于0．解得：?3<a<2故答案為?3<a<2.【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖像上的點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是列出不等式.10．函數(shù)的圖象位于第象限．【答案】二、四【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)：y=，k＞0時，圖象位于一三象限，k＜0時，圖象位于二、四象限，可得答案．【詳解】解：反比例函數(shù)y=-的k=-6＜0，∴反比例函數(shù)y=-的圖象位于第二、四象限，故答案為二、四．【點睛】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用y=，k＞0時，圖象位于一三象限，k＜0時，圖象位于二、四象限判斷．11．已知點A（1，m），B（2，n）在反比例函數(shù)圖象上，則m與n的大小關(guān)系為．【答案】【分析】由反比例函數(shù)可知函數(shù)的圖象在第二、四象限內(nèi)，可以知道在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，根據(jù)這個判定則可．【詳解】解：∵反比例函數(shù)中，，∴此函數(shù)的圖象在二、四象限內(nèi)，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，∵0＜1＜2，∴A、B兩點均在第四象限，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，先根據(jù)題意判斷出反比例函數(shù)圖象所在的象限是解答此題的關(guān)鍵．12．在中，當時，的值是．【答案】【分析】把代入函數(shù)解析式，進行求解即可．【詳解】解：當時，，∴；故答案為：．【點睛】本題考查求自變量的值．正確的計算是解題的關(guān)鍵．13．函數(shù)中，自變量x的取值范圍是；中，自變量x的取值范圍是；中，自變量x的取值范圍是．【答案】且【分析】根據(jù)分式有意義的條件及二次根式有意義的條件即可得答案．【詳解】∵有意義，∴，解得：．∵有意義，∴，解得：且．∵有意義，∴，解得：．故答案為：；且；【點睛】本題考查分式有意義的條件及二次根式有意義的條件，要使分式有意義，分母不為0；要使二次根式有意義，被開方數(shù)為非負數(shù)．14．若點，在反比例函數(shù)圖像上，，則，大小關(guān)系是．【答案】y1＞y2【分析】反比例函數(shù)中，，圖像經(jīng)過第一、三象限，函數(shù)值隨自變量的值增大而減小，由此即可求解．【詳解】解：反比例函數(shù)中，，圖像經(jīng)過第一、三象限，函數(shù)值隨自變量的值增大而減小，且，∴，故答案是為：．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)中時的圖像或時的圖像所在象限及特點是解題的關(guān)鍵．15．小明的爸爸騎摩托車上班，出發(fā)時油箱中有油28升，如果每小時耗油4升，那么油箱中的剩余油量y（升）和行駛時間x（時）之間的函數(shù)關(guān)系式是（不用寫自變量取值范圍）．【答案】【分析】根據(jù)剩余油量等于總