第二章《一元二次方程》綜合檢測題2024-2025學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊

第1頁（共1頁）一元二次方程章末測試題考試時間:120分鐘滿分150分班級：________________姓名：________________考號：________________一、單選題（本大題共10小題，總分40分）1．下列方程中，是一元二次方程的為（）A．a(chǎn)x2+bx+c＝0 B．（x﹣1）（x﹣3）＝x2 C．x2﹣2x﹣1＝0 D．2x2+2．一元二次方程x2+x﹣3＝0的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根3．方程x2+1＝3x二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項分別是（）A．1，﹣3，1 B．﹣1，﹣3，1 C．1，3，﹣1 D．1，3，14．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0配方后的方程是（）A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣2）2＝5 D．（x+2）2＝55．關(guān)于x的一元二次方程kx2+4x﹣2＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣26．若x＝2是方程x2﹣5x+m＝0的一個解，則m的值為（）A．2 B．3 C．5 D．67．在《代數(shù)學(xué)》中記載了求方程x2+8x＝33正數(shù)解的幾何方法：如圖1，先構(gòu)造一個面積為x2的正方形，再以正方形的邊為一邊向外構(gòu)造四個面積為2x的矩形，得到大正方形的面積為33+16＝49，則該方程的正數(shù)解為7﹣4＝3．小明嘗試用此方法解關(guān)于x的方程x2+10x+c＝0時，構(gòu)造出如圖2所示正方形．已知圖2中陰影部分的面積和為39，則該方程的正數(shù)解為（）A．23 B．2 C．3 D．458．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+3＝0的兩根分別為a、b，則1aA．43 B．23 C．?29．若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2＝0的兩個實數(shù)根，則x1+x2﹣4x1x2的值為（）A．4 B．7C．0 D．﹣310．如圖，若設(shè)從2019年到2021年我國海上風(fēng)電新增裝機容量的平均增長率為x，根據(jù)這個統(tǒng)計圖可知，x應(yīng)滿足（）A．x=14.5%+54.5%+452.3%B．14.5%（1+x）2＝452.3% C．1.98（1+x）2＝16.9 D．1.73（1+x）2＝3.06二、填空題（本大題共5小題，總分20分）11．方程x2＝3x的解為：．12．關(guān)于x的方程x2+kx+1＝0有兩個相等的實數(shù)根，則k值為．13．隨著經(jīng)濟復(fù)蘇，某公司近兩年的總收入逐年遞增．該公司2021年繳稅40萬元，2023年繳稅48.4萬元．該公司這兩年繳稅的年平均增長率是．14．已知a，b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩個根．則a?b+2b15．已知f（x）＝ax2﹣1（x∈R），若關(guān)于x的方程f（x）＝x與f（f（x））＝x都有解，且兩個方程的解完全相同，則實數(shù)a的取值范圍是．三、解答題（本大題共10小題，總分90分）16．用恰當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋孩?x2﹣125＝0；②x2﹣2x﹣3＝0；③2x2﹣7x+3＝0；④5x2＝7x；⑤x（x﹣3）﹣5（x﹣3）＝0；⑥（x+3）（2x﹣1）＝4．17．直播購物逐漸走進人們的生活．某電商在淘寶上對一款標(biāo)價為200元/件的商品進行直播銷售，為了盡快減少庫存，直播期間，經(jīng)過兩次降價后的價格為128元/件，并且兩次降價的百分率相同．求該商品每次降價的百分率．18．閱讀材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0∴n＝4，m＝4．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：（1）已知x2+2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；（2）已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，求△ABC的最大邊c的值．19．已知：關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若Rt△ABC的兩邊長是這個方程的兩個實數(shù)根，第三邊的長為5，求m的值．20．已知關(guān)于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）如果k是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0與x2+mx﹣1＝0有一個相同的根，求此時m的值．21．已知：關(guān)于x的方程x2+（8﹣4m）x+4m2＝0．（1）若方程有兩個相等的實數(shù)根，求m的值，并求出這時方程的根．（2）問：是否存在正數(shù)m，使方程的兩個實數(shù)根的平方和等于136？若存在，請求出滿足條件的m值；若不存在，請說明理由．22．畢業(yè)在即，某商店抓住商機，準(zhǔn)備購進一批紀(jì)念品，若商店花440元可以購進50本學(xué)生紀(jì)念品和10本教師紀(jì)念品，其中教師紀(jì)念品的成本比學(xué)生紀(jì)念品的成本多8元．（1）請問這兩種不同紀(jì)念品的成本分別是多少？（2）如果商店購進1200個學(xué)生紀(jì)念品，第一周以每個10元的價格售出400個，第二周若按每個10元的價格仍可售出400個，但商店為了適當(dāng)增加銷量，決定降價銷售（根據(jù)市場調(diào)查，單價每降低1元，可多售出100個，但售價不得低于進價），單價降低x元銷售一周后，商店對剩余學(xué)生紀(jì)念品清倉處理，以每個4元的價格全部售出，如果這批紀(jì)念品共獲利2500元，問第二周每個紀(jì)念品的銷售價格為多少元？23．關(guān)于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2+5＝0有兩個實根x1，x2．（1）求實數(shù)m的取值范圍；（2）當(dāng)m＝3時，若|x1|，|x2|恰好分別是一個直角三角形的兩條直角邊長，求這個直角三角形的斜邊長c；（3）若方程兩實根x1，x2滿足﹣x1﹣x2=23x1?x2，求24．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0（1）試判斷上述方程根的情況．（2）已知△ABC的兩邊AB、AC的長是關(guān)于上述方程的兩個實數(shù)根，BC的長為5．①當(dāng)k為何值時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形？②當(dāng)k為何值時，△ABC是等腰三角形？請求出此時△ABC的周長．25．如圖，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，動點P、Q分別以3cm/s、2cm/s的速度從點A、C同時出發(fā)，點Q從點C向點D移動．（1）若點P從點A移動到點B停止，點Q隨點P的停止而停止移動，點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，問經(jīng)過多長時間P、Q兩點之間的距離是10cm？（2）若點P沿著AB→BC→CD移動，點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，點Q從點C移動到點D停止時，點P隨點Q的停止而停止移動，試探求經(jīng)過多長時間△PBQ的面積為12cm2？

答案一、單選題（本大題共10小題，總分40分）1-5．CAABC．6-10．DCDBC．二、填空題（本大題共5小題，總分20分）11．x1＝0，x2＝3．12．±2．13．10%．14．7315．?1三、解答題（本大題共10小題，總分90分）16．解：①x2＝25，x＝±5，所以x1＝5，x2＝﹣5；②（x+1）（x﹣3）＝0，所以x1＝﹣1，x2＝3；③（2x﹣1）（x﹣3）＝0，所以x1=12，x④5x2﹣7x＝0，x（5x﹣7）＝0，所以x1＝0，x2=7⑤（x﹣3）（x﹣5）＝0，所以x1＝3，x2＝5；⑥2x2+5x﹣7＝0，（2x+7）（x﹣1）＝0，所以x1=?72，x17．解：設(shè)每次降價的百分率為x，依題意得，200（1﹣x）2＝128，∴（1﹣x）2＝0.64，1﹣x＝0.8或1﹣x＝﹣0.8，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合題意，舍去）答：每次降價的百分率為20%．18．解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，∴（x2+2xy+y2）+（y2+6y+9）＝0，∴（x+y）2+（y+3）2＝0，∴x+y＝0，y+3＝0，∴x＝3，y＝﹣3，∴xy＝3×（﹣3）＝﹣9，即xy的值是﹣9．（2）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）＝0，∴（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，∴a＝3，b＝4，∵4﹣3＜c＜4+3，c≥4，∴4≤c＜7，∵c為正整數(shù)，∴△ABC的最大邊c的值可能是4、5、6．19．解：（1）∵Δ＝（2m+1）2﹣4（m2+m）＝1＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）解：一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0的解為x=2m+1±12，即x1＝m，x2＝∵m＜m+1，∴AB≠AC．不妨設(shè)AB＝m，AC＝m+1，當(dāng)m+1是斜邊時，m2+52＝（m+1）2，解得m＝12，當(dāng)5是斜邊時，m2+（m+1）2＝52，解得m＝3或﹣4（舍棄）綜合上述，m的值為12或3．20．解：（1）Δ＝（2k﹣3）2﹣4×（k﹣1）（k+1）＝4k2﹣12k+9﹣4k2+4＝﹣12k+13，∵方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴﹣12k+13＞0，解得，k＜1312，又∴k＜1312且（2）∵k是符合條件的最大整數(shù)，∴k＝0，x2﹣4x＝0，x＝0或4，當(dāng)x＝0時，x2+mx﹣1＝0無意義；當(dāng)x＝4時，42+4m﹣1＝0m=?1521．解：（1）若方程有兩個相等的實數(shù)根，則有Δ＝b2﹣4ac＝（8﹣4m）2﹣16m2＝64﹣64m＝0，解得m＝1，當(dāng)m＝1時，原方程為x2+4x+4＝0，∴x1＝x2＝﹣2；（2）不存在．假設(shè)存在，則有x12+x22＝136．∵x1+x2＝4m﹣8，x1x2＝4m2，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝136．即（4m﹣8）2﹣2×4m2＝136，∴m2﹣8m﹣9＝0，（m﹣9）（m+1）＝0，∴m1＝9，m2＝﹣1．∵Δ＝（8﹣4m）2﹣16m2＝64﹣64m≥0，∴0＜m≤1，∴m1＝9，m2＝﹣1都不符合題意，∴不存在正數(shù)m，使方程的兩個實數(shù)根的平方和等于136．22．解：（1）設(shè)學(xué)生紀(jì)念品的成本為x元，根據(jù)題意得：50x+10（x+8）＝440，解得：x＝6，∴x+8＝6+8＝14．答：學(xué)生紀(jì)念品的成本為6元，教師紀(jì)念品的成本為14元．（2）第二周單價降低x元后，這周銷售的銷量為400+100x，由題意得出：400×（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（400+100x）+（4﹣6）[（1200﹣400）﹣（400+100x）]＝2500，即1600+（4﹣x）（400+100x）﹣2（400﹣100x）＝2500，整理得：x2﹣2x+1＝0，解得：x1＝x2＝1，則10﹣1＝9元．答：第二周每個紀(jì)念品的銷售價格為9元．23．解：（1）∵一元二次方程x2+2（m+1）x+m2+5＝0有兩個實根x1，x2，∴Δ＝[2（m+1）]2﹣4（m2+5）＝4m2+8m+4﹣4m2﹣20＝8m﹣16≥0，解得：m≥2；（2）當(dāng)m＝3時，方程可化為x2+8x+14＝0，∵x1+x2＝﹣8，x1?x2＝14，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣8）2﹣2×14＝36，所以斜邊長6；（3）﹣x1﹣x2＝﹣（x1+x2）=23x1?x∴2（m+1）=23（m∴m1＝1，m2＝2，又∵m≥2，∴m＝2．24．解：（1）∵在方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2k+3）]2﹣4（k2+3k+2）＝1＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．（2）∵x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝（x﹣k﹣1）（x﹣k﹣2）＝0，∴x1＝k+1，x2＝k+2．①不妨設(shè)AB＝k+1，AC＝k+2，∴斜邊BC＝5時，有AB2+AC2＝BC2，即（k+1）2+（k+2）2＝25，解得：k1＝2，k2＝﹣5（舍去）．∴當(dāng)k＝2時，△ABC是直角三角形②∵AB＝k+1，AC＝k+2，BC＝5，由（1）知AB≠AC，故有兩種情況：（Ⅰ）當(dāng)AC＝BC＝5時，k+2＝5，∴k＝3，AB＝3+1＝4，∵4、5、5滿足任意兩邊之和大于第三邊，∴此時△ABC的周長為4+5+5＝14；（II）當(dāng)AB＝BC＝5時，k+1＝5，∴k＝4，AC＝k+2＝6，∵6、5、5滿足任意兩邊之和大于第三邊，∴此時△ABC的周長為6+5+5＝16．綜上可知：當(dāng)k＝3時，△ABC是等腰三角形，此時△ABC的周長為14；當(dāng)k＝4時，△ABC是等腰三角形，此時△ABC的周長為16．25．解：（1）過點P作PE⊥CD于E．則根據(jù)題意，得設(shè)x秒后，點P和點Q的