第十一章 三角形之三條線的性質(zhì) 講義2024－2025學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)

三角形之三條線的性質(zhì)三角形之三條線的性質(zhì)三角形之三條線的性質(zhì)?？家唬褐芯€平分三角形的面積常考一：中線平分三角形的面積三角形中線平分面積的題型通常具有以下特征：首先要明確中線的定義，即連接三角形一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段。需要利用到三角形的一條中線將對(duì)邊平分，并且將三角形分成面積相等的兩個(gè)小三角形的性質(zhì)。在解題過(guò)程中，可能會(huì)需要構(gòu)造輔助線或者輔助圖形，如平行線、高線、相似或全等三角形等，以利用幾何性質(zhì)來(lái)證明面積相等。代數(shù)運(yùn)算：在證明過(guò)程中可能會(huì)涉及到代數(shù)運(yùn)算，比如計(jì)算線段的長(zhǎng)度、三角形的面積公式（底乘高除以二），或者通過(guò)比例關(guān)系來(lái)證明面積相等。1.如圖，是的中線，是的中線，于點(diǎn)F．若，，則長(zhǎng)為．解析：解決這道題，可能乍一看沒有思路，其實(shí)尋找思路的關(guān)鍵是把題目給的條件全部翻譯出來(lái)，何為翻譯，題目給的條件往往是不能直接用的，總是會(huì)繞一個(gè)圈子，我們要做的是把題目的條件化到我們需要的上面去，接下來(lái)是整個(gè)解題步驟解析：解決這道題，可能乍一看沒有思路，其實(shí)尋找思路的關(guān)鍵是把題目給的條件全部翻譯出來(lái)，何為翻譯，題目給的條件往往是不能直接用的，總是會(huì)繞一個(gè)圈子，我們要做的是把題目的條件化到我們需要的上面去，接下來(lái)是整個(gè)解題步驟解：∵AD是△ABC的中線∴點(diǎn)D為線段BC中點(diǎn)則BD=DC又∵△ABD與△ADC都在△ABC中∴他們的高相等則S△ABD＝S△ADC=二分之一×24=12同理∵BE是△ABD的中線∴S△ABE=S△BDE=二分之一×12=6∴在△BDE中，S=二分之一×BD×EF=6則2EF=6EF=3答：EF長(zhǎng)為3常考二：中線性質(zhì)之三角形的周長(zhǎng)?？级褐芯€性質(zhì)之三角形的周長(zhǎng)2.如圖，是的中線，，若的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)大，則的長(zhǎng)為（

）解析：求這道題的關(guān)鍵是把每個(gè)三角形的周長(zhǎng)拆開，拆成三條邊長(zhǎng)相加，而不能停留在題目本身解析：求這道題的關(guān)鍵是把每個(gè)三角形的周長(zhǎng)拆開，拆成三條邊長(zhǎng)相加，而不能停留在題目本身解：∵CM是△ABC中線∴AM=BM（中點(diǎn)性質(zhì)）又∵C△BCM=C△ACM+3∴BC+CM+BM=AM+MC+AC+3∴BC=AC+3∵BC=8∴AC=BC-3=8-3=5答：AC長(zhǎng)為5常考三：三角形高的最值性?？既喝切胃叩淖钪敌栽擃愵}型的特征是，有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在一條直線上移動(dòng)，問(wèn)什么時(shí)候該動(dòng)點(diǎn)與三角形頂點(diǎn)的連線的線段有最小值。首先，這條線段在三角形中一定是一條特殊的線（比如垂線，中線，角平分線），絕不是隨隨便便一條直線，因?yàn)橹挥芯哂刑厥庑再|(zhì)的線我們才能根據(jù)所學(xué)知識(shí)求出來(lái)。小學(xué)我們學(xué)過(guò)，垂直距離最短。因此當(dāng)該線段垂直于對(duì)應(yīng)邊的時(shí)候會(huì)有最小值3．如圖，中，，于E，，點(diǎn)D在上移動(dòng)，則的最小值是．D’D’解析：求AD的最小值，首先明確當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D’的時(shí)候AD有最小值，則題目轉(zhuǎn)化到求AD解析：求AD的最小值，首先明確當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D’的時(shí)候AD有最小值，則題目轉(zhuǎn)化到求AD’的長(zhǎng)度【詳解】解：根據(jù)題意得：當(dāng)時(shí)，有最小值，中，，于E，，，，，故答案為：．?？妓模喝切稳呹P(guān)系常考四：三角形三邊關(guān)系三角形三邊關(guān)系主要涉及以下幾個(gè)方面：①任意兩邊之和大于第三邊。即對(duì)于三角形ABC，有a+b>c，a+c>b，b+c>a，其中a、b、c分別是三角形的三邊。②任意兩邊之差小于第三邊。即對(duì)于三角形ABC，有|a-b|<c，|a-c|<b，|b-c|<a。在直角三角形中，勾股定理描述了三邊之間的特殊關(guān)系。對(duì)于直角三角形，斜邊的平方等于兩個(gè)直角邊的平方和。即如果c是斜邊，a和b是直角邊，那么axa+bxb=cxc4．已知的三邊長(zhǎng)為，，，化簡(jiǎn)的結(jié)果是．解析：這道題涉及兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)：絕對(duì)值與三角形三邊關(guān)系。如何去絕對(duì)值一直都是難點(diǎn)。去絕對(duì)值的前提是確定絕對(duì)值里面的數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)。正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)（相反數(shù)就是在數(shù)字前加一個(gè)負(fù)號(hào)）解析：這道題涉及兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)：絕對(duì)值與三角形三邊關(guān)系。如何去絕對(duì)值一直都是難點(diǎn)。去絕對(duì)值的前提是確定絕對(duì)值里面的數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)。正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)（相反數(shù)就是在數(shù)字前加一個(gè)負(fù)號(hào)）如|5|=5，而|-5|=-(-5)=5解：∵根據(jù)三角形三邊關(guān)系a+b>c∴a+b-c>0（一個(gè)比c大的數(shù)減去c，結(jié)果肯定為正數(shù)）同理b-a<c所以b-a-c<0所以|a+b-c|=a+b-c（正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身）|b-a-c|=-（b-a-c）化簡(jiǎn)得a+b-c+b-a-c=2b-2c常考五：割補(bǔ)法求三角形面積?？嘉澹焊钛a(bǔ)法求三角形面積割補(bǔ)法是一種通過(guò)將復(fù)雜的圖形切割成簡(jiǎn)單的幾何形狀，或者將簡(jiǎn)單的幾何形狀組合成復(fù)雜圖形來(lái)求解面積的方法。以下是使用割補(bǔ)法求解三角形面積的幾種常見方法：利用矩形和直角三角形構(gòu)造矩形：假設(shè)有一個(gè)三角形，你可以構(gòu)造一個(gè)矩形，使得這個(gè)三角形的面積=矩形面積減去剩下的小直角三角形面積5.如圖，求三角形ABC的面積？解析：求面積我們總能很快聯(lián)想到用三角形面積公式，可是在本題你會(huì)發(fā)現(xiàn)，無(wú)論是求高還是求底都十分復(fù)雜和困難，因此，采用割補(bǔ)法是解決本題的最佳方法。解析：求面積我們總能很快聯(lián)想到用三角形面積公式，可是在本題你會(huì)發(fā)現(xiàn)，無(wú)論是求高還是求底都十分復(fù)雜和困難，因此，采用割補(bǔ)法是解決本題的最佳方法。三角形ABC的面積=長(zhǎng)方形面積-三個(gè)直角三角形的面積練習(xí)題練習(xí)題1．如圖，在中，為中