2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元雙優(yōu)測(cè)評(píng)卷-第四章數(shù)列A卷含解析

第四章數(shù)列

A卷基礎(chǔ)過關(guān)必刷卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的

1.已知數(shù)列｛《,｝中，an+2=—j，4oo=%,貝」1。2018+%=（）

x/5+l

22

5,(〃=1)

已知數(shù)列｛q｝滿足：?,｛4｝的前飛項(xiàng)和為S”，則當(dāng)；1=1

[1+2-(-1)11+2(〃22)

時(shí),5,,=（）

,312「21「21

A.—nB.-C.■―~-Z"

22132

3.我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《解析九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊

輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就.在“楊輝三角”中，第〃行的所有數(shù)字之和為2〃T,

若去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,…，則此數(shù)列的前35項(xiàng)和為（）

A.994B.995C.1003D.1004

4.高斯，德國(guó)著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、大地測(cè)量學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一.而

斯被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并享有“數(shù)學(xué)王子”之稱，高斯在幼年時(shí)首先使用

了倒序相加法，人們因此受到啟發(fā)，創(chuàng)造了等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，已知等差數(shù)列｛4｝的

前n項(xiàng)和為S“，S[=3,ST=12,Sn=17,則n的值為（）

5.已知數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，數(shù)列也｝是等差數(shù)列，若444=—次反白+々+4=2",

A.YB.V3cGD

3-T

6.定義，°°為〃個(gè)正數(shù)人P2,……0的“均倒數(shù)”?若已知數(shù)列｛4｝的前八項(xiàng)的

Pi+〃？+???+p,r

“均倒數(shù)，，為薪，又“竽11

貝ij——十——+…+).

bxb2b2b3

D.3

ABC

-IT-/-li11

7.在等差數(shù)列｛4｝中，首項(xiàng)4>0,公差前〃項(xiàng)和為S“(〃eN*),有下列敘述:

(1)若邑=〃，則必有又<0；

(2)若4+%>()，則必有SI5>0；

(3)若九>品，則必有S“>S12.其中敘述正確的序號(hào)是()

A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)

8.已知函數(shù)/3=1(xwR),若等比數(shù)列｛4｝滿足//21=1，則

〃aJ+〃4)+f(%)+???+/(%)=()

A.；B.C.2D.2021

22

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分

9.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S.,若％=31,$o=21O,則()

A.若勿=(-l)”q,則數(shù)列也｝的前2020項(xiàng)和為4040B.數(shù)列,嘰｝是公比為8的等比數(shù)列

C.兀=1%D.若。=-----,則數(shù)列｛々｝的前2020項(xiàng)和

anan+\

當(dāng)2020

為24249

10.我國(guó)天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周蝌算經(jīng)》中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣的棒長(zhǎng)損

益相同(唇是按照日影測(cè)定時(shí)刻的儀器，輕長(zhǎng)即為所測(cè)量影子的長(zhǎng)度).二十四節(jié)氣及號(hào)長(zhǎng)

變化如圖所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣唇長(zhǎng)減少或增加的量相同，周而復(fù)始.已知每年冬至的唇長(zhǎng)為

一丈三尺五寸，夏至的懸長(zhǎng)為一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，則下列說法正確

的是()

%送滿變少

株長(zhǎng)逐漸變大

A.相鄰兩個(gè)節(jié)氣暑長(zhǎng)減少或增加的量為一尺

B.春分和秋分兩個(gè)節(jié)氣的輕長(zhǎng)相同

C.小雪的孱長(zhǎng)為一丈五寸

D.立春的唇長(zhǎng)比立秋的冷長(zhǎng)短

11.《張丘建算經(jīng)》是中國(guó)古代眾多數(shù)學(xué)名著之一.書中有如下問題：“今有女善織，口益

功疾，初日織五尺，今一月日織九匹三丈，問日益幾何？”其大意為：“有一女子擅長(zhǎng)織布,

織布的速度一天比一天快，從第二天起，每天比前一天多織相同數(shù)量的布，第一天織5尺,

一個(gè)月共織了9匹3丈，問從第二天起，每天比前一天多織多少尺布？”已知1匹=4丈，

1丈=10尺，若這個(gè)月有30天，記該女子這個(gè)月中第〃天所織布的尺數(shù)為牝，5=2%,則

)

A.4=8&B.數(shù)列｛2｝是等比數(shù)列

%+%+%_209

C.4%)=105

?a2+a4+a6193

12.如圖，已知點(diǎn)E是平行四邊形ABC。的邊A3的中點(diǎn)，外卜蚱獷）為邊8C上的一列點(diǎn),

連接4死交出）于G“，點(diǎn)G/?wN"）滿足麗=《向?取一2（2%+3）矚，其中數(shù)列｛q｝是

首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，S”是數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（）

A.6=13B.數(shù)列血+3｝是等比數(shù)列

C.勺=4〃-3D.S?=2w+,-/i-

18.已知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝滿足q=1,%=2,且對(duì)任意的正整數(shù)n,1+是叱和的等差中

項(xiàng)，證明：｛。3一片｝是等差數(shù)列，并求｛4｝的通項(xiàng)公式.

19.己知S"為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，且a是1和S”的等差中項(xiàng)，求滿足

…+!＞幺々+"2+力3+-+“）的正整數(shù)"的集合.

“A隊(duì)bn4

20.數(shù)列｛4｝滿足［=-1,且=3?！癬|一2〃+3(〃eN*且〃22).

(1)求生、4,并證明數(shù)列｛q-〃｝是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

21.已知數(shù)列｛g｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為%數(shù)歹!｛%的前〃項(xiàng)和為7；,

且37；=5；+25.,〃wN?.

（1）求《的值及數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式；

（2）若有々=丁、7,求證：瓦十—,<詈

%+1+121

22.設(shè)數(shù)歹ij｛an）的前n項(xiàng)和為Sn.若對(duì)任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)%使得S產(chǎn)a,”則稱｛a｝

是“H數(shù)列”.

（1）若數(shù)列瓜｝的前n項(xiàng)和SW（n￡N）,證明：5｝是“H數(shù)列”；

（2）設(shè)｛a｝是等差數(shù)列，其首項(xiàng)5=1,公差d<0.若瓜｝是“H數(shù)列”，求d的值;

（3）證明：對(duì)任意的等差數(shù)列｛a｝,總存在兩個(gè)“H數(shù)列”｛bj和意3使得a產(chǎn)bn+a（nWN）

成立

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的

1.己知數(shù)列｛4｝中,的6?則。2018十%

B.空

【答案】C

【解析】

依題意數(shù)列｛4｝中，4>0,4=1,4+2=-^,400=496,

n

11

?3=--T=T,

4+12

整理得蕓+%6-1=0,由于4>0,故解得/二專工

175-115/5-1

&=z.J.1=~-嗎00=z,.1=-o-，

。+12%+12

以此類推4刈8=好」，

所以％+〃刈81=與

故選：C

2.已知數(shù)列｛q｝滿足：耳｛4｝的前一項(xiàng)和為5,則當(dāng)文=1

時(shí)，￡?=()

,312八2121

A.—Bn.-—C.--Dr.--

22132

【答案】D

【解析】

當(dāng)2=1,〃22時(shí)，《,=一。”_1+2,即

121

:.S”=(?H+%())+(%+6)+(%+/)+(%+%)+(/+&)+4=2x5+-=

故選：I)

3.我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《解析九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊

輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就.在“楊輝三角”中，第〃行的所有數(shù)字之和為2"七

若去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列233,4,645,10,10,5,…，則此數(shù)列的前35項(xiàng)和為()

A.994B.995C.1003D.1004

【答案】B

【解析】

沒有去掉“1”之前，第1行的和為2。，第2行的和為2、第3行的和為22,

以此類推，即每一行數(shù)字和為首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，

則前〃項(xiàng)和為"=上2=2"-1.每一行的個(gè)數(shù)為1,2,3,4,???,

1-2

可以看成構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，

則前〃項(xiàng)總個(gè)數(shù)為聾=生羅.

當(dāng)〃=10時(shí)，加=55,去掉兩端“1”，可得55-19=36,

則去掉兩端“1”后此數(shù)列的前36項(xiàng)和為品-19=2暝1-19=1004,

所以第36項(xiàng)為第10行去掉“1”后的最后一個(gè)數(shù)為9,

所以該數(shù)列的前35項(xiàng)和為1004-9=995.

故選:B.

4.高斯，德國(guó)著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、大地測(cè)量學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一.高

斯被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并享有“數(shù)學(xué)王子”之稱，高斯在幼年時(shí)首先使用

了倒序相加法，人們因此受到啟發(fā)，創(chuàng)造了等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，已知等差數(shù)列｛4｝的

前n項(xiàng)和為S“，S&=3,S…=12,=17,則n的值為()

A.8B.11C.13D.17

【答案】D

【解析】

根據(jù)題意，S4=3,S-=12,S〃=17nS“—Sz=5,

即4+。2+4+q=3,+4T+a?-2+4-3=5

兩式相加得到4(4+4,)=8=4+勺=2

所以§山山=17n〃=i7,

〃2

故選：D.

5.已知數(shù)列｛q｝是等比數(shù)列，數(shù)列｛"｝是等差數(shù)列，若4.仆.4=-入后,&+4+4=2萬,

貝ijtan"+'。=()

A.-73B.舊C.--D.皂

33

【答案】A

【解析】

設(shè)數(shù)列佃力是公比為夕的等比數(shù)列，數(shù)列仍/是公差為d的等差數(shù)列，

若4?/?%=-375,也+々+4=2%，

貝lja4x4g7*4g8=_3y,bl+3d+bi+ld+bl+Sd=2^,

即為4夕6=—73,4+6d=—,

即/=—>/3,b]=,

則tan"十如=tan?=tan-=->/3

故選：A

6.定義。工,為〃個(gè)正數(shù)/小八……外的"均倒數(shù)”.若已知數(shù)列｛q｝的前八項(xiàng)的

Pl+%+…+P”

“均倒數(shù)”為高

—,則-----1-----------F???-I-----------).

4她她Vu

10

c-liD.T7

【答案】D

【解析】

由已知得*：,=37

4+叼+?,?+42/1+1

:.4+%+???+〃”=〃(2〃+l)=S.，

當(dāng)〃之2時(shí)，a“=S"—Si=4〃—l,

驗(yàn)證知當(dāng)〃=1時(shí)也成立，

/.a?=4w-l,

I1=-1.--1-

々?%〃〃+1

故選：D.

7.在等差數(shù)列｛%｝中，首項(xiàng)4>。，公差dxO,前〃項(xiàng)和為&(〃￡四)，有下列敘述:

(1)若SL時(shí),則必有兒<0；

(2)若生+外〉。，則必有九>0：

(3)若與。>L，則必有S“>S,其中敘述正確的序號(hào)是()

A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)

【答案】D

【解析】

對(duì)于(1)若$=$4，則有4+，+…+64=。，則有為+6u=0，所以q+a1x=。，

所以S[9=$8+%9=+%=《9

因?yàn)椤?+%8=0,《>0,所以48=4+17d<0,所以d<0,所以49=418+d<0,

所以、9=69<0.故⑴正確.

對(duì)于(2)若4+43>。，則有4+45=。3+&>。，所以九="(4；知)>0故(2)正確;

對(duì)于(3)若S1o>S”，則有a”=S"一S]0=q+l()d<(),因?yàn)閝>0,所以d<0,

所以42=41+1<0，所以?？?S12—品<0,即S”>S12.故(3)正確.

故選：D

2

8.已知函數(shù)/（X）=47（XWR）,若等比數(shù)列｛4｝滿足則

/（4）+/■⑷+/（%）+???+/（%）=（）

A.|B.空?C.2D.2021

【答案】D

【解析】

/（幻=不，得，（￡1=旨=備，則/（為+/（』）=告+?=2,

1+X'/1+p-（xji+x1+x

又｛4｝是等比數(shù)列，則《生⑼=02a2020=…=（4oJ=1，

2

所以/（4）+/（臉）=/（出）+/（囁）=-=/（。0）+/（?2）=2;f（qou）=y^T=l,

所以/⑷+/（g）+/（%）+…+/（限）=[/（4）+/（暇）]+[/（叼）+/（。2020）]+???+

[/(^10l0)+/(^012)]+/(?101l)=1010x2+1=2021.

故選：D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分

9.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”，若4=31,S10=2IO,則()

A.若”=(-l)"q,則數(shù)列｛a｝的前2020項(xiàng)和為4040B.數(shù)列｛*｝是公比為8的等比數(shù)列

C.與=196D.若"=」一，則數(shù)列出｝的前2020項(xiàng)和

anan+i

42020

為----

24249

【答案】AD

【解析】

等差數(shù)列&｝的前〃項(xiàng)和為S“，若4=31,%=210,

%=%+7d=31

設(shè)｛/｝的公差為d,則有，

品=104+454=210'

解得4=3,d=4,故?！倍?〃-1,

若bn=（-1）"-an=（-1）"-（4/i-1）,

則｛々｝的前2020項(xiàng)7^0=-3+7-11+15-…+8079=4x1010=4040,故A正確;

由q,=4〃-1,得2%=2曲I,

令?！?2*，貝哈〃22時(shí)，^=^iH=2\

c/?-lJ

則數(shù)列｛2%｝是公比為28的等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；

由等差數(shù)列的性質(zhì)可知品=（4+；9）xl9=（4o+；o）xl9=]%,故c錯(cuò)誤;

若々=（4〃，?3）//1-焉），則也｝的前2。20項(xiàng)和

%=玄丁才廠TT+…+而T麗尸旃，故。正確，

故選：AD.

10.我國(guó)天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣,每個(gè)節(jié)氣的易長(zhǎng)損

益相同（號(hào)是按照口影測(cè)定時(shí)刻的儀器，號(hào)長(zhǎng)即為所測(cè)量影子的長(zhǎng)度）.二十四節(jié)氣及密長(zhǎng)

變化如圖所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣劈長(zhǎng)減少或增加的量相同，周而復(fù)始.已知每年冬至的展長(zhǎng)為

一丈三尺五寸，夏至的劈長(zhǎng)為一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），則下列說法正確

的是（）

A.相鄰兩個(gè)節(jié)氣懇長(zhǎng)減少或增加的量為一尺

B.春分和秋分兩個(gè)節(jié)氣的輕長(zhǎng)相同

C.小雪的輕長(zhǎng)為一丈五寸

D.立春的唇長(zhǎng)比立秋的唇長(zhǎng)短

【答案】AB

【解析】

現(xiàn)以寸為單位，由題意可知，由夏至到冬至的辱長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列｛6｝,

其中為=15,%=135,公差d=———=10.

同理可得，由冬至到夏至的驛長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列｛2｝,

其中々=135,%=15,公差d'=g至=70,

故相鄰兩個(gè)節(jié)氣號(hào)長(zhǎng)減少或增加的量為十寸，即一尺，故選項(xiàng)A正確;

因?yàn)榇悍值氖铋L(zhǎng)為&，所以偽=4+6才=135-60=75,

因?yàn)榍锓值氖黹L(zhǎng)為內(nèi)，所以%=4+64=15+60=75,

故春分和秋分兩個(gè)節(jié)氣的密長(zhǎng)相同，故選項(xiàng)B正確；

因?yàn)樾⊙┑拇介L(zhǎng)為61，所以少=4+104=15+100=115,

即一丈一尺五寸，故小雪的卷長(zhǎng)為一丈一尺五寸，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

因?yàn)榱⒋旱氖痖L(zhǎng)和立秋的署長(zhǎng)分別為“，&，

4=4+34=15+30=45,2=^+3^=135-30=105,

所以為＞包，故立春的辱長(zhǎng)比立秋的唇長(zhǎng)長(zhǎng)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：AB.

11.《張丘建算經(jīng)》是中國(guó)古代眾多數(shù)學(xué)名著之一.書中有如下問題：“今有女善織，日益

功疾，初日織五尺，今一月日織九匹三丈，問日益幾何？”其大意為：“有一女子擅長(zhǎng)織布,

織布的速度一天比一天快，從第二天起，每天比前一天多織相同數(shù)量的布，第一天織5尺,

一個(gè)月共織了9匹3丈，問從第二天起，每天比前一天多織多少尺布？”已知1匹=4丈，

1丈=10尺，若這個(gè)月有30天，記該女子這個(gè)月中第〃天所織布的尺數(shù)為《，勿=2%,則

()

A.%=8瓦B.數(shù)列｛〃｝是等比數(shù)列

%+6+%_209

C.=105

D，a2+a4+a6193

【答案】BD

【解析】

由題意可知，數(shù)列｛凡｝為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列｛〃.｝的公差為d,首項(xiàng)4=5,

則304+招'29"=9*4X1o+30=390,解得4=巴

229

16〃+129

a”=q+（"l）d=

29

，數(shù)列｛2｝是等比數(shù)列，B選項(xiàng)正確；

???5d=5x*崇3,4=的=2"=23,人選項(xiàng)錯(cuò)誤;

%o=4+291=21,???q%=5x22i>105,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

,,一16193.,16209

。=勾+34=5+3x—=——,a.=a.+44d=5c+4x—=-----,

412929512929

a,+a.+CL3a.a.209，十一八

''—=丁=4=云，D選項(xiàng)正確.

。2+。4+。63a4。4193

故選：BD.

12.如圖，已知點(diǎn)E是平行四邊形488的邊48的中點(diǎn)，工卜蚱%*）為邊8C上的一列點(diǎn),

連接A巴交8。于G.，點(diǎn)G（〃wN*）滿足麗=勺/彳-2（必,+3）眠，其中數(shù)列｛4｝是

首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，工是數(shù)列｛（｝的前〃項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（）

【答案】AB

【解析】

?.?E為4B中點(diǎn)，「.2年=前+朋，即率=一第+2",

???。，3,8三點(diǎn)共線，「.碎=2可=-；165+2；1牖,

又四f取-2（冽+3）弟…拓-3）=22

化簡(jiǎn)得：6+1=2/+3,.?.4+]+3=2（4+3）,

.??｛4+3｝是以q+3=4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，B正確；

.?.。+3=4?21=2用，.,.%=24-3,C錯(cuò)誤;

貝|J%=2J3=13,A正確；

23n+,n2錯(cuò)誤.

/.5M=(2+2+---+2)-3n=^-^^-3/?=2*-4-3w?D

故選：AB.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

s_s+]

13.設(shè)數(shù)列心｝滿足q=2,4=6,%=12,數(shù)列｛%｝前n項(xiàng)和為S,，且丁=3

(〃wN?且〃N2).若國(guó)表示不超過x的最大整數(shù)，bn=安匚，數(shù)列出｝的前n項(xiàng)和

為則《。22的值為___________.

【答案】2023

【解析】

.%+2+凡+i+4+l=3

%+1'

???〃”+2―2q+|+q=2,

?.?{%「4}從第2項(xiàng)起是等差數(shù)列.

又

?.?q=2,%=6,%=12,.\(a3-a2)-(a2-aJ)=2,

.'.an^-an=4+2(n-l)=2w+2,

當(dāng)〃22時(shí)，

a“=(a“—q“)+(%-1_4-2)+...+(4_4)+q

=2n+2(z?-l)+L+2x2+2=2x"；+1)=〃(〃+l),

(〃+l)2_〃+1

(w>2),

n

2

?L八n+17.

???當(dāng)〃N2時(shí)，bn=——L=一=1

_anJL〃J

又???4=止0=2,

q

.?.62=—KI"—1+???+=^-=2+2021=2023.

…L?1J1%」L?2022.

故答案為：2023

14.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛叫中，公比9?0,1),若%+6=5,右4=4,bn=\og2an,

數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和為S”,則數(shù)列12｝前n項(xiàng)和為

?小山、〃(17

［答案］二-----』

4

【解析】

%+%=5

〃3=4

由題意,%>%，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，,4=%%=4,解得

4=1

—

謫=44=16

。4=1，解得，1

0vqvlq=&

.?.4=q/T=16x(gJ,=2W,則仇=log2《,=5-〃，則數(shù)列｛0｝為等差數(shù)列,

上士工吐匕故2=?,

“22”2

+

?縣+邑+L+=v-^~)=?

"12n24

故答案為：〃07-〃)

4

15.設(shè)公差不為。的等差數(shù)歹IJ⑸｝的前n項(xiàng)和為也，若數(shù)列⑸)滿足：存在三個(gè)不同的正整

9905,+5?

數(shù)r,s,t,使得a~a*,at成等比數(shù)列，a2r,a2s,a?t也成等比數(shù)列，則---------的最小

值為

【答案】45

【解析】

根據(jù)題意，數(shù)列｛a｝為等差數(shù)列，設(shè)&尸pn+q,

若存在三個(gè)不同的正整數(shù)r,s,t,使得a,,a.,以成等比數(shù)列，麗，也，出也成等比數(shù)列,

(Pr+幻3+4)=3+,)2即p2rt+pq(t+r)=p2s2+2pqs?

則有

(2〃r+g)(2〃/+q)=(2ps+q)2'4P2%+2Pq(J+r)=4p2s2+4pqs：

聯(lián)立兩式，變形可得P2rt=p2s2,

又由等差數(shù)列㈤｝的公差不為0,即p#0,則有rt=s2,

可得pq(r+t)=2pqs,

又由r,s,t互不相等且rt=s2,則r+tW2s,必有q=0,則an=pn,

(《+a“)x〃n(n+\)p

所以S1=a】=p,S=

n22

n(n+l)p

故理2=99?！?990n1

---+—+—,

n22

P"

990nI

設(shè)f(n)

22

則f⑴=等+段2楞用+六2屈

當(dāng)且僅當(dāng)「=1980時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)n不是正整數(shù)，不符合題意,

而44VJ1980V45,

所以f(44)=9-90+—44+-I=45,f(45)=9—90+4—5+1=45,

44224522

9905,+S?

則有f(45)=f(44),即--------^的最小值為45

凡

故答案為：45.

16.已知數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和，=(+(/-5，>=工,若對(duì)任意的都有久池，

22Cln

則實(shí)數(shù)，的取值范圍為.

【答案】(-5,-4)

【解析】

由題意，知S”=]+”?，所以4=S“一S._]=〃+/-2(〃22),

當(dāng)〃=1時(shí)也滿足上式，所以a“=n+f-2,〃wN，

_1_1

所以“=

an?-(2-/)

又因?yàn)閷?duì)任意的〃eN",都有5之4，所以6<2-r<7,且"2-門,

所以一5vfvY.

故實(shí)數(shù)，的取值范圍為（-，-4）.

故答案為：（-51）.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟

17.求數(shù)列的通項(xiàng)公式：

（1）已知數(shù)列｛4｝滿足％=1,且%+1=三爭(zhēng)，求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）已知數(shù)列｛4｝滿足%i=3a“+2x3"+l,%=3,求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

【答案】

【解析】

（1）將％=三一兩邊倒過來變形可知,是以'=1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.

1+24[an\q

根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求出從而可得《二工；

an2/1-1

(2)將。向=3。“+2、3"+1兩邊同時(shí)除以3用，得券一半=計(jì)亦，利用累加法可求得結(jié)

果.

(1)

a11+2a1.

由“用一n得，n一+2,

1+2勺an+lanan

=2是常數(shù).又q=l,???，|是以-、二1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.

為+1an1%J

an2/Z-1

(2)

a21

將嘮=3&+2x3"+l兩邊同時(shí)除以3日，得表-=—n+—+.,

y33r,+l

則％L_%=2+」L,

3H+,3M33M+,

.an(an%-2)1為-2/-31'…+修-號(hào)卜?

??下一匠--尹雙尹一尹廣

2n11

T+2-2x3n

14〃+3

江+三-=--------2

222

18.已知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝滿足4=1,%=2,且對(duì)任意的正整數(shù)n,1+〃3是和。3的等差中

項(xiàng)，證明：｛。3一片｝是等差數(shù)列，并求｛4｝的通項(xiàng)公式.

【答案】證明見解析；4=*

【解析】

證明：由題知a3+d=2（l+a；+1）,

得-。3)-(Y+1-=2,

所以｛〃；+「〃；｝是以片-a：=3為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列,

即a、1-a：=3+(〃-1)2=2n+1,

當(dāng)〃22時(shí)，+(<!-<2)+…+3；-a：)+a；

=2(1+2+???〃?l)+〃=2x----------+n=n2,

2

當(dāng)〃=1時(shí)，a；=1也符合題意，

所以。：=〃2,又?！埃尽?/p>

所以

19.已知S,為數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和，且2是1和S”的等差中項(xiàng)，求滿足

…+?。?；他+4+4+…的正整數(shù)"的集合.

4"2"34

【答案】12｝

【解析】

囚S"為數(shù)列｛"｝的前〃項(xiàng)和，口用是1和S”的等差中項(xiàng)，則S〃=耽-1,

當(dāng)〃22時(shí)，2二邑一s,“=(2^-1)-(^_,-1),整理得：bn=2bl，而4=S[=2V1,即4=1,

因此得，數(shù)列｛々｝是公比為2,首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，其通項(xiàng)為"=2”“，Szl=r-l,

而'二(》",于是得｛3｝是首項(xiàng)為1,公比為T的等比數(shù)列，則

2

11111、11

由W1…+丁丁(4+4+4+…+")得:2-->-(2w-l),即2"T<4=22,

解得〃v3.而"cN',貝hz=1或〃=2.

所以所求的正整數(shù)〃的集合是｛1，2).

20.數(shù)列｛4｝滿足％=-1,且%=3q1一2〃+3(neN*Kn>2).

(1)求生、小，并證明數(shù)列｛(-〃｝是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

rt

【答案】(1)/=T，%=T5,證明見解析；(2)?n=n-23-'.

【解析】

(1)因?yàn)?=-1,且?！?3?！癬[-2〃+3(〃eN*且〃22),

則%=3q-1=-4,a?=3%-3=-15,

由已知可得4-〃=3%-3〃+3=3[%-(〃-1)],

4-1=-2,則對(duì)任意的〃〃工0,

所以當(dāng)〃22時(shí)，0故數(shù)列｛q-〃｝是等比數(shù)列；

(2)由(1)可知，數(shù)列｛4-〃｝是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為-2,公比為3,

n

所以，an-n=-2x3-',因此，生=〃-2?3”[