全國自考公共課高等數(shù)學(xué)（工本）模擬試卷2（共225題）

全國自考公共課高等數(shù)學(xué)（工本）模擬試卷2（共9套）（共225題）全國自考公共課高等數(shù)學(xué)（工本）模擬試卷第1套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)區(qū)域D由圓x2＋y2＝2ax(a＞0)圍成，則二重積分＝()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：積分區(qū)域如下圖所示：在坐標(biāo)下令x＝rcosθ，y＝rsinθ答案為D．2、L是拋物線y=x2一1從A(一1，0)到B(1，0)的一段，則曲線積分xdx+(x+y)dy=()A、B、C、-1D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由L：y=x2一1，一1≤x≤1，得dy=2xdx，則3、設(shè)f(x，y)在點(x0，y0)處偏導(dǎo)數(shù)存在，則＝()A、2fx(x0，y0)B、fx(x0，y0)C、fx(x0，y0)D、f’(x0，y0)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：答案為A．4、在空間直角坐標(biāo)系中，點P(－1，2，－3)關(guān)于Oyz坐標(biāo)面的對稱點是()A、(1，－2，3)B、(1，2，－3)C、(－1，2，3)D、(－1，－2，－3)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：關(guān)于Oyz坐標(biāo)面對稱即沿x軸移動，因此只有x坐標(biāo)改變符號，其余不變．答案為B．5、設(shè)an＞0，(n＝1，2，3，…)，若收斂，則下列結(jié)論正確的是()A、發(fā)散B、發(fā)散C、發(fā)散D、收斂標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：本題考查級數(shù)的斂散性．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、微分方程y"＋y＝8的一個特解yk＝_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：8知識點解析：易知其齊次方程的特征方程為：r2＋1＝0∴r1,2＝±i故可設(shè)其特解y*＝m∴(m)"＋m＝8∴m＝8∴y*＝87、二重積分(x+2y)dy=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識點解析：(x+2y)dy=(4—2x)dx=4．8、設(shè)積分區(qū)域D．x2＋y2≤4，則二重積分(x，y)dxdy在極坐標(biāo)下化為二次積分為________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由積分區(qū)域，x2＋y2≤4即x2cos2θ＋r2sin2θ≤4r2≤4∴r≤2．∴．9、設(shè)f(x，y)=e-xsin(2x+y)，則FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：一e-x[2sin(2x+y)+cos(2x+y)]知識點解析：[一e-x.sin(2x+y)+2e-x.cos(2x+y)]=一e-x.cos(2x+y)一2e-x.sin(2x+y)=一e-x[cos(2x+y)+2sin(2x+y)]．10、向量與z軸的夾角α=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：三、計算題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)11、已知函數(shù)z＝f(2x＋y，x－3y)，其中f具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)u＝2x＋yv＝x－3y則＝fu－3fv．知識點解析：暫無解析12、求一曲線，使得該曲線上任意點(x，y)處的切線平行于x+3y=1，且點(3，1)在該曲線上．標(biāo)準(zhǔn)答案：又因為點(3，1)在該曲線上，故有C=因此所求方程為即3y+x=6．知識點解析：暫無解析13、設(shè)Ω是由旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2，平面z=0及平面z=1所圍成的區(qū)域，求三重積分．標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域Ω，如下圖所示，Ω在Oxy坐標(biāo)面上的投影域為Dxy：x2+y2≤1，(x2+y2+z)dxdydz=(r2+z)dz=知識點解析：暫無解析14、已知函數(shù)z=ysinx，求全微分dz．標(biāo)準(zhǔn)答案：zx=ycosx，zy=sinx，則所求的全微分dz=ycosxdx+sinxdy．知識點解析：暫無解析15、求解方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：本題考查微分方程的求解．此方程對未知函數(shù)y＝y(tǒng)(x)來講不是線性方程，如將其改寫為：上述方程是以x＝x(y)為未知函數(shù)的一階線性微分方程，，Q(y)＝－y故＝y(tǒng)2(C—lny)即為原方程的通解．知識點解析：暫無解析16、計算對坐標(biāo)的曲線積分xydx+(x+y)dy，其中C為曲線y=x2從點(0，0)到(1，1)的一段?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：曲線C如下圖所示．y=x2，則dy=2xdx，故有知識點解析：暫無解析17、設(shè)函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析18、求空間曲線L：x=t2，y=3t，z=2t3在點(1，一3，一2)處的法平面方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于點(1，一3，一2)在空間曲線上，將點代入曲線方程得t=一1，所以==—2，=3，==6，則所求法平面的法向量為{一2，3，6}，故所求法平面為一2(x一1)+3(y+3)+6(z+2)=0．知識點解析：暫無解析19、求z=x2ey+(x一1)arctan在點(1，0)處的一階偏導(dǎo)數(shù)，全微分．標(biāo)準(zhǔn)答案：dz|(1,0)=2dx+dy．知識點解析：暫無解析20、計算其中D是由直線x=一2，y=0，y=2及曲線所圍成的平面區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域如右圖所示．知識點解析：暫無解析21、求冪級數(shù)的收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：，收斂半徑R=1，故一1＜x—1＜1，即0＜x＜2，冪級數(shù)收斂．當(dāng)x=0時，當(dāng)x=2時，收斂，故原級數(shù)收斂域為[0，2]．知識點解析：暫無解析22、計算曲面積分∫∫∑f(x,y,z)dS，其中∑為拋物面z＝2－(x2＋y2)在Oxy面上方的部分，f(x，y，z)＝1．標(biāo)準(zhǔn)答案：∑在Oxy面上的投影域為Dxy：x2＋y2≤2知識點解析：暫無解析四、綜合題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)23、將函數(shù)展開為x的冪級數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析24、計算，其中∑是圓錐曲面z2=x2+y2，平面z=0和z=2所圍成的區(qū)域的外側(cè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由∑區(qū)域(如下圖所示)是封閉曲面，故x2dydz+ydzdx+zdxdy=(2x+1+1)dxdydz=(x+1)dxdydz=(rcosθ+1)?rdθ=知識點解析：暫無解析25、求函數(shù)f(x，y)=2(x+y)一x2一y2的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由得駐點(1，1)，又由于fxx=一2<0，fxy=0，fyy=一2，而△=一fxxfyy=0-(一2)×(一2)=一4<0，所以f(x，y)在點(1，1)處取得極大值f(1，1)=2(1+1)一1—1=2．知識點解析：暫無解析全國自考公共課高等數(shù)學(xué)（工本）模擬試卷第2套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、已知向量α、β的模分別為｜α｜＝3，｜β｜＝，α·β＝3，且α與β的夾角為Θ，則Θ＝（）A、π／2B、π／4C、π／3D、π／6標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由α·β＝｜α｜·｜β｜cosΘ＝3×＝3，于是cosΘ＝，從而Θ＝π／4．2、點P(2，－3，1)關(guān)于Oxz坐標(biāo)面的對稱點是（）A、(－2，3，－1)B、(－2，－3，－1)C、(2，－3，－1)D、(2，3，1)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：設(shè)點P(2，－3，1)關(guān)于Oxz坐標(biāo)面的對稱點為P0(x0，y0，z0)，則x0＝x，y0＝－y，z0＝z，故P0(2，3，1)．3、若直線（x－3）／－8＝y(tǒng)／2＝（z＋2）／m與平面4x－y＋3z＝4垂直，則m＝（）A、-6B、6C、34／3D、－34／3標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：直線的方向向量和平面的法向量分別為v＝{－8，2，m｝和n＝{4，－1，3｝．若直線與平面垂直，則v∥n，即－8／4＝2／－1＝m／3，故m＝－6．4、設(shè)函數(shù)f(x，y)＝2x2－y2＋1，則點(0，0)（）A、是f(x，y)的駐點但不是極值點B、是f(x，y)的極小值點C、是f(x，y)的極大值點D、不是f(x，y)的駐點標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：fx＝4x，fy＝－2y，令fx＝fy＝0得x＝y(tǒng)＝0，因此(0，0)是駐點．由于A＝fxx(0，0)＝4＞0，B＝fxy(0，0)＝0，C＝fyy(0，0)＝－2，△＝B2－AC＝8＞0，故(0，0)不是極值點．5、已知函數(shù)f(x，y)在(0，1)處的偏導(dǎo)數(shù)存在，則［f（x，1）－f（0，1）］／2x（）A、fx(0，1)B、fx(0，2)C、1／2fx(0，1)D、2fx(0，1)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：＝1／2＝1／2fx（0，1）二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、已知向量a＝｛0，－1，3｝和b＝｛1，－2，－1｝，則－2a＋b＝____________FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：｛1，0，－7｝知識點解析：－2a＋b＝－2{0，－1，3}＋{1，－2，－1}＝{0，2，－6)＋{1，－2，－1)＝{1，0，－7}．7、設(shè)函數(shù)z＝lnxy，則全微分dz＝____________FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：1／xdx＋1／ydy知識點解析：函數(shù)z＝lnxy，則＝y(tǒng)／xy＝1／x，＝x／xy＝1／y，故dz＝1／xdx＋1／ydy．8、設(shè)L是A(1，0)，B(0，1)之間的直線段，則I＝____________FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：AB間的線段表示為x＋y＝1．9、微分方程y〞＝x的通解y＝____________FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：1／6x3＋C1x＋C2（C1，C2為任意常數(shù)）知識點解析：y〞＝x，兩邊同時積分得yˊ＝1／2x2＋C1，兩邊再同時積分得y＝1／6x3＋C1x＋C2．(C1，C2為任意常數(shù))10、無窮級數(shù)1－1／3＋1／5＋…＋（－1）n／2n＋1的和為____________FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：π／4知識點解析：由無窮級數(shù)的和形式，可聯(lián)想到arctanx＝x－1／3x3＋1／5x5＋…＋（－1）n／2n＋1x2n＋1＋…（－1≤x≤1），令x＝1得arctanl＝π／4＝1－1／3＋1／5＋…＋（－1）n／2n＋1＋…，即所要求的無窮級數(shù)的和為π／4．三、計算題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)11、求經(jīng)過P(2，1，－3)，且通過y軸的平面π的方程標(biāo)準(zhǔn)答案：所求平面π通過y軸，故可設(shè)其方程為Ax＋Cz＝0，又因為點P在平面π上，所以2A－3C＝0，則A／C＝3／2，故所求平面方程為3x＋2z＝0．知識點解析：暫無解析12、求曲面z＝xy上點(1，2，2)處的法線方程標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x，y，z)＝z－xy，則則法線方程為（x－1）／－2＝（y－2）／－1＝（z－2）／1．知識點解析：暫無解析13、設(shè)方程sin(x2＋y2＋z2)－xy＝1確定函數(shù)z＝z(x，y)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x，y，z)＝sin(x2＋y2＋z2)－xz－1，則Fx＝2xcos(x2＋y2＋z2)－z，F(xiàn)y＝2ycos(x2＋y2＋z2)，F(xiàn)z＝2zcos(x2＋y2＋z2)－x，故知識點解析：暫無解析14、求函數(shù)f(x，y)＝x2－xy＋y2的梯度gardf(1，－1)標(biāo)準(zhǔn)答案：fx＝2x－y，fy＝－x＋2y，則＝－1－2＝－3．故gradf(1，1)＝(3，－3)知識點解析：暫無解析15、計算二重積分，其中積分區(qū)域D：x2＋y2≤1標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析16、計算由(x＋y)2＋z2＝1，z≥0，x≥0，y≥0所圍成的體積標(biāo)準(zhǔn)答案：令其中0≤r≤1，0≤θ≤π／2，0≤φ≤π／2，故V＝知識點解析：暫無解析17、計算對弧長的曲線積分，其中C是x＝0，y＝0，x＋y＝1所圍成的標(biāo)準(zhǔn)答案：積分曲線C如下圖所示．對于線段OA：y＝0，dy＝0，ds＝dx，對于線段OB：x＝0，dx＝0，ds＝dy，對于線段AB：y＝1－x，ds＝故知識點解析：暫無解析18、計算對坐標(biāo)的曲線積分，其中C為曲線y＝x2從點(0，0)到(1，1)的一段弧標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線C如下圖所示．y＝x2，則dy＝2xdx，故有知識點解析：暫無解析19、求二階微分方程y〞＋yˊ－ex＝0的通解標(biāo)準(zhǔn)答案：此微分方程屬于y〞＝f（x，yˊ）型，令p＝y(tǒng)ˊ，代入原方程得pˊ＋p－ex＝0，即pˊ＋p＝ex，該方程對應(yīng)的齊次微分方程為pˊ＋p＝0，分離變量并積分dp／p＝－dx，p＝C1e－x，利用常數(shù)變易法，令p＝u(x)e－x，則pˊ＝uˊ(x)e－x－u(x)e－x，將pˊ及p代入微分方程pˊ＋p＝ex得，uˊ(x)e－x＝ex，即uˊ(x)＝e2x，積分得u(x)＝1／2e2x＋C1，則p＝（1／2e2x＋C1）e－x＝1／2ex＋C1e－x．即yˊ＝1／2ex＋C1e－x．則原微分方程的通解為y＝1／2ex－C1e－x＋C2．知識點解析：暫無解析20、求微分方程y〞－4yˊ＋5y＝0的通解標(biāo)準(zhǔn)答案：原微分方程的特征方程為r2－4r＋5＝0，解得特征根為r1＝2＋i，r2＝2－i，由于r1與r2是一對共軛復(fù)根，因此所求的通解為y＝e2x（C1cosx＋C2sinx）．知識點解析：暫無解析21、判斷級數(shù)的斂散性標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)級數(shù)部分和數(shù)列為｛Sn｝，則即該級數(shù)的部分和Sn有界，故原級數(shù)收斂．知識點解析：暫無解析22、求冪函數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)un＝（x＋1）2n／（2n）！，則｜（un＋1／un｜＝｜（x＋1）2n＋2／（2n＋2）！·（2n）／（x＋1）2n｜＝（x＋1）2／（2n＋1）（2n＋2），則對任意的x都有故級數(shù)的收斂半徑R＝＋∞，收斂域為（－∞，＋∞）．該級數(shù)為缺奇數(shù)項的冪級數(shù)，故求收斂半徑時不能用知識點解析：暫無解析四、綜合題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)23、求y〞－2yˊ－3y＝xex的通解標(biāo)準(zhǔn)答案：原方程相應(yīng)的齊次方程的特征方程為r2－2r－3＝0，解得r1＝3，r2＝－1．故齊次方程的通解為y＝C1e－x＋C2e3x，f(x)＝xex，λ＝1不是特征根，因此設(shè)特解y’＝ex（b0x＋b1），代入原微分方程得b0＝－1／4，b1＝0，故原微分方程的通解為y＝C1e－x＋C1e3x－1／4xex．知識點解析：暫無解析24、將f(x)＝ex2在x＝0處展開為冪級數(shù)，并求級數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：由ex＝1／n！xn（－∞＜x＜＋∞），可知ex2＝1／n！xn（－∞＜x＜＋∞）．級數(shù)1／n！就是將上式取x＝±1可得到，故1／n?。絜．知識點解析：暫無解析25、將函數(shù)f(x)＝2x(－π＜x＜兀)展成傅里葉級數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)函數(shù)及其周期顏拓圖像，如下圖所示．f(x)在（－π，π）內(nèi)按段光滑，由收斂定理知其可展開成為傅里葉系數(shù)，又因為＝（－1）n＋14／n（n≥1）（分布積分），所以f(x)在區(qū)間（－π，π）內(nèi)的傅里葉級數(shù)展開式為f(x)＝（－1）n＋11／nsinnx．知識點解析：暫無解析全國自考公共課高等數(shù)學(xué)（工本）模擬試卷第3套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、點P(2，1，一1)關(guān)于X軸的對稱點是()A、(一2，一1，一1)B、(一2，一1，1)C、(2，一1，一1)D、(2，一1，1)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：設(shè)點P(2，1，一1)關(guān)于x軸的對稱點是P0(x，y，z)，則P與P0連線的中點為(2，0，0)，所以={2，0，0}，解之得x=2，y=一1，z=1．因此所求對稱點的坐標(biāo)為(2，一1，1)．2、函數(shù)f(x，y)=在(0，0)點()A、不連續(xù)B、連續(xù)C、可微D、偏導(dǎo)數(shù)存在標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：故f(x，y)在(0，0)點連續(xù)．3、設(shè)D是平面上以A(1，1)，B(一1，1)和C(一1，一1)為頂點的三角形，D1是它的第一象限部分，則(xy+cosxsiny)dxdy=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：積分區(qū)域如右圖所示，連結(jié)BO，把D分成D2∪D3，因D2關(guān)于y軸對稱，被積函數(shù)xy對x為奇函數(shù)，故又D2關(guān)于x軸對稱，被積函數(shù)xy+cosxsiny為y的奇函數(shù)，故4、若某二階常系數(shù)微分方程的通解為y=C1e-x+C2，則該微分方程為()A、y"+y’-2y=0B、y"+2y’=0C、y"+y’=0D、y"-y’一2y=0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：y"+y’=0的特征方程為r2+r=0，故r1=0，r2=一1，故通解為y=C1e-x+C2．5、設(shè)0≤un≤vn(n=1，2，…)，且無窮級數(shù)()A、發(fā)散B、無法判斷C、條件收斂D、絕對收斂標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：vn≥un≥0，由比較判別法，二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、若向量a，b，c兩兩的夾角都為，且|a|=2，|b|=1，|c|=3，則|a+b+c|=_______FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：5知識點解析：只需求出|a+b+c|2．設(shè)向量a與b的夾角為θab，則．由已知條件|a|=2，|b|=1，則a.b=|a|.|b|.cosθab=同理a.c=3，b.c=于是|a+b+c|2=(a+b+c).(a+b+c)=a2+b2+c2+2a.b+2a.c+2b.c=25，即|a+b+c|=5．7、Oxy坐標(biāo)面上的橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)面的方程是_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由教材知．繞y軸旋轉(zhuǎn)時y保持不變。而將x換為8、已知z=f2(xy2)，其中f為可微函數(shù)，則=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：4xyf(xy2)f’(xy2)知識點解析：=2f(xy2)f(xy2).2xy=4xyf(xy2)f’(xy2)．9、過點(1，4，一1)并且平行于Oyz坐標(biāo)面的平面方程為________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：x一1=0知識點解析：因為所求的平面平行于Oyz坐標(biāo)面，故設(shè)其方程為Ax+D=0，又因為該平面過點(1，4，一1)．所以A+D=0，即A=一D，因此所求平面方程為x一1=0．10、已知z=f(x+y，xy)，其中f為可微函數(shù)，則dz=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：(f1’+yf2’)dx+(f1’+xf2’)dy知識點解析：三、計算題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)11、求與點P1(3，一1，2)和點P2(5，0，一1)的距離都相等的動點軌跡方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)動點為P(x,y，z)因|PP1|=|PP2|化簡后得，所求軌跡方程為：2x+y一3z一6=0．知識點解析：暫無解析12、設(shè)方程sin(x2+y2+z2)一xz=1確定函數(shù)z=z(x，y)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x，y，z)=sin(x2+y2+z2)-xz一1，則Fx=2xcos(x2+y2+z2)一z，F(xiàn)y=2ycos(x2+y2+z2)，F(xiàn)z=2zcos(x2+y2+z2)一x，知識點解析：暫無解析13、求函數(shù)u=xyz，在點(5，1，2)處沿從點(5，1，2)到點(9，4，14)的方向的方向?qū)?shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析14、令z=xy，而x=sint，y=cost，求標(biāo)準(zhǔn)答案：=yxy-1.cost+xylnx.(一sint)=yxy-1cost—xylnx.sint=(sint)cost-1cos2t一(sint)1+costlnsint．知識點解析：暫無解析15、求直線的對稱方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：由直線方程，直線的方向向量為令z=1，可得x=12，y=18，即直線過點(12，18，1)知識點解析：暫無解析16、計算D：x2+y2≤1．標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D關(guān)于x、y軸均對稱，被積函數(shù)|x|+|y|關(guān)于x、y均是偶函數(shù)，利用對稱性知識點解析：暫無解析17、求函數(shù)z=xy在條件x+y=1下的極限．標(biāo)準(zhǔn)答案：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L=xy+λ(x+y一1)，解方程組是可疑的極值點，經(jīng)驗證知識點解析：暫無解析18、計算+xzdydz+x2ydxdz，其中∑是由旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2，圓柱面x2+y2=1和坐標(biāo)平面在第一卦限中所圍曲面的外側(cè)，如下圖所示．標(biāo)準(zhǔn)答案：P=xz，Q=x2y，R=y2z，知識點解析：暫無解析19、求微分方程x(1)=1，x’(1)=0的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：解之得x2=1一(t+C2)2再將x(1)=1代入上式得C2=一1，所以方程的特解為x2=1一(t一1)2．知識點解析：暫無解析20、已知級數(shù)是絕對收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：均收斂，故原級數(shù)絕對收斂．知識點解析：暫無解析21、求冪級數(shù)的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析22、將函數(shù)f(x)=ex展開成(x+2)的冪級數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析四、綜合題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)23、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，試證∫01ef(x)dx∫01e-f(y)f(y)dy≥1．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析24、設(shè)平面薄板所占Oxy平面上區(qū)域D，其中D是由曲線y=x，x=3所圍成，薄板上每一點的密度等于該點的縱坐標(biāo)，求該薄板的質(zhì)量．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于D={(x，y)|1≤x≤3，≤y≤x)，所以知識點解析：暫無解析25、求曲面x2+y2+z=4將球體x2+y2+z2≤4z分成兩部分的體積之比．標(biāo)準(zhǔn)答案：由得z=1，z=4(兩曲面的切點)，兩曲面的交線為如右圖所示，兩曲面所交的體積為V1和V2．知識點解析：暫無解析全國自考公共課高等數(shù)學(xué)（工本）模擬試卷第4套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、微分方程x3y2dx－(2y＋xysinx)dy＝0是（）A、可分離變量微分方程B、一階線性齊次微分方程C、一階線性非齊次微分方程D、齊次微分方程標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：暫無解析2、若函數(shù)f(x，y)在(x0，y0)點存在偏導(dǎo)數(shù)，且在該點取得極小值，則下列結(jié)論正確的是（）A、一定是最小值點B、一定是駐點C、一定是最大值點D、無法判斷標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：偏導(dǎo)存在極值點一定是駐點，但駐點不一定是極值點；極值點不一定是最值點．3、下述各項正確的是()A、若收斂B、若都收斂C、若正項級數(shù)收斂，則un≤vnD、若級數(shù)收斂，且un≤vn，則級數(shù)也收斂標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：本題考查級數(shù)斂散性的應(yīng)用．答案為A。4、下列方程中為一階線性非齊次方程的是()A、y’＝2yB、(y’)2＋2xy＝exC、2xy’＋x2y＝－1D、y’＝sin標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：本題考查一階線性非齊次方程的定義．由一階線性微分方程的定義知，(y’)2＋2xy＝ex不是一階線性微分方程；由一階線性(非)齊次微分方程的定義知y’＝2y是齊次微分方程；只有選項C，2xy＋x2y＝－1是一階線性非齊次方程．答案為C．5、過點(0，2，4)且與半面x＋2z＝1及y－2z＝2－都平行的直線是()A、B、C、D、－2x＋3(y－2)＋z－4＝0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：設(shè)直線的方向向量v＝{x，y，z).則：又該直線過(0，2，4)點∴直線方程為：．答案為C。二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、向量a＝{1，－2，2}的模為____________FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識點解析：｜α｜＝7、當(dāng)|x|＜1時，無窮級數(shù)的和函數(shù)為______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：因|x|＜1，則級數(shù)的首項為一1，故其和函數(shù)為8、設(shè)u＝f(x)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)u＝f(xyz)的全微分du＝_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：yzf’(xyz)dx＋xzf’(xyz)dy＋xyf’(xyz)dz知識點解析：由題得9、在空間直角坐標(biāo)系中，Oxy平面上的曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：y=知識點解析：曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)，則y不變，將x換成±，從而得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為y=．10、若向量a=(λ，一3，2)和b={1，2，λ}互相垂直，則λ=________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點解析：兩向量垂直a.b=0，即λ一6+2λ=0，則λ=2．三、計算題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)應(yīng)用通項求導(dǎo)或逐項積分，求下列冪級數(shù)的和函數(shù)11、x2／2＋x4／4＋…＋x2n／2n＋…；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)un＝x2n／2n，故｜un＋1／un｜＝x2，則當(dāng)｜x2｜＜1時原級數(shù)收斂，故原級數(shù)的收斂半徑為R＝1，當(dāng)x＝±1時，則原級數(shù)可化為1／2n，故其發(fā)散，故原級數(shù)的收斂域為（－1，1）設(shè)S(x)x2n／2n，在x∈（－1，1），內(nèi)逐項求導(dǎo)得Sˊ(x)＝x2n－1＝1／1－x2故S(x)＝＝－1／2ln（1－x2）x∈（－1，1）．知識點解析：暫無解析12、x2＋2x3＋3x4＋…＋nxn＋1＋…．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)an＝n，R＝＝1，當(dāng)x＝±1時原級數(shù)均發(fā)散，故原級數(shù)的收斂域為（－1，1）設(shè)S(x)＝，逐項積分得＝x／1－xx∈（－1，1）．故f(x)＝（x／1－x）’＝1／（1－x）2故和函數(shù)S(x)＝x2／（1－x）2．知識點解析：暫無解析13、求過點(2,4,－1)并且與直線，平行的直線方程標(biāo)準(zhǔn)答案：直線的方向向量為v＝＝｛10，2，11｝，因為所求的直線過（2，4，－1），故起方程式為（x－2）／10＝（y－4）／2＝（z＋1）／11．知識點解析：暫無解析14、計算三重積分，其中Ω：0≤x≤1，0≤y≤標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析15、求微分方程(1＋x)dy－1／ydx＝0的通解標(biāo)準(zhǔn)答案：分離變量得ydy＝dx／（1＋2），兩邊積分得1／2y2＝ln（1＋x）＋C．即為原微分方程的通解．知識點解析：暫無解析16、已知直線L1：和直線L2：(1)求直線L1的對稱式方程．(2)求直線L1和直線L2的夾角．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)直線L1的方向向量為解之得x=2，y=-3．所以點(2，一3，1)在直線上．故直線L1的對稱式方程為(2)直線L2的法向量為v2={4，一2，1}，顯然v1∥v2，從而直線L1和直線L2互相平行，即夾角θ=0．知識點解析：暫無解析17、求由直線x+y=2，x=2，y=2所圍成的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D：x+y≥2，x=2，y=2，如下圖所示．知識點解析：暫無解析18、計算對弧長的曲線積分，其中L是(0，0)到(1，3)之間的直線段．標(biāo)準(zhǔn)答案：直線段L的方程為y=3x其中0≤x≤1，于是知識點解析：暫無解析19、計算(x2ycosx+2xysinx—y2ex)dx+(x2sinx—2yex)dy，其中L為正向星形線標(biāo)準(zhǔn)答案：P=x2ycosx+2xysinx—y2ex，Q=x2sinx一2yex知識點解析：暫無解析20、計算y2dzdx，其中∑是曲面的上側(cè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：∑為曲面即x2+y2+z2=1(z≥0)的上側(cè)，將∑分成左右兩片：∑=∑1+∑2，其中∑1的方程為(z≥0，y≥0)，取右側(cè)；∑2的方程為(z≥0，y≤0)，取左側(cè)；∑1和∑2在Oxz面上的投影均為半圓形區(qū)域：Dxz={(x，z)|x2+z2≤1，z≥0}，于是知識點解析：暫無解析21、設(shè)二元函數(shù)z＝z(z，y)由方程z＝x＋yez確定，求。標(biāo)準(zhǔn)答案：所給方程兩邊分別關(guān)于x，y求偏導(dǎo)數(shù)，得知識點解析：暫無解析22、計算三重積分其中積分區(qū)域Ω是由x=0，y=0，z=0及x+y+z=1所圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析四、綜合題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)23、求函數(shù)f(x，y)＝3xy－x3－y3的極值標(biāo)準(zhǔn)答案：解得駐點（0，0）（1，1），又fxx＝－6x，fyy＝－6y，fxx（0，0），fyy（0，0）＝0，△＝f2xy－fxxfyy＝9＞0，故（0，0）不是極值點．fxx（1，1）＝－6＜0，fyy（1，1）＝－6，△＝f2xy－fxxfyy＝9－36＝－27＜0，所以（1，1）是極大值點，且極大值f（1，1）＝3－1－1＝1．知識點解析：暫無解析24、求函數(shù)(a＞0，b＞0)的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：本題考查多元函數(shù)極值的求解．故此函數(shù)無極值．知識點解析：暫無解析25、將函數(shù)f(x)=展開為x+4的冪級數(shù)，并求此級數(shù)的收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析全國自考公共課高等數(shù)學(xué)（工本）模擬試卷第5套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、微分方程y"＝ex的通解是（）A、ex＋C1x＋C2B、exC、ex＋C1xD、ex＋C1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：y〞＝ex，兩邊同時積分yˊ＝ex＋C1，兩邊再同時積分y＝ex＋C1x＋C2．2、設(shè)f(u)是連續(xù)函數(shù)，區(qū)域D：x2＋y2≤1，則二重積分＝()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：答案為B．3、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：4、設(shè)un≠0(n＝1，2，3…)，且A、發(fā)散B、絕對收斂C、條件收斂D、無法判斷標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：本題考查級數(shù)斂散性的判定．∵，∴在n→∞時，等同于級數(shù)，故該級數(shù)收斂，但為調(diào)和級數(shù)，不收斂，故條件收斂．答案為C．5、下列無窮級數(shù)中收斂的無窮級數(shù)是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：選項A，而發(fā)散，故也發(fā)散；選項B，當(dāng)n為偶數(shù)時，當(dāng)n為奇數(shù)時，故級數(shù)發(fā)散；當(dāng)選項D，令，則，故發(fā)散；選項C，令，則，故收斂。二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、若z＝，則＝____________FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：因為z＝，則，即．7、設(shè)函數(shù)f(x)＝x2(－π＜x＜π)的傅里葉級數(shù)展開式為1／2a0＋，則其系數(shù)a2＝____________FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點解析：8、設(shè)函數(shù)z=exy(x2+y一1)，則．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：exy(x2y+2x+y2一y)知識點解析：函數(shù)z=exy(x2+y一1)，則=yexy(x2+y一1)+exy(2x)=exy(x2y+y2一y)+2xexy=exy(x2y+2x+y2一y)9、設(shè)二次積分，則交換積分次序后得I＝________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：本題是有關(guān)多元函數(shù)二次積分的交換積分次序的問題．二次積分的積分區(qū)域D如圖陰影部分，故．10、設(shè)函數(shù)z=x4—2xy+y2+1，則=_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：—2知識點解析：=一4x3一2y。故=4x3一=4—2×3=一2．三、計算題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)應(yīng)用通項求導(dǎo)或逐項積分，求下列冪級數(shù)的和函數(shù)11、x2／2＋x4／4＋…＋x2n／2n＋…；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)un＝x2n／2n，故｜un＋1／un｜＝x2，則當(dāng)｜x2｜＜1時原級數(shù)收斂，故原級數(shù)的收斂半徑為R＝1，當(dāng)x＝±1時，則原級數(shù)可化為1／2n，故其發(fā)散，故原級數(shù)的收斂域為（－1，1）設(shè)S(x)x2n／2n，在x∈（－1，1），內(nèi)逐項求導(dǎo)得Sˊ(x)＝x2n－1＝1／1－x2故S(x)＝＝－1／2ln（1－x2）x∈（－1，1）．知識點解析：暫無解析12、x2＋2x3＋3x4＋…＋nxn＋1＋…．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)an＝n，R＝＝1，當(dāng)x＝±1時原級數(shù)均發(fā)散，故原級數(shù)的收斂域為（－1，1）設(shè)S(x)＝，逐項積分得＝x／1－xx∈（－1，1）．故f(x)＝（x／1－x）’＝1／（1－x）2故和函數(shù)S(x)＝x2／（1－x）2．知識點解析：暫無解析13、求曲面z＝2x2＋y2在點(1，1，3)處的切平面方程標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x，y，z)＝2x2＋y2－z，F(xiàn)x｜（1，1，3）＝4x｜（1，1，3）＝4，F(xiàn)y｜（1，1，3）＝2y｜（1，1，3）＝2，F(xiàn)z＝－1，故所求切平面方程為4（x－1）＋2（y－1）－（z－3）＝0．知識點解析：暫無解析14、計算三重積分，其中Ω：0≤x≤1，0≤y≤標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析15、已知函數(shù)z＝f(2x＋y，x－3y)，其中f具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)u＝2x＋yv＝x－3y則＝fu－3fv．知識點解析：暫無解析16、把對坐標(biāo)的曲線積分∫LP(x，y)dx+Q(x，y)dy化成對弧長的曲線積分，其中L為沿上半圓周x2+y2=2x從點(0，0)到點(1，1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析17、求一曲線，使得該曲線上任意點(x，y)處的切線平行于x+3y=1，且點(3，1)在該曲線上．標(biāo)準(zhǔn)答案：又因為點(3，1)在該曲線上，故有C=因此所求方程為即3y+x=6．知識點解析：暫無解析18、求其中D是以(0，0)(1，1)(0，1)為頂點的三角形．標(biāo)準(zhǔn)答案：無法用初等函數(shù)表示，故積分時必須考慮次序．知識點解析：暫無解析19、求經(jīng)過點P(3，0，－1)，平行于平面π：3x－7y＋5z－12＝0的平面方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：本題考查平面方程的求解．平面π的法向量為{3，－7，5)，所求平面平行于平面π，于是其點法式方程為3(x－3)－7y＋5(x＋1)＝0，即：3x－7y＋5z－4＝0．知識點解析：暫無解析20、求與三個點A(3，7，－4)，B(－5，7，－4)，C(－5，1，－4)的距離都相等的點的軌跡．標(biāo)準(zhǔn)答案：本題考查空間中兩點之間的距離軌跡．設(shè)滿足題意的點為P(x，y，z)，則應(yīng)有｜AP｜＝｜BP｜＝｜CP｜，即｜AP｜2＝｜BP｜2＝｜CP｜2．又｜AP｜2＝(x－3)2＋(y－7)2＋(z＋4)2，｜BP｜2＝(x＋5)2＋(y－7)2＋(z＋4)2，｜CP｜2＝(x＋5)2＋(y－1)2＋(z＋4)2，由｜AP｜2＝｜BP｜2＝｜CP｜2化簡得＝5x—y＋4z＋21，從而所求點的軌跡為知識點解析：暫無解析21、計算對坐標(biāo)面的曲面積分，其中∑是柱面x2+y2=1(0≤z≤1)外側(cè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域∑，如下圖所示，利用柱坐標(biāo)變換。令x=cosθ，y=sinθ，0≤z≤1。知識點解析：暫無解析22、求函數(shù)u=x+y2+yz在曲線x=t，y=t2，z=t3上點(1，1，1)處，沿曲線在該點的切線正方向的方向?qū)?shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：切向量T=(t，2t，3t2)|(t,1)=(1，2，3)，e=，gradu|(1,1,1)=(1，2y+z，y)|(1,1,1)=(1，3，1)．所求方向?qū)?shù)為知識點解析：暫無解析四、綜合題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)23、求旋轉(zhuǎn)拋物面z＝x2＋y2被平面z＝2和z＝0所截部分的曲面面積標(biāo)準(zhǔn)答案：曲面Oxy平面上的投影區(qū)域D(如下圖所示)：x2＋y2≤2，且＝2x，＝2y．設(shè)所要求的曲面面積為S，則知識點解析：暫無解析24、計算，其中∑是圓錐曲面z2=x2+y2，平面z=0和z=2所圍成的區(qū)域的外側(cè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由∑區(qū)域(如下圖所示)是封閉曲面，故x2dydz+ydzdx+zdxdy=(2x+1+1)dxdydz=(x+1)dxdydz=(rcosθ+1)?rdθ=知識點解析：暫無解析25、在一長寬高之和為一常數(shù)C的長方體中，求出一個具有最大體積者．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)長方形的長寬高分別為x，y，z，則體積V=xyz，x+y+z=C，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)F(x，y，z，λ)=xyz一λ(x+y+z—C)，令根據(jù)實際意義知，x=y=z=體積最大．知識點解析：暫無解析全國自考公共課高等數(shù)學(xué)（工本）模擬試卷第6套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、在空間直角坐標(biāo)系中，方程z＝x2＋y2的圖形是（）A、橢球面B、球面C、橢圓拋物面D、橢圓錐面標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：暫無解析2、設(shè)函數(shù)z＝sin(x＋y)，則（）A、cos(x＋y)B、－cos（x＋y）C、sin(x＋y)D、－sin（x＋y）標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：暫無解析3、設(shè)∑為半球面x2＋y2＋z2＝1，z＜0，則對面積的曲面積分＝（）A、4πB、2πC、3πD、π標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：z＝，則dS＝，曲面∑在Oxy面上的投影為x2＋y2≤1，所以4、微分方程dy＝(x2＋y－1)dx是（）A、可分離變量的微分方程B、二階線性微分方程C、一階線性微分方程D、齊次微分方程標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：暫無解析5、冪級數(shù)x＋x2／22＋…＋xn／n2的收斂半徑R＝（）A、0B、2C、＋∞D(zhuǎn)、1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：令an＝1／n2，則an＋1＝1／（n＋1）2，因此故冪級數(shù)的收斂半徑為1．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、在空間直角坐標(biāo)系中，Oxy平面上的曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為____________FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝知識點解析：曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)，則y不變，將x換成，從而得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為．7、設(shè)函數(shù)z＝u·v，u＝x＋y，v＝x－y，則＝____________FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：2x知識點解析：v·1＋u·1＝x＋y＋x－y＝2x．8、設(shè)二次積分I＝，則交換積分次序得I＝____________FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：將區(qū)域D分成兩個小區(qū)域D1與D2，如下圖所示．即D＝D1＋D2故I9、微分方程y〞＋(yˊ)3－2x4＋2＝0的階數(shù)是____________FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點解析：暫無解析10、設(shè)f(x)＝xln(1＋x)展成x冪級數(shù)為，則系數(shù)a2＝____________FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：－1／2知識點解析：由ln（1＋x）＝得xln（1＋x）＝則a2＝－1／2．三、計算題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)11、求過點(2,4,－1)并且與直線，平行的直線方程標(biāo)準(zhǔn)答案：直線的方向向量為v＝＝｛10，2，11｝，因為所求的直線過（2，4，－1），故起方程式為（x－2）／10＝（y－4）／2＝（z＋1）／11．知識點解析：暫無解析12、設(shè)函數(shù)z＝f(exy，x＋y)，其中f是可微函數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：＝f1（exy）ˊ＋f2（x＋y）ˊ＝y(tǒng)exyf1＋f2，＝f1（exy）ˊ＋f2（x＋y）ˊ＝xexyf1＋f2．知識點解析：暫無解析13、設(shè)函數(shù)f(x，y，z)＝x2＋2y2＋2xyz，求f(x，y，z)在點p(－1，1，2)處的梯度標(biāo)準(zhǔn)答案：＝2x＋2yz，＝4y＋2xz，＝2xy，則｜（－1，1，2）＝－2＋2×2＝2，｜（－1，1，2）＝4－2×2＝0，｜（－1，1，2）＝－2，故gardf(－1，1，2)＝｛2，0，－2｝．知識點解析：暫無解析14、設(shè)函數(shù)z＝y(tǒng)cosx，求標(biāo)準(zhǔn)答案：＝－ysinx，＝－sinx．知識點解析：暫無解析15、求曲面z＝2x2＋y2在點(1，1，3)處的切平面方程標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x，y，z)＝2x2＋y2－z，F(xiàn)x｜（1，1，3）＝4x｜（1，1，3）＝4，F(xiàn)y｜（1，1，3）＝2y｜（1，1，3）＝2，F(xiàn)z＝－1，故所求切平面方程為4（x－1）＋2（y－1）－（z－3）＝0．知識點解析：暫無解析16、計算二重積分，其中D是由x＋y＝－1，x＝0，y＝0。所圍成的區(qū)域標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D，如下圖所示，于是知識點解析：暫無解析17、設(shè)Ω是由旋轉(zhuǎn)拋物面z＝x2＋y2，平面z＝0及平面z＝1所圍成的區(qū)域，求三重積分標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域Ω，如下圖所示．Ω在Oxy坐標(biāo)面上的投影城為Dxy：x2＋y2≤1，知識點解析：暫無解析18、計算對弧長的曲線積分，其中L為螺旋線x＝cost，y＝sint，z＝2t(0≤t≤π)的一段標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、計算曲線積分，其中L為上半圓x2＋y2＝4和y＝0所圍成的曲線，取逆時針方向標(biāo)準(zhǔn)答案：令P(x，y)＝x2y，Q(x，y)＝－xy2，則＝－y2，＝x2，將L所圍成的積分區(qū)域為D，根據(jù)格林公式有知識點解析：暫無解析20、求微分方程yˊ＝ex－y滿足初始條件y(0)＝1的特解標(biāo)準(zhǔn)答案：yˊ＝ex－y，即eydy＝exdx兩邊同時積分得ey＝ex＋C，將初始條件y(0)＝1代入得C＝e－1，故微分方程的特解為ey－ex－e＝－1．知識點解析：暫無解析21、判定級數(shù)的收斂性標(biāo)準(zhǔn)答案：由于當(dāng)x＞0時，sinx＜x，所以un＝3nsin1／4n＜3n／4n＝（3／4）n，令vn＝（3／4）n，又因為是等比級數(shù)，其中q＝3／4＜1，故為收斂級數(shù)．由比較判別法可知收斂．知識點解析：暫無解析22、設(shè)函數(shù)f(x)＝x2(0≤x≤π)展開成為余弦級數(shù)為a0／2＋，求系數(shù)a2標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析四、綜合題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)23、求函數(shù)f(x，y)＝x2－4x＋3y2＋6y＋1的極值點標(biāo)準(zhǔn)答案：由得駐點（2，1）．由于fxx＝2，fxy＝0，fyy＝6，則△＝f2xy－fxxfyy＝－2×6＝－12＜0，故點（2，－1）是函數(shù)f（x，y）的極值點．知識點解析：暫無解析24、求橢圓拋物面z＝x2＋y2被平面z＝0，z＝1所截得的曲面面積標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)所求曲面∑的面積為S，∑在Oxy坐標(biāo)面上投影為D：x2＋y2≤1，則有知識點解析：暫無解析25、求冪級數(shù)在其收斂區(qū)間(－1，1)內(nèi)的和函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)和函數(shù)S(x)＝逐項求積分可得再設(shè)S1(x)＝逐項求積分可得兩邊求導(dǎo)得S1(x)＝1／（1－x）2，所以兩邊求導(dǎo)得S(x)＝2x／（1－x）3．知識點解析：暫無解析全國自考公共課高等數(shù)學(xué)（工本）模擬試卷第7套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)區(qū)域D由圓x2＋y2＝2ax(a＞0)圍成，則二重積分＝()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：積分區(qū)域如下圖所示：在坐標(biāo)下令x＝rcosθ，y＝rsinθ答案為D．2、設(shè)空間閉區(qū)域Ω1={(x，y，z)|x2+y2+z2≤1，z≥0}，Ω2為區(qū)域Ω1在第一卦限的區(qū)域，則有()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：積分區(qū)域Ω1關(guān)于Ozy對稱，三重積分的被積函數(shù)x是奇函數(shù)，故3、二重積分∫1edx∫0lnxf(x，y)dy改變積分次序后變?yōu)?)A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：∫1edx∫0lnxf(x，y)dy=∫01dy(積分區(qū)域如右圖)．4、設(shè)D由圓r＝2圍成，則＝()A、B、4πC、D、π標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：本題考查二元積分的計算．積分區(qū)域D由圓r＝2圍成，令x＝rcosθ，y＝rsinθ則答案為C．5、設(shè)L為雙曲線xy=1從點到(1，1)的一段弧，則∫Lyds=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、已知向量a={0，一1，3}和b={1，一2，一1}，則一2a+b=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：{1，0，一7}知識點解析：一2a+b=一2{0，一1，3}+{1，一2，一1}={0，2，一6)+{1，一2，一1}={1，0，一7}．7、設(shè)函數(shù)＝______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：本題考查多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)．8、冪級數(shù)在(一1，1)上的和函數(shù)是_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：ln(x+1)知識點解析：f’(x)=1一x+x2+-…+(一1)nxn+-…(一1＜x＜1)，f(x)=ln(1+x)(一1＜x＜1)．因為冪級數(shù)在x=1處收斂，f(x)在x=1處有定義且連續(xù)，9、設(shè)二元函數(shù)z＝x2－xy＋y2－2x＋y，則z的極小值為________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：-1知識點解析：z的定義域為xOy平面．它的可能極值點為方程組的解(x，y)＝(1，0)．此時，則A＞0，AC－B2＞0，所以z(1，0)＝－1是極小值，即z有極小值－1．10、微分方程xdy—ydx＝y(tǒng)2eydy的全部解為________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：x＋yey＝Cy及y＝0知識點解析：y＝0是所給微分方程的解，下面考慮y≠0，將所給微分方程改寫為所以，所給微分方程的全部解是及y＝0，即x＋yey＝Cy及y＝0．三、計算題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)11、計算。標(biāo)準(zhǔn)答案：本題考查三重積分的計算．用球坐標(biāo)系：知識點解析：暫無解析12、求由x2—2x+y2=0，，與z=0所圍成的立體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D：(x-1)2+y2≤1，0≤z≤，由柱面坐標(biāo)法得知識點解析：暫無解析13、判別級數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為知識點解析：暫無解析14、應(yīng)用通項求導(dǎo)或逐項積分，求下列冪級數(shù)的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)設(shè)un=，故=x2，則當(dāng)｜x2｜<1時原級數(shù)收斂，故原級數(shù)的收斂半徑為R=1，當(dāng)x=±1時，則原級數(shù)可化為，故其發(fā)散．故原級數(shù)的收斂域為(一1，1)設(shè)S(x)=，在x∈(一1，1)內(nèi)逐項求導(dǎo)得故x∈(一1，1)．(2)設(shè)an=n，R==1，當(dāng)x=±1時原級數(shù)均發(fā)散，故原級數(shù)的收斂域為(一1，1)設(shè)S(x)=，設(shè)f(x)=，逐項積分得故f(x知識點解析：暫無解析15、求函數(shù)f(x，y，z)=x2+y2+z2一xyz在點P(1，一1，2)處沿方向L={1，0，1}的方向?qū)?shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：=2x—yz，=2y—xz，=2z—xy，則有=2一(一1)×2=4，=2×(一1)一2=一4，=2×2一(一1)=5，cosα=，cosβ=0，cosγ=，所以知識點解析：暫無解析16、求，其中。是直線y＝2,y＝x和雙曲線xy＝1所圍成的平面區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域如下圖所示：知識點解析：暫無解析17、求與三個點A(3，7，－4)，B(－5，7，－4)，C(－5，1，－4)的距離都相等的點的軌跡．標(biāo)準(zhǔn)答案：本題考查空間中兩點之間的距離軌跡．設(shè)滿足題意的點為P(x，y，z)，則應(yīng)有｜AP｜＝｜BP｜＝｜CP｜，即｜AP｜2＝｜BP｜2＝｜CP｜2．又｜AP｜2＝(x－3)2＋(y－7)2＋(z＋4)2，｜BP｜2＝(x＋5)2＋(y－7)2＋(z＋4)2，｜CP｜2＝(x＋5)2＋(y－1)2＋(z＋4)2，由｜AP｜2＝｜BP｜2＝｜CP｜2化簡得＝5x—y＋4z＋21，從而所求點的軌跡為知識點解析：暫無解析18、計算積分．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、已知積分區(qū)域Ω是由x2+y2=1,z=一1及z=1所圍成，求三重積分．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析20、計算三重積分，其中Ω：0≤x≤1，0≤y≤，≤z≤．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析21、求微分方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln(lny)＝lnz＋lnC所以通解為y＝eCx．知識點解析：暫無解析22、設(shè)∑為坐標(biāo)面及平面x＝1，y＝1，z＝1所圍成的正方體表面的外側(cè)，計算曲面積分(2xz2＋y2－z)dxdy．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)Ω：0≤≤1，0≤y≤1，0≤z≤1由高斯公式得知識點解析：暫無解析四、綜合題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)23、求函數(shù)f(x，y)=2(x+y)一x2一y2的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由得駐點(1，1)，又由于fxx=一2<0，fxy=0，fyy=一2，而△=一fxxfyy=0-(一2)×(一2)=一4<0，所以f(x，y)在點(1，1)處取得極大值f(1，1)=2(1+1)一1—1=2．知識點解析：暫無解析24、設(shè)平面薄板所占Oxy平面上區(qū)域D，其中D是由曲線，y＝x，x＝2所圍，薄板上每一點的密度等于該點的縱坐標(biāo)，求該薄板的質(zhì)量．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于D＝{(x，y)｜1≤x≤2，≤y≤x)，所以知識點解析：暫無解析25、求函數(shù)f(x，y)=2x2一2xy+y2一2x一2y+4的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：解，得駐點(2，3)，由于fxx=4，fxy=一2，fyy=2，于是△=一fxxfxy=(一2)2一4×2=一4<0，A=4>0，則點(2，3)是極小值點，故函數(shù)的極小值為f(2，3)=一1．知識點解析：暫無解析全國自考公共課高等數(shù)學(xué)（工本）模擬試卷第8套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、已知向量α、β的模分別為｜α｜=3，｜β｜=，α·β=3，且α與β的夾角為θ，則θ=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由α·β=｜α｜·｜β｜cosθ=3×cosθ=3，于是cosθ=，從而θ=．2、點P(2，一3，1)關(guān)于Oxz坐標(biāo)面的對稱點是()A、(一2，3，一1)B、(一2，一3，一1)C、(2，一3，一1)D、(2，3，1)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：設(shè)點P(2，-3，1)關(guān)于Oxy坐標(biāo)面的對稱點為P0(x0，y0，z0)，則x0=x，y0=-y，z0=z，故P0(2，3，1)．3、若直線與平面4x—y+3z=4垂直，則m=()A、一6B、6C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：直線的方向向量和平面的法向量分別為v={一8，2，m)和n={4，一1，3)．若直線與平面垂直，則v//n，即，故m=—6．4、設(shè)函數(shù)f(x，y)=2x2一y2+1，則點(0，0)()A、是f(x，y)的駐點但不是極值點B、是f(x，y)的極小值點C、是f(x，y)的極大值點D、不是f(x，y)的駐點標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：fx=4x，fy=一2y，令fx=fy=0,得x=y=0，因此(0，0)是駐點．由于A=fxx(0，0)=4>0，B=fxy(0，0)=0，C=fyy(0，0)=一2，△=B2一AC=8>0，故(0，0)不是極值點．5、已知函數(shù)廠f(z，y)在(0，1)處的偏導(dǎo)數(shù)存在，則()A、fx(0，1)B、fx(0，2)C、fx(0，1)D、2fx(0，1)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、已知向量a={0，一1，3}和b={1，一2，一1}，則一2a+b=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：{1，0，一7}知識點解析：一2a+b=一2{0，一1，3}+{1，一2，一1}={0，2，一6)+{1，一2，一1}={1，0，一7}．7、設(shè)函數(shù)z=lnxy，則全微分dz=________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：函數(shù)z=lnxy，則，故dz=8、設(shè)L是A(1，0)，B(0，1)之間的直線段，則．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：AB間的線段表示為x+y=1．9、微分方程y"=x的通解y=________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：3+C1x+C2．(C1，C2為任意常數(shù))知識點解析：y"=x，兩邊同時積分得y’=x2+C1，兩邊再同時積分得y=x3+C1x+C2．(C1，C2為任意常數(shù))10、無窮級數(shù)的和為________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由無窮級的和形式，可聯(lián)想到，令x=1得，即所要求的無窮級數(shù)的和為．三、計算題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)11、求方程y"一y’一2y=0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：y"一y’一2y=0的特征方程為r2一r一2=0．故其特征根為r1=2，r2=一1．故所求通解為y=C1e2x+C2e—x(C1，C2為常數(shù))．知識點解析：暫無解析12、求方程y"+(y’)2=0滿足初始條件．標(biāo)準(zhǔn)答案：令P=y’，則代入原方程得P?+P2=0，當(dāng)y≠0且P≠0時，分離變量得=—dy．兩邊積分得lnp=一y+C1，即P=C1e-y，將P=代入上式得=C1e-y(1)分離變量得eydy=C1dx，兩邊積分得ey=C1x+C2(2)將初始條件=2代入(1)和(2)式中得C1=2，C2=—1，故所求特解為ey=2x一1，即y=ln(2x一1)．知識點解析：暫無解析13、求方程xy"=y’的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：令P=y’，代入原方程得xp’=P，分離變量兩邊積分得lnp=lnx+lnC1，即P=C1x，將P=y’代入上式得=C1x，分離變量dy=C1xdx，兩邊積分得y=C1x2+C2．知識點解析：暫無解析14、求方程y"一4y’+4y=0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：y"一4y’+4y=0的特征方程為r2一4r+4=0，其特征根為r1=r2=2，故所求通解為y=(C1+C1x)e2x．知識點解析：暫無解析15、求方程y"+2y’+2y=0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：y"+2y’+2y=0的特征方程為λ2+2λ+2=0，故其特征根為λ1=一1+i，λ2=一1一i，故所求通解為y=e—x(C1cosx+C2sinx)．知識點解析：暫無解析16、判斷級數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：級數(shù)，則=0<1，故級數(shù)收斂．知識點解析：暫無解析17、已知級數(shù)收斂，證明級數(shù)是絕對收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：，由于級數(shù)，均收斂，故原級數(shù)絕對收斂．知識點解析：暫無解析18、證明級數(shù)的收斂性，并求其和．標(biāo)準(zhǔn)答案：則，=1,所以原級數(shù)收斂，且和數(shù)S=1．知識點解析：暫無解析19、應(yīng)用通項求導(dǎo)或逐項積分，求下列冪級數(shù)的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)設(shè)un=，故=x2，則當(dāng)｜x2｜<1時原級數(shù)收斂，故原級數(shù)的收斂半徑為R=1，當(dāng)x=±1時，則原級數(shù)可化為，故其發(fā)散．故原級數(shù)的收斂域為(一1，1)設(shè)S(x)=，在x∈(一1，1)內(nèi)逐項求導(dǎo)得故x∈(一1，1)．(2)設(shè)an=n，R==1，當(dāng)x=±1時原級數(shù)均發(fā)散，故原級數(shù)的收斂域為(一1，1)設(shè)S(x)=，設(shè)f(x)=，逐項積分得故f(x知識點解析：暫無解析20、求函數(shù)在x=0處的冪級數(shù)展開式．標(biāo)準(zhǔn)答案：所以當(dāng)｜x｜<時，知識點解析：暫無解析21、求函數(shù)f(x)=x3一2x2+4x+1在x=1處的泰勒展開式．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(1)=1—2+4+1=4，f’(1)=3x2一4x+4=3，f"(1)=6x一4=2，f"’(1)=6，f(n)(1)=0(n≥4)，故f(x)在x=1處的泰勒展開式為f(x)=f(1)+(x—1)+(x一1)2+(x一1)3=4+3(x一1)+(x—1)2+(x一1)3．知識點解析：暫無解析22、判斷級數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：，而級數(shù)發(fā)散，由比較判別法得原級數(shù)發(fā)散．知識點解析：暫無解析四、綜合題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)23、求函數(shù)f(x，y)=x2一4x+3y2+6y+1的極值點．標(biāo)準(zhǔn)答案：由得駐點(2，一1)．由于fxx=2，fxy=0，fyy6，則△=一fxxfyy=一2×6=一12<0，故點(2，一1)是函數(shù)f(x，y)的極值點。知識點解析：暫無解析24、求橢圓拋物面z=x2+y2被平面z=0，z=1所截得的曲面面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)所求曲面∑的面積為S，∑在Oxy坐標(biāo)面上投影為D：x2+y2≤1，則有知識點解析：暫無解析25、求冪級數(shù)在其收斂區(qū)間(一1，1)內(nèi)的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)和函數(shù)S(x)=(n+1)xn，逐項求積分可得，再設(shè)S1(x)=，逐項求積分可得，兩邊求導(dǎo)得S1(x)=，所以，兩邊求導(dǎo)得S(x)=知識點解析：暫無解析全國自考公共課高等數(shù)學(xué)（工本）模擬試卷第9套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、在空間直角坐標(biāo)系中，方程3y一4z=0的圖形是()A、垂直于x軸的平面B、平行于x軸的直線C、通過原點的直線D、通過x軸的平面標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：暫無解析2、若函數(shù)f(x，y)在(x0，y0)點存在偏導(dǎo)數(shù)，且在該點取得極小值，則下列結(jié)論正確的是()A、一定是最小值點B、一定是駐點C、一定是最大值點D、無法判斷標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：偏導(dǎo)存在極值點一定是駐點，但駐點不一定是極值點；極值點不一定是最值點。3、設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，區(qū)域D：x2+y2≤4，則二重積分()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：4、微分方程y"一2y’+y=0的通解y=()A、C1exB、(C1cosx+C2sinx)exC、(C1+C2x)exD、C1sinxex標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：微分方程y"一2y’+y=0的特征方程為r2—2r+1=0，故微分方程的特征根r1=r2=1，故微