全國(guó)自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）模擬試卷4（共280題）

全國(guó)自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）模擬試卷4（共9套）（共280題）全國(guó)自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）模擬試卷第1套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、行列式()A、48B、一48C、一84D、84標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：2、初等矩陣相當(dāng)于對(duì)A()A、交換2，3兩行的變換B、交換2，3兩列的變換C、交換1，2兩行的變換D、交換1，3兩列的變換標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因右乘初等矩陣為列變換且右乘為交換2，3兩列．3、已知A2+3A-5E=0，則矩陣A-1=()A、A+EB、5(A+3E)C、A+3ED、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：A2+3A一5E=O;A(A+3E)=5E，所以4、設(shè)α1，α2，α3，線性無(wú)關(guān)，向量β1可由α1，α2，α3線性表示，而向量β2不可由α1，α2，α3線性表示，則對(duì)任意常數(shù)k必有()A、α1，α2，α3，kβ1+β2線性相關(guān)B、α1，α2，α3，β1+kβ2線性無(wú)關(guān)C、α1，α2，α3，β1+kβ2線性相關(guān)D、α1，α2，α3，kβ1+β2線性無(wú)關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于β2不可由α1．α2，α3線性表示，說(shuō)明α1，α2，α3．β2線性無(wú)關(guān)．設(shè)k1α1+k2α2+k3α3+k4(kβ1+β2)=0，由已知可知β1=m1α1+m2α2+m3α3代入上式整理得(k1+k4m1k)α1+(k2+k4m2k)α2+(k3+k4m3k)α3+k4β2=0．由β2不可由α1，α2，α3線性表示得k1+k4m1k=0，k2+k4m2k=0，k3+k4m3k=0，k4=0,顯然k1=k2=k3=k4=0．故選項(xiàng)D成立，至于B，C選項(xiàng)，當(dāng)k=0時(shí)線性相關(guān)，當(dāng)k≠0時(shí)線性無(wú)關(guān)．5、實(shí)二次型f(x1，x2，x3)=2x12+2x2+2+k2x33+2kx1x2正定，則k的取值范圍為()A、k＜0或k＞0B、-2＜k＜0或0＜k＜2C、一2＜k＜2D、k＜-2或k＞-2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于二次型的矩陣為，A正定，則順序主子式大于零，即=4一k2＞0，一2＜k＜2，=k2(4一k2)＞0，k≠0且-2＜k＜2，所以k的取值范圍是一2＜k＜0或0＜k＜2．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、設(shè)行列式FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：30知識(shí)點(diǎn)解析：7、若A為3階方陣且|A-1|=5，則|5A|=________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：25知識(shí)點(diǎn)解析：8、設(shè)方程組無(wú)解，則λ的取值為_(kāi)______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：λ≠0且λ≠一3知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)λ2+3λ≠0時(shí)，即λ≠0且λ≠一3時(shí)，r(A)=3而方程組無(wú)解．9、設(shè)A是n階方陣，且|A|=5，則|(5AT)-1|=______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：5-n-1知識(shí)點(diǎn)解析：10、若α=(1，k，1)T與β=(1，一2，1)T正交，則k=_____。FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：由正交得1×1+k×(一2)+1×1=0，則k=1．11、函數(shù)f(x)=中，x3的系數(shù)為_(kāi)_____．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：只有主對(duì)角線上都含有z項(xiàng)，由行列式的性質(zhì)得2x×(一x)×(一x)=2x3，x3的系數(shù)是2．12、設(shè)矩陣，則A+2B________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：13、設(shè)矩陣，則ATB=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：14、設(shè)向量α1=(1，1，1)T，α2=(1，1，0)T，α3=(1，0，0)T，β=(0，1，1)T，則β由α1，α2，α3線性表示的表示式為_(kāi)________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：β=α1+0α2一α3知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)線性方程組為x1α1+x2α2+x3α3=β，對(duì)它的增廣矩陣施行初等變換，得：(A，β)=(α1，α2，α3，β)=顯然x1α1+x2α2+x3α3=β的同解方程組Tx=d就是，它的唯一解就是x1=1，x2=0，x3=一1．故β可以唯一表示成α1，α2，α3的線性組合是β=α1+0α2一α3．15、設(shè)三元實(shí)二次型f(x1，x2，x3)的秩為3，正慣性指數(shù)為2，則此二次型是_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：f=z12+z22一z32知識(shí)點(diǎn)解析：因f為實(shí)二次型，所以f可經(jīng)非退化線性替換x=cz化為規(guī)范形，又r=n=3，正慣性指數(shù)為2，則負(fù)慣性指數(shù)為1，故f的規(guī)范型為f=z12+z22一z32．三、計(jì)算題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)16、計(jì)算行列式標(biāo)準(zhǔn)答案：把第二行的(一1)倍加到第一行，第四行的(一1)倍加到第三行得把第一列的(一1)倍加到第二列，第三列的(一1)倍加到第四列得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)A，B滿足ABA=2BA—E，其中求B.標(biāo)準(zhǔn)答案：將ABA=2BA—E兩端右乘A-1得AB=2B—A-1，所以(A一2E)B=一A-1．即有B=一(A—2E)-1A-1知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)α1=(1，2，1，2)T，α2=(1，0，3，1)T，α3=(2，一1，0，1)T，β=(2，1，一2，2)T，判斷β是否能由α1，α2，α3線性表出?如能，判斷表出的方法是否唯一．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)x1α1+x2α2+x3α3=β，則增廣矩陣為對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換有所以方程組x1α1+x2α2+x3α3=β有唯一解，x1=-1，x2=一1，x3=1，即β能由α1，α2，α3線性表示，且表示的方法唯一，即β=α1—α2+α3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、問(wèn)a取何值時(shí)，向量組線性相關(guān)?標(biāo)準(zhǔn)答案：所以當(dāng)或a=1時(shí)，向量組α1，α2，α3線性相關(guān)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、用初等行變換法求解線性方程組標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換因?yàn)閞(A)≠r(A，β)，故方程組無(wú)解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)A是三階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且A的特征值為1，2，3，α1=(一1，一1，1)T，α2=(1，一2，一1)T分別是屬于特征值1，2的特征向量．(1)求屬于特征值3的一個(gè)特征向量；(2)求出相應(yīng)的矩陣A．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)設(shè)屬于特征值3的特征向量為α=(x1，x2，x3)T，由于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的屬于不同特征值的特征向量?jī)蓛烧?，則有(α1，α)=0，(α2，α)=0，解得屬于特征值3的一個(gè)特征向量為α=(1，0，1)T．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、用配方法化二次型f(x1，x2，x3)=x12+2x22+3x32+2x1x2+4x2x3為標(biāo)準(zhǔn)形，并判斷是否正定．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x1，x2，x3)=(x12+2x1x2+x22)+(x22+4x2x3+4x32)一x32=(x1+x2)2+(x2+2x3)2一x32，則二次型f(x1，x2，x3)的標(biāo)準(zhǔn)形為y12+y22-y32．由標(biāo)準(zhǔn)形可知f的正平方項(xiàng)個(gè)數(shù)即正慣性指數(shù)為2＜3，故f非正定．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)23、已知m個(gè)向量α1，α2，…，αm線性相關(guān)，但其中任意m一1個(gè)都線性無(wú)關(guān)．證明：如果存在等式k1α1+…+kmαm=0，則這些系數(shù)k1，…，km或者全為零，或者全不為零．標(biāo)準(zhǔn)答案：證明：假設(shè)k1，…，km中有一個(gè)為零，不妨設(shè)為k1，則有k2α2+…+kmαm=0，而α2，α3，…，αm線性無(wú)關(guān)，得k2=…km=0=k1，矛盾，故k1，k2，…，km或者全為零，或者全不為零．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析全國(guó)自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）模擬試卷第2套一、單選題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)1、若n階方陣A可逆，且伴隨矩陣A*也可逆，則A*的逆矩陣為()A、AB、｜A｜．2C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由于A可逆，因此｜A｜≠0，又A．A*=A*．A=｜A｜．I，所以．答案為C。2、設(shè)α1=，則α3=_________時(shí)，有α1，α2，α3為R3的基．()A、(2，1，2)TB、(1，0，1)TC、(0，1，0)TD、(0，0，1)T標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：首先已知α1，α2線性無(wú)關(guān)(其坐標(biāo)不成比例)，又令A(yù)=(α1，α2，α3)，則α1，α2，α3線性無(wú)關(guān)→｜A｜≠0由于A的左上角2階主子式(記為｜A11｜)不等于0，故選α3=即可。(此時(shí)｜A｜*==｜A11｜．1≠0)．答案為D。3、已知可逆方陣A的逆矩陣，則A＝A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：4、設(shè)A=，則以矩陣A為對(duì)應(yīng)的二次型是()A、f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32B、f(x1，x2，x3)=x12+x2x3C、f(x1，x2，x3)=x22+x1x3D、f(x1，x2，x3)=x32+x1+x2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：A的主對(duì)角線元素1對(duì)應(yīng)x2系數(shù)；a13=1，a31=1，之和對(duì)應(yīng)x1x3系數(shù)2．答案為C。5、設(shè)n維向量，矩陣A=E一αTα，B=E+2αTα，其中E為n階單位矩陣，則AB=()A、OB、一EC、ED、E+αTα標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：B=(E—αTα)(E+2αTα)=E+αTα一2αTααTα=E+αTα一2αT(ααT)α=E+αTα一2×=E，選C.6、α1=(1，2，3)，α2=(2，1，3)，α3=(一1，1，0)，α4=(1，1，1)，則()A、α1線性相關(guān)B、α1，α2線性相關(guān)C、α1，α2，α3線性相關(guān)D、α1，α2，α4線性相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：?jiǎn)蝹€(gè)非零向量是線性無(wú)關(guān)的，∴選項(xiàng)A不對(duì)，而(α1，α2，α3)→因?yàn)楹辛阆蛄康南蛄拷M一定線性相關(guān)，所以C是正確．答案為C7、已知三階矩陣A與B相似，且已知A的特征值為1，2，4，則｜B－1｜﹦A、1／8B、8C、1／7D、7標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：相似矩陣必有相同的特征值，因A～B，則A與B有相同的特征值，即B的特征值為1，2，4，則｜B｜＝，即｜B｜＝1×2×4＝8，而｜B-1｜＝，故選A．8、設(shè)ε1，ε2，ε3是Ax=0的基礎(chǔ)解系，則該方程組的基礎(chǔ)解系還可以表示成()A、ε1，ε2，ε3的一個(gè)等價(jià)向量組B、ε1，ε2，ε3的一個(gè)等秩向量組C、ε1，ε1+ε2，ε1+ε2+ε3D、ε1—ε2，ε2一ε3，ε3—ε1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：A錯(cuò)誤，這是因?yàn)榈葍r(jià)向量組所含向量的個(gè)數(shù)不一定相同，如ε1，ε2，ε3，ε1+ε2也與ε1，ε2，ε3等價(jià)，但它不是基礎(chǔ)解系．B也錯(cuò)誤，等價(jià)自然等秩．C正確，一方面它與ε1，ε2，ε3等價(jià)，且另一方面?zhèn)€數(shù)也為3．D錯(cuò)誤，ε1一ε2，ε2一ε3，ε3一ε1線性相關(guān)．9、二次型f(x1，x2，x3)＝x12＋2x22＋3x32＋2x1x2＋2x2x3的秩為A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由二次型的矩陣，得r(A)＝3，即此二次型的秩為3，故選D項(xiàng)．10、行列式()A、48B、一48C、一84D、84標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：11、已知A2+3A-5E=0，則矩陣A-1=()A、A+EB、5(A+3E)C、A+3ED、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：A2+3A一5E=O;A(A+3E)=5E，所以12、實(shí)二次型f(x1，x2，x3)=2x12+2x2+2+k2x33+2kx1x2正定，則k的取值范圍為()A、k＜0或k＞0B、-2＜k＜0或0＜k＜2C、一2＜k＜2D、k＜-2或k＞-2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于二次型的矩陣為，A正定，則順序主子式大于零，即=4一k2＞0，一2＜k＜2，=k2(4一k2)＞0，k≠0且-2＜k＜2，所以k的取值范圍是一2＜k＜0或0＜k＜2．13、當(dāng)t為_(kāi)_______，二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+3x32+2tx1x2+21x3是正定的．()A、｜t｜＞2B、｜t｜＜3C、｜t｜＜D、｜t｜＞1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：二次型的矩陣A=各階順序主子式為2＞0，14、當(dāng)t為_(kāi)_____，二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+3x32+2tx1x2+2x1x3是正定的．()A、｜t｜>2B、｜t｜<3C、D、｜t｜>1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：二次型的矩陣各階順序主子式為2＞0，即即因?yàn)楣十?dāng)時(shí)，答案為C15、設(shè)，則α3=______時(shí)，有α1，α2，α3為R3的基．()A、(0，0，1)TB、(0，1，0)TC、(1，0，1)TD、(2，1，2)T標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：首先易知α1，α2線性無(wú)關(guān)(其坐標(biāo)不成比例，)又令A(yù)=(α1，α2，α3)，則α1，α2，α3線性無(wú)關(guān),|A|≠0．由于A的左上角2階主子式(記為|A11|)不等于0，故選α3==|A11|×1≠0)．16、設(shè)A，B是n階正定矩陣，則_______是正定矩陣．()A、A*.B*B、A*+B*C、k1A*+k2B*D、A*一B*標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳，B是n階正定階陣，則A*，B*也是n階正定矩陣，所以對(duì)于任何非零實(shí)列向量x都有xTA*x＞0，xTB*x＞0，二式相加xTA*x+xTB*x=xT(A*+B*)x＞0對(duì)任何非零實(shí)列向量都成立，由定義知，A*+B*為正定矩陣．答案為B17、行列式=()A、48B、84C、一48D、一84標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：=6×23=48．答案為A。18、設(shè)矩陣，則()A、a=3，b=一1，c=1，d=3B、a=一1，b=3，c=1，d=3C、a=3，b=一1，c=0，d=3D、a=一1，b=3，c=0，d=3標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：。答案為C。19、λ1，λ2都是n階矩陣A的特征值，λ1≠λ2，且x1與x2分別是對(duì)應(yīng)于λ1與λ2的特征向量，當(dāng)______時(shí)，x=k1x1+k2x2必是A的特征向量．()A、k1≠0且k2≠0B、k1≠0而k2=0C、k1=0且k2=0D、k1.k2=0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：A的特征向量不能是零向量，所以k1，k2不同時(shí)為零，所以C，D不對(duì)；x1，x2是兩個(gè)不同的方程組的解，兩個(gè)方程的兩個(gè)非零向量解之和，不再是其中一個(gè)方程的解．所以A的特征向量不是A選項(xiàng)．選項(xiàng)B，因?yàn)閗2=0，k1≠0，x=k1x2仍然是A的特征向量．20、設(shè)則以矩陣A為對(duì)應(yīng)的二次型是()A、f(x1，x2，x3)=x12+2x2x3B、f(x1，x2，x3)=x12+x22=x32C、f(x1，x2，x3)=x32+2x1x2D、f(x1，x2，x3)=x22+2x1x3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：A的主對(duì)角線元素1對(duì)應(yīng)x22系數(shù)；a13=1，a31=1，之和對(duì)應(yīng)系數(shù)2．答案為D.二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)21、設(shè)線性方程組當(dāng)λ______時(shí)，有唯一解．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：≠2知識(shí)點(diǎn)解析：得當(dāng)λ－2≠0時(shí)，r(A)＝r(A，b)＝3，方程組有唯一解．故λ≠2．22、設(shè)A，B都為n階對(duì)稱(chēng)矩陣，則AB也為對(duì)稱(chēng)矩陣的充要條件為_(kāi)_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：AB=BA知識(shí)點(diǎn)解析：A、B為n階對(duì)稱(chēng)矩陣，則AT=A，BT=B，因?yàn)锳B也是對(duì)稱(chēng)矩陣．(AB)T=BTAT=BA=AB，故A、B都為n階對(duì)稱(chēng)矩AB．則AB也為對(duì)稱(chēng)矩陣的充要條件為AB=BA．23、用初等變換將矩陣A=化為標(biāo)準(zhǔn)型為_(kāi)_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)A進(jìn)行初等變換，有24、設(shè)A為n階方陣，｜A｜≠0，若A有特征值λ，則A*的特征值_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由于｜A｜≠0，因此A可逆并且A-1=，即A*=｜A｜．A-1；如果Aα=λα，則A-1．Aα=λA-1α，所以A-1α=是A*的特征值．25、已知A=是正定矩陣，則a滿足的條件是_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：a＞1知識(shí)點(diǎn)解析：A為正定矩陣，故A的順序主子式均大于零，得△1=2＞0，△2=8＞0，△3=｜A｜==2×(4a一4)＞0，故a＞1．26、設(shè)二階矩陣A＝，則｜2A2｜＝_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識(shí)點(diǎn)解析：27、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=x12+2x22+x32+2x1x3，判定該二次型的正定性為_(kāi)________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：半正定二次型知識(shí)點(diǎn)解析：該題可利用特征值判定．由二次型對(duì)應(yīng)的對(duì)稱(chēng)矩陣A=．可知A的特征值為0，2，2，故該二次型為半正定二次型．28、設(shè)矩陣A=，則3AT一BT=________。FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：3AT—BT=3．29、FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：211知識(shí)點(diǎn)解析：依據(jù)行列式計(jì)算法則：原式=一2×(一2)×(一2)×(一2)×(一2)+3×3×3×3×3=一32+243=211．30、設(shè)A是n階方陣，且|A|=5，則|(5AT)-1|=______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：5-n-1知識(shí)點(diǎn)解析：三、計(jì)算題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)31、設(shè)2階矩陣A可逆，且A-1=對(duì)于矩陣令B=P1AP2，求B-1標(biāo)準(zhǔn)答案：由于B=P1AP2故B-1=(P1AP2)-1=P2-1A-1P1-1知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析32、設(shè)向量都是方陣A的屬于特征值λ=2的特征向量，又向量β=α1+2α2，求A2β．標(biāo)準(zhǔn)答案：因此r(A)=3。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析33、計(jì)算.標(biāo)準(zhǔn)答案：第一行乘1加第二行，再讓第二行乘1加第三行……以此類(lèi)推得D=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析34、已知二次型f(x1，x2，x3)=5x12+5x22+Cx32一2x1x2+6x1x3—6x2x3的秩為2，求參數(shù)C及此二次型對(duì)應(yīng)矩陣的特征值．標(biāo)準(zhǔn)答案：此二次型對(duì)應(yīng)矩陣為因秩(A)=2，故故所求特征值為λ1=0，λ2=4，λ3=9．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析已知線性方程組35、討論λ為何值時(shí)，方程組無(wú)解、有惟一解、有無(wú)窮多個(gè)解．標(biāo)準(zhǔn)答案：將線性方程組的增廣矩陣作初等行變換當(dāng)λ=一2時(shí)，r(A)=2，，方程組無(wú)解；當(dāng)λ≠一2且λ≠1時(shí)，，方程組有惟一解；當(dāng)λ=1時(shí)，，方程組有無(wú)窮多個(gè)解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析36、在方程組有無(wú)窮多個(gè)解時(shí)，求出方程組的通解(要求用其一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示)．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)λ=1時(shí),同解方程組為x1=一2一x2一x3．對(duì)應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系為ξ1=(一1，1，0)T，ξ2=(一1，0，1)T非齊次方程組的一個(gè)特解η=(一2．0，0)T，所以原方程組的通解為x=k1ξ1+k2ξ2+η(k1，k2為任意常數(shù))．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)37、如果Ak=0(k為正整數(shù))，求證：(E—A)-1=E+A+A2+…+Ak-1．標(biāo)準(zhǔn)答案：(E—A)(E+A+A2+…+Ak-1)=E．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析全國(guó)自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）模擬試卷第3套一、單選題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)1、設(shè)A、B為n階可逆矩陣，下列選項(xiàng)等式不成立的是A、｜AB｜＝｜BA｜B、(AB)T＝BTATC、(AB)-1＝B-1A-1D、(A+B)-1＝A-1＋B-1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椋麬B｜＝｜A｜·｜B｜，所以｜AB｜＝｜BA｜＝｜A｜·｜B｜，故A成立．而B(niǎo)、C也都符合矩陣運(yùn)算的規(guī)律，故B、c成立．因此D不成立．2、已知可逆方陣A的逆矩陣，則A＝A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：3、行列式=()A、0B、21C、42D、一42標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：行列式展開(kāi)性質(zhì)，=(一1)1+4×=一42．答案為D。4、設(shè)A、B為n階方陣，且AB=O(零矩陣)，則()A、A=P或B=OB、A+B=OC、｜A｜+｜B｜=0D、｜A｜=0或｜B｜=0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于｜AB｜=｜A｜．｜B｜=｜0｜=0，所以｜A｜=0或｜B｜=0．答案為D。5、方程組的一組基礎(chǔ)解系由_________個(gè)向量組成．()A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：該方程組的系數(shù)矩陣秩等于1，有3個(gè)未知數(shù)，因此基礎(chǔ)解系由2個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組成．答案為B。6、要使ε1=(1，0，1)T，ε2=(一2，0，1)T都是線性方程組Ax=0的解，只要系數(shù)矩陣A為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：ε1，ε2顯然線性無(wú)關(guān)，故系數(shù)矩陣的秩至多為3—2=1，只有D符合．7、設(shè)ε1，ε2，ε3是Ax=0的基礎(chǔ)解系，則該方程組的基礎(chǔ)解系還可以表示成()A、ε1，ε2，ε3的一個(gè)等價(jià)向量組B、ε1，ε2，ε3的一個(gè)等秩向量組C、ε1，ε1+ε2，ε1+ε2+ε3D、ε1—ε2，ε2一ε3，ε3—ε1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：A錯(cuò)誤，這是因?yàn)榈葍r(jià)向量組所含向量的個(gè)數(shù)不一定相同，如ε1，ε2，ε3，ε1+ε2也與ε1，ε2，ε3等價(jià)，但它不是基礎(chǔ)解系．B也錯(cuò)誤，等價(jià)自然等秩．C正確，一方面它與ε1，ε2，ε3等價(jià)，且另一方面?zhèn)€數(shù)也為3．D錯(cuò)誤，ε1一ε2，ε2一ε3，ε3一ε1線性相關(guān)．8、設(shè)矩陣Am×n的秩為r(A)=m＜n，Im為m階單位矩陣，下述結(jié)論中正確的是()A、A的任意m個(gè)列向量必線性無(wú)關(guān)B、A的任意一個(gè)m階子式不等于零C、若矩陣B滿足BA=O，則B=OD、A通過(guò)初等行變換，必可以化為(ImO)的形式標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：矩陣Am×n的秩r(A)=m＜n．故A的行滿秩，列不滿秩，A的m個(gè)列向量可能線性無(wú)關(guān)也可能線性相關(guān)，且A通過(guò)初等行變換，可以化為(ImO)形式，故選D．答案為D。9、設(shè)A與B是兩個(gè)相似n階矩陣，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是A、r(A)＝r(B)B、λE一A＝λE一BC、｜A｜＝｜B｜D、存在可逆矩陣P，使P－1AP＝B標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、=0的根為()A、a1+a2+a3+a4B、0，a1+a2+a3+a4C、a1．a(chǎn)2．a(chǎn)3．a(chǎn)4，0D、0，一a1—a2—a3—a4標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：2、3、4列加到第一列，答案為D。11、零為矩陣A的特征值是A不可逆的()A、必要條件B、充分條件C、非充分、非必要條件D、充要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：零為矩陣A的特征值,|0×E—A|=|-A|=(一1)n|A|=0,|A|=0推得A不可逆．故選D.12、設(shè)A為二階方陣，B為三階方陣，且行列式｜A｜＝2，｜B｜＝－1，則行列式｜A｜B｜＝A、8B、－8C、2D、﹣2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因B為3階矩陣，且｜B｜＝－1，｜A｜＝2，所以｜A｜B｜＝｜A｜3｜B｜＝23×(－1)＝－8．13、如果A，B是同階對(duì)稱(chēng)矩陣，則A.B()A、是對(duì)稱(chēng)矩陣B、是非對(duì)稱(chēng)矩陣C、是反對(duì)稱(chēng)矩陣D、不一定是對(duì)稱(chēng)矩陣標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)A與B均為對(duì)稱(chēng)矩陣但A.B=不是對(duì)稱(chēng)矩陣．答案選D。14、n維向量組α1，α2…，αs(s≥2)線性相關(guān)充要條件A、α1，α2，…，αs中至少有兩個(gè)向量成比例B、α1，α2，…，αs中至少有一個(gè)是零向量C、α1，α2，…，αs中至少有一個(gè)向量可以由其余向量線性表出D、α1，α2，…，αs中每一個(gè)向量都可以由其余向量線性表出標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、以下各線性方程組中，解空間的基是α1=(1，一1，1，一1，1)T，α2=(1，1，0，0，3)T，α3=(3，1，1，一1，7)T，α4=(0，2，一1，1，2)T的方程組是()A、B、C、x1一x2—2x3=0D、x1+x2+2x4=0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因5一r(A)=4，故r(A)=1．于是，只可能為C或D。因一眼就能看出，A、B中兩方程的系數(shù)都不成比例，故r(A)=r(B)=2．再把解代人驗(yàn)證：因α1滿足C，不滿足D，故選C。答案為C。16、行列式()A、48B、一48C、一84D、84標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：17、設(shè)α1，α2，α3，線性無(wú)關(guān)，向量β1可由α1，α2，α3線性表示，而向量β2不可由α1，α2，α3線性表示，則對(duì)任意常數(shù)k必有()A、α1，α2，α3，kβ1+β2線性相關(guān)B、α1，α2，α3，β1+kβ2線性無(wú)關(guān)C、α1，α2，α3，β1+kβ2線性相關(guān)D、α1，α2，α3，kβ1+β2線性無(wú)關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于β2不可由α1．α2，α3線性表示，說(shuō)明α1，α2，α3．β2線性無(wú)關(guān)．設(shè)k1α1+k2α2+k3α3+k4(kβ1+β2)=0，由已知可知β1=m1α1+m2α2+m3α3代入上式整理得(k1+k4m1k)α1+(k2+k4m2k)α2+(k3+k4m3k)α3+k4β2=0．由β2不可由α1，α2，α3線性表示得k1+k4m1k=0，k2+k4m2k=0，k3+k4m3k=0，k4=0,顯然k1=k2=k3=k4=0．故選項(xiàng)D成立，至于B，C選項(xiàng)，當(dāng)k=0時(shí)線性相關(guān)，當(dāng)k≠0時(shí)線性無(wú)關(guān)．18、設(shè)A，B是兩個(gè)同階的上三角矩陣，那么AT.BT是矩陣．()A、上三角B、下三角C、對(duì)角形D、即非上三角也非下三角標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：AT，BT均為下三角陣，因此AT.BT也是下三角陣．答案為B19、當(dāng)t為_(kāi)_____，二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+3x32+2tx1x2+2x1x3是正定的．()A、｜t｜>2B、｜t｜<3C、D、｜t｜>1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：二次型的矩陣各階順序主子式為2＞0，即即因?yàn)楣十?dāng)時(shí)，答案為C20、設(shè)A，B是同階正交矩陣，則下列命題不正確的是()A、AB也是正交矩陣B、A*也是正交矩陣C、A+B也是正交矩陣D、A-1也是正交矩陣標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)A=E，B=一E，則A，B均為正交矩陣，但A+B為零矩陣，不是正交矩陣．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)21、已知?jiǎng)tX=_________.FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：22、分塊矩陣則AT=_____．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、已知α=(3，5，7，9)，β=(一1，5，2，0)，x滿足2α+3x=β，則x=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：24、設(shè)A為m×n矩陣，C是n階可逆矩陣，矩陣A的秩為r，則矩陣B=AC的秩為_(kāi)_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：r知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)矩陣的秩的定理2．6．1推論：設(shè)A為m×n矩陣，P和Q分別是m階和n階可逆矩陣．則r(PA)=r(A)，r(AQ)=r(A)．可推出r(B)=r(AC)—r(A)=r．25、設(shè)A為4階方陣，且秩(A)=2，則齊次線性方程組A*x=0(A*是A的伴隨矩陣)的基礎(chǔ)解系所包含的線性無(wú)關(guān)解向量的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識(shí)點(diǎn)解析：秩(A)=2，則秩(A*)=0，即A*=O．故任意4維向量都是A*x=0的解，即它的基礎(chǔ)解系所包含的線性無(wú)關(guān)的解向量的個(gè)數(shù)為4．26、設(shè)A為m×n矩陣，C是n階可逆矩陣，矩陣A的秩為r，則矩陣B=AC的秩為_(kāi)______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：r知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)矩陣的秩的定理2．6．1推論：設(shè)A為m×n矩陣，P和Q分別是m階和n階可逆矩陣，則r(PA)=r(A)，r(AQ)=r(A)．可推出r(B)=r(A)=r(A)=r．27、設(shè)三階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的特征值為0，1，2，它們對(duì)應(yīng)的特征向量分別為α1＝(1，1，1)，α2＝(1，a，－1)，α3＝(b，－2，1)，則a＝______，b＝______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：0．1知識(shí)點(diǎn)解析：由實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的屬于不同特征值的特征向量一定是正交向量，得α1α2T＝0，28、已知矩陣有一個(gè)特征值為0，則x=_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：A的行列式等于A的所有特征值的乘積，因?yàn)锳有一個(gè)特征值為0，所以|A|=5—2x=0，x=29、二次型f(x1，x2，x3，x4)=2x1x2一ax3x4的秩為2，則a=_____．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：二次型的矩陣且r(A)=2，故a=0．30、設(shè)矩陣A=為正定矩陣，則a的最大取值范圍是________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：矩陣A正定，因此順序主子式大于0，｜1｜=1＞0，=1一5a2＞0，所以a的最大取值范圍是．三、計(jì)算題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)31、設(shè)α1=(2，3，5)，α2=(3，7，8)，α3=(1，一6，1)，求λ使β=（7,2，λ）可用向量α1,α2,α3線性表示。標(biāo)準(zhǔn)答案：求解非齊次線性方程組據(jù)此可知當(dāng)λ=15時(shí)，β=11α1一5α2+0α3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析32、已知矩陣(1)求A-1；(2)解矩陣方程AX=B.標(biāo)準(zhǔn)答案：由于｜A｜=1≠0，所以矩陣A可逆，經(jīng)計(jì)算因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析33、設(shè)A為n階方陣(n≥3)，秩r(A)=r，求A的伴隨矩陣A*的秩．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)r(A)=n時(shí)，A可逆，則A*也可逆，因此r(A*)=n；當(dāng)r(A)=n一1時(shí)，｜A｜=0，因此AA*=｜A｜．E=0，即A*的n個(gè)列向量均為齊次線性方程組Ax=0的解向量，由于r(A)=n一1，AX=0的基礎(chǔ)解系僅含一個(gè)解向量，所以A*的列向量的秩≤1；又r(A)=n—1，A中存在一個(gè)不為0的n—1階子式，故A*的n個(gè)列向量中至少有一個(gè)不為零向量，所以A*的列向量的秩≥1，由以上討論可知，r(A*)=1．當(dāng)r(A)＜n—1時(shí)，A的每一個(gè)n一1階子式均為零，即A*是零矩陣，所以r(A*)=0．所以r(A*)=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析34、設(shè)A為n階方陣(n≥3)，秩r(A)=r，求A的伴隨矩陣A*的秩．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)r(A)=n時(shí)，A可逆，則A*也可逆，因此r(A*)=n；當(dāng)r(A)=n一1時(shí)，｜A｜=0，因此AA*=｜A｜．E=0，即A*的n個(gè)列向量均為齊次線性方程組Ax=0的解向量，由于r(A)=n一1，AX=0的基礎(chǔ)解系僅含一個(gè)解向量，所以A*的列向量的秩≤1；又r(A)=n一1，A中存在一個(gè)不為0的n—1階子式，故A*的n個(gè)列向量中至少有一個(gè)不為零向量，所以A*的列向量的秩≥1，由以上討論可知，r(A*)=1．當(dāng)r(A)＜n-1時(shí)，A的每一個(gè)n一1階子式均為零，即A*是零矩陣，所以r(A*)=0．所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析已知線性方程組35、討論λ為何值時(shí)，方程組無(wú)解、有惟一解、有無(wú)窮多個(gè)解．標(biāo)準(zhǔn)答案：將線性方程組的增廣矩陣作初等行變換當(dāng)λ=一2時(shí)，r(A)=2，，方程組無(wú)解；當(dāng)λ≠一2且λ≠1時(shí)，，方程組有惟一解；當(dāng)λ=1時(shí)，，方程組有無(wú)窮多個(gè)解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析36、在方程組有無(wú)窮多個(gè)解時(shí)，求出方程組的通解(要求用其一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示)．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)λ=1時(shí),同解方程組為x1=一2一x2一x3．對(duì)應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系為ξ1=(一1，1，0)T，ξ2=(一1，0，1)T非齊次方程組的一個(gè)特解η=(一2．0，0)T，所以原方程組的通解為x=k1ξ1+k2ξ2+η(k1，k2為任意常數(shù))．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)37、任意一個(gè)實(shí)方陣A都可以惟一地表示為一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣與一個(gè)反對(duì)稱(chēng)矩陣之和．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析全國(guó)自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）模擬試卷第4套一、單選題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)1、設(shè)α1=，則α3=_________時(shí)，有α1，α2，α3為R3的基．()A、(2，1，2)TB、(1，0，1)TC、(0，1，0)TD、(0，0，1)T標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：首先已知α1，α2線性無(wú)關(guān)(其坐標(biāo)不成比例)，又令A(yù)=(α1，α2，α3)，則α1，α2，α3線性無(wú)關(guān)→｜A｜≠0由于A的左上角2階主子式(記為｜A11｜)不等于0，故選α3=即可。(此時(shí)｜A｜*==｜A11｜．1≠0)．答案為D。2、設(shè)A=，則Ax=0的基礎(chǔ)解系含有_________個(gè)解向量．()A、1B、2C、3D、0標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由于V(A)=3，所以基礎(chǔ)解集含有4—3=1個(gè)向量．答案為A。3、若方程組，有非零解，則λ＝A、－2／5B、0C、2/5D、-1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：齊次線性方程組有非零解，則其系數(shù)矩陣的行列式4、設(shè)向量組(I)：α1，α2，…，αn的秩為r，則必有A、(I)中任意r個(gè)向量必線性無(wú)關(guān)B、(I)中任意r－1個(gè)向量必線性無(wú)關(guān)C、(I)中任意r+1個(gè)向量必線性相關(guān)D、(I)中線性相關(guān)向量的個(gè)數(shù)必大于r標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因向量組(I)的秩為r，故向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為(Ⅱ)：αi1，…，αir，則(I)中任意r+1個(gè)向量都可由(Ⅱ)線性表示，故C選項(xiàng)正確．5、設(shè)A是n階方陣，已知A2一2A—2I=O，則(A+I)-1=()A、3I—AB、3I+AC、A一3ID、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：把已知關(guān)系式A2—2A—2I=O寫(xiě)成(A+I)M=I的形式，則M是(A+I)的逆方陣．由題設(shè)關(guān)系式A2一2A一2I=O，可得A(A+I)一3(A+I)=一I，即(A+I)(3I—A)=I，故(A+I)-1=3I—A．答案為A。6、設(shè)A為m×n矩陣，若任何n維列向量都是方程組Ax＝0解，則A、r(A)＝mB、r(A)＝nC、0D、A＝0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)ej是單位矩陣E的第j列，則有題知Aej＝0，即AE＝0，故A＝0．7、已知是齊次線性方程組Ax=0的兩個(gè)解，則矩陣A可為()A、(5，一3，一1)B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：將四個(gè)選項(xiàng)代入驗(yàn)證Ax=0是否成立即可．答案為A。8、設(shè)A是n階矩陣，A*是A的伴隨矩陣，則()A、AA*=｜A｜B、AA*=｜A｜*C、A*A=｜A｜D、A*A=｜A｜*I標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：A.A*=｜A｜I．答案為C.9、α1=(1，2，3)，α2=(2，1，3)，α3=(一1，1，0)，α4=(1，1，1)，則()A、α1線性相關(guān)B、α1，α2線性相關(guān)C、α1，α2，α3線性相關(guān)D、α1，α2，α4線性相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：?jiǎn)蝹€(gè)非零向量是線性無(wú)關(guān)的，∴選項(xiàng)A不對(duì)，而(α1，α2，α3)→因?yàn)楹辛阆蛄康南蛄拷M一定線性相關(guān)，所以C是正確．答案為C10、設(shè)向量組(I)：α1=(a11，a21,a31)T，α2=(a12，a22，a32)T，α3=(a13,a23，a33)T，向量組(Ⅱ)：β1=(a11，a21，a31，a41)T，β2=(a12，a22，a32，a42)T，β3=(a13，a23，a33，a43)T，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：令α1=(1，0，0)T，α2=(1，0，0)T，α3=(0，1，0)T，β1=(1，0，0，1)T，β2=(1，0，0，0)T，β3=(0，1，0，0)T，顯然α1，α2，α3線性相關(guān)，而β1，β2，β3線性無(wú)關(guān)，排除A，C．同理可舉例排除D．也可證明B成立，(I)無(wú)關(guān)，故矩陣A4×3=(β1，β2，β3)有一個(gè)3階主式不為零，故A的列向量組的秩也必為3，故β1，β2，β3線性無(wú)關(guān)．11、若AB=AC，能推出B=C，其中A，B，C為同階方陣，則A應(yīng)滿足條件()A、A≠0B、A=0C、｜A｜=0D、｜A｜≠0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：若AB=AC，則A(B—C)=0，故當(dāng)A可逆，即｜A｜≠0時(shí)B=C．答案為D。12、設(shè)矩陣Am×n的秩為r(A)=m＜n，Im為m階單位矩陣，下述結(jié)論中正確的是()A、A的任意m個(gè)列向量必線性無(wú)關(guān)B、A的任意一個(gè)m階子式不等于零C、若矩陣B滿足BA=0，則B=0D、A通過(guò)初等行變換，必可以化為(ImO)的形式標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：矩陣Am×n的秩r(A)=m＜n．故A的行滿秩，列不滿秩，A的m個(gè)列向量可能線性無(wú)關(guān)也可能線性相關(guān)，且A通過(guò)初等行變換，可以化為(ImO)形式，故選D答案為D。13、設(shè)n(n≥3)階矩陣A=若矩陣A的秩為n一1，則a必為()A、1B、C、一1D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由r(A)=n一1．必｜A｜=0．若a=1，則r(A)=1，故必a≠1．=(1一a)n—1(1一n+na)=(1—a)n—1[1一n)a]因a≠1，故僅當(dāng)a=時(shí)，｜A｜=0且r(A)=n—1(即｜An—1｜≠0)．答案為B。14、n元線性方程組Ax=0有非零解的充要條件是()A、方程個(gè)數(shù)m＜nB、方程個(gè)數(shù)m＞nC、方程個(gè)數(shù)m=nD、秩(A)＜n標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)于線性方程組Ax=0來(lái)說(shuō)，若r(A)＜n→Ax=0有非零解(充分條件)；同樣，若Ax=0有非零解→r(A)＜n(必要條件)．答案為D。15、設(shè)A為二階可逆矩陣，且(3A)－1＝，則A＝A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：16、設(shè)A，B是兩個(gè)同階的上三角矩陣，那么AT.BT是矩陣．()A、上三角B、下三角C、對(duì)角形D、即非上三角也非下三角標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：AT，BT均為下三角陣，因此AT.BT也是下三角陣．答案為B17、設(shè)A是n階方陣，且｜A｜=5，則｜(5AT)-1｜=()A、5n+1B、5n-1C、5-n-1D、5-n標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椋麬｜=5，所以答案為C18、設(shè)A是2階可逆矩陣，則下列矩陣中與A等價(jià)的矩陣是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：∵A是2階可逆矩陣，∴A的秩為2，由于兩矩陣等價(jià)則矩陣的秩相等，由題知D答案中矩陣秩為2，所以選D．答案為D。19、若二階矩陣A相似于矩陣B＝，E為二階單位矩陣，則與矩陣A－2E相似的矩陣是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因A～B，故A的特征值為1，3，則A一2E的特征值為－1，1．因相似矩陣必有相同的特征值，所以只有B項(xiàng)正確．20、設(shè)有向量組α1=(1，一1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，一2，2，0)，α5=(2，1，5，10)，則該向量組的極大線性無(wú)關(guān)組是()A、α1，α2，α3B、α1，α2，α4，α5C、α1，α2，α4D、α1，α2，α5標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：(α1T，α2T，α3T，α4T，α5T)=故α1T，α2T，α4T線性無(wú)關(guān)，從而α1，α2，α4是極大線性無(wú)關(guān)組．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)21、齊次線性方程組，有非零解的充要條件是λ＝______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：因方程組有非零解，則｜A｜＝0，即r(A)<3，故λ－1＝0，得λ＝1．22、用初等變換將矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)型為_(kāi)_____．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)A進(jìn)行初等變換，有23、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A滿足A2+A2+A=3I，則A=__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：I知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)矩陣A的特征值為λ，則有λ3+λ2+λ=3，即(λ—1)(λ2+2λ+3)=0．由于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值是實(shí)數(shù)，故λ2+2λ+3=(λ+1)2+2＞0，由此可得A只有惟一的三重特征值1，即存在可逆矩陣P，使得P-1AP=I，于是有A=PIP-1=I．24、已知三階矩陣A的特征值為1，2，3，且矩陣B與A相似，則｜B+AT｜＝______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：48知識(shí)點(diǎn)解析：由A與AT有相同的特征值，相似矩陣也必有相同的特征值，得B、AT的特征值都為1，2，3，所以B+AT的特征值為2，4，6，則｜B＋AT｜＝2×4×6＝48．25、已知線性方程組無(wú)解，則λ=_______。FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：-1知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)λ=一1時(shí)，第4個(gè)方程為矛盾方程，因而無(wú)解．26、設(shè)三階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的特征值為0，1，2，它們對(duì)應(yīng)的特征向量分別為α1＝(1，1，1)，α2＝(1，a，－1)，α3＝(b，－2，1)，則a＝______，b＝______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：0．1知識(shí)點(diǎn)解析：由實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的屬于不同特征值的特征向量一定是正交向量，得α1α2T＝0，27、齊次線性方程組有非零解，則a=_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：8知識(shí)點(diǎn)解析：齊次線性方程組有非零解=0，即a=8．28、已知矩陣有一個(gè)特征值為0，則x=_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：A的行列式等于A的所有特征值的乘積，因?yàn)锳有一個(gè)特征值為0，所以|A|=5—2x=0，x=29、若向量組線性相關(guān)，則t=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：6知識(shí)點(diǎn)解析：由于α1，α2，α3線性相關(guān)，故行列式|α1，α2，α3|==2t—12=0，故t=6．30、方程組中有_________個(gè)自由未知量．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：由于系數(shù)矩陣的秩為2，所以有3—2=1個(gè)自由未知量．三、計(jì)算題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)31、將線性無(wú)關(guān)向量組α1=化為單位正交向量組．標(biāo)準(zhǔn)答案：用施密特正交化方法，有則β1，β2，β3是正交向量組，再單位化，有則γ1，γ2，γ3是單位正交向量組．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析32、已知A=且A2一AB=E，求矩陣B．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于AB=A2一E，又｜A｜==一1≠0．所以A可逆，因此B=A-1(A2一E)=A—A-1而A-1=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析已知線性方程組33、討論λ為何值時(shí)，方程組無(wú)解、有惟一解、有無(wú)窮多個(gè)解．標(biāo)準(zhǔn)答案：將線性方程組的增廣矩陣作初等行變換當(dāng)λ=一2時(shí)，r(A)=2，，方程組無(wú)解；當(dāng)λ≠一2且λ≠1時(shí)，，方程組有惟一解；當(dāng)λ=1時(shí)，，方程組有無(wú)窮多個(gè)解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析34、在方程組有無(wú)窮多個(gè)解時(shí)，求出方程組的通解(要求用其一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示)．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)λ=1時(shí),同解方程組為x1=一2一x2一x3．對(duì)應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系為ξ1=(一1，1，0)T，ξ2=(一1，0，1)T非齊次方程組的一個(gè)特解η=(一2．0，0)T，所以原方程組的通解為x=k1ξ1+k2ξ2+η(k1，k2為任意常數(shù))．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析35、計(jì)算行列式標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析36、設(shè)求一個(gè)正交矩陣P，使得p-1AP為對(duì)角矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：矩陣的特征多項(xiàng)式為得A的特征值為λ1=1，λ2=2，λ3=5．對(duì)于特征值λ1=1，求解方程組(E—A)x=0，得到一個(gè)特征向量對(duì)于特征值λ2=2，求解方程組(2E—A)x=0，得到一個(gè)特征向量對(duì)于特征值λ3=5，求解方程組(5E—A)x=0，得到一個(gè)特征向量因?yàn)樘卣髦挡幌嗟?，則ξ1，ξ2，ξ3正交，將ξ1，ξ2，ξ3單位化得令P=(p1,p2，p3)=則有P-1AP=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)37、設(shè)A，B為n階方陣，試證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：證明：由于兩邊取行列式得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析全國(guó)自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）模擬試卷第5套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)A，B是兩個(gè)同階的上三角矩陣，那么AT.BT是矩陣．()A、上三角B、下三角C、對(duì)角形D、即非上三角也非下三角標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：AT，BT均為下三角陣，因此AT.BT也是下三角陣．答案為B2、設(shè)A是n階方陣，且｜A｜=5，則｜(5AT)-1｜=()A、5n+1B、5n-1C、5-n-1D、5-n標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椋麬｜=5，所以答案為C3、設(shè)A，B，A+B，A-1+B-1均為n階可逆矩陣，則(A-1+B-1)-1()A、A-1+B-1B、A+B.C、A(A+B)-1.BD、(A+B)-1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由于(A-1+B-1)A(A+B)-1B=(A-1A+B-1A)(A+B)-1B=(B-1B+B-1A)(A+B)-1B=B-1(A+B)(A+B)-1.B=B-1.B=I，所以(A-1+B-1)4、齊次線性方程組的解的個(gè)數(shù)為()A、有惟一的零解B、有無(wú)窮多個(gè)解C、無(wú)解D、不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：齊次線性方程系數(shù)矩陣A的秩為：r(A)=3＜4，故齊次線性方程組有無(wú)窮多個(gè)解．答案為B。5、已知線性方程組則下列判斷正確的是()A、λ=2時(shí),方程組有無(wú)窮多組解B、λ=一3時(shí)方程組無(wú)解C、λ=3時(shí)方程組有無(wú)窮多組解D、λ≠2時(shí)方程組有惟一解標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等變換，依次將第一行、第二行和第三行加到第四行上：這時(shí)就可發(fā)現(xiàn)若λ=一3，則矩陣最后一行前面4個(gè)數(shù)等于0，而最后一個(gè)數(shù)等于4，用方程式表示將得到0=4，這表明方程組無(wú)解，故應(yīng)該選B。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、行列式=__________.FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識(shí)點(diǎn)解析：7、若則D1==_______。FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：8、已知?jiǎng)tX=_________.FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：9、設(shè)A為n階方陣且｜A｜≠0，則A*可逆并且(A*)-1=_________.FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由于｜A｜≠0，故A可逆且所以A*=｜A｜.A-1，因此10、已知向量組線性相關(guān)，則k=_____.FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：k=2知識(shí)點(diǎn)解析：向量α1,α2,α3線性相關(guān)，故對(duì)α1,α2,α3組成的矩陣作初等變換，即由于α1,α2,α3線性相關(guān)，故k=2．11、已知齊次線性方程組有非零解，則λ=_________.FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：一2或1知識(shí)點(diǎn)解析：由于齊次線性方程組有非零解，系數(shù)行列式12、若三階矩陣,則A的三個(gè)特征向量的關(guān)系為_(kāi)______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：線性無(wú)關(guān)知識(shí)點(diǎn)解析：A～B知A和B有相同的特征值，故A有1，2，3三個(gè)不同的特征值，A為三階的，故A的三個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的三個(gè)特征向量線性無(wú)關(guān)．13、已知三階方陣A的三個(gè)特征值為1，一2，一3，｜A｜及A-1，A*，A2+2A+E的特征值分別為_(kāi)_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查利用公式求特征值與特征向量，設(shè)λi為n階方陣A的特征值，pi為A的對(duì)應(yīng)于特征值λi的特征向量，i=1，2，…，n，則(1)f(A)的特征值為f(λi)，對(duì)應(yīng)于f(λi)的特征向量為pi，i=1，2，…，n，其中f(x)為x的多項(xiàng)式；(2)設(shè)A可逆，則A-1的特征值為λi-1，對(duì)應(yīng)的特征向量為pi，i=1，2，…，n；(3)設(shè)A可逆，則A*的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量為pi，i=1，2，…，n；(4)AT的特征值為λi,i=1，2，…，n，對(duì)應(yīng)的特征向量為pi，i=1，2，…，n；(5)若B=P-1AP，則B的特征值為λ，對(duì)應(yīng)的特征向量為P-1pi，i=1，2，…,n；從而有：｜A｜=1.(一2).(一3)=6；A-1的特征值為：；A*的特征值為：6，一3，一2；A2+2A+E的特征值為：4，1，4．14、已知方陣A與方陣相似，則A的特征值為_(kāi)______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：λ1=λ2=2，λ3=一2知識(shí)點(diǎn)解析：由于B的特征多項(xiàng)式為因此B的特征值為λ1=λ2=2，λ3=一2，而A與B相似，因此有相同的特征值．15、二次型f(x1，2x2，x3)=x12一2x22+x32一2x1x2+4x1x3+8x2x3對(duì)應(yīng)的對(duì)稱(chēng)矩陣A=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：x1，x2，x3平方項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)主對(duì)角線元素：1，一2，1；x1x2的系數(shù)一2對(duì)應(yīng)a12和a21的系數(shù)的和：∴a12=一1a21=一1；x1x3的系數(shù)4對(duì)應(yīng)a13和a31系數(shù)的和：∴a13=a31=2；x2x3的系數(shù)8對(duì)應(yīng)a23和a32的系數(shù)的和：∴a23=a32=4．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析三、計(jì)算題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)16、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：將第一行乘1加到第二行上，再將新的第二行乘1加到第三行上，依次類(lèi)推，最后可得行列式的值為1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、計(jì)算行列式標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)矩陣，求A在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)型并求A的秩．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)矩陣A作初等變換，有為A在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)型，并且r(A)=2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、求向量組α1=(1，2，1，0)T，α2=(1，1，1，2)T，α3=(3，4，3，4)T，α4=(4，5，6，4)T的秩與一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組．標(biāo)準(zhǔn)答案：以α1,α2,α3,α4為列向量構(gòu)成矩陣A由此可知B的列向量組的秩為3，且第1，2，4列為B的列向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，所以向量組α1,α2,α3,α4的秩為3，α1,α2,α4為其一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組(α1,α2,α4也是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)3階方陣A的特征值為λ1=1，λ2=0，λ3=一1，并且A屬于λ1，λ2，λ3的特征向量分別為求矩陣A及A5．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于Aαi=λi，αi=1，2，3，所以令則所以又知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、已知2是三階方陣的二重特征值，求A的另一個(gè)特征值，并求可逆陣P使得P-1AP為對(duì)角陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)A的另一個(gè)特征值為λ，則2+2+λ=tr(A)，即2+2+λ=1+4+5．所以λ=6．對(duì)應(yīng)于λ1=λ2=2的特征向量為對(duì)應(yīng)于λ3=一6的特征向量為所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)三階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A滿足A2+2A=0，而且r(A)=2．22、求出A的全體特征值．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)矩陣A的特征值為λ，則有A2+2A=0知，λ2+2λ=0，故λ=0或λ=2．因?yàn)閞(A)=2，λ=0不可能是二重根，故λ是二重根．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、當(dāng)k為何值時(shí)，kE3+A必為正定矩陣?標(biāo)準(zhǔn)答案：kE3+A的特征值為k+λ，kE3+A為正定矩陣的充要條件是kE3+A有3個(gè)大于0的特征值，故當(dāng)k＞0時(shí)，k+λ＞0，kE3+A必為正定矩陣．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)24、設(shè)方陣A滿足條件A’A=E，求證：A的實(shí)特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值的絕對(duì)值等于1．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)X是A的實(shí)特征向量，λ是對(duì)應(yīng)的特征值，則AX=λX，因X’A’=λX’,于是X’A’AX=ZX’λX=λ2X’X因A’A=E，(E為單位陣)，所以X’EX=λ2X’X，即X’X=λ2X’X，(λ2一1)X’X=0．又x≠0為實(shí)特征向量，從而X’X≠0，所以λ2=1即｜λ｜=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析全國(guó)自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）模擬試卷第6套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)A為3階方陣且，則｜一2A｜=()A、一4B、4CC、一1D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：答案為A2、若AB=AC，能推出B=C，其中A，B，C為同階方陣，則A應(yīng)滿足條件()A、A≠0B、A=0C、｜A｜=0D、｜A｜≠0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：若AB=AC,則A(B-C)=0，故當(dāng)A可逆，即｜A｜≠0時(shí)B=C答案為D。3、設(shè)矩陣Am×n的秩為r(A)=m＜n，Im為m階單位矩陣，下述結(jié)論中正確的是()A、A的任意m個(gè)列向量必線性無(wú)關(guān)B、A的任意一個(gè)m階子式不等于零C、若矩陣B滿足BA=0，則B=0D、A通過(guò)初等行變換，必可以化為(ImO)的形式標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：矩陣Am×n的秩r(A)=m＜n．故A的行滿秩，列不滿秩，A的m個(gè)列向量可能線性無(wú)關(guān)也可能線性相關(guān)，且A通過(guò)初等行變換，可以化為(ImO)形式，故選D答案為D。4、若α1,α2,α3是齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，則下列答案中也是Ax=0的基礎(chǔ)解系的為()A、α1一α2，α2一α3，α3一α1B、α1，α2，α3的任意三個(gè)線性組合C、α1，α1一α2，α1一α2一α3D、α1，2α1,3α1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查基礎(chǔ)解系的定義，基礎(chǔ)解系必須線性無(wú)關(guān)，且與α1,α2,α3等價(jià)．答案為C。5、設(shè)則A的屬于特征值O的特征向量是()A、(1，1，2)TB、(1，2，3)TC、(1，0，1)TD、(1，1，1)T標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：用定義Ax=λx來(lái)判斷，這時(shí)λ=0，故計(jì)算Ax的值，使Ax=0的向量x就是A的屬于特征值0的特征向量．當(dāng)x=(1，2，3)T時(shí)，有Ax=0．答案為B。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、函數(shù)中，x3的系數(shù)為_(kāi)_____．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：只有主對(duì)角線上都含有x，項(xiàng)，由行列式的性質(zhì)得2z×(一x)×(一x)=2x3，x3的系數(shù)為2．7、設(shè)，則A-1=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：｜A｜=1利用公式由知故8、設(shè)矩陣則ATB________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：9、設(shè)向I組工的秩為r1，向量組Ⅱ的秩為r2，且I可由Ⅱ表出，則r1，r2的關(guān)系為_(kāi)_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：r1≤r2知識(shí)點(diǎn)解析：向量組I可由Ⅱ表出，故向量組I的秩≤向量組Ⅱ的秩，即r1≤r2．10、設(shè)矩陣，則齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系含有解向量個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：由此得r(A)=2，所以AX=0的自由未知量有4—2=2個(gè)，基礎(chǔ)解系中含有2個(gè)解向量．11、三元非齊次線性方程組Ax=b的r(A)=2，且α1=(1，2，2)T，α2=(3，2，1)T是Ax=b的兩個(gè)解，則Ax=b的通解為_(kāi)________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：r(A)=2知三元非齊次方程Ax=b的基礎(chǔ)解系只有一個(gè)解向量，α1=(1，2，2)T，α2=(3，2，1)T是Ax=b的兩個(gè)解，故α1一α2=(一2，0，1)T是Ax=0的一個(gè)解向量，故Ax=b的通解為(c為任意常數(shù))．12、已知3階矩陣A的3個(gè)特征值為1，2，3，則｜A*｜=_________.FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：36知識(shí)點(diǎn)解析：而λ1=1，λ2=2，λ3=3∴｜A｜=1×2×3=6∵AA*=｜A｜E∴AA*=6E兩邊同時(shí)求行列式有，｜AA*｜=｜6E｜=63→｜A｜｜A*｜=63∴｜A*｜=36．13、若，則｜A｜=________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：72知識(shí)點(diǎn)解析：故14、設(shè)向量α=(1，1，1)，則它的單位化向量為_(kāi)_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)單位向量定義可知：｜｜a｜｜=1為單位向量．∴α=(1，1，1)的單位化向量為答案為15、f(x1，x2，x3)=(k+1)x12+kx22+(k一2)x32為正定二次型，則k________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：k＞2知識(shí)點(diǎn)解析：它是正定二次型當(dāng)且僅當(dāng)它的所有系數(shù)都是正數(shù)．∴k＞2．三、計(jì)算題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)16、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、已知AP=PB，其中,求A及A5．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于因此P可逆并且A=PBP-1，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、a、b為何值時(shí)，向量β=(3，10，6，4)可由向量組α1=(1，4，0，2)，α2=(2，7，1，3)，α3=(0，1，一1，a)線性表出．標(biāo)準(zhǔn)答案：①當(dāng)b=2，a≠1時(shí)，β可由α1,α2,α3線性表出，且表示法惟一，β=一α1+2α2+0α3②當(dāng)b=2，a=1時(shí)，β可由α1,α2,α3線性表出，且表示法不惟一．β=一(2k+1)α1+(k+2)α2+kα3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)向量組又向量求：19、a、b為何值時(shí)β不能由α1,α2,α3,α4線性表示?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)β=x1α1+x2α2+x3α3+x4α4，則x1，x2，x3,x4是線性方程組的解，對(duì)線性方程組的增廣矩陣作初等行變換，有(1)當(dāng)a=1且b=4時(shí)，系數(shù)矩陣的秩=2，而增廣矩陣的秩=3，所以方程組無(wú)解，即a=1且b=4時(shí)β不能由α1,α2,α3,α4線性表示；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、a、b為何值時(shí)β能由α1,α2,α3，α4線性表示且表示式不惟一?標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)a=1且b=3時(shí)，系數(shù)矩陣的秩=3，而增廣矩陣的秩=3，所以方程組有解且有無(wú)窮多解，即β可由α1,α2,α3,α4線性表示且表示式不惟一；又當(dāng)a≠1時(shí)，如果a+b一5=0，即b=5一a，則系數(shù)矩陣秩=3且增廣矩陣秩=3，方程組有解且有無(wú)窮多解，所以β可由α1,α2,α3,α4線性表示且表示式不惟一．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析已知線性方程組21、討論λ為何值時(shí)，方程組無(wú)解、有惟一解、有無(wú)窮多個(gè)解．標(biāo)準(zhǔn)答案：將線性方程組的增廣矩陣作初等行變換當(dāng)λ=一2時(shí)，r(A)=2，，方程組無(wú)解；當(dāng)λ≠一2且λ≠1時(shí)，，方程組有惟一解；當(dāng)λ=1時(shí)，，方程組有無(wú)窮多個(gè)解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、在方程組有無(wú)窮多個(gè)解時(shí)，求出方程組的通解(要求用其一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示)．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)λ=1時(shí),同解方程組為x1=一2一x2一x3．對(duì)應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系為ξ1=(一1，1，0)T，ξ2=(一1，0，1)T非齊次方程組的一個(gè)特解η=(一2．0，0)T，所以原方程組的通解為x=k1ξ1+k2ξ2+η(k1，k2為任意常數(shù))．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)三階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的特征值為λ1=一1，λ2=λ3=1，A對(duì)應(yīng)于λ1=一1的特征向量為，求A.標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)屬于λ2=λ3=1的特征向量為則由(α，x)=0可得到x2+x3=0．于是得到兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量令可使得所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、用配方法將二次型f(x1，x2，x3)=x12+2x22+3x32一4x1x2—4x2x3化為標(biāo)準(zhǔn)型并寫(xiě)出可逆線性變換．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x1，x2，x3)=x12+2x22+3x32一4x1x2－4x2x3=(x12－4x1x2+4x22)一2x22一4x2x3+3x32=(x2一2x2)2一2(x22+2x2x32+x3)+5x32=(x1—2x2)2一2(x2+x3)2+5x32令即則經(jīng)過(guò)線性變換得將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型f=y12一2y22+5y32．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)25、已知向量組α1，α2，…，αm與向量組α1，α2，…，αm，β有相同的秩，證明：β可由α1，α2，…，αm線性表示．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)是α1，α2，…，αm的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，由于α1，α2，…，αm，β的秩也是r，所以也是α1，α3，…，αm，β的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，所以β可由線性表示，而僅是α1，α2，…，αm的一個(gè)部分向量組，所以β也可由α1，α2，…，αm線性表示．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析全國(guó)自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）模擬試卷第7套一、單選題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)1、若A，B均為n階方陣，且AB=0，則()A、A=0或B=0B、A+B=0C、｜A｜=0或｜B｜=0D、｜A｜+｜B｜=0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：AB=0→｜AB｜→0→｜A｜．｜B｜=0→｜A｜=0或｜B｜=0．答案為C2、設(shè)A=，當(dāng)x與y滿足_________時(shí)，有AB=BA．()A、2x=7B、2y=xC、y=x+1D、y=x一1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由于解得y=x+1．答案為C。3、設(shè)A是3階反對(duì)稱(chēng)矩陣，即AT=一A，則｜A｜=()A、0B、1C、±1D、0或1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由于｜A｜=｜A｜=｜—A｜=(一1)3｜A｜=一｜A｜，所以｜A｜=0.答案為A.4、若齊次線性方程組只有零解，則λ應(yīng)為()A、λ=一1B、λ≠一1C、λ=1D、λ≠1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：齊次線性方程組Ax=0只有零解｜A｜≠0故λ≠一1時(shí)題中齊次線性方程組只有零解．答案為B.5、二次型f=xTAx經(jīng)過(guò)滿秩線性變換x=Py可化為二次型yTBy，則矩陣A與B()A、一定合同B、一定相似C、即相似又合同D、即不相似也不合同標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：xTAx=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y=yTBy，即B=pTAp，所以矩陣A與B一定合同．只有當(dāng)P是正交矩陣時(shí)，由于PT=P-1，所以A與B既相似又合同．答案為A.6、二次型f(x1，x2，x3，x4)＝x12＋2x1x2－x22＋2x2x3＋x32＋x42的秩為A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：故r(A)＝4，則二次型f的秩也為4．7、下列為初等方陣的是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因只有單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣才稱(chēng)為初等方陣，故A項(xiàng)正確，因B、C、D項(xiàng)都是單位矩陣經(jīng)過(guò)了兩次初等變換才能得到，所以B、C、D不對(duì)．8、若n階方陣A滿足A2一2A一3I=0，且矩陣A可逆則A-1=()A、A一2IB、2I一AC、一(A—2I)D、(A一2I)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于A(A一2I)=3I，因此A[(A一2I]=I，所以A-1=(A一2I)．答案為D。9、設(shè)A、B、C均為n階方陣，且滿足AB＝BA，BC=CB，則CAB＝A、ABCB、ACBC、BCAD、BAC標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因AB＝BA，BC＝CB，所以CAB＝CBA＝BCA．故C項(xiàng)正確．10、設(shè)A為m×n矩陣，秩為r，C為n階可逆矩陣，矩陣B=AC，秩(B)=r1，則()A、r1＞r2B、r＜r1C、r=r1D、r1與C有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：∵C為可逆陣，且B=AC∴r(B)=r(AC)=r(A)=r，即r1=r．答案為C。11、設(shè)A為m×n矩陣，秩為，r，C為n階可逆矩陣，矩陣B=AC，秩(B)=r1，則()A、r1＞r2B、r＜r1C、r=r1D、r1與C有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：∵C為可逆陣，且B=AC∴r(B)=r(AC)=r(A)=r，即r1=r．答案為C12、實(shí)二次型f(x1，x2，x3)=2x12+2x2+2+k2x33+2kx1x2正定，則k的取值范圍為()A、k＜0或k＞0B、-2＜k＜0或0＜k＜2C、一2＜k＜2D、k＜-2或k＞-2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于二次型的矩陣為，A正定，則順序主子式大于零，即=4一k2＞0，一2＜k＜2，=k2(4一k2)＞0，k≠0且-2＜k＜2，所以k的取值范圍是一2＜k＜0或0＜k＜2．13、設(shè)A、B為n階方陣，滿足A2=B2，則必有()A、A=BB、A=一BC、｜A｜=｜B｜D、｜A｜2=｜B｜2標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：∵A2=B2A2=AA=BB=B2，∴｜A2｜=｜B2｜，｜AA｜=｜BB｜．∵｜AA｜=｜A｜｜A｜=｜A｜2，｜BB｜=｜B｜｜B｜=｜B｜2，∴｜A｜2=｜B｜2．答案為D。14、當(dāng)t為_(kāi)_______，二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+3x32+2tx1x2+21x3是正定的．()A、｜t｜＞2B、｜t｜＜3C、｜t｜＜D、｜t｜＞1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：二次型的矩陣A=各階順序主子式為2＞0，15、設(shè)A是n階矩陣，C是n階正交陣，且B=C’AC，則下述結(jié)論_______不成立．()A、A與B相似B、A與B等價(jià)C、A與B有相同的特征值D、A與B有相同的特征向量標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：∵c是正交陣∴c=c-1，B=C-1AC，因此A與B相似．A對(duì)．c是正交陣｜C｜≠0，CTAC相當(dāng)對(duì)A實(shí)行若干次初等行變換和初等列變換，A與B等價(jià)，B對(duì)．兩個(gè)相似矩陣A、B有相同的特征值，C對(duì)．(λI—A)X=0與(λI—B)X=0是兩個(gè)不同的齊次線性方程組，非零解是特征向量，一般情況這兩個(gè)方程的非零解常常不同，所以只有D不對(duì)，選D答案為D。16、當(dāng)t為_(kāi)_____，二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+3x32+2tx1x2+2x1x3是正定的．()A、｜t｜>2B、｜t｜<3C、D、｜t｜>1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：二次型的矩陣各階順序主子式為2＞0，即即因?yàn)楣十?dāng)時(shí)，答案為C17、設(shè)，則α3=______時(shí)，有α1，α2，α3為R3的基．()A、(0，0，1)TB、(0，1，0)TC、(1，0，1)TD、(2，1，2)T標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：首先易知α1，α2線性無(wú)關(guān)(其坐標(biāo)不成比例，)又令A(yù)=(α1，α2，α3)，則α1，α2，α3線性無(wú)關(guān),|A|≠0．由于A的左上角2階主子式(記為|A11|)不等于0，故選α3==|A11|×1≠0)．18、設(shè)有向量組α1=(1，一1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，一2，2，0)，α5=(2，1，5，10)，則該向量組的極大線性無(wú)關(guān)組是()A、α1，α2，α3B、α1，α2，α4，α5C、α1，α2，α4D、α1，α2，α5標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：(α1T，α2T，α3T，α4T，α5T)=故α1T，α2T，α4T線性無(wú)關(guān)，從而α1，α2，α4是極大線性無(wú)關(guān)組．19、設(shè)α1,α2,α3是四元非齊次線性方程組Ax=b的3個(gè)解向量，且r(A)=3，α1=(1，2，3，4)T，α1+α3