2024-2025學(xué)年江西省吉安市遂川中學(xué)高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷含答案

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年江西省吉安市遂川中學(xué)高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若α是第三象限角，且sin(α+β)?cosβ?sinβcos(α+β)=?513，則A.?5 B.5 C.?513 2.從圓x2?2x+y2?2y+1=0外一點A.12 B.35 C.33.若將函數(shù)f(x)=2cosx(cosx+sinx)?1的圖象向左平移π4個單位長度得到g(x)的圖象，則g(x)圖象的對稱中心的坐標(biāo)是(

)A.(?3π8+kπ,0)(k∈Z) B.(?π8+kπ,0)(k∈Z)4.已知橢圓C：x22+y2=1的右焦點為F，右準(zhǔn)線為l，點A∈l，線段AF交C于點B，若A.2 B.2 C.3 5.在四棱錐P?ABCD中，E為線段AD上靠近A的三等分點，F(xiàn)為線段PC上一點，當(dāng)PA//平面EBF時，PFPC=(

)A.3

B.4

C.13

D.6.如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，若動點P在以AB為直徑的半圓上(正方形ABCD內(nèi)部，含邊界)，則PC?PD的取值范圍為(

)A.(0,4)

B.[0,4]

C.(0,2)

D.[0,2]7.已知過拋物線C：y2=4x的焦點F的直線與C相交于A，B兩點，y軸上一點P滿足PA⊥PF，則OP?A.1 B.2 C.?1 D.?28.在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a、b、c，S為△ABC的面積，a=4，且2S=a2?(b?c)2，則A.(8,45+4] B.(12,25+2]二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知直線l：3x?y+1=0，則下列結(jié)論正確的是(

)A.直線l的一個法向量為(3,1)

B.若直線m：x?3y+1=0，則l⊥m

C.點(3,0)到直線l的距離是10.設(shè)點A，F(xiàn)1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(?1,1)，(?1,0)，(1,0)，動點P(x,y)滿足：(x+1)A.點P的軌跡方程為x24+y23=1

B.|PA|+|PF2|<5

C.存在11.△ABC中，角A、B、C所對的邊為a、b、c下列敘述正確的是(

)A.若a2+b2?c2>0，則△ABC一定是銳角三角形

B.若acosA=bcosB=ccosC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知|a|=4,|b|=3，且(2a?3b13.設(shè)向量a=(3sinx,sinx)，b=(cosx,sinx)，x∈[0,π2]．

(1)若|a|=|b|14.已知雙曲線C1：x2?y2b2=1(b>0)與橢圓C2：x2a2+y2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=2cos(ωx?π6+θ)(ω>0,0<θ<π)的最小正周期為π，且f(0)=0．

(1)求函數(shù)f(x)的解析式并分別寫出f(x)取最大值與最小值時相應(yīng)x的取值集合；

(2)求函數(shù)g(x)=f(π16.(本小題15分)

如圖，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60°，N是AC的中點，BM=23BC，設(shè)AM與BN相交于點P．

(1)求cos∠MPN的值；

(2)若CP17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD//BC，AB⊥BC，PA=AD=4，BC=1，AB=3．

(1)證明：平面PCD⊥平面PAC；

(2)求AD與平面PCD所成角的正弦值．18.(本小題17分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32，橢圓C的左，右焦點與短軸兩個端點構(gòu)成的四邊形面積為23．

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線l：x?my?1=0(m≠0)與x軸交于點T，與橢圓C交于P19.(本小題17分)

在三棱錐P?ABC中，PC=BC=1，AC=2，AP=3，∠ACB=90°，PB的中點為M，點D在線段AB上，且滿足DB=DP．

(1)求證：PB⊥CD；

(2)當(dāng)平面PDC⊥平面ABC時，

①求點P到平面ABC的距離；

②若N為AB的中點，求平面PAC與平面MNC夾角的余弦值．

參考答案1.A

2.B

3.C

4.A

5.D

6.B

7.D

8.D

9.CD

10.AD

11.BC

12.?113.π6

314.315.解：(1)∵f(x)的最小正周期為T=π，

∴ω=2πT=2，

∵f(0)=2cos(θ?π6)=0，0<θ<π，

∴θ=2π3，

即f(x)=2cos(2x+π2)=?2sin2x，

當(dāng)2x=2kπ+π2,即x=kπ+π4(k∈Z)時，f(x)取最小值?2，

當(dāng)2x=2kπ?π2,即x=kπ?π4(k∈Z)時，f(x)取最大值2，

即f(x)取最小值?2時，x的取值集合為{x|x=kπ+π4,k∈Z}，

f(x)取最大值2時，x的取值集合為{x|x=kπ?16.解：(1)根據(jù)題意，可得AB?AC=|AB|?|AC|cos60°=3，

因為N是AC的中點，所以BN=AN?AB=12AC?AB，

由BM=23BC，得AM?AB=23(AC?AB)，可得AM=13AB+23AC，

所以AM?BN=(13AB+23AC17.解：(1)AB⊥BC，BC=1，AB=3，則AC=AB2+BC2=12+(3)2=2，∠ACB=π3，

△ACD中，CD2=AC2+AD2?2AC?AD?cosπ3=4+16?2×2×4×12=12，

故AC?2+CD2=4+12=16=AD2，故DC⊥AC，

又因為PA⊥底面ABCD，DC?底面ABCD，所以PA⊥DC，

又因為AC∩PA=A，AC，PA?平面PAC，DC⊥平面PAC，DC?底面PCD，故平面PDC⊥平面PAC，

(2)作AH⊥PC，垂直為H，連接DH，

因為平面PDC⊥平面PAC，且平面PDC∩平面PAC=PC，AH?平面PAC，

所以AH⊥平面PCD，故∠ADH為AD與平面PCD所成的角，

△PAC中，AH=PA?ACPC=4×225=45，sin∠ADH=AHDA=45×14=5518.解：(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c，則ca=32，即a2?b2a2=34，則a=2b，c=3b，

由C的左，右焦點與短軸的兩個端點構(gòu)成的四邊形的面積為23，得4×12bc=23，

即bc=3，解得a2=4，b2=1，

所以橢圓C的方程為x24+y2=1．

(2)顯然T(1,0)，設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y219.解：(1)證明：取PB的中點M，連接DM，CM，

因為PC=BC，M為PB的中點，

所以PB⊥CM，

因為PD=BD，M為PB的中點，

所以PB⊥DM，

又因為CM∩DM=M，

所以PB⊥平面CDM，

又因為CD?平面CDM，

所以PB⊥CD．

(2)①過點P作PO⊥CD于O，連OB，OA，

因為平面PDC⊥平面ABC，平面PDC∩平面ABC=CD，PO⊥CD，PO?平面PDC，

所以PO⊥平面ABC，

因為AO?平面ABC，PO⊥AO，

令∠BCD=α，則PO=BO=sinα，CO=cosα，

AO2=AC2+