2022屆河南省示范性高中高三下學(xué)期階段性模擬聯(lián)考三理科數(shù)學(xué)試題解析版

河南省示范性高中2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期階段性模擬聯(lián)考三理科數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則的子集的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．2．若是定義在上的奇函數(shù)，且，則的值為（

）A．1 B．2 C．0 D．3．已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線垂直，則直線的方程為（

）A． B．C． D．4．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣，自冬至日起，其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，前三個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為尺，最后三個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為尺，今年月日時(shí)分為春分時(shí)節(jié)，其日影長(zhǎng)為（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺5．若圓的半徑為,圓心在第一象限,且與直線和軸都相切,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A． B．C． D．6．的展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．7．已知圓錐的底面半徑為，當(dāng)圓錐的體積為時(shí)，該圓錐的母線與底面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（）A． B．C． D．9．已知是和的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線的離心率為（

）A． B．或2 C． D．或10．如圖：和是同一圓的兩個(gè)內(nèi)接正三角形；且.一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在該圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)，用表示事件“質(zhì)點(diǎn)落在扇形(陰影區(qū)域)內(nèi)”，表示事件“質(zhì)點(diǎn)落在內(nèi)”，則（

）A． B． C． D．11．平面直角坐標(biāo)系中，，該平面上的動(dòng)線段的端點(diǎn)和，滿足，則動(dòng)線段所形成圖形的面積為（

）A． B． C． D．12．對(duì)于恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、填空題13．從只讀過(guò)《論語(yǔ)》的名同學(xué)和只讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的名同學(xué)中任選人在班內(nèi)進(jìn)行讀后分享，則選中的人都讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的概率為_(kāi)_________．14．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為_(kāi)_____．15．已知中，角，，所對(duì)的邊分別為，，.，，的面積為4，則______.16．過(guò)點(diǎn)引曲線：的兩條切線，這兩條切線與軸分別交于兩點(diǎn)，若，則__________．三、解答題17．已知數(shù)列滿足，，，．（Ⅰ）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和．證明：．18．如圖，三棱柱中，底面是正三角形，是其中心，側(cè)面是正方形，是其中心．（Ⅰ）判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（Ⅱ）若四面體是正四面體，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．19．某學(xué)校舉行詩(shī)詞知識(shí)選拔賽，通過(guò)微信小程序自行注冊(cè)并登錄進(jìn)行作答，選拔賽一共設(shè)置了由易到難的、、、四道題，答題規(guī)則如下：每次作答一題，按問(wèn)題、、、順序作答；每位同學(xué)初始得分均為10分，答對(duì)問(wèn)題、、、分別加1分、2分、3分、6分，答錯(cuò)任一題減2分；每作答完一題，小程序自動(dòng)累計(jì)分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)小于8分時(shí)，答題結(jié)束；當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于14分時(shí)，答題結(jié)束，通過(guò)比賽；當(dāng)作答完四題，累計(jì)分?jǐn)?shù)仍不足14分時(shí)，答題結(jié)束；假設(shè)小強(qiáng)同學(xué)對(duì)問(wèn)題、、、回答正確的概率依次為、、、，且各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響．（Ⅰ）求小強(qiáng)同學(xué)前三道題都答對(duì)的概率；（Ⅱ）用表示小強(qiáng)同學(xué)答題結(jié)束時(shí)的得分，求的分布列；（Ⅲ）求小強(qiáng)同學(xué)能通過(guò)比賽的概率．20．設(shè)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓的短軸的一個(gè)端點(diǎn)，已知的面積為，．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）是否存在與平行的直線，滿足直線與橢圓交于兩點(diǎn)，，且以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．21．已知函數(shù)，，．(1)當(dāng)，時(shí)，求證：；(2)若恒成立，求的最大值．22．在直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)，常數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，并在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．曲線的極坐標(biāo)方程為．（Ⅰ）若曲線與有公共點(diǎn)，求的取值范圍；（Ⅱ）若，過(guò)曲線上任意一點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為，求的最小值．23．已知函數(shù)．（Ⅰ）解不等式：；（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：1．D【解析】【分析】根據(jù)集合交集的定義，結(jié)合子集個(gè)數(shù)公式進(jìn)行求解即可．【詳解】由題意，因此它的子集個(gè)數(shù)為4．故選：D．2．C【解析】根據(jù)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，可得，再根據(jù)周期為4，即可得到答案；【詳解】解：根據(jù)題意，若是定義在上的奇函數(shù)，則，又由，則有，則，故選：C.3．C【解析】【分析】根據(jù)兩直線的位置關(guān)系，設(shè)直線，再代入點(diǎn)，求直線的方程.【詳解】直線與直線垂直，設(shè)直線的方程為，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，即.直線的方程為.故選：C4．A【解析】【分析】由題意構(gòu)造等差數(shù)列，設(shè)公差為d，利用基本量代換求出通項(xiàng)公式，然后求.【詳解】小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，由題意得：，解得：所以，所以，即春分時(shí)節(jié)的日影長(zhǎng)為4.5.故選：A【點(diǎn)睛】(1)數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，在高中數(shù)學(xué)中，應(yīng)用題是常見(jiàn)考查形式：求解應(yīng)用性問(wèn)題時(shí)，首先要弄清題意，分清條件和結(jié)論，抓住關(guān)鍵詞和量，理順數(shù)量關(guān)系，然后將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(2)等差（比）數(shù)列問(wèn)題解決的基本方法：基本量代換.5．C【解析】【分析】依據(jù)條件確定圓心縱坐標(biāo)為1，又直線與圓相切，故圓心到直線的距離等于半徑求出圓心坐標(biāo)，寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因?yàn)閳AC的半徑為1，圓心在第一象限且與直線和軸都相切，所以圓心的縱坐標(biāo)為1，設(shè)圓心坐標(biāo)，則，又,所以所以該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的方程，圓與切線的關(guān)系，屬于中檔題.6．C【解析】【分析】寫(xiě)出的展開(kāi)式通項(xiàng)，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)即可得解.【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)為，且，所以，的展開(kāi)式通項(xiàng)為，由，可得，因此，的展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題：（1）分別對(duì)每個(gè)二項(xiàng)展開(kāi)式進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)它們各自項(xiàng)的特點(diǎn)；（2）找到構(gòu)成展開(kāi)式中特定項(xiàng)的組成部分；（3）分別求解在相乘、求和即可.7．A【解析】【分析】圓錐體中母線與底面所成角的正切值為它的高與底面半徑的比值，結(jié)合圓錐的體積公式及已知條件即可求出正切值，最后由同角三角函數(shù)關(guān)系得出母線與底面所成角的正弦值.【詳解】設(shè)圓錐的高為，則由題意可得，，解得，所以母線與底面所成角的正切值為，由同角三角函數(shù)關(guān)系可得，母線與底面所成角的正弦值為．故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)圓錐的性質(zhì)圓錐體中母線與底面所成角的正切值為它的高與底面半徑的比值，再根據(jù)幾何關(guān)系和同角三角函數(shù)關(guān)系求解.8．A【解析】【分析】結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)確定的范圍，然后利用對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)確定函數(shù)圖象．【詳解】的最大值為，，則最小值為，，，最小正周期為，則，，即，，是減函數(shù)，向左平移個(gè)單位得的圖象，只有A符合．故選：A．9．B【解析】【分析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，分別計(jì)算曲線的離心率.【詳解】由是和的等比中項(xiàng)，可得，當(dāng)時(shí)，曲線方程為，該曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，離心率，當(dāng)時(shí)，曲線方程為，該曲線為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，離心率，故選：B.10．A【解析】【分析】利用幾何概型以及條件概率的計(jì)算公式即可求解.【詳解】解：∵和是同一圓的兩個(gè)內(nèi)接正三角形，設(shè)半徑，∴，∴，，∴，，∴，故選：A.11．B【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，，，求出點(diǎn)軌跡，再求出點(diǎn)軌跡，然后可求得線段形成的圖形面積．【詳解】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，，，則，，由得，又，即，，所以，，動(dòng)點(diǎn)在直線上，且滿足，即線段上，，由掃過(guò)的三角形的面積為，設(shè)，則由得，所以，所以動(dòng)點(diǎn)在直線上，且，即線段上，，線段掃過(guò)的三角形面積為，所以線段所形成圖形面積為．故選：B．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)，得出點(diǎn)軌跡，點(diǎn)軌跡，即可得線段所形成的圖形，從而可得其面積．12．D【解析】【分析】原命題等價(jià)于恒成立，再構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)的最大值即得解.【詳解】由題得恒成立，因?yàn)楹瘮?shù)互為反函數(shù)，所以原命題等價(jià)于恒成立，即恒成立，令，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以.所以.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是利用反函數(shù)的性質(zhì)把原命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為恒成立.解數(shù)學(xué)題，要注意觀察，找到合適的切入點(diǎn).13．【解析】首先分類(lèi)編號(hào)，再列舉所有的基本事件和滿足條件的基本事件，利用古典概型求概率.【詳解】將只讀過(guò)《論語(yǔ)》的名同學(xué)分別記為，，只讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的名同學(xué)分別記為，，．設(shè)“選中的人都讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》”為事件，從名同學(xué)中任選人的所有可能情況有，，，，，，，，，共種，其中事件包含的可能情況有，，共種，故．故答案為：14．【解析】根據(jù)可求得的通項(xiàng)公式，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足上式，所以可得，代入所求，利用裂項(xiàng)相消法求和，即可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以，又滿足上式，所以，所以，所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為，故答案為：【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是根據(jù)，求得的通項(xiàng)公式，易錯(cuò)點(diǎn)為，若滿足上式，則寫(xiě)成一個(gè)通項(xiàng)公式的形式，若不滿足上式，則需寫(xiě)成分段函數(shù)形式，考查計(jì)算化簡(jiǎn)的能力，屬中檔題.15．6【解析】根據(jù)已知條件結(jié)合先求解出的值，從而的值可求，再結(jié)合的面積以及角對(duì)應(yīng)的余弦定理即可求解出的值.【詳解】由，得，所以.因?yàn)?，所以，即，解得，，所以，，故，所?由余弦定理及，可得，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用正、余弦定理解三角形的注意事項(xiàng)：（1）注意隱含條件“”的使用；（2）對(duì)三角函數(shù)的相關(guān)等式進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，等式兩邊同時(shí)約去某個(gè)三角函數(shù)值時(shí)，注意說(shuō)明其不為；（3）余弦定理中要注意邊長(zhǎng)的乘積與邊長(zhǎng)的和的轉(zhuǎn)換，如.16．【解析】【分析】由兩切線的斜率互為相反數(shù)，設(shè)切點(diǎn)，求導(dǎo)列關(guān)于t的方程求出t值即可求解【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為即,解得t=0或t=兩切線的斜率互為相反數(shù)，即2a+6,解得故答案為【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，轉(zhuǎn)化兩切線的斜率互為相反數(shù)是突破點(diǎn)，熟練掌握切線的求法，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是中檔題.17．（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析．【解析】【分析】（Ⅰ）首先遞推數(shù)列變形為，即可證明數(shù)列為等差數(shù)列；（Ⅱ）由（Ⅰ）變形可知，再利用裂項(xiàng)相消法求和，即可證明.【詳解】證明：（Ⅰ）∵，，∴，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，∴，，∴．所以．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查遞推公式求通項(xiàng)公式，以及數(shù)列求和，本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是求出后，可利用裂項(xiàng)相消法求和.18．（Ⅰ）相交，證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，根據(jù)棱柱性質(zhì)可得，即四邊形是平行四邊形，又平面，即可得與的位置關(guān)系.（Ⅱ）如圖2建系，設(shè)為單位長(zhǎng)度，可得各點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得，，坐標(biāo)，即可求得平面平面和平面的法向量，利用二面角的向量求法，即可得答案.【詳解】（Ⅰ）證明：如圖1，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，根據(jù)棱柱的性質(zhì)可得，，，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以平面．因?yàn)榕c相交，所以與相交．

（Ⅱ）連接，因?yàn)樗拿骟w是正四面體，是的中心，所以平面，又平面，所以．所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，方向分別為軸，軸正方向，為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖2所示.易得，，，，，，．所以，，，所以，，故是平面的法向量．又是平面的法向量，且，設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則．所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.19．（Ⅰ）；（Ⅱ）答案見(jiàn)解析；（Ⅲ）．【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)概率乘法公式即可求解；（Ⅱ）寫(xiě)出的可能取值，根據(jù)答題得分的情況，求解相應(yīng)的概率從而寫(xiě)出分布列；（Ⅲ）根據(jù)通過(guò)比賽的條件結(jié)合乘法概率公式即可求解．【詳解】解：（Ⅰ）小強(qiáng)同學(xué)前三道題都答對(duì)的概率．（Ⅱ）可能取6，7，9，10，11，14，16，17，18，19．答題得分情況如下：初始分累計(jì)得分能否通過(guò)比賽對(duì)錯(cuò)得分對(duì)錯(cuò)得分對(duì)錯(cuò)得分對(duì)錯(cuò)得分10√11√13√1616能10√11√13×11√1717能10√11√13×11×99否10√11×9√12√1818能10√11×9√12×1010否10√11×9×77否10×8√10√13√1919能10×8√10√13×1111否10×8√10×8√1414能10×8√10×8×66否10×8×66否∴隨機(jī)變量的分布列為：67910111416171819（Ⅲ）小強(qiáng)同學(xué)能通過(guò)比賽的概率為：．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求概率的常用方法：先定性（古典概型、幾何概型、獨(dú)立事件概率、互斥事件概率、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率、條件概率），再定量（代公式求解）．20．（Ⅰ）；（Ⅱ）存在滿足條件的直線，方程為或．【解析】【分析】（Ⅰ）由的面積得，又根據(jù)得，結(jié)合關(guān)系即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）可設(shè)直線的方程代入橢圓方程求得兩根關(guān)系，以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則，代入坐標(biāo)化簡(jiǎn)求取值，即可求得直線方程．【詳解】解：（Ⅰ）設(shè)，則的面積等于，所以．①由，即，得．因?yàn)樵谥苯侵?，，，，所以，所以．②由①②及，得，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（Ⅱ）因?yàn)橹本€的斜率為，所以可設(shè)直線的方程為，代入，整理得．由，得．設(shè)，，則，．若以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則，即，得，所以，得．因?yàn)?，所以．所以存在滿足條件的直線，方程為或．【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．21．(1)證明見(jiàn)解析；(2)．【解析】【分析】(1)討論的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性，求出的最小值，作差比較即得；(2)分類(lèi)討論確定a>0，不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，構(gòu)建函數(shù)并求其最大值，進(jìn)而計(jì)算出ab，并再求函數(shù)最大值而得.【詳解】(1)證明：當(dāng)，時(shí)，，，所以，，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值，因?yàn)椋裕?2)依題意：，令，則有恒成立，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，當(dāng)且時(shí)，即，，矛盾；所以，，而，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，從而在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在時(shí)有最