初升高銜接數(shù)學講義

初升高之集合的概念

資料編號：202307211812

一'本節(jié)知識要點

（1）集合的含義與表示；

（2）元素與集合之間的關系與表示；

（3）集合元素的三個基本性質(zhì)；

（4）常用數(shù)集的表示；

（5）集合的兩種表示方法（列舉法和描述法）；

（6）集合的分類.

二、集合的含義與表示

一般地，指定的某些對象的全體稱為集合.集合中的每個對象叫做這個集合的

元素.

集合用大寫字母來表示，集合的元素用小寫字母來表示.

三、元素與集合之間的關系與表示

元素與集合之間是從屬關系:若元素4在集合z中，就說元素。屬于集合a記作

ae/;若元素a不在集合A中，則稱元素a不屬于集合4記作aeA.

要求會判斷元素與集合之間的從屬關系.

四、集合元素的三個基本性質(zhì)

集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.

確定性給定一個集合，它的元素必須是確定的.也就是說，給定一個集合,任何一

個元素屬于或不屬于這個集合,也就確定了.

互異性給定一個集合，它的元素是互不相同的.即同一個集合中的元素不能重復

出現(xiàn).

在用列舉法表示集合時,相同的元素算作集合的一個元素.

無序性集合中的元素是沒有順序的.

如果構(gòu)成兩個集合的元素是相同的，那么就稱這兩個集合相等.

五、常用數(shù)集的表示

自然數(shù)集N;正整數(shù)集N+或N*;整數(shù)集Z;有理數(shù)集Q;實數(shù)集R.

六、集合的兩種表示方法

集合有兩種常用表示方法，即列舉法和描述法.此外還有韋恩圖法（Venn圖法）.

列舉法

把集合的元素一一列舉出來，并用大括號"｛｝''括起來表示集合的方法叫做列

舉法.

用列舉法表示集合時要注意以下幾點：

（1）元素之間必須用逗號隔開；

（2）元素不能重復（即集合的元素要滿足互異性）；

（3）元素之間無先后順序（集合的元素具有無序性）；

（4）表示有規(guī)律的無限集時，必須把元素間的規(guī)律表示清楚后才可以使用省略號,

如｛1,2,3,…;

（5）注意“與,｝的表示是有區(qū)別的表示的是一個元素,｛。｝表示的是只有一個

元素a的集合.二者具有從屬關系，及aeA.

列舉法常用來表示有限集或有規(guī)律的無限集.

描述法

｛xe/|P（x）｝,其中x為集合的代表元素，/表示元素x的取值范圍,P（x）表示集合的

元素所具有的共同特征.

第二定義用確定的條件表示某些對象屬于一個集合的方法，稱為描述法.

注意廣共同特征''或"確定的條件=｛x\x2-2x-3=0｝,集合B=｛x\2x-6<0｝.

用描述法表示集合時要注意以下幾點：

（1）寫清集合中的代表元素，如實數(shù)或有序?qū)崝?shù)對,從而正確表示數(shù)集和點集；

（2）用簡潔準確的語言表示集合中元素的共同特征；

（3）不能出現(xiàn)未被說明的字母,如集合｛xeZ\x=2〃｝中的〃未被說明，應正確表示

為｛xeZ\x=2n,neZ｝或｛x|x=2n,neZ｝;

（4）元素的取值范圍,從上、下文來看,如果是明確的，可以省略.

22

如集合｛xGR\x+X=o｝,也可以寫作｛x|x+x=o｝.

（5）出現(xiàn)多層描述時,應正確使用“或”、“且”、“非”等邏輯聯(lián)結(jié)詞;

（6）所有描述的內(nèi)容都要寫在大括號內(nèi)；

（7）識別描述法表示的集合時，要看清代表元素，正確區(qū)分數(shù)集和點集.

當集合所含元素較多或元素的共同特征不明顯時，適合用描述法來表示集合.

例1.用兩種方法表示二元一次方程組+,=5的解.

[x-y=1

注意：二元一次方程組的解是有序?qū)崝?shù)對，所以在表示二元一次方程組的解時，要

表示為點集的形式.

解:解二元一次方程組+歹=5得:,=2

[x-y=lly=1

用列舉法表示為｛（2,1）｝，用描述法表示為L,d|x=2-.

I口川

提示：｛（2,1）｝與｛（1,2）｝表示的是兩個不同的集合.

例2.指出集合&上=2%-1｝與集合｛（》,夕口=2》-1｝的區(qū)別.

注意：區(qū)分數(shù)集和點集的關鍵在于代表元素.用描述法表示集合時記作｛xe/|P（x）｝,其

中x表示的就是代表元素，它可以是一個數(shù)字（數(shù)集），也可以是有序?qū)崝?shù)對（點

集）.

解:集合｛x|_y=2x-l｝表示的是一個數(shù)集，它表示函數(shù)解析式y(tǒng)=2x-l中自變量的

取值范圍，所以｛x|y=2x-1｝=R;

集合｛（x,y）|y=2x-l｝表示的是一個點集，它表示函數(shù)歹=2x-l的圖象上所有

點的坐標.

例3.用合適的方法表示下列集合：

（1）文房四寶；

（2）2019年9月3日，新鄉(xiāng)市平原示范區(qū)所轄鄉(xiāng)鎮(zhèn)；

（3）平面直角坐標系中,第二象限的點構(gòu)成的集合.

注意：在用列舉法表示集合時，元素之間必須用逗號隔開，不要用錯標點符號.點

集的代表元素為有序?qū)崝?shù)對.

解：⑴｛筆，墨，紙,硯｝;

(2){祝樓鄉(xiāng)，韓董莊鄉(xiāng)，原武鎮(zhèn),橋北鄉(xiāng)，師寨鎮(zhèn)};

(3){(x,y)|x<0,且y>0}.

例4.分別用列舉法和描述法表示下列集合：

(1)方程￡—2=0的所有實數(shù)根組成的集合；

(2)由大于10小于15的所有整數(shù)組成的集合.

注意：在用描述法表示集合時,代表元素的取值范圍，如果從上、下文來看是明確

的，可以省略.

解：⑴列舉法:{&,-亞卜

描述法:_2=0}或{R/_2=0}.

(2)列舉法：{11,12,13,14};

描述法:{xeZ|10<x<15}.

七、集合的分類

集合按所含元素個數(shù)的多少可以分為有限集、無限集和空集

含有有限個元素的集合叫做有限集.含無限個元素的集合叫做無限集.

不含任何元素的集合叫做空集，記作0.

如方程X?+1=0的實數(shù)根組成的集合{xwH,+1=0}就是一個空集，即

{xeR\x2+1=O)=0.

八、重要結(jié)論：

判斷形如ax2+bx+c=0的方程的實數(shù)根的個數(shù)的方法是：

(1)當“=0時，方程可化為bx+c=0的形式：

①當6H0時，方程有唯一一個實數(shù)根X=-￡；

b

②當6=0,c=0時，方程有無數(shù)個實數(shù)根；

③當6=0,c豐0時，方程沒有實數(shù)根；

(2)當“70時,原方程為關于x的一元二次方程：

①若△=/-4數(shù)>0,則方程有兩個不相等的實數(shù)根；

②若△=y-4ac=0,則方程有兩個相等的實數(shù)根(此種情況下表示方程的實數(shù)

根組成的集合時,集合只有一個元素)；

③若△=/-4改<0,則方程沒有實數(shù)根.

提示:在討論集合元素的個數(shù)時，一定要注意分類討論.

例5.已知集合Z={xe及卜/+2》+1=o,ae7?}.

(1)若Z中只有一個元素，求”的值；

(2)若2中至多有一個元素，求。的取值范圍.

分析：先弄清楚集合4/是由方程a/+2x+l=0的實數(shù)根組成的集合，該方程中

含有參數(shù)a，為含參方程.

(1)集合N中只有一個元素，指的是方程ax?+2x+l=0只有一個實數(shù)根，該方

程可以是一次方程(a=0),也可以是二次方程(aNO),注意分類討論；

(2)集合Z中至多有一個元素，指的是方程a/+2x+l=0只有一個實數(shù)根或沒

有實數(shù)根.

解：(1)當a=0時，原方程可化為:2x+l=0,解之得:x=-g,集合/=1-9,符合

題意；

當awO時,?.?"2+2》+1=0只有一個實數(shù)根

；.△=4—4a=0，解之得:a=1

綜上，當a=0或。=1時,4中只有一個元素；

(2)當Z中只有一個元素時，由(1)可知:a=0或a=l;

當4中沒有元素時，即方程ax2+2x+l=0沒有實數(shù)根

.?.△=4—4a<0,解之得:“>1

綜上，當a=0或時4中至多有一個元素.

例6.實數(shù)集/滿足條件:1任/，若aeZ,則一

1-a

(1)若2w4,求/;

(2)集合4能否為單元素集合?若能，求出4;若不能，請說明理由；

(3)求i正：1一工GA.

a

分析：本題重點考查集合元素的三個基本性質(zhì)：確定性、互異性和無序性.

(1)解:：2e/,2W1，一'一=-leZ

1-2

J」"

1-(-1)2

—-2eA

1-

2

_1_

：.A={2,-1}；

2

(2)解〃不能為單元素集合.

理由如下:若/為單元素集合，則有?=—，整理得:/_“+1=o

\-a

?.?△=(-1)2-4xl=-3<0

方程1一。+1=0沒有實數(shù)根

不能為單元素集合；

(3)證明:若ae/，則］eA

1—Cl

例7.已知集合/=區(qū)/-3x+a=0},若4e/,求集合4

分析：由題意可知集合/是由方程/-3x+a=O的實數(shù)根構(gòu)成的,“4eN”指的是

x=4是方程x2-3x+a=O的一個實數(shù)根.

解：A

，》=4是方程/-38+。=0的一個實數(shù)根

.?.42-3x4+4=0

解之得:a=-4

二原方程為：/—3x-4=0

解之得：X[=4,X2=-1

...集合/={-1,4}.

例8.已知集合/=卜卜/-3x-4=0,xw/?}.

(1)當工中只有一個元素時，求a的值，并求出此元素;

(2)當/中有兩個元素時，求a滿足的條件；

(3)當N中至少有一個元素時，求a滿足的條件.

分析:集合4為含參方程a/-3x-4=0的實數(shù)根構(gòu)成的集合.因為方程所含參數(shù)

為二次項系數(shù)，所以該方程可以是關于x的一元一次方程，也可以是一元二次方

程，所以在研究該方程的實數(shù)根時,要分為兩種情況進行討論.

(1)當/中只有一個元素時，說明方程ax2-3x-4=0只有一個實數(shù)根，此時

4=0；或該方程有兩個相等的實數(shù)根，此時。工0；

(2)當〃中有兩個元素時，說明方程辦2-3x-4=0為一元二次方程，此時aw0,

且方程有兩個不相等的實數(shù)根；

(3)當4中至少有一個元素時，說明方程ax?-3%-4=0只有一個實數(shù)根或有兩

個不相等的實數(shù)根，為(1)問和(2)問結(jié)果的綜合.

解：(1)分為兩種情況：

4

①當a=0時，原方程為:-3x-4=0,解之得:x=—

3

二〃={-g卜符合題意；

②當a工0時，由題意可知方程a/-3x-4=0有兩個相等的實數(shù)根

.?.△=(-3y-4ax(-4)=0

9

解之得:。=-二

16

a

.?.原方程為:-3/一3》-4=0

16

解之得：X|=x=--

23

綜上，當a=0時，集合力只有一個元素-3；當a=-2時,集合/只有一個元素-§；

3163

(2),：A中有兩個元素

二方程a/-3x-4=0為一元二次方程，且有兩個不相等的實數(shù)根

.卜工0

A=(-3)2-4tzx(-4)>0

9

解之得:a>---且aw0;

16

(3),：A中至少有一個元素

：.A中有一個元素或有兩個元素

O

當〃中有一個元素時，由(1)可知:。=0或。=——;

16

o

當〃中有兩個元素時，由(2)可知:“〉-巳且”0.

綜上,a滿足的條件是。2-2.

16

重要結(jié)論：

判斷形如ax?+bx+c=0的方程的實數(shù)根的個數(shù)的方法是：

(1)當。=0時，方程可化為bx+c=0的形式：

①當時，方程有唯---個實數(shù)根x=-￡;

b

②當6=0,c=0時，方程有無數(shù)個實數(shù)根；

③當6=0,CH0時，方程沒有實數(shù)根；

(2)當awO時，原方程為關于x的一元二次方程：

①若△=/-4℃>0,則方程有兩個不相等的實數(shù)根；

②若△=62-4公=0,則方程有兩個相等的實數(shù)根(此種情況下表示方程的實數(shù)

根組成的集合時,集合只有一個元素)；

③若A=〃-4ac<0,則方程沒有實數(shù)根.

例9.已知/={x|x2+px+q=x},B={x|(x-l):+p(x-l)+q=x+1},當2={2}時,

求集合B.

解:：/={2}

2

二方程/+px+q=x，即x+(p-l)x+q=0有兩個相等的實數(shù)根，且再=x2=2

由根與系數(shù)的關系定理可得—1)=4

14=4

解之得：[P=7

[4=4

B-{x|(x-1)：+p[x-\)+q=x+1}={x|(x-1)2-3(x-1)+4=x+1}

整理得:8=卜,2一6X+7=0}

解方程得:1]=3+V2,X2=3—V2

???集合6={3+后,3—后}.

例10.設歹=--QX+6,4=^x\y-x=0},5={x\y-ax=0},若A={-3,l},試用列

舉法表示集合B.

分析:本題要先由根與系數(shù)的關系定理求出。涉的值，然后把集合8中的方程轉(zhuǎn)化

為關于x的具體的一元二次方程，解方程即可求出集合區(qū)

解：:y=/一QX+6

/.A={x\y-x=0}={x\x2-(a+l)x+6=0}

B={x,-ax=0}={x|x2-2ax+6=o}

,?&{-3,1}

**.X[=-3,x2=1是方程--(a+l)x+6=0的兩個實數(shù)根

由根與系數(shù)的關系定理可得:+l=—2

[b=-3

(a=—3

解之得:<，:.B={xlx2—2ax+力=0}={x|x2+6x—3二0}

b=-3

解方程/+6工-3=0得:%,=-3+2A/3,X2=-3-243

：.集合5={-3+273-3-2右}.

例11.已知集合M=同(x-aX/_幻+4-1)=0}中各元素之和等于3,求實數(shù)a

的值,并用列舉法表示集合M

分析:本題考查到集合元素的基本性質(zhì)：互異性，注意分類討論.

解:A/={x|(x-a)(x2-ax+a-1)=O}

/.M={x[(x-a)(x-l)[x-(a-1)]-0}

???a工a-1,且集合M中各元素之和等于3

...當a=I時,M={1,0},I+0w3,不符合題意;

當=即a=2吐〃={2,1},2+1=3,符合題意;

當4/1且4*2時,〃=儲,1,4—1},由4+1+4—1=3得4=|,此時〃=[21，；}，符

合題意.

綜上，實數(shù)a的值為2或g,集合M={2,1}或/=*1]}?

提示:在用列舉法表示有限集時，要注意集合元素的互異性.

題型二、集合元素的基本性質(zhì)的應用

集合的元素具有確定性、互異性和無序性,其中對互異性的考查最為常見.

例12.已知集合N={a-2,蘇+4a,l0},^-3e4,求實數(shù)a的值.

分析：由元素與集合之間的關系可求出實數(shù)。的值，但要注意所求。的值要保證

集合N中的元素互不相同，即滿足互異性，所以要對求得的。的值進行檢驗.

解:當a-2=-3時，解之得:a=-l，此時/={-3,-3,10},不滿足元素的互異性，舍去;

當+4a=-3時，解之得:a,=-1(已舍去)，4=-3

當a=-3時,4={一5-3,10)，符合題意.

綜上，實數(shù)a的值為-3.

例13由實數(shù)羽-巧風47,-療所組成的集合中，含有元素的個數(shù)最多有【】

(A)2(B)3(C)4(D)5

分析:本題主要考查集合元素的互異性.

解：=|x|VP-=-\x\

.,.①當X〉0時,=|x|=xVP'=-|x|=-x

...所組成的集合中含有2個元素x,-x;

②當x=0時，所組成的集合中，只有一個元素0;

③當X<0時,VP'=|x|=-X,-=-|x|=X

...所組成的集合中含有2個元素x,-x.

綜上，含有元素的個數(shù)最多有2個.選擇【A】.

題型三、元素與集合的關系

元素與集合的關系是從屬關系,只有元素屬于集合和元素不屬于集合兩種關系.

判斷一個元素是否屬于集合的方法是：

(1)弄清集合代表元素的含義以及集合所含元素的共同特征；

(2)看元素是否滿足集合元素的共同特征.

例14已知集合/滿足條件:若ae/,則匕若工€4且集合/中的

1-(73

元素不超過4個，求集合力中的其它元素.

分析:根據(jù)“若aw/,則上q€血。71)”，將4=1代入匕應即可求出集合/的

1-Q31—(7

另一個元素，以此類推，可得集合力中的其它三個元素.

1+-

解：—w/,.?---^=2eA

31-1

3

二集合，中的其它元素為

例15.已知集合〃++eM，則

與與N的關系是【】

(A)x§€N(B)史N

(C)X。€"或看任N(D)不能確定

xx=《+；,kez}={x2k+\

解：???〃=x=,k&Z

2

???集合M為全體奇數(shù)的一半所組成的集合

左+2

X=,keZ

2

???集合N為全體整數(shù)的一半所組成的集合

???若/￡A/，則必有4￡N.選擇【A】.

令解:N={xx=g+l,%￡z}=(xx=卜；,keZ

當左二2n(n€Z)時,N={x\x=〃+wZ};

當％=2〃-1(〃￡Z)時,N=<xx=〃+GzL

x0GA/

可設。=（：）

Xuu+—2'AGZJ,，Xun￡N.

（由后面可知，集合〃與集合N的關系為〃qN,所以若/e”,則有x,eN）

例16.已知集合N={x||x-l|<2,xeN},B={y|y=x2+l,xG/},則集合B中所有

元素之和為.

分析：先解絕對值不等式|x-l|?2,再用列舉法表示出集合4下面給你補充簡單

絕對值不等式的解法.

知識點簡單絕對值不等式的解法

（1）國2。（。20）型不等式的解法：（.NO）oxNo或xW—a.

（2）|x|W“（aNO）型不等式的解法：WWo（。20）Q-aWxWa.

根據(jù)上面補充的結(jié)論，若,一心2,則一2Wx—lW2,解之得：—1WXW3.

解:,；4={x||x-1|<2,xeJV}={X|-1<x<3,xeTV-}={0,1,2,3}

3={*=—+1,X€a}={1,2,5,10},集合8中所有元素之和為18.

初升高之集合的概念測試題

資料編號：202307222203

1.若a,b,c,d為集合力的四個元素，則以a,b,c,d為邊長的四邊形可能是【】

(A)矩形(B)平行四邊形(C)菱形(D)梯形

2.方程組=:的解集是

“一丁=1

(X=3

(A)\(B){%/卜=3且^=2}

b=2

(C){3,2}(D){(x,y)|x=3且y=2}

3.己知集合N=kW=x},下列說法正確的是

(A)-leA(B)leA(C)0任/(D)2EA

4.集合N=卜wNxeN1的元素個數(shù)為

(A)3(B)4(C)5(D)6

5.已知集合4中的元素x滿足2x-a>0,且1e42wZ,則[]

(A)a>4(B)aW2

(C)2<aW4(D)2Wa<4

6.若Z={0J,2},6={3,4},M={x|x=ab,aee8},則V中元素的個數(shù)為[]

(A)3(B)4(C)5(D)6

7.(多選題)下列說法中不正確的是【】

(A)0與{0}表示同一個集合

(B)集合”={3,4}與％={(3,4)}表示同一個集合

(C)方程(x-4(x-2)=0的所有解的集合可表示為{1,1,2}

(D)集合{x|4<x<5}不能用列舉法表示

8.已知集合4=卜€(wěn)及辰2+2工+1=0}淇中。61<若1是集合N中的一個元素，則

集合4=[1

(A){-3}(B){1}(C),1}(D)《,11

9.已知x,乂z為非零實數(shù)，集合M=!+=+￡+當]，下列判斷正確的

IWblIWMJ

是【】

(A)4eA/(B)2GM(C)0任河(D)一4eA/

10.(多選題)給出下列說法，其中正確的是【】

(A)集合{xeN,=x}用列舉法表示為{0,1}

(B)實數(shù)集可以表示為卜,為全體實數(shù)}或{R}

(O方程組尸+'=。的解組成的集合為

x—y=—1122J

(D)方程(x—2)2+(”3)2=0所有解組成的集合為{(2,-3)}

11.已知集合/={x|x2+2QX-Q<o},且一1e4,則實數(shù)〃的取值范圍為.

12.已知集合A={x^ax2-3x+1=o},其中a為常數(shù)，且。ER.若A中至多有一個元

素，則實數(shù)。的取值范圍為.

13.集合/={a2+。-2,1-凡2},若4G4,則a-.

14.已知集合N={x—eN,xeN},那么集合A用列舉法可表示為.

15.已知集合〃中有且僅有2個元素，并且實數(shù)。滿足aeN,

4-aw/,且aeN,4-awN,則A=.

16.(1)用列舉法表示方程組I"：'：1的解組成的集合；

[x+夕=1

(2)用描述法表示不等式-l<2x+3<9的解集.

17.已知集合4與集合(？,。+仇0}是兩個相等的集合，求/。24+〃。24的

值.

18.已知集合4={xQx?+2x+l=0,ae7?}.

（1）若leZ,用列舉法表示集合N;

（2）當集合4中有且只有一個元素時，求a的值組成的集合區(qū)

初升高之集合的概念測試題答案解析

1.D2.D3.B4,C5.D6.C7.ABC

8.C9.A10.AD

11.卜12.{“/(或”。:13.214.{1,2,3,4}

15.{0,4}或{1,3}

16.解：(1)解方程組

〔/+/=ME"

方程組1的解組成的集合為{(0,1),(1,0)};

[x+y=\

(2)解不等式-l<2x+3<9得:-2<x<3

，不等式-l<2x+3<9的解集為{x|-2<x<3}.

QW0

17.解：由題意可得：〃，.?"=()

—=0

「?A={a,0,1},{〃2,Q+6,0}={a2,a,。}

顯然—1,Q2=1，解之得：。=—1(Q=1舍去)

Aa2024+Z?2024=(_1)2024+()2024=1

18.解：(1);IE/

???]=1是方程。/+2工+1=()的實數(shù)根

a+2+1=0，解之得:(7=—3

2

—3x+2x+1=0，解之得:x}—l,x9=

(2)當Q=0時,2x+l=0,解之得：x=-g,?'?/二1一g卜符合題意;

當。工0時，方程"+2x+1=0有兩個相等的實數(shù)根

.**A=4—4a—0，解之得:tz=1,A—|X|JC2+2x+1=o}={-1}，符合題意.

綜上所述,。的值組成的集合B={0,1}.

初升高之集合間的基本關系

一、本節(jié)知識點

（1）Venn圖,表示集合的圖示法；

（2）子集的含義及表示；

（3）集合相等；

（4）真子集的含義及表示；

（5）空集的含義及其性質(zhì)；

（6）子集'真子集個數(shù)的確定.

知識點一Venn圖

在數(shù)學中，我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖

（韋恩圖）.這種表示集合的方法叫做圖示法.

關于Venn圖：

（1）Venn圖的邊界是封閉的曲線，它可以是橢圓、圓、矩形，也可以是其它的封

閉曲線；

（2）用Venn圖表示集合的優(yōu)點是能直觀地反映集合之間的關系,缺點是集合元

素的共同特征不明顯.

知識點二子集的含義及表示

子集反映的是集合之間的包含關系.

一般地，對于兩個集合A,B，如果集合A中的任意一個元素都是集合3中的元

素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合A為集合B的子集，記作Z=6（或

B=A），讀作7含于8”（或“5包含A"）.

對子集的理解：

（1）8的Venn圖表示：

（2）4=8的符號表述:對任意的xe2,都有xe8.

（3）若集合A中存在不屬于集合B的元素時,則集合A不是集合B的子集.

（4）空集是任何集合的子集.

子集的性質(zhì)：

（1）任何一個集合都是它本身的子集（包括后面的空集，即0=0）;

（2）傳遞性:若/==則N=

子集的應用

根據(jù)集合之間的關系可以確定參數(shù)的值或取值范圍.

若/q8，在未指明A非空時，要分兩種情況進行討論：

①/=0;

②/*0.

知識點三集合相等

如果集合A是集合B的子集（/=8），且集合B是集合A的子集（3=4）,

此時集合A與集合B的元素是一樣的，集合A與集合B相等，記作A=B.

上面也即互為子集的兩個集合相等.

集合A=B的符號表述:若Z工8,且8q則/=8.

如何證明兩個集合相等

對于兩個集合A,B，若要證明A=B，只需證明AqB與B=A均成立即可.

如何判斷兩個集合相等

（1）當兩個集合為有限集時,若兩個集合的元素個數(shù)相同，且都含有相同的元素,

則這兩個集合相等.

（2）當兩個集合為無限集時，若兩個集合的代表元素滿足的條件一致，則兩個集合

相等.

注意:集合相等與集合的形式無關，形式不同的兩個集合也可以相等.

如{xeZ|0<x<3}={1,2}.

知識點四真子集的含義及表示

如果集合AqB，但存在元素xe8,且x任Z,我們稱集合A是集合B的真子集,

記作（或8圣〃），讀作“〃真含于夕’（或“8真包含〃”）.

對真子集的理解:

（1）的Venn圖表示:

（2）的符號表述:若且則458.

（3）若則B中至少存在一個4中沒有的元素.

（4）規(guī)定0是任何非空集合的真子集，即若/w0,則05N.

子集與真子集的關系

若/18,則4=6或256.

知識點五空集的含義及其性質(zhì)

不含任何元素的集合叫做空集，記作0.

空集的性質(zhì)：

（1）空集是任何集合的子集（包括空集）.

（2）空集只有一個子集,是空集，即它本身.

（3）空集是任何非空集合的真子集，即若NN0,則0*4

重要提醒:在由集合間的關系確定參數(shù)的值或參數(shù)的取值范圍時，注意對空集的

討論.

知識點六子集、真子集個數(shù)的確定

若集合/含有〃個元素，則集合A:

（1）含有2"個子集；

（2）含有2"-1個非空子集；

（3）含有2"-1個真子集；

（4）含有2"-2個非空真子集.

知識點七關于集合為空集的重要結(jié)論

(1)若集合A={x\mVx4〃}=0,則機>〃；

(2)若集合A-{X|/M<x<〃}=0,則2”；

(3)若集合A={X|/M<x<n}=0^A={x[m<x<n}=0，則m》〃.

以上結(jié)論，在解決由集合間的關系確定參數(shù)取值范圍的問題時要會靈活運用,

并注意分類討論(如關于空集的討論).

二、例題講解

例1.已知集合A={x|x<一I或x>4},8={x\2aKx〈a+3},若6q/,求實數(shù)q的

取值范圍.

分析：這是一道由集合間的關系確定參數(shù)的取值范圍的問題，注意數(shù)形結(jié)合思想

和分類討論思想的應用.

因為8=/,集合8中含有參數(shù)，所以分為兩種情況:①8=0;②8/0.對于

8這種情況，要借助于數(shù)軸來完成對參數(shù)的約束，從而可以確定參數(shù)的取值

范圍.

最后需要說明的是，參數(shù)的取值范圍要表示成集合的形式.

解:,；B=A,B={x\2a4x4a+3},...分為兩種情況：

①當8=0時,2a>a+3,解之得:a>3;

②當3*0時，則有3或產(chǎn)<。+3,解之得："_^2<QW3.

綜上，實數(shù)a的取值范圍為{a[a<-4或a>2}.

例2.已知集合A-{x|-3<x<4},B={x\2m-1<x<m+1},若8口/,求實數(shù)〃?的

取值范圍.

分析：需要知道的是由集合間的基本關系可以確定參數(shù)的取值范圍.

本題在分類討論時要用到下面的結(jié)論：

關于集合為空集的重要結(jié)論

(1)若集合N={x\m4x4〃}=0,則加>〃；

(2)若集合N=[x\m<x<〃}=0,則加2〃；

（3）若集合Z={x\m4x<”}=0或4={x\m<x4〃}=0,則加2〃.

最后，實數(shù)m的取值范圍最好寫成集合的形式.

解：8=4,8=（x\2m-1<x<7M+1}

.?.分為兩種情況：

①當8=0時,2加一1>加+1，解之得:m>2;

2m-1<m+1

②當8工0時，則有：，2^-1>-3，解之得W2.

m+1<4

綜上,實數(shù)機的取值范圍為何加2-1}.

例3.設集合/={x|x2+4x=o},5={x|x2+2（a+l）x+a2-1=o},若8屋/，則實

數(shù)。的值取值范圍為.

分析:在進行分類討論時要做到不重不漏，特別注意不能漏掉對8=0的討論.解

決本題還要明白以下兩點：（1）空集是任何集合的子集；（2）空集是任何非空集

合的真子集.

解：Z=|x|x-+4x=o}={0,-4}

,:B三A,B={x|x2+2（a+l）x+a1-1=0}

.?.分為兩種情況：

（1）當8=0時，方程/+2（。+l）x+d-1=0沒有實數(shù)根

△=[2（a+l）『一4年—1）<0,解之得1;

（2）當8R0時，則有8={0}或8={—4}或8={0,-4}

①當B={0}或8={-4}時，方程/+2（。+l）x+/一1=0有兩個相等的實數(shù)根

A=[2（a+1）]"—4（a~—1）=0，解之得:a=—1

.?.8={0}符合題意；

②當八{0,-4}時，由根與系數(shù)的關系定理可得:匚2匕[：=—4

解之得:a=1.

綜上，實數(shù)a的值取值范圍為{a|a=1或a<-1}.

例4.已知集合/={x|—24x<5}.

(1)若BqA,B={x|w+l<x<2加一1},求實數(shù)機的取值范圍；

(2)若/=8,8={x|加-64x42m-l},求實數(shù)機的取值范圍；

(3)若A=B,B={x\m-6Vx<2〃?一1},求實數(shù)m的取值范圍.

解：(I)3a4,8={x|/w+14x42十-1},...分為兩種情況:

①當B=0時,利+1>2m-1，解之得:m<2;

②當8H0時,則有：

w+1<2m-1

<m+l>-2，解之得:2WMW3.

2/w-1<5

綜上所述,實數(shù)機的取值范圍是側(cè)加<3);

(2)A^B,A={x\-2<x<5},：.B^<Z>

m-6<2m-\

則有:vm—6W—2，解之得:3WmW4

2m-1>5

...實數(shù)4的取值范圍是祠34mV4};

(3)?:A=B

―6=-2

一，無解，即不存在實數(shù)m，使得A=B.

2m-1=5

例5.已知集合/={x|x>O,xeR},B={x|x2-x+p=O},且3=/,求實數(shù)p的取

值范圍.

分析：本題的解決要用到關于一元二次方程的結(jié)論.

一元二次方程如2+bx+c=O（a工0）有兩個正根的條件是：

A>0

<X]+=-->0

a

x,-x=—>0

.2a

一元二次方程ax2+bx+c=0(。w0)有兩個負根的條件是：

A>0

b八

〈X1+x=——<0

2a

x,-x,=—>0

.'a

解：6=={x|x2-x+0},.,.分為兩種情況：

①當B=0時,△=(一1丫一4P<0,解之得:p>~；

4

②當8n0時，方程/一%+2=0有兩個正實數(shù)根,則有：

△=(—1)2-4p>0

,須+》2=1>0，解之得：0<pW；.

x]x2=p>0

綜上所述，實數(shù)P的取值范圍是{p\p>0}.

例6.已知集合A={x|x2-4/nx+2m+6=O},8={x|x<0},若/q8，求實數(shù)用的

取值范圍.

解:???4=3,.?.分為兩種情況:

a

①當A=0時,A=(-4/w)--4(2加4-6)<0，解之得:一1<加<§;

②當4w0時，方程x2-4mx+2加+6=0有兩個負實數(shù)根,則有：

A=(-4m)2-4(2/72+6)>0

<X,+x2=4加<0，解之得:-3<加W-1.

x,x2=2〃z+6>0

綜上所述,實數(shù)m的取值范圍是卜-3</〃<|}.

例7.已知集合N=卜卜/一3x+2=o}.

（1）若0呈/,求實數(shù)a的取值范圍；

（2）若3=郎2一%=（）},且4工8,求實數(shù)4的取值范圍;

分析對于（1）,因為空集是任何非空集合的真子集，所以集合4不是空集，據(jù)

此列出參數(shù)a滿足的條件，注意對參數(shù)分類討論；

對于（2）,若未說明集合Z非空，則要分4=0和兩種情況討論.

解：（1）,.,0呈4,二/H0

當a=0時,-3x+2=0，解之得:x=|，此時A={|}，符合題意;

Q

當aR0時，則有A=9-8。20,解之得:aW—.

8

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是《?<|j；

(2)B-{x|x2一x=o}={0,1},AqB

，4=0或工={0}或/={1}或/={0,1}

顯然,a=0不符合題意,，ar0

9

a>-

當4=0時，則有A=9-8a<0,解之得:8

a

當N={0}或/={1}時，則有△=9—8a=0，解之得:a=-，此時A，不符合題

8

音.

當N={0,1}時，則有△=9-8a〉0,解之得:a<2,由根與系數(shù)的關系定理可得:

8

（-3

0+1=——

<a，解之得:無解.

0x1=-

.a

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是

8J

初升高之集合的基本運算

資料編號:202307241001

本節(jié)知識點：

(1)并集.

(2)交集.

(3)全集與補集.

(4)德?摩根定律.

知識點一并集

自然語言一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為集合

A與集合B的并集，記作4U8，讀作7并

符號語言={x|xe或xe6}.

圖形語言(用Venn圖表示并集)圖中陰影部分表示兩個集合的并集.

OO

(1)Z與5有公共元素，相互不包含(2)/與8沒有公共部分

一

(3)A既B(4)B砥A

(5)A=B

對并集的理解

(1)求兩個集合的并集是集合的一種運算，結(jié)果仍是一個集合，它是由屬于集合A

或集合8的元素組成的.

（2）并集概念中的“或”“xe4或xe8”分為三種情況:

①xw/,但x定8;②x紀N,但xwB;③xe/,且xeB.

（3）根據(jù)集合元素的互異性，在求兩個集合的并集時,兩個集合中的公共元素在并

集中只能出現(xiàn)一次.

并集的性質(zhì)

性質(zhì)說明

并集運算滿足交換律

（NU8）UC=NU（BUC）并集運算滿足結(jié)合律

A\J0=A任何集合與空集的并集等于這個集合本身

A\JA=A任何集合與其本身的并集等于這個集合本身

若4U8=8,則N=B并集運算與子集關系的轉(zhuǎn)化

任何集合都是該集合與另一個集合的并集的

子集

求并集的方法

（1）求兩個有限集的并集按照并集的定義進行計算，但要特別注意集合元素

的互異性.

（2）求兩個無限集的并集借助于數(shù)軸進行計算.注意兩個集合的并集等于這兩

個集合在數(shù)軸上對應的圖形所覆蓋的全部范圍.

知識點二交集

自然語言一般地，由屬于集合/且屬于集合8的近直元素組成的集合，稱為集合

A與集合B的交集，記作，讀作7交B'\

符號語言A^\B={x|xeA,RxGB].

圖形語言（用Venn圖表示交集）圖中陰影部分表示兩個集合的并集.

如下頁圖所示.

（1）〃與8有部分公共元素（2）2與8無公共元素,/口3=0

(3)若則4n8=8(4)若則/nB=N(5)A[}B=A=B

對交集的理解

（1）求兩個集合的交集是集合的一種運算，結(jié)果仍是一個集合，它是由屬于集合A

且屬于集合B的所有元素組成的集合，及兩個集合的公共元素所組成的集合.

（2）交集概念中的“所有”二字不能省略,否則會漏掉一些元素，一定要將兩個集合

中的相同元素（公共元素）全部找出來.

（3）當集合力與集合B沒有公共元素時，不能說集合A與集合B沒有交集，而是

交集為空集,.

交集的性質(zhì)

性質(zhì)說明

znsmz交集運算滿足交換律

ACl0=0任何集合與空集的交集都是空集

AQA=A任何集合與其本身的交集等于這個集合本身

(AQB)ac=An(Bac)交集運算滿足結(jié)合律

（/nmuc=（/uc）n（8uc）滿足分配律

(^U5)Ac=(^nc)U(5Ac)

若Zn8=/,則Z=6交集運算與子集關系的轉(zhuǎn)化

兩個集合的交集是其中任何一個集合的子集

求交集的方法

(1)求兩個有限集的交集按照交集的定義進行計算，但要特別注意一定要找出

兩個集合中的所有公共元素.

(2)求兩個無限集的交集借助于數(shù)軸進行計算.兩個集合的交集等于這兩個集

合在數(shù)軸上對應的圖形所覆蓋的公共范圍.

知識點三全集與補集

全集一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這

個集合為全集，記作U.

補集對于一個集合4由全集。中不屬于工的所有元素組成的集合稱為集合/

相對于全集U的補集，簡稱集合〃的補集，記作心兒即

Ct/Z={x|xe。，且x史A}.

用Venn圖表示為:

對補集的理解

(1)補集是相對于全集而言的，求一個集合的補集，結(jié)果因全集的不同而不同.所

以求補集前，要先明確全集.

(2)補集既是集合間的一種關系，同時也是集合之間的一種運算.

(3)符號有三層意思：

①CuA={x|xeU,SLXA);

②CuZ是U的一個子集，及(h/)工U;

③WuA表示一個集合.

補集的性質(zhì)

①(Cu4)U/=。；(2)(Ct/rJ)nA=0;③Of(C(/J)=A;

④CuU=0;⑤h，0=U.

知識點四德?摩根定律

集合運算中的兩個重要等式，即德?摩根定律（圖解）.

（1兒（4A8）=（C⑷U（C消）

(2)CU(4LIB)=(C⑷G5)

知識點五重要結(jié)論

如圖所示，集合/,3將全集。分成了四部分,這四部分用集合表示如下:

（1）①表示zriB；

（2）②表示zn（Cu5）;

（3）③表示8n（CuZ）；

（4）④表示（厚⑷n&8）.

知識點六集合中元素的個數(shù)

若集合Z為有限集，則用card(Z)表示集合/中元素的個數(shù).

如果集合力中含有加個元素，那么有card(^)=m.

(1)一般地，對于任意兩個有限集合民有

card(AU8)=card(/)+card(5)—card(ND8).

(2)一般地，對于任意三個有限集合Z,8,C,有

card(/U8UC)=card(J)+card(5)—card(/A5)—card(/DC)—card(8DC)+

card(znBnC).

例題講解

題型一并集運算

一般地，由所有屬于集合/或?qū)儆诩?的元素組成的集合，稱為集合/與集

合B的并集，記作A\JB，讀作“4并8”.即

ZU6={x|xG4或xeB}.

求并集的方法

(1)求兩個有限集的并集按照并集的定義進行計算，但要特別注意集合元素

的互異性.

(2)求兩個無限集的并集借助于數(shù)軸進行計算.注意兩個集合的并集等于這兩

個集合在數(shù)軸上對應的圖形所覆蓋的全部范圍.

例1.已知集合么=卜€(wěn)川1〈》43},8={2,3,4,5},則/118=[]

(A){2}(B){2,3}

(C){2,3,4,5}(D){1,2,3,4,5}

分析：將一個用描述法表示的集合轉(zhuǎn)化為用列舉法表示時，一定要弄清代表元素

的含義或特征.

求兩個集合的并集運算時，可以按照并集的定義進行，也可以用Venn圖求解

或借助于數(shù)軸求解.

解:4={xeN|1<x<3}={1,2,3}

，/U8={1,2,3}U{2,3,4,5}={1,2,3,4,5}.

選擇【D】.

例2.已知集合/={乂》21},8=卜k2一2》一3<0},則/1]8=.

分析：先解一元二次不等式x,-2x-3<0,求出集合瓦然后把集合4、8在數(shù)軸

上畫出來，它們對應圖形所覆蓋的全部范圍即為NU3.

W：V5={X|X2-2X-3<0}={X|-1<X<3}~,

A\^B-{x|x>1}U{x|-1<x<3}={x|x>-1}.

例3.已知集合/={1,3,疝},8={1,機},若406=4則加等于【