2022年黑龍江省省龍東地區(qū)(初三學業(yè)水平考試)中考數(shù)學真題試卷含詳解

黑龍江省龍東地區(qū)2022年初中畢業(yè)學業(yè)統(tǒng)一考試數(shù)學試卷

一、選擇題（每題3分，滿分30分）

1.下列運算中，計算正確的是（）

A.[b-a^—b2—a2B.3a-2a—6a

C.（一百2=%4D.a6-?a2=a3

2.下列圖形是汽車的標識，其中是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）

3.學校舉辦跳繩比賽，九年（2）班參加比賽6名同學每分鐘跳繩次數(shù)分別是172,169,180,182,175,176,

這6個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）

A181B.175C.176D.175.5

4.如圖是由若干個相同的小正方體搭成的一個幾何體的左視圖和俯視圖，則所需的小正方體的個數(shù)最多是

（）

更由

A.7B.8C.9D.10

5.2022年北京冬奧會女子冰壺比賽有若干支隊伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比賽共進行了45場，共有多少支隊伍

參加比賽？（）

A.8B.10C.7D.9

9Y—vn3

6.已知關于無的分式方程------------=1的解是正數(shù)，則根的取值范圍是（）

X—11—X

A.m>4B.m<4C.加>4且加w5D.加<4且加wl

7.國家“雙減”政策實施后，某校開展了豐富多彩的社團活動.某班同學報名參加書法和圍棋兩個社團，班長為

參加社團的同學去商場購買毛筆和圍棋（兩種都購買）共花費360元.其中毛筆每支15元，圍棋每副20元，共

有多少種購買方案？（）

A.5B.6C.7D.8

3

8.如圖，在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，平行四邊形O3A0的頂點8在反比例函數(shù)y=—

的圖象上，頂點A在反比例函數(shù)y=七的圖象上，頂點D在X軸的負半軸上.若平行四邊形。區(qū)4。的面積是5,

則上的值是（）

9.如圖，_ABC中，AB=AC,平分NS4c與3C相交于點。，點E是AB的中點，點E是。C的中點，連

接EP交AD于點P.若一ABC的面積是24,PD=1.5,則PE的長是（）

I

A.2.5B.2C.3.5D.3

10.如圖，正方形ABC。對角線AC,8。相交于點。，點尸是C。上一點，OE上OF交BC于點E,連接AE,

BF交于點P,連接。P.則下列結論：①AE1M;②NOK4=45。；③AP-BP=8P；④若

41

BE:CE=2:3,則tanNC4E=—；⑤四邊形OECF的面積是正方形ABC。面積的一.其中正確的結論是

74

（）

A.①②④⑤B.①②③⑤C.①②③④D.①③④⑤

二、填空題（每題3分，滿分30分）

11.我國南水北調東線北延工程2021-2022年度供水任務順利完成，共向黃河以北調水1.89億立方米，將數(shù)據(jù)1.89

億用科學記數(shù)法表示為.

12.函數(shù)y="2x-3中自變量x的取值范圍是.

13.如圖，在四邊形ABC。中，對角線AC,2。相交于點。，OA=OC,請你添加一個條件，使

AOB^,COD.

14.在一個不透明的口袋中，有2個紅球和4個白球，這些球除顏色外其余完全相同，搖勻后隨機摸出一個球，摸

到紅球的概率是.

[2x-l<3

15.若關于尤的一元一次不等式組〈八的解集為x<2,則。的取值范圍是________.

x-a<0

16.如圖，在。中，A3是O的弦，。的半徑為3cm,。為，。上一點，ZACB=60°,則A3的長為

________cm.

17.若一個圓錐的母線長為5cm,它的側面展開圖的圓心角為120。，則這個圓錐的底面半徑為cm.

18.如圖，菱形中，對角線AC,8。相交于點。，ZBAD=&）°,AD=3,A”是NfiAC的平分線，

C￡_LAH于點E,點尸是直線AB上的一個動點，則OP+PE的最小值是.

O.

Aep

19.在矩形ABC。中，AB=9,AO=12,點E在邊C￡)上，且CE=4,點P是直線8C上的一個動點.若

V"后是直角三角形，則BP的長為.

20.如圖，在平面直角坐標系中，點A，4，A3,A4在x軸上且。4=1,OA,=2OAl,04=204,

204……按此規(guī)律，過點4，4,4，A……作x軸的垂線分別與直線＞=氐交于點與，

OA4=B2,B3,

B4……記、。44，△。4鳥，……的面積分別為1，s,s,s……,則$2022=

OA3B3,OA4B4234

ci—2〃2〃-1

21.先化簡，再求值：—1+——其中a=2cos300+l.

I〃)a+1

22.如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標系中，A5c的三個頂點

坐標分別為4(1,—1),5(2,-5),C(5,-4).

(1)將..ABC先向左平移6個單位，再向上平移4個單位，得到5gG，畫出兩次平移后的△AgG，并寫出

點4的坐標;

(2)畫出"用。］繞點G順時針旋轉90°后得到△4星6,并寫出點兒的坐標;

(3)在(2)的條件下，求點A旋轉到點4的過程中所經過的路徑長(結果保留兀).

23.如圖，拋物線丁=/+法+。經過點4(—1,0),點3(2,—3),與y軸交于點C,拋物線的頂點為D

(1)求拋物線的解析式；

(2)拋物線上是否存在點P,使PBC面積是△BCD面積的4倍，若存在，請直接寫出點尸的坐標：若不存

在，請說明理由.

24.為進一步開展“睡眠管理”工作，某校對部分學生的睡眠情況進行了問卷調查.設每名學生平均每天的睡眠時

間為尤小時，其中的分組情況是：

A組：尤<8.5B組：8.5<x<9C組：9<x<9.5。組：9.5<%<10E組：%>10

根據(jù)調查結果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題:

人數(shù)

Af\\

(1)本次共調查了名學生；

(2)補全條形統(tǒng)計圖；

(3)在扇形統(tǒng)計圖中，求。組所對應的扇形圓心角的度數(shù)；

(4)若該校有1500名學生，請估計該校睡眠時間不足9小時的學生有多少人？

25.為抗擊疫情，支援B市，A市某蔬菜公司緊急調運兩車蔬菜運往8市.甲、乙兩輛貨車從A市出發(fā)前往8市,

乙車行駛途中發(fā)生故障原地維修，此時甲車剛好到達B市.甲車卸載蔬菜后立即原路原速返回接應乙車，把乙車

的蔬菜裝上甲車后立即原路原速又運往3市.乙車維修完畢后立即返回A市.兩車離A市的距離y(km)與乙車

所用時間x(h)之間的函數(shù)圖象如圖所示.

(1)甲車速度是______km/h,乙車出發(fā)時速度是_______km/h；

(2)求乙車返回過程中，乙車離A市的距離y(km)與乙車所用時間x(h)的函數(shù)解析式(不要求寫出自變量的

取值范圍)；

(3)乙車出發(fā)多少小時，兩車之間的距離是120km?請直接寫出答案.

26..ABC和&ADE都是等邊三角形.

(1)將，ADE繞點A旋轉到圖①的位置時，連接3。，CE并延長相交于點P(點P與點A重合)，有

PA+PB=PC(或B4+PC=PB)成立；請證明.

(2)將繞點A旋轉到圖②的位置時，連接8D,CE相交于點P,連接B4,猜想線段B4、PB、PC之間有

怎樣的數(shù)量關系？并加以證明；

(3)將石繞點A旋轉到圖③的位置時，連接8D,CE相交于點P,連接B4,猜想線段出、PB、PC之間有

怎樣的數(shù)量關系？直接寫出結論，不需要證明.

27.學校開展大課間活動，某班需要購買A、B兩種跳繩.已知購進10根A種跳繩和5根B種跳繩共需175元：

購進15根A種跳繩和10根B種跳繩共需300元.

(1)求購進一根A種跳繩和一根B種跳繩各需多少元？

(2)設購買A種跳繩機根，若班級計劃購買4、8兩種跳繩共45根，所花費用不少于548元且不多于560元，則

有哪幾種購買方案？

(3)在(2)的條件下，哪種購買方案需要的總費用最少？最少費用是多少元？

28.如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形A8C。的邊45在x軸上，頂點。在y軸的正半軸上，M為BC的中

點，OA,。8的長分別是一元二次方程必一7%+12=0的兩個根(Q4<OB),tanZDAB=1,動點尸從點〃出

發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿折線。C-CB向點8運動，到達B點停止.設運動時間為f秒，△APC的面積

(1)求點C的坐標；

(2)求S關于f函數(shù)關系式，并寫出自變量f的取值范圍；

(3)在點尸的運動過程中，是否存在點尸，使！是等腰三角形？若存在，請直接寫出點尸的坐標；若不存

在，請說明理由.

黑龍江省龍東地區(qū)2022年初中畢業(yè)學業(yè)統(tǒng)一考試數(shù)學試卷

一、選擇題（每題3分，滿分30分）

1.下列運算中，計算正確的是（）

A.[b-a^—b2—a2B.3a-2a—6a

C.（一百2=%4D.a6-?a2=a3

【答案】C

【分析】根據(jù)完全平方公式、同底數(shù)塞相乘除，積的乘方進行計算，即可判斷.

【詳解】僅一。了=/+/一2。人，故A選項錯誤，不符合題意；

3a-2a=6a2,故B選項錯誤，不符合題意；

（-必）2=/，故c選項正確，符合題意；

故D選項錯誤，不符合題意;

故選：C.

【點睛】本題考查了完全平方公式、同底數(shù)幕相乘除，積的乘方，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

2.下列圖形是汽車的標識，其中是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（)

A.C.

【答案】C

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義判斷即可.

【詳解】解：：是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形,

不符合題意;

是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形

不符合題意;

不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形

符合題意;

是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形

???不符合題意；

故選C.

【點睛】本題考查了了軸對稱圖形即沿著某條直線折疊，直線兩旁的部分完全重合、中心對稱圖形即將圖形繞某

點旋轉180。后與原圖形完全重合，準確理解定義是解題的關鍵.

3.學校舉辦跳繩比賽，九年(2)班參加比賽的6名同學每分鐘跳繩次數(shù)分別是172,169,180,182,175,

176,這6個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是()

A.181B.175C.176D.175.5

【答案】D

【分析】先將這6個數(shù)從小到大進行排序，找出排在中間的兩個數(shù)，求出這兩個數(shù)的平均數(shù)，即為這組數(shù)據(jù)的中

位數(shù).

【詳解】解：將172,169,180,182,175,176從小到大進行排序為：169,172,175,176,180,182,排在中

間的兩個數(shù)為175,176,

這6個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為175+176=175.5,故D正確.

2

故選：D.

【點睛】本題主要考查了求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，解題的關鍵是將這組數(shù)據(jù)從小到大進行排序，找出排在中間的一

個數(shù)或兩個數(shù)，注意偶數(shù)個數(shù)是求中間兩個數(shù)的平均數(shù).

4.如圖是由若干個相同的小正方體搭成的一個幾何體的左視圖和俯視圖，則所需的小正方體的個數(shù)最多是

()

日由

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【分析】這個幾何體共有2層，由俯視圖可得第一層小正方體的個數(shù)，由左視圖可得第二層小正方體的最多個

數(shù)，再相加即可.

【詳解】由俯視圖可知最底層有5個小正方體，由左視圖可知這個幾何體有兩層，其中第二層最多有3個，那么

搭成這個幾何體所需小正方體最多有5+3=8個.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了學生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現(xiàn)了對空間想象能力方面的考查.

5.2022年北京冬奧會女子冰壺比賽有若干支隊伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比賽共進行了45場，共有多少支隊伍

參加比賽？（）

A.8B.10C.7D.9

【答案】B

【分析】設有x支隊伍，根據(jù)題意，得gx（x-l）=45,解方程即可.

【詳解】設有x支隊伍，根據(jù)題意，得gx（尤-1）=45,

解方程，得xi=10,%2=-9（舍去），

故選B.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關鍵.

2無一tri3

6.已知關于x的分式方程----------=1的解是正數(shù)，則根的取值范圍是（）

x—11—x

A.m>4B.m<4C.機>4且加/5D.m<4且機wl

【答案】C

【分析】先將分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解，根據(jù)分式方程的解為正數(shù)得到機-4>0且

772—4—1/0,即可求角電

【詳解】方程兩邊同時乘以（X—1）,n2x-m+3=x-l,

解得X=7篦-4,

QY—m3

.?關于X的分式方程-------------=1的解是正數(shù)，

x~l1—X

%>0,且x-lwO,

即加一4>0且加一4一1w0,

.,.根〉4且加。5，

故選：C.

【點睛】本題考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不為0,熟練掌握知識點是解題的關鍵.

7.國家“雙減”政策實施后，某校開展了豐富多彩的社團活動.某班同學報名參加書法和圍棋兩個社團，班長為

參加社團的同學去商場購買毛筆和圍棋（兩種都購買）共花費360元.其中毛筆每支15元，圍棋每副20元，共

有多少種購買方案？（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】設設購買毛筆x支，圍棋y副，根據(jù)總價=單價x數(shù)量，即可得出關于x,y的二元一次方程，結合尤，y均

為正整數(shù)即可得出購買方案的數(shù)量.

【詳解】解：設購買毛筆x支，圍棋y副，根據(jù)題意得，

15x+20y=360,即3x+4y=72,

3

.\y=lS--x.

又???％,y均為正整數(shù)，

x=4fx=8fx=12[x=16[x=20

???〈”或＜~或＜八或＜/或〈C，

y=15=12[y=9[y=6[y=3

???班長有5種購買方案.

故選：A.

【點睛】本題考查了二元一次方程的應用，找準等量關系“共花費360元”，列出二元一次方程是解題的關鍵.

3

8.如圖，在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，平行四邊形OA4。的頂點5在反比例函數(shù)y=-的圖象上，頂

x

點A在反比例函數(shù)y=&的圖象上，頂點。在無軸的負半軸上.若平行四邊形的面積是5,則發(fā)的值是

X

【答案】D

【分析】連接OA,設AB交y軸于點C,根據(jù)平行四邊形的性質可得S&B=；S°BA?=g，AB//OD,再根據(jù)反

比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，即可求解.

【詳解】解：如圖，連接。4,設AB交y軸于點C,

,/四邊形。胡。是平行四邊形，平行四邊形OBAD的面積是5,

,「1o5

,,SAOB=5SOBAD=—,AB//OD,

?,.A5_Ly軸，

3k

?.?點B在反比例函數(shù)y=—的圖象上，頂點A在反比例函數(shù)y=—的圖象上,

xx

COA

??0COB-2'Q_2，

%k、

SAOB=SCOB+S.COA=--2=2'

解得：k=-2.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，熟練掌握平行四邊形的性質，反

比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義是解題的關鍵.

9.如圖，.ABC中，AB=AC,平分NS4c與3C相交于點。，點E是AB的中點，點E是。C的中點，連

接EP交AD于點P.若_ABC的面積是24,PD=1.5,則PE的長是（）

【答案】A

【分析】連接。E,取AQ的中點G,連接EG,先由等腰三角形“三線合一“性質，證得AO_L8C,BD=CD,再由E

是AB的中點，G是的中點，求出SAEG?=3,然后證△EGPgAXD尸（AAS）,MGP=CP=1.5,從而得。G=3,

即可由三角形面積公式求出EG長，由勾股定理即可求出PE長.

【詳解】解：如圖，連接。E,取的中點G,連接EG,

?：AB=AC,平分N54C與BC相交于點。，

：.AD±BC,BD=CD,

1

：.S^ABD^—SABC=-x24=12,

2

是A8的中點,

1

：.S^AED=-SABD=—x12=6,

2

：G是的中點,

.1c1,

??S&EGD=3AED~x6=3,

???E是AB的中點，G是A。的中點,

J.EG//BC,EG=^BD=gcD,

：.ZEGP=ZFDP=90°f

??,/是CO的中點，

：.DF=^CD,

：.EG=DF,

?.,/EPG=NFPD,

：.AEGP^AFDP(AAS),

：.GP=PD=1.5,

???GO=3,

VSAEGD=-GZ)?EG=3,即一EGx3=3,

22

:?EG=2,

在放AEG尸中，由勾股定理，得

PE=VEG2+GP2=A/22+I,52=2.5,

故選：A.

【點睛】本題考查等腰三角形的性質，三角形面積，全等三角形判定與性質，勾股定理，熟練掌握三角形中線分

三角形兩部分的面積相等是解題的關鍵.

10.如圖，正方形ABC。的對角線AC,2。相交于點O,點F是CD上一點，OELOF交BC于點、E,連接AE,

BF交于點P,連接。P.則下列結論：①②NO/%=45。；③AP—BP=8P；④若

41

BE:CE=2:3,則tan/C4E=,；⑤四邊形OEC尸的面積是正方形ABC。面積的“其中正確的結論是

()

A.①②④⑤B.①②③⑤C.①②③④D.①③④⑤

【答案】B

【分析】分別對每個選項進行證明后進行判斷：

①通過證明.DOF2aCOE(ASA)得至IJEC=FD,再證明-E4c^FBD(SAS)得至！從而證明

ZBPQ=ZAOQ=90°,即AE1M；

②通過等弦對等角可證明ZOPA=ZOBA=45°；

BEBPCF-BP

③通過正切定義得tanNBAE=——二——，利用合比性質變形得到AP-B尸二-----,再通過證明

ABAPBE

Op.AFOP-AF-BP

得到比=一^,代入前式得”一成二——，最后根據(jù)三角形面積公式得到整體

AOAO-BE

代入即可證得結論正確;

FGFG

④作EGLAC于點G可得EG〃80,根據(jù)tanNC4E=—=------------,設正方形邊長為5a,分別求出EG、AC、

AGAC一CG

3

CG的長，可求出tan/C4E=—,結論錯誤；

7

⑤將四邊形OECF的面積分割成兩個三角形面積，利用廠也，COE（AS4）,可證明SHii/gOECF=S△COE^~S△COF=

S^DOF+S^COF=SACOD即可證明結論正確.

【詳解】①???四邊形ABC。是正方形，。是對角線AC、8。的交點，

：.OC=OD,OC±OD,ZODF=ZOCE=45°

?/OE±OF

：.ZDOF+ZFOC=ZFOC+ZEOC=9Q°

：.ZDOF=ZEOC

在4DOF^LCOE中

ZODF=ZOCE

<OC=OD

ZDOF=ZEOC

；..DOFCOE（ASA）

：.EC=FD

EC=FD

；在^EAC與小FBD中<ZECA=ZFDB=45°

AC=BD

：.-EAC沿*BD（SAS）

：.ZEAC=ZFBD

又,：2BQP=/AQO

：.ZBPQ=ZAOQ=90°

：.AE±BF

所以①正確；

②：ZAOB=ZAPB=9Q°

:.點P、。在以AB為直徑的圓上

A。是該圓的弦

/.ZOPA=ZOBA=45°

所以②正確；

Jan4H器=技

.ABAP

*BE-BP

.AB-BEAP-BP

BEBP

.AP-BPCE

BPBE

-P4

ZEAC=ZOAP,ZOPA=ZACE=45°

J..AOP^AEC

,OPAO

'~CE~~AE

；.CE=枕世

AO

-=?

11

?:—AEBP=—ABBE=S

22ABE

AE,BP=ABBE

所以③正確;

④作EGLAC于點G,則EG〃30,

.EGCECG

B

設正方形邊長為5a,則8C=5〃，05=00s―〃，

2

mBE2

若BE:CE=2:3,則=：=H

CE3

.BE+CE2+3

一~CE~~T

CE3

BC5

CF35A/230

.??EG=——OB=-x-------Q=-------a

BC522

VEG±AC,ZACB=45°,

ZGEC=45°

???CG二EG二地〃

2

3夜

------a

EGEG3

tanZCAE=-----

AGAC-CG5啦a-嫗a7

2

所以④錯誤;

⑤DOF=^COE(ASA),S四邊形OECF=SNCOE+S^COF

??S四邊形OECF=SZDOF+SmCOl^SACOD

,SACODURS正方形ABCD

S四邊彩OECF=-S正方形ABC。

所以⑤正確;

綜上，①②③⑤正確，④錯誤,

故選B

【點睛】

本題綜合考查了三角形、正方形、圓和三角函數(shù)，熟練運用全等三角形、相似三角形、等弦對等角和三角函數(shù)的

定義是解題的關鍵.

二、填空題（每題3分，滿分30分）

11.我國南水北調東線北延工程2021-2022年度供水任務順利完成，共向黃河以北調水1.89億立方米，將數(shù)據(jù)1.89

億用科學記數(shù)法表示為.

【答案】1.89x10s

【分析】把億寫成1（/,最后統(tǒng)一寫成axlO"的形式即可.

【詳解】解:由題意得：L89億=1.89x108,

故答案為：1.89xl08.

【點睛】本題考查了科學記數(shù)法表示較大的數(shù)，移動小數(shù)點，熟記科學記數(shù)法的表示形式是解題的關鍵.

12.函數(shù)>=也;弓中自變量x的取值范圍是.

【答案】x>1.5

【分析】根據(jù)二次根式的性質，被開方數(shù)大于等于0,即可求出答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，

2x-3>0-

x>1.5；

故答案為：x>1.5.

【點睛】本題考查了二次根式的性質，解題的關鍵是熟練掌握二次根式被開方數(shù)大于等于0進行解題.

13.如圖，在四邊形ABC。中，對角線AC,2。相交于點O,OA=OC,請你添加一個條件,使

AOB金COD.

Ay-------------------刁D

BC

【答案】OB=OD（答案不唯一）

【分析】根據(jù)SAS添加OB=OD即可

【詳解】解：添加OB=OD,

在△AO8和△CO。中，

AO=CO

<ZAOB=ZCOD,

OB=OD

/..AOB^,COD（SAS）

故答案為OB=OD（答案不唯一）

【點睛】本題考查三角形全等判定添加條件，掌握三角形全等判定方法是解題關鍵.

14.在一個不透明的口袋中，有2個紅球和4個白球，這些球除顏色外其余完全相同，搖勻后隨機摸出一個球，摸

到紅球的概率是.

【答案】|

【分析】利用概率公式計算即可.

【詳解】：不透明的口袋中，有2個紅球和4個白球，

，摸到紅球的概率是二一=

2+43

故答案為：—.

3

【點睛】本題考查了概率計算，熟練掌握概率計算公式是解題的關鍵.

[2x-l<3

15.若關于x的一元一次不等式組〈八的解集為x<2,則。的取值范圍是—

X-。<0

【答案】a>2##2<a

【分析】先求出每個不等式的解集，根據(jù)已知不等式組的解集即可得出答案.

2%-1<3@

【詳解】解:

x-a<0②

解不等式①得：x<2,

解不等式②得：x<a,

2x-l<3

■關于x的不等式組\八的解集為x<2,

X-4Z<0

:.a>2.

故答案為：a>2.

【點睛】本題主要考查了一元一次不等式組解集的求法，其簡便求法就是用口訣求解，求不等式組解集的口訣:

同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）.

16.如圖，在中，是.。的弦，。的半徑為3cm,C為:二。上一點，ZACB=60°,則的長為

_________cm.

【答案】3^/3

【分析】連接OA、OB,過點。作。于點。，由垂徑定理和圓周角定理可得

2

ZAOB=120°,再根據(jù)等腰三角形的性質可得NQ43=NOR4=30。，利用含30。角的直角三角形的性質和勾股

定理即可求解.

【詳解】解：連接。4、OB,過點。作于點。，

：.AD=BD=-AB,ZODA=90°,

2

ZACB=60°,

:.ZAOB=120°,

OA^OB,

:.ZOAB=ZOBA=30°,

OA=3cm,

3

/.OD=—cm,

2

/.AD=y/o^-OD2=更加，

2

AB=3y/3cm,

故答案為：3^3?

【點睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，等腰三角形的性質，含30。角的直角三角形的性質和勾股定理，熟練

掌握知識點是解題的關鍵.

17.若一個圓錐的母線長為5cm,它的側面展開圖的圓心角為120。，則這個圓錐的底面半徑為cm.

【答案】-

3

【分析】由于圓錐的母線長為5cm,側面展開圖是圓心角為120。扇形，設圓錐底面半徑為wm,那么圓錐底面圓

周長為2仃cm,所以側面展開圖的弧長為2好cm,然后利用弧長公式即可得到關于廠的方程，解方程即可求解.

【詳解】解：設圓錐底面半徑為rem,

則圓錐底面周長為：27rrcm,

，側面展開圖的弧長為：2?rcm,

解得：『之,

3

故答案：一.

3

【點睛】本題主要考查圓錐側面展開圖的知識；正確理解圓錐的側面展開圖與原來的扇形之間的關系是解決本題

的關鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長.

18.如圖，菱形ABC。中，對角線AC,3D相交于點O,ZE4D=60°,AD=3,AH是N54c的平分線，

CE_LAH于點E,點P是直線AB上的一個動點，則OP+PE的最小值是.

【分析】作點。關于的對稱點凡連接。P交A8于G,連接PE交直線于P,連接P。，貝"。"凡此

時，PO+PE最小，最小值=￡F，利用菱形的性質與直角三角形的性質，勾股定理，求出。凡OE長，再證明

△EO尸是直角三角形，然后由勾股定理求出所長即可.

【詳解】解：如圖，作點。關于A8的對稱點孔連接。尸交A8于G,連接PE交直線A8于P,連接尸。，則

PO=PF,此時，PO+PE最小,最小值=所，

o

8/P

?菱形ABC。,

：.AC±BD,OA=OC,O=OD,AD=AB=3,

"：ZBAD=6Q°,

MABD等邊三角形,

：.BD=AB=3,ZBAO=30°,

.3

??OB——,

2

Q

?*.OA——,

2

...點0關于AB的對稱點F,

，OFLAB,。尸=20G=0A=』G,

2

：.ZAOG=60°,

：CE_LAH于E,OA=OC,

JOE=OC=OA=-j3f

2

平分NBAC,

ZCAE=15°,

：.NAEC=/CAE=15°,

：.ADOE=ZAEC+ZCAE=30°,

：.N￡)OE+/AOG=30°+60°=90°,

ZFOE=90°,

，由勾股定理，得E勾Jo尸2+OE?=

.,.PO+PE最小值.

2

故答案為：巫.

2

【點睛】本題考查菱形的性質，利用軸對稱求最短距離問題，直角三角形的性質，勾股定理，作點。關于A8的

對稱點尸，連接。歹交A8于G,連接PE交直線于P,連接PO,則PO=PF,則尸O+PE最小，最小值是

解題的關鍵.

19.在矩形ABC。中，AB=9,AD=12，點E在邊C。上，且CE=4,點尸是直線BC上的一個動點.若

V"后是直角三角形，則8P的長為.

3115

【答案】一或一或6

34

【分析】分三種情況討論：當/APE=90°時，當NAEP=90°時，當/B4E=90°時，過點P作尸口LZM交ZM延

長線于點尸，即可求解.

【詳解】解：在矩形ABC。中，AB=CD=9,AD=BC=12,ZBAD=ZB=ZBCD=ZADC=90a,

如圖，當NAPE=90°時，

ZAPB+ZCPE=90°,

ZBAP+ZAPB=90°,

：.NBAP=/CPE,

VZB=ZC=90o,

AABP^APCE,

ABBP9BP

..---=----,即nn--------=----

PCCE12-BP4

解得:BP=6；

如圖，當NAEP=90。時,

ZAED+ZPEC=90°,

VZDAE+ZAED=90°,

???ZDAE=ZPEC,

,：ZC=ZD=90°,

：.AADE^AECP,

ADDEl29-4

------------，BaP——--------，

CEPC4PC

解得：PC=-,

3

31

??.BP=BC-PC=—；

3

如圖，當NB4E=90°時，過點尸作尸尸，ZM交D4延長線于點尸,

根據(jù)題意得N8AF1=NA3P=NF=90°,

???四邊形A3尸產為矩形，

：.PF=AB=9,AF=PB,

VZPAF+ZDAE=90°,ZB4F+ZAPF=90°,

???ZDAE=ZAPF,

u：ZF=ZD=90°,

：.AAPF^AEAZ),

AFPFAF9

?*-------------，BaPn--------——，

DEAD9-412

解得：AP=與，IPPB=—；

44

3115

綜上所述，8尸的長為一或一或6.

34

故答案為：—或—或6

34

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質，矩形的性

質，并利用分類討論思想解答是解題的關鍵.

20.如圖，在平面直角坐標系中，點A,A,A3,A4...在x軸上且。4j=l,OA,=2OAj,04=204,

A

OA4=204……按此規(guī)律，過點4，4，A3，4……作無軸的垂線分別與直線y=A交于點⑸，B2,B3,

B4……記。A4，△。42與，OA3B3,OA4B4……的面積分別為S1,邑，S3,S4……,則§2022=

【分析】先求出44=6，可得s0AiBi=與,再根據(jù)題意可得4用〃人與〃人員……〃44，從而得到

OA.B,-AOA,B,-zOA3B.OA4B4……^^OAnBn,再利用相似三角形的性質，可得:S網今：

5%鳥：5。印，……：50AA=1:22：02)2：(23)2：,Q,)2,即可求解.

【詳解】解：當時，y=6，

???點4(1,⑹，

***A4=Vs,

S0AB、=gx\x幣=4'

V根據(jù)題意得：4與〃4與〃人&……〃4紇，

OAjB1sLO&B2sOA3B3s；.0人*4...sAOA"B,],

?S04B3-S%”.......、=20A32.......2

,,$OAiBi-S.O&B?S0ABltOAr-OA2?OAn)

?：OA]=1,04=20A，0A=2。4,。4=2。4...,

.?.04=2,04=4=2?,。4=8=23……。4=2"-|,

?q?q

：.s。4片：s?0.OA3B3?0OA4B4-S5

OA2B2風=

1:22：02)2：03)2：(2"T)2=1:22:24:26:

?Q_Q2H—2Q

??30Ati=NJOA&'

2X202224041

???S2022=2-X^=2V3.

故答案為：24041V3.

【點睛】本題主要考查了圖形與坐標的規(guī)律題，相似三角形的判定和性質，明確題意，準確得到規(guī)律，是解題的

關鍵.

三、解答題（滿分60分）

（a1—2a八2a—1

21.先化簡，再求值：—2——1----丁，其中〃=2cos300+l.

I〃）a+1

【答案】一且

1—。3

【分析】先根據(jù)分式的混合運算法則化簡分式，再把特殊角的三角函數(shù)值代入，求出。值，然后把。值代入化簡

式計算即可.

21、1

礦一2aa-1a+1

【詳解】解：原式=

,a2-l/—1,2a-1

1—2。a+1

/—12cl—1

1

1—<7

當a=2cos30°+l=J^+l時，

原式:一^=--

1-V3-13

【點睛】本題考查分式化簡求值，熟練掌握分式運算法則和熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵.

22.如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標系中，ABC的三個頂點

坐標分別為4(1,—1),5(2,-5),C(5,-4).

(1)將4ABe先向左平移6個單位，再向上平移4個單位，得到△AUG，畫出兩次平移后的△AgG，并寫出

點4的坐標；

(2)畫出"臺?繞點G順時針旋轉90。后得到△4B2G，并寫出點兒的坐標；

(3)在(2)的條件下，求點A旋轉到點4的過程中所經過的路徑長(結果保留兀).

【答案】⑴見解析;4(—5,3)

(2)見解析；4(2,4)

(3)點A旋轉到點兒所經過的路徑長為3兀

【分析】(1)根據(jù)題目中的平移方式進行平移，然后讀出點的坐標即可;

(2)先找出旋轉后的對應點，然后順次連接即可；

(3)根據(jù)旋轉可得點A旋轉到點4為弧長，利用勾股定理確定圓弧半徑，然后根據(jù)弧長公式求解即可.

【小問1詳解】

解：如圖所示△4B1C1即為所求，

A(-5,3)；

【小問2詳解】

如圖所示△A2&C2即為所求，4(2,4)；

【小問3詳解】

：AG=A/32+42=5

907rxSS

點A旋轉到點4所經過的路徑長為—=-7i.

1802

【點睛】題目主要考查坐標與圖形，圖形的平移，旋轉，勾股定理及弧長公式等，數(shù)量掌握運用這些知識點是解

題關鍵.

23.如圖，拋物線丁=/+法+。經過點4(—1,0),點3(2,—3),與y軸交于點C,拋物線的頂點為D

(1)求拋物線的解析式；

(2)拋物線上是否存在點尸，使尸5c的面積是△BCD面積的4倍，若存在，請直接寫出點尸的坐標：若不存

在，請說明理由.

【答案】(1)y=x2-2x-3

(2)存在，^(1+A/5,1),^(1-A/5,1)

【分析】⑴將點A(—1,0),點3(2,—3),代入拋物線得《4+2"；__3,求出。的值，進而可得拋物線的

解析式.

(2)將解析式化成頂點式得丁=尤2-2x—3=(x—I)?—4,可得。點坐標，將x=0代入得，y=—3,可得。點

坐標，求出=1的值，根據(jù)SPBC=4SB”可得SMC=4,設P(加2根—3),則

s2

PBC=1x2x(m-2m-3+3)=4,求出加的值，進而可得P點坐標?

【小問1詳解】

解：：拋物線丁=/+法+。過點4(—1,0)，點3(2,—3),

jl-Z?+c=0

14+2Z?+c=-3'

b=—2

解得〈,

[c=-3

拋物線的解析式為：丁=f—2x—3