專項(xiàng)突破練10利用數(shù)學(xué)思想解決與角度有關(guān)的問題

第四章基本平面圖形專項(xiàng)突破練10利用數(shù)學(xué)思想解決與角度有關(guān)的問題思想1方程思想1.

【2024深圳福田區(qū)期末】如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OD

平分∠AOC，∠BOE＝2∠EOC.

(1)若∠AOD＝24°，求∠DOC的度數(shù)；解：(1)因?yàn)镺D平分∠AOC，

∠AOD＝24°，所以∠DOC＝∠AOD＝24°.234561(2)若∠AOD∶∠EOC＝3∶4，求∠AOD的度數(shù).解：(2)設(shè)∠AOD＝3α，則∠EOC＝4α，所以∠BOE＝2∠EOC＝8α.因?yàn)镺D平分∠AOC，所以∠AOC＝2∠AOD＝6α.因?yàn)椤螦OC＋∠EOC＋∠BOE＝180°，所以6α＋4α＋8α＝180°，解得α＝10°，所以∠AOD＝3α＝30°.2345612.

【2024益陽模擬】如圖，射線OC，OD把∠AOB分成三

個(gè)角，且∠AOC∶∠COD∶∠DOB＝2∶3∶4，射線OM平分

∠AOC，射線ON平分∠BOD.

(1)若∠AOB＝144°，求∠COM的度數(shù)；234561解：(1)設(shè)∠AOC＝2x，則∠COD＝3x，∠DOB＝4x，所

以∠AOB＝9x.因?yàn)椤螦OB＝144°，所以9x＝144°，所以x＝16°，所以∠AOC＝2x＝32°.因?yàn)镺M平分∠AOC，

234561(2)若∠MON＝90°，求∠COD的度數(shù).解：(2)設(shè)∠AOC＝2y，則∠COD＝3y，∠DOB＝4y.因?yàn)镺M平分∠AOC，ON平分∠DOB，所以∠MOC＝y(tǒng)，∠NOD＝2y，所以∠MON＝y(tǒng)＋3y＋2y＝6y.因?yàn)椤螹ON＝90°，所以6y＝90°，所以y＝15°，所以∠COD＝3y＝45°.234561思想2整體思想3.

將兩塊三角尺按如圖方式擺放，其中∠CPD＝90°，

∠APB＝45°，作PM平分∠APC，PN平分∠BPD.

(1)當(dāng)∠APC＝30°時(shí)，求∠MPN的度數(shù)；234561解：(1)因?yàn)椤螩PD＝90°，∠APB＝45°，所以∠APC＋∠BPD＝90°－45°＝45°.因?yàn)椤螦PC＝30°，所以∠BPD＝45°－30°＝15°.

234561(2)當(dāng)∠APB在∠CPD內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，∠MPN的度數(shù)是否保

持不變？請(qǐng)說明理由.

234561

234561思想3

分類討論思想4.

【新考法·過程辨析法】閱讀材料并回答問題：數(shù)學(xué)課

上，老師給出了如下問題：已知，如圖①，∠AOB＝

90°，OC平分∠AOB.

若∠COD＝65°，請(qǐng)你補(bǔ)全圖形，并求∠BOD的度數(shù).234561234561解：如圖②，作∠COD＝65°.同學(xué)一的解答如下：因?yàn)椤螦OB＝90°，OC平分∠AOB，所以∠BOC＝∠AOC＝

?.因?yàn)椤螩OD＝65°，所以∠BOD＝∠BOC＋∠

＝

?.同學(xué)二說：“符合題目要求的圖形還有一種情況.”請(qǐng)你完成以下問題：(1)將同學(xué)一的解答過程空缺部分補(bǔ)充完整；45°

COD

110°

234561(2)判斷同學(xué)二的說法是否正確，若不正確，請(qǐng)說明理由；若

正確，請(qǐng)你在圖③中畫出另一種情況對(duì)應(yīng)的圖形，并求

∠BOD的度數(shù).234561解：正確，如圖.因?yàn)椤螦OB＝90°，OC平分∠AOB，所以∠BOC＝∠AOC＝45°.因?yàn)椤螩OD＝65°.所以∠BOD＝∠COD－∠BOC＝20°.2345615.

【2024濟(jì)寧模擬】如圖，擺放一副三角尺，使得點(diǎn)O在

AB邊上，將三角尺COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn).(1)若∠AOD＝45°，求∠COB的度數(shù)；234561解：(1)分兩種情況，當(dāng)OD在AB上方

時(shí)，如圖①.因?yàn)椤螦OD＝45°，所以易得∠AOC＝

45°，所以∠COB＝180°－∠AOC＝135°.234561當(dāng)OD在AB下方時(shí)，如圖②.因?yàn)椤螦OD＝45°，∠COD＝90°，所以∠AOC＝∠AOD＋∠COD＝45°＋90°＝135°，所以∠COB＝180°－∠AOC＝180°－135°＝45°.綜上可知，∠COB的度數(shù)為135°或45°.234561因?yàn)椤螦OD＝120°，∠COD＝90°，所以∠AOC＝∠AOD－∠COD＝120°－90°＝30°.因?yàn)辄c(diǎn)O在AB邊上，所以∠BOC＝180°－∠AOC＝180°－30°＝150°.(2)若∠AOD＝120°，求∠COB的度數(shù)；解：(2)分兩種情況，當(dāng)OD在AB上方時(shí)，如圖③，234561當(dāng)OD在AB下方時(shí)，如圖④.因?yàn)椤螦OD＝120°，點(diǎn)O在AB邊上，所以∠BOD＝180°－∠AOD＝180°－120°＝60°.所以∠BOC＝90°－∠BOD＝90°－60°＝30°.綜上可知，∠COB的度數(shù)為150°或30°.234561(3)當(dāng)∠AOD＝α(0°＜α＜180°)時(shí)，直接寫出∠COB的

度數(shù)(結(jié)果用含α的式子表示).解：(3)∠COB的度數(shù)為90°＋α或90°－α或270°－α或α－90°.234561思想4

從特殊到一般的思想6.

【2024石家莊裕華區(qū)期末】已知：點(diǎn)O是直線AB上的一

點(diǎn)，∠COD＝90°，OE是∠BOD的平分線.(1)當(dāng)射線OC，射線OD，射線OE在直線AB的同側(cè)(如圖①)時(shí)，①若∠COE＝30°，則∠AOD＝

?.②若∠COE＝β，則∠AOD＝

.(用含β的式子

表示)60°

2β

234561(2)當(dāng)射線OC與射線OD，射線OE在直線AB的兩側(cè)(如

圖②)時(shí)，若∠COE＝β，則(1)②中的結(jié)論是否仍然成

立？請(qǐng)給出你的結(jié)論并說明理由.234561解：(1)②中結(jié)論仍然成立，理由如下：