8.4.2空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

第八章立體幾何初步8.4.2空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系人教A版

數(shù)學(xué)

必修第二冊課程標(biāo)準(zhǔn)1.借助長方體和實(shí)際情境,了解空間兩條直線間的位置關(guān)系.理解異面直線的含義.2.了解直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系,并能判斷這些位置關(guān)系.3.會用符號語言和圖形語言表示直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識全過關(guān)知識點(diǎn)1

空間中直線與直線的位置關(guān)系空間兩條直線的位置關(guān)系有三種:名師點(diǎn)睛異面直線(1)圖示圖①

圖②

(2)符號語言(以圖①為例)a?α,b∩α=A,A?a?a與b異面.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線.(

)(2)異面直線沒有公共點(diǎn).(

)(3)兩條異面直線一定在兩個(gè)不同的平面內(nèi).(

)(4)若a與b是異面直線且a與c也是異面直線,則b與c是異面直線.(

)×√√×2.分別在兩個(gè)平面內(nèi)的直線一定是異面直線嗎?提示

不一定,如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1,CC1分別在平面AA1D1D內(nèi)和平面BB1C1C內(nèi),但它們不是異面直線,因?yàn)樗鼈兌荚谄矫鍭A1C1C內(nèi).知識點(diǎn)2

空間中直線與平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)圖形語言符號語言直線在平面內(nèi)

直線與平面相交

直線與平面平行

有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

a?α有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

a∩α=A沒有公共點(diǎn)

a∥α過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)如果直線a,b和平面α滿足a∥α,b∥α,那么a∥b.(

)(2)若直線l與平面α不相交,則直線l與平面α平行.(

)(3)過平面外一點(diǎn),有且只有一條直線與這個(gè)平面平行.(

)×××2.觀察如圖所示的長方體ABCD-A1B1C1D1,線段A1B所在的直線與長方體的六個(gè)面所在平面有幾種位置關(guān)系?提示

三種.直線A1B在平面ABB1A1內(nèi),與平面CDD1C1平行,與其余四個(gè)面相交.知識點(diǎn)3

空間中平面與平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點(diǎn)兩個(gè)平面平行

沒有公共點(diǎn)兩個(gè)平面相交

有一條公共直線,所以有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)α∥βα∩β=l過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)若兩個(gè)平面都平行于同一條直線,則這兩個(gè)平面平行.(

)(2)兩個(gè)平面有公共點(diǎn),這兩個(gè)平面一定相交.(

)×√2.正方體的六個(gè)面中互相平行的平面有(

)

A.1對

B.2對

C.3對

D.4對C解析

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面ABB1A1∥平面CDD1C1,平面ADD1A1∥平面BCC1B1,故六個(gè)面中互相平行的平面有3對.3.如果在兩個(gè)平面內(nèi)分別有一條直線,這兩條直線互相平行,那么這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是

.

平行或相交

重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一空間中兩條直線位置關(guān)系的判定【例1】

(1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,判斷下列直線間的位置關(guān)系:①直線A1B與直線D1C

;

②直線A1B與直線B1C

;

③直線D1D與直線CE(E為線段C1D1的中點(diǎn))

;

④直線AB與直線B1C

.

平行

異面

相交異面(2)已知三條直線a,b,c,a與b異面,b與c異面,則a與c有什么樣的位置關(guān)系?請畫圖說明.解

直線a與c的位置關(guān)系有三種情況,如圖所示.直線a與c可能平行,如圖①;可能相交,如圖②;可能異面,如圖③.變式探究在本例題的正方體中,所有與直線AB異面的棱所在的直線為

.

CC1,B1C1,DD1,A1D1規(guī)律方法

空間中兩條直線位置關(guān)系的判定方法(1)判定兩條直線平行或相交可用平面幾何的方法去判斷.(2)判定兩條直線是異面直線的方法:①定義法:由定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi);②排除法(反證法):排除兩直線共面(平行或相交);③重要結(jié)論:連接平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過此點(diǎn)的直線是異面直線.如圖,A?α,B∈α,l?α,B?l?AB與l是異面直線.探究點(diǎn)二直線與平面的位置關(guān)系【例2】

給出下列四個(gè)命題:①若直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線,則l∥α;②若直線a在平面α外,則a∥α;③若直線a∥b,直線b?α,則a∥α;④如果一條直線與一個(gè)平面相交,那么這條直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線相交.其中真命題的個(gè)數(shù)為(

)A.1 B.2 C.3 D.0A解析

對于①,直線l雖與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行,但l有可能在平面α內(nèi),∴l(xiāng)不一定平行于α.故①錯(cuò).對于②,∵直線a在平面α外包括兩種情形:a∥α,a與α相交,故②錯(cuò).對于③,由直線a∥b,b?α,只能說明a和b無公共點(diǎn),但a可能在平面α內(nèi),故③錯(cuò).④正確.規(guī)律方法

根據(jù)直線與平面公共點(diǎn)個(gè)數(shù),直線與平面的位置關(guān)系分為三種,即直線在平面內(nèi),直線與平面相交,直線與平面平行.(1)判斷直線在平面內(nèi),需找到直線上不同的兩點(diǎn)在平面內(nèi),根據(jù)基本事實(shí)2知直線在平面內(nèi).(2)判斷直線與平面相交,據(jù)定義只需判定直線與平面有且只有一個(gè)公共點(diǎn).(3)判斷直線與平面平行,可根據(jù)定義判斷直線與平面沒有公共點(diǎn),也可以排除直線與平面相交及直線在平面內(nèi)兩種情況,從而判斷直線與平面平行.變式訓(xùn)練1若直線a不平行于平面α,則下列結(jié)論成立的是(

)A.α內(nèi)的所有直線均與a異面B.α內(nèi)不存在與a平行的直線C.α內(nèi)直線均與a相交D.直線a與平面α有公共點(diǎn)D解析

由于直線a不平行于平面α,則a在α內(nèi)或a與α相交,故A錯(cuò);當(dāng)a?α?xí)r,在平面α內(nèi)存在與a平行的直線,故B錯(cuò);因?yàn)棣羶?nèi)的直線也可能與a平行或異面,故C錯(cuò);由線面平行的定義知D正確.探究點(diǎn)三平面與平面的位置關(guān)系【例3】

給出的下列四個(gè)命題中,其中正確命題的個(gè)數(shù)是(

)①若平面α內(nèi)有兩條直線和平面β平行,則這兩個(gè)平面平行;②若平面α內(nèi)有無數(shù)條直線和平面β平行,則α與β平行;③若平面α內(nèi)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)到平面β的距離相等,則α與β平行;④若兩個(gè)不重合平面有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn),則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是相交.A.0 B.1 C.3 D.4B解析

如圖甲,平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行,但α與β相交;如圖乙,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)到β的距離相等,但α與β相交.故①②③均錯(cuò).不重合的兩個(gè)平面,若它們有公共點(diǎn),則它們有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn),都在它們的交線上,故④正確.規(guī)律方法

平面與平面的位置關(guān)系的判斷方法判斷兩個(gè)平面相交,只需找到兩個(gè)平面的一個(gè)公共點(diǎn),就可根據(jù)基本事實(shí)3知,兩個(gè)不重合的平面是相交的.判斷兩個(gè)平面平行,可根據(jù)定義判斷兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn),也可以排除兩個(gè)平面相交,從而判斷兩平面平行.變式訓(xùn)練2已知下列說法:①若兩個(gè)平面α∥β,a?α,b?β,則a∥b;②若兩個(gè)平面α∥β,a?α,b?β,則a與b一定不相交;③若兩個(gè)平面α∩β=b,a?α,則a與β一定相交.其中正確的是

.(填序號)

②

解析

①錯(cuò),a與b也可能異面;②對,∵α∥β,∴α與β無公共點(diǎn).又∵a?α,b?β,∴a與b無公共點(diǎn),即a與b一定不相交;③錯(cuò),a與β也可能平行.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識清單:(1)兩直線的位置關(guān)系.(2)直線與平面的位置關(guān)系.(3)平面與平面的位置關(guān)系.2.方法歸納:舉反例、特例.3.常見誤區(qū):異面直線的判斷有誤.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測123456789101112131415161718A級必備知識基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)三]如圖所示,用符號語言可表示為(

)A.α∩β=l

B.α∥β,l∈αC.l∥β,l?α

D.α∥β,l?αD1234567891011121314151617182.[探究點(diǎn)二]在長方體ABCD-A1B1C1D1的六個(gè)表面與六個(gè)對角面(平面AA1C1C、平面ABC1D1、平面ADC1B1、平面BB1D1D、平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中,與棱AA1平行的平面共有(

)A.2個(gè)

B.3個(gè)

C.4個(gè)

D.5個(gè)B解析

如圖,結(jié)合圖形可知AA1∥平面BB1C1C,AA1∥平面DD1C1C,AA1∥平面BB1D1D.1234567891011121314151617183.(多選題)[探究點(diǎn)一]如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,C1C的中點(diǎn),則以下四個(gè)結(jié)論正確的是(

)A.直線AM與CC1是相交直線B.直線AM與BN是平行直線C.直線BN與MB1是異面直線D.直線AM與DD1是異面直線CD解析

直線AM與CC1不同在任何一個(gè)平面內(nèi),直線AM與BN不同在任何一個(gè)平面內(nèi),故A,B錯(cuò)誤;直線BN與MB1不同在任何一個(gè)平面內(nèi),直線AM與DD1不同在任何一個(gè)平面內(nèi),故C,D正確.1234567891011121314151617184.[探究點(diǎn)三]若兩個(gè)平面內(nèi)分別有一條直線,且這兩條直線是異面直線,則這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)(

)A.有有限個(gè) B.有無數(shù)個(gè) C.不存在 D.不存在或有無數(shù)個(gè)D解析

如圖,直線AB與直線CC1異面,平面ABCD與平面CDD1C1相交,有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn);平面ABB1A1與平面CDD1C1平行,沒有公共點(diǎn).1234567891011121314151617185.[探究點(diǎn)一、二]以下說法正確的是(

)A.若直線a不平行于平面α,則直線a與平面α相交B.直線a和b是異面直線,若直線c∥a,則c與b一定相交C.若直線a和b都和平面α平行,則a和b也平行D.若點(diǎn)M∈l,點(diǎn)N∈l,N?α,M∈α,則直線l與平面α相交D解析

若直線a不平行于平面α,則直線a與平面α相交,或a?α,故A錯(cuò)誤;若直線a和b是異面直線,若直線c∥a,則c與b相交或異面,故B錯(cuò)誤;若直線a和b都和平面α平行,則a和b可能平行,可能相交,也可能異面,故C錯(cuò)誤;若點(diǎn)M,N∈l,N?α,M∈α,則直線l和平面α相交,故D正確.故選D.1234567891011121314151617186.[探究點(diǎn)一]如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,所在直線與BD1異面的棱有

條.

6解析

由異面直線的定義,知在正方體ABCD-A1B1C1D1中,所在直線與BD1異面的棱有CD,A1B1,AD,B1C1,AA1,CC1共6條.1234567891011121314151617187.[探究點(diǎn)三]已知直線a,平面α,β,且a∥α,a∥β,則平面α與β的位置關(guān)系是

.

相交或平行

解析

因?yàn)閍∥α,a∥β,所以平面α與β相交(如圖①)或平行(如圖②).1234567891011121314151617188.[探究點(diǎn)二]過三棱柱ABC-A1B1C1的任意兩條棱的中點(diǎn)作直線,其中與平面ABB1A1平行的直線共有

條.

6解析

如圖,與平面ABB1A1平行的直線有6條:D1E1,E1E,ED,DD1,D1E,DE1.1234567891011121314151617189.[探究點(diǎn)二]如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,面對角線B1D1與長方體的六個(gè)面之間的位置關(guān)系如何?解

∵B1∈平面A1B1C1D1,D1∈平面A1B1C1D1,∴B1D1?平面A1B1C1D1.∵B1∈平面BB1C1C,D1?平面BB1C1C,∴直線B1D1∩平面BB1C1C=B1.同理直線B1D1與平面AA1B1B、平面AA1D1D、平面CC1D1D都相交.在平行四邊形B1BDD1中,B1D1∥BD,B1D1與BD無公共點(diǎn),∴B1D1與平面ABCD無公共點(diǎn),∴B1D1∥平面ABCD.123456789101112131415161718123456789101112131415161718B級關(guān)鍵能力提升練10.若a,b是異面直線,且a∥平面α,那么b與平面α的位置關(guān)系是(

)A.b∥αB.b與α相交C.b?αD.以上三種情況都有可能D解析

若a,b是異面直線,且a∥平面α,則根據(jù)空間中線面的位置關(guān)系可得,b∥a,或b?α,或b與α相交.12345678910111213141516171811.(多選題)以下結(jié)論中,正確的是(

)A.過平面α外一點(diǎn)P,有且僅有一條直線與α平行B.過平面α外一點(diǎn)P,有且僅有一個(gè)平面與α平行C.過直線l外一點(diǎn)P,有且僅有一條直線與l平行D.過直線l外一點(diǎn)P,有且僅有一個(gè)平面與l平行BC12345678910111213141516171812.(多選題)下列說法中正確的是(

)A.若直線a不在平面α內(nèi),則a∥αB.若直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi),則l∥αC.若l∥α,則直線l與平面α內(nèi)任何一條直線都沒有公共點(diǎn)D.平行于同一平面的兩直線可以相交CD解析

A中,直線a也可能與平面α相交,故A錯(cuò)誤;B中,直線l與平面α相交時(shí),l上也有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi),故B錯(cuò)誤;C中,當(dāng)l∥α?xí)r,l與α沒有公共點(diǎn),所以l與α內(nèi)任何一條直線都沒有公共點(diǎn),故C正確;D中,平行于同一個(gè)平面的直線,可以平行也可以相交,也可以是異面直線,故D正確.12345678910111213141516171813.(多選題)如圖是一個(gè)正方體的展開圖,則在原正方體中(

)A.CD∥GH

B.AB與EF異面C.AD∥EF

D.AB與CD相交ABD12345678910111213141516171814.下列命題正確的有

.(填序號)

①若直線與平面有兩個(gè)公共點(diǎn),則直線在平面內(nèi);②若直線l與平面α相交,則l與平面α內(nèi)的任意直線都是異面直線;③若直線l與平面α平行,則l與平面α內(nèi)的直線平行或異面;④若直線a?平面α,平面α∩平面β=b,a∥b,則a∥β.①③④

解析

①顯然是正確的;②中,直線l和平面α內(nèi)過l與α交點(diǎn)的直線都相交而不是異面,所以②是錯(cuò)誤的;③中,直線l與平面α沒有公共點(diǎn),所以直線l與平面α內(nèi)的直線沒有公共點(diǎn),即它們平行或異面,所以③是正確的;因?yàn)閍∥b,所以a與b無公共點(diǎn).又因?yàn)閍?α,且α與β的公共點(diǎn)都在直線b上,所以a與β無公共點(diǎn),故a與β平行,故④是正確的.12345678910111213141516171815.如圖,平面α,β,γ滿足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判斷a與b,a與β的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.123456789101112131415161718解

a∥b,a∥β.證明如下.由α∩γ=a知a?α,且a?γ,由β∩γ=b知b?β,且b?γ.∵α∥β,a?α,b?β,∴a,b無公共點(diǎn).又∵a?γ,且b?γ,∴a∥b.∵α∥β,∴α與β無公共點(diǎn).又a?α,∴a與β無公共點(diǎn),∴a∥β.123456789101112131415161718C級學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練16.若直線a不平行于平面α,且a?α,則下列結(jié)論成立的是(

)A.平面α內(nèi)的所有直線與a異面B.平面α內(nèi)不存在與a平行的直線C.平面α內(nèi)存在唯一的直線與a平行D.平面α內(nèi)的直線與a都相交B解析

由條件知直線a與平面α相交,則平面α內(nèi)的直線與a可能相交,也可能異面,不可能平行.故選B.12345678910111213141516171817.(多選題)已知a,b是兩條不重合的直線,α,β是兩個(gè)不重合的平面,則下列說法中正確的是(

)A.若a∥b,b?α,則直線a平行