5.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

第五章復(fù)數(shù)1.2復(fù)數(shù)的幾何意義高中同步學(xué)案優(yōu)化設(shè)計GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI北師大版

數(shù)學(xué)

必修第二冊目錄索引基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升成果驗收·課堂達標(biāo)檢測課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解復(fù)平面的概念.2.理解復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點、復(fù)平面內(nèi)的向量之間的對應(yīng)關(guān)系.3.掌握復(fù)數(shù)模的概念,會求復(fù)數(shù)的模.4.掌握共軛復(fù)數(shù)的概念及幾何意義.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點一

復(fù)平面

如圖,點Z的橫坐標(biāo)是a,縱坐標(biāo)是b,復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)可以用點Z(a,b)表示.這個通過建立平面直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面稱為復(fù)平面,x軸稱為

,y軸稱為

.顯然,實軸上的點都表示實數(shù);除了_______

外,虛軸上的點都表示純虛數(shù).

實軸

虛軸原點過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)實軸上的點表示實數(shù).(

)(2)虛軸上的點表示虛數(shù).(

)(3)復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)點的縱坐標(biāo)為復(fù)數(shù)的實部.(

)2.虛軸上的點都對應(yīng)著唯一的純虛數(shù)嗎?√××提示

不是.知識點二

復(fù)數(shù)的幾何意義1.復(fù)數(shù)與點的對應(yīng)復(fù)數(shù)z=a+bi與復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,b)是一一對應(yīng)的,即復(fù)數(shù)z=a+bi

復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,b).2.復(fù)數(shù)與向量的對應(yīng)如圖,復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)與復(fù)平面內(nèi)的向量

=(a,b)也是一一對應(yīng)的,即復(fù)數(shù)z=a+bi

平面向量

.只有向量的起點在原點時才有這種一一對應(yīng)關(guān)系

名師點睛1.復(fù)數(shù)的實質(zhì)是有序?qū)崝?shù)對.2.根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點一一對應(yīng),復(fù)數(shù)與平面向量一一對應(yīng),可知復(fù)數(shù)z=a+bi、復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,b)和平面向量

之間的關(guān)系可用圖表示.過關(guān)自診[人教A版教材習(xí)題]在復(fù)平面內(nèi),O是原點,向量

對應(yīng)的復(fù)數(shù)是2+i.(1)如果點A關(guān)于實軸的對稱點為點B,求向量

對應(yīng)的復(fù)數(shù);(2)如果(1)中點B關(guān)于虛軸的對稱點為點C,求點C對應(yīng)的復(fù)數(shù).(2)點B(2,-1)關(guān)于虛軸的對稱點C的坐標(biāo)為(-2,-1),則點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是-2-i.(1)點A(2,1)關(guān)于實軸的對稱點B的坐標(biāo)為(2,-1),則向量

對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2-i.知識點三

復(fù)數(shù)的模定義:向量

的模稱為復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模,記作|z|或|a+bi|.由向量模的定義可知,|z|=|a+bi|=

.

如果b=0,那么z=a+bi是一個實數(shù)a,它的模

=|a|(a的絕對值).雖然兩個復(fù)數(shù)一般不能比較大小,但它們的模是非負(fù)實數(shù),可以比較大小.名師點睛1.模的幾何意義:復(fù)數(shù)模的幾何意義就是復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)所對應(yīng)的點Z(a,b)到原點(0,0)的距離,也就是向量

的模,即|z|=||.2.兩個復(fù)數(shù)相等,其模必相等;但模相等的兩個復(fù)數(shù)未必相等.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)復(fù)數(shù)的模一定是正實數(shù).(

)(2)若z1=z2,則|z1|=|z2|.(

)(3)若z1>z2,則|z1|>|z2|.(

)(4)若|z1|=|z2|,則z1=z2.(

)2.[人教A版教材習(xí)題]求復(fù)數(shù)z1=3+4i及

的模,并比較它們的模的大小.×√××知識點四

共軛復(fù)數(shù)若兩個復(fù)數(shù)的實部

,而虛部互為

,則稱這兩個復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用

表示.當(dāng)z=a+bi(a,b∈R)時,=a-bi.顯然,在復(fù)平面內(nèi),表示兩個共軛復(fù)數(shù)的點關(guān)于實軸對稱,并且它們的模相等.另外,當(dāng)復(fù)數(shù)z=a+bi的虛部b=0

時,有

=z.也就是說,任意一個實數(shù)的共軛復(fù)數(shù)仍是它本身,反之亦然.相等

相反數(shù)

名師點睛1.已知z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,則z1,z2互為共軛復(fù)數(shù)的充要條件是a=c且b=-d.2.共軛復(fù)數(shù)的特點(1)在復(fù)平面內(nèi),表示兩個共軛復(fù)數(shù)的點到坐標(biāo)原點的距離相等.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)若兩個復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù),則它們的模相等.(

)(2)在復(fù)平面內(nèi),表示共軛復(fù)數(shù)的點關(guān)于虛軸對稱.(

)2.(2023北京東城)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z如圖所示,則z的共軛復(fù)數(shù)

=(

)

A.1+2i

B.1-2i C.2+i

D.2-i√×解析

由題圖可知,z=2+i,故

=2-i.D重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一復(fù)數(shù)與點的對應(yīng)關(guān)系【例1】

求實數(shù)a分別取何值時,復(fù)數(shù)

對應(yīng)的點Z滿足下列條件:(1)在復(fù)平面的第二象限內(nèi).(2)在復(fù)平面內(nèi)的實軸上方.變式探究(1)本例中題設(shè)條件不變,求復(fù)數(shù)z表示的點Z在實軸上時,實數(shù)a的值.解

因為點Z在實軸上,所以a2-2a-15=0且a+3≠0,所以a=5.故當(dāng)a=5時,點Z在實軸上.(2)本例中條件不變,如果點Z在直線x+y+7=0上,求實數(shù)a的值.規(guī)律方法

利用復(fù)數(shù)與點的對應(yīng)關(guān)系的解題步驟(1)找對應(yīng)關(guān)系:復(fù)數(shù)的幾何表示法即復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)可以用復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,b)來表示,是解決此類問題的根據(jù).(2)列出方程:此類問題可建立復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)滿足的條件,通過解方程(組)或不等式(組)求解.探究點二復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)向量的對應(yīng)【例2】

在復(fù)平面上,點A,B,C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1+4i,-3i,2,O為復(fù)平面的坐標(biāo)原點.(2)求平行四邊形ABCD的頂點D對應(yīng)的復(fù)數(shù).規(guī)律方法

1.若復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量

=(a,b).2.復(fù)平面內(nèi)向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)可以通過向量的坐標(biāo)運算求得.3.一個向量不管怎樣平移,它所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是不變的,但其起點與終點對應(yīng)的復(fù)數(shù)改變.變式訓(xùn)練1四邊形ABCD是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形,A,B,C三點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+3i,-i,2+i.(1)求點D對應(yīng)的復(fù)數(shù);(2)求△ABC的邊BC上的高.解

(1)復(fù)平面內(nèi)A,B,C對應(yīng)點的坐標(biāo)分別為(1,3),(0,-1),(2,1).設(shè)點D的坐標(biāo)為(x,y),即x-1=2,y-3=2,解得x=3,y=5,故點D(3,5),其對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3+5i.(2)因為B(0,-1),C(2,1),所以直線BC的方程為x-y-1=0,探究點三復(fù)數(shù)的模及其應(yīng)用角度1.復(fù)數(shù)的模的幾何意義【例3】

設(shè)z∈C,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點Z,試說明滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形.(1)|z|=2;(2)1≤|z|≤2.解

(1)(方法一)|z|=2說明復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點Z到原點的距離為2,這樣的點Z的集合是以原點O為圓心,2為半徑的圓.(方法二)設(shè)z=a+bi(a,b∈R),由|z|=2,得a2+b2=4.故點Z對應(yīng)的集合是以原點O為圓心,2為半徑的圓.不等式|z|≤2的解集對應(yīng)圓|z|=2及該圓內(nèi)部所有點的集合.不等式|z|≥1的解集對應(yīng)圓|z|=1及該圓外部所有點的集合.這兩個集合的交集,對應(yīng)滿足條件1≤|z|≤2的點的集合.如圖中的陰影部分,所求點的集合是以O(shè)為圓心,以1和2為半徑的兩圓所夾的圓環(huán),并且包括圓環(huán)的邊界.規(guī)律方法

解決復(fù)數(shù)的模的幾何意義的問題,應(yīng)把握兩個關(guān)鍵點:一是|z|表示點Z到原點的距離,可依據(jù)|z|滿足的條件判斷點Z的集合表示的圖形;二是|z1-z2|表示復(fù)數(shù)z1,z2對應(yīng)的點之間的距離.變式訓(xùn)練2若復(fù)數(shù)z滿足|z|≤,則z在復(fù)平面所對應(yīng)的圖形的面積為

.

2π

角度2.復(fù)數(shù)的模的計算【例4】

(1)已知復(fù)數(shù)z1=6-5i,z2=-2+3i,若z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為A,B,線段AB的中點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,則|z|=(

)AA.|z1|>|z2| B.|z1|<|z2|C.|z1|=|z2| D.不能確定A規(guī)律方法

1.在計算與模有關(guān)的問題時,首先分清復(fù)數(shù)的實部與虛部,若給出的復(fù)數(shù)不是標(biāo)準(zhǔn)形式,要先化為標(biāo)準(zhǔn)形式再利用公式

求解.2.復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模對應(yīng)的點的集合是以原點為圓心,為半徑的圓.變式訓(xùn)練3(1)復(fù)數(shù)z1=a+2i,z2=-2+i,若|z1|<|z2|,那么實數(shù)a的取值范圍是

.

(-1,1)(2)已知復(fù)數(shù)z=3+ai,且|z|<4,則實數(shù)a的取值范圍為

.

(方法二)利用復(fù)數(shù)的幾何意義,由|z|<4知,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在以原點為圓心,4為半徑的圓內(nèi)(不包括邊界).由z=3+ai知z對應(yīng)的點在直線x=3上,所以線段AB(除去端點)為動點Z的集合,探究點四共軛復(fù)數(shù)及其應(yīng)用【例5】

設(shè)z=-3+2i,則在復(fù)平面內(nèi)

對應(yīng)的點位于(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限C解析

由z=-3+2i,得

=-3-2i,則在復(fù)平面內(nèi)

對應(yīng)的點(-3,-2)位于第三象限,故選C.規(guī)律方法

本節(jié)內(nèi)容對共軛復(fù)數(shù)的要求有兩點:一是會利用定義寫出已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù);二是明確互為共軛的兩個復(fù)數(shù)表示的點的對稱關(guān)系.變式訓(xùn)練4已知i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z=1+i,則

的實部與虛部之和為(

)A.1 B.0C.-2 D.2B解析

=1-i,實部為1,虛部為-1,所以實部與虛部之和為1+(-1)=0.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點、向量之間的對應(yīng)關(guān)系;(2)復(fù)數(shù)的模及幾何意義;(3)共軛復(fù)數(shù).2.方法歸納:待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū):虛數(shù)不能比較大小,虛數(shù)的?？梢员容^大小.成果驗收·課堂達標(biāo)檢測1234567891011A級必備知識基礎(chǔ)練1.(多選)給出下列復(fù)平面內(nèi)的點,這些點中對應(yīng)的復(fù)數(shù)為虛數(shù)的是(

)A.(3,1) B.(-2,0)C.(0,4) D.(-1,-5)ACD解析

易知選項A,B,C,D中的點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為3+i,-2,4i,-1-5i,因此A,C,D中的點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為虛數(shù),B中的點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為實數(shù).故選ACD.12345678910112.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|2-2|z|-3=0,則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z的集合對應(yīng)的圖形為(

)A.一個圓 B.一條線段C.兩點

D.兩個圓A解析

∵|z|2-2|z|-3=0,∴(|z|-3)(|z|+1)=0,∴|z|=3,∴復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z的集合是以原點O為圓心,3為半徑的一個圓.故選A.12345678910113.已知a∈R,若復(fù)數(shù)z=(a2-1)+(a+1)i為純虛數(shù),則復(fù)數(shù)a-i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限D(zhuǎn)解析

∵復(fù)數(shù)z=(a2-1)+(a+1)i是純虛數(shù),∴a2-1=0,且a+1≠0,故a=1.故復(fù)數(shù)a-i=1-i,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(1,-1)所在的象限為第四象限.故選D.12345678910114.已知0<a<3,復(fù)數(shù)z的實部為a,虛部為2,則|z|的取值范圍是

.

1234567891011-6-8i-6+8i

1234567891011B級關(guān)鍵能力提升練B12345678910117.(多選)已知復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R,i為虛數(shù)單位),且a+b=1,則下列說法正確的是(

)A.z不可能為純虛數(shù)B.若z的共軛復(fù)數(shù)為,且z=,則z是實數(shù)C.若z=|z|,則z是實數(shù)D.|z|可以等于BC123456789101112345678910118.定義:復(fù)數(shù)b+ai是復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)的轉(zhuǎn)置復(fù)數(shù),已知a,b∈R,i是虛數(shù)單位,若a+2i=1-bi,則復(fù)數(shù)z=a+b